XI -/{x-[- I cos ;j. cosO. )■ -H / cos ;-». sin G. G ) fl^O

(lù Li toiulioii y, ((lii r('j)i-ésenl(' l.i d('ii>ilé de la malière polcntianic, rote encore arbili-auc. Nous ,!von> inis la dérivée -^, i\Ai i)Otei!li(d sphérique, et non pas ce potentiel lui-même, jiarce que ce potentiel est une fonction impaire de T; or, nous devons finalement poser, dans (20), T =::^ G, ce qui réduira le binôme entre crochets à

lor.ction es>entiellemenl liCiire de la i)renîière vari,d)le —1 et dan-^ laquelle une partie de F impaire par r.q^port à cette \aiial)le s'entredé t ru irait identiquement.

L 1 tormule (aS) donnant pour F une lonction paire de s,i première variable, l'expression (20), où Von fait T = o, donne pmir o

.ivee I expression ( 20) de la fonction F qu.mt à >u première vari.djie. Il ue reste ])lu> qu à déterminer \,\ lonction / qui entre dans (23). Or, nous n avons pas encore utilisé léquation indélinie (1) à laqiudle doit satisfaire o; cette équation sera satisfaite si chacun des ('h'ments de I intéi;i"ale (2'î)esl lui-miMue une fonctitui liarmonifuie, e Csi-à-dire

-I I (in a

i)n^ ()^V Ô-V ox- 0)' Oz-

n\-^ (I .iprès (2.JJ, ceit»' ileruM're ('quatuin ser.i vérilicM' si l'on a

('; \'(>ir an siiji-l ili- rdlr iiiir'gralion .1. lioussiNlîsn | "2 |, )). 'l^^ cL p. .'),i7.

ONDES LIQUIDES DE GRAVITÉ. 3r

nous sommes donc eoiiduils à prcudre pour /une tonclion harmoliique.

D'ailleurs l,i l'oinuilc ( 24j, difteicutiéc en /, iioio donne

■ICC- j '/.'-

haut

ou, cil prenant Ls variaMc (rinléi;i\ilioii 3 = -, nryd introduite plus

d où la valeur initiide de ,'

, àt I ,=0 Jç, \ i- ! ■>. s/'i

d'.îprès (i8).

Mcus, d'api'ès les pi'opi'iélés coiinues des polenlieis spliériques ('), Il formule (23 ) lions donne aussi

F( o, X, r, ->—/.' ■''■, y- ^); donc

(jI),.,= .:7-tX'-..'-=)-

(]eci achève d<' déterminer la lonction /; en eflel, nous savons,

d.iprès les données, que ( ' ■ ^ ) 'l<>it s annuler [)0ur x,y(n\ z infinis,

et <loit prendre, à la surface ; = o, le^ valeurs données y"(.j:', y).

Donc la fonction ■/{ x , y ^ z) est la fonction Ii irmonique définie dans tout resj)acc an-dessous du plan des ./j-, s .snnid.mt à 1 inlini, et prenant pour c = <» les valeurs

La considcr.ition des potentiels de donl)le coiielie conduit immédia-

(') loir i. BoussiNKSQ |-2j, p. Wi.

tcau'nt à prendre pour / l\'xprc's.si(>)\

l'intégrale double étanl élenduc au pl.in de la surface libre.

11 ne reste plus qu'à remplacer, dans (?3), / par celte valeur, puis à porter dans (24) 1'^ valeur (aS) de F pour obtenir l'expression du potentiel des vitesses o. L :i fonction ainsi obtenue vérifie bien toutes les conditions du problème; en p.-.rLiculier on peut s'assurer que la formule (21), reconnue indispensable, est bien vériliée. Telle est dans ses traits principaux l'Analyse de M. Boussines([ ; ])Oui- plus de détails, on consultera les Ouvrages de l'Auteur. Nous avons, ici, suitout tenu à insister sur l'intégration de l'équation aux dérivées partielles du quatrième ordre (i4')ou(i /j) au moyen d'intégrales définies de la forme (i5) ou (20).

De même que dans le cas de deux dimensions, la soluti(m de \[. Boussinescj est profondément différente, quant à la forme, de celle de Poisson (ou de Cauchy); il est néanmoins possible de les identifier (').

14. L'équation intégro-différentielle de M. Hadamard. — Les méthodes exposées dans les numéros précédents ont surtout réussi dans le cas d'un bassin indéfini en tous sens (sans parois); tout au plus avons-nous pu supposer des parois exclusivement verticales (puits de profondeur infinie, n" 10) ou, au contraire, exclusivement horizontales (intégrale de Poisson pour une profondeur constante H, n° 12 in fine). Nous avons signalé (n** 10) que, dans le cas de parois quelconques, elles donnent lieu cà de graves difficultés et même à des objections.

11 est néanmoins intéressant, pour un vase (pielconque, de humer l'équation exacte à lacpielle doit satisfaire, dans des conditions initiales arbitraires, la dénivellation li de la surface libre (« = o), envisagée comme fonction (hi temps / et des coordonnées horizontales (iP, y) de la particule superlicielle : c'est ce qu'a fait M. Hadamard ("').

(') Voir II. Vkrom-; [1 ], p. ■>'\-

(-) J. Hadamard fl], L:i nicllioilc de M. Ila(l;imanl a clé (Irvcloppôo par M. G. I50II.IGAND 111 CL |2|.

Il se Lrouve que celte éqiuuiun qui régit h est, non plus une équation aux dérivées partielles, mais une équation iutégro-dilTérentlelle. Considérons la fonction

elle est, à chaque instant, comme le potentiel des vitesses o, une fonction liarnionique, déliiiie dans tout le domaine fluide, dont la

dérivée normale -;- est nulle sur les parois —, et dont la valeur à la

du '

surface libre S est [irécisémcnt h. Si donc on appelle G(M; P) ou (j(£, r/, iT: iP, j', z) la fonclion de (îreen correspondante, c'est-àdire la fonction harmoniiiuc nulle sur S, ayant sa dérivée normale -r

' -^ an

nulle sur ^, et deveiiant. lorscpie les deuM [)i)ints i\I(!:, o, Ç) et P(a;, )'. z) coincidcul, infinie comme tttj' on a, d'après une formule bien connue relati\e aux fonctions harmoniques,

l'intégrale étant éteiidue à la surface libre S ( ' ). Alors si nous reprenons réijualion

(3) ~ = ^-^ (puui- z = o).

qui est toujours vérifiée à la surface S, et si nous la diflérentions en ^, nous obtenons

^ ' âr^ 4- (JzJ ,7^ d/i

cette é([ualion qui régit la dénivellation Ii est, bien entendu, comme l'équation (.:>), exclusi\ement rclatiNC à la surface hbrc S (-).

(') Comme oa se borne ici au\ pciità mouvements, on peut, bien entendu, caloulei- la fonction de Gi'cen G comme si la surface libre était réduite au plan z = o (comme le montrerait la formule de M. lladamard pour le calcul de la variation de la fonction de Green ).

(-) Il y a lieu toutefois de sij,'naler que dans le cas d'un ])uits cylindrique de profondeur infinie (parois exclusivement verticales), cette équation (aS) est vérifiée à un nii-eriu quelconque: il en est ainsi, en effet, pour l'équation (3), comme nous l'avons vu au n" 10. Bien entendu, il en est de même pour l'équation du quatrième ordre ( i '( ) de M. noussincs([.

■:i', H. VERGNE.

Dans celle équalidii (25), l'existcucG des parois ^ n'inlervieiit que pai' l'intermédiaire de la fonction de Green G (M, P) relative au pro- Ijlènie mixte pour le domaine limité par les frontières i et S. D'ailleurs, la détermination de celU- fonction de Green G (M, 1^), relative à des données dill'érenles sur les frontières ^ et S, se ramèiic à la détermination d'une c fonction de Neumann », pour laquelle la donnée est partout la dérivée normale -r- en tous les points de Li frontière. Soit, enelTet, \ , le volume ol)tenu en adjoignant au \olume occupé par le li([aide son symétrique par rapport au plan S de la surface libre; et soit /(M, P) la fonction de Neumann correspondante; on aura

G (M, I») .^ M Al, P)-;(M^ P'),

le point P' étant limage du point P par rapport au plan S ( ' ).

La dérivée -r^ nui ligure dans la formule (2.5) est alors (lu ' '- '

D'aill(Mirs, on |)eut écrire

vfM. l')=:^ + H(M, P)= j^r-U(M.V),

II (M, P) étant une fonction analytique holomorphc par rappoil aux coordonnées de M et de P, même lorsque ces deux points coïncident pourvu qu'ils ne s'ajiproclient pas simultanément de la courbe G intersection de S et de -.

Par suite.

~ ~ àz '^' Il

Cj l^e lalcul (le (j ptjuna ainsi loiijoiirs sVIl'ocluer par la riiélliudc tie NeuiTjanii (ooiri. Mada>(ai<d, Lerons sur la pi<tjni'^(itii>n des ondes, (Ihap. Ii. Si les parois ont dos directions (|uelcoiiqucs, la li(Mili( rc de \\ présenleia une arèle anguleuse If long delà courbe C commune à S cl S ; ce n'est pas une difficulté essentielle puisque la mclliodc de ISeumann coniiniie ii s'appliquer. Mais lorsque les ]iarois soni vci-licales <ii 1 lia(|uc point di- C, celle li^;iic aii^'ulensc dis|)arail. el i.i niétliodc de l'redholiii est iriinii'diateiiiriil ;i |)pl i(ai)!c.

L'éfpiatiou (2^)) s'écrit donc

Dans celte éfjuation relative à la surface libre S(\g = o ), explicitons les coordonnées ( .r, y) el (£, ri) des points I* et M dont /• est la distance; [x,y) seront les \ariables de dérivation. ( ;, r/) seront les

(1-2 H " -; — Tz \ est

une fonction bien déterminée F(£,vi: x, y) des deux points superliciels M et P. 11 vient donc

<)l- \dx-- <)y' ' J J^ r

-+- f f lirz. r,. 0 !'"(;• •n; ^, y)dS.

Telle est I éf[ualion intégro-différentielle de M. Hadamard qui régit, pour un vase à parois ([uelconques, la dénivellation superficielle h.

Dans le cas p.uticidier d'un vase hémisphérique, le volume appelé V, est une sphère pour l.iquelle la fonction de Neumann est

connue. Sur cet exemple, M. Hadamard reconnaît que -r— - est, en

général, logaiithmiquement infini au voisinage de la courbe C, même lors([ue II est fini. 11 en résulte que les solutions admettent, le long de celte courbe, des singularités dont la nature reste à étudier.

L'équation iutégro-dinérentielle (26) se simplifie dans le cas d'un bassin sans parois, indc'lini tant horizonlalemenl qu'en profondeur. La fonction de ( ireen G( M, P) se réduit alors k

le point P' étant toujours le symétrique de P jiar rappori au plan S, et l'équation (26) s'écrit simplement

Jl y a lieu de remarquer en [)assanl ({ue cette équation est vérifiée par la dénivellation h. non seulement sur le plan de surface libre,

mais aussi sur un plan liorizontaL quelconque ; il en est ainsi, en effet, pour l'équation (3) dont elle est une conséquence ( ' j.

Il y a lieu de se demander immédiatemeni si cette équalion (27) donne l'équation aux dérivées partielles du quatrième ordre qui a joué un si grand rôle dans la méthode de M. Boussinesq. Pour reconnaître qu'il en est hien ainsi, introduisons une variable auxiliaire indépendante ::, et posons

4/(.r, .y, z,t)=- -- - I f • - ' A dr, ;

nous reconnaissons que 'h n'est autre que la fonction harmonique de j", y, :; qui s'annule à l'infini et |)rend sur le plan :; = o les valeurs — A(j, j-, /); donc 'h coïncide dans tout le fluide avec la

fonction harmonique — -^ = — A(.r, j', :;, t)

D'autre part, l'équation (2-) s'écrit (à la surface libre)

Donc, en posant

in 'h d'i

6» est une fonction liarmonique qui s'annule à la surface libre et l'infini, donc qui est identiquement nulle. I aisons la combinaison

il vient, jiuisque '| = — Ji est une fonclion barmonique,

, ,, ô' h ()- h ()'- Il

Ot* tj.v- ()y-

(') Cf. noie «le la page .53. Ainsi, dans le cas (i"iiiic profondeur in/înie (bassin indéfini ou puits verliea!), cliacinc Iranclie lliiide Ijori/.onlale oscille, en qu^elque sorte, pour son propre coinple, indcpendaniMicnl des autres. La pression à un niveau fixe étant constante (noie de la |)af,'e \'\) peut (Hrc prise conHiic j)ression atmosphérique, c'est-ii-dire qu'une tramlic hori/.onlaU^ (|uilri)ii(|uc peut cire considérée comme suiface libre.

c'est l'équation du quatrième ordre de Cauch) -Boussinesq ( ' ) ; de même que l'équation (27), elle est vérifiée à un niveau quelconque. D'ailleurs, il est à observer que ce calcul aj^ant nécessité une diflerontiation, l'équation (28) est certainement [>lus générale que l'équalion (2-): elle admet des solutions étrangères au [)roblème : tel est d'abord le cas de celles qu'on obtient en changeant le signe de l'un des membres de (27); niais il y en a une infinité d'autres, puisque dans (28) on peut se donner arbitrairement h el ses trois premières dérivées [)ar rapport à / pour f = o, tandis (pi'en vertu de (27), le

problème est déterminé jiar la donnée de h et de -^ (c'est-à-dire par

la forme initiale de la surface et les vitesses de ses différents points).

Revenons à l'équation (26), relative cà un vase à parois quelconques, mais valable seulement cà la surface libre. Ici encore la question se pose de savoir si la dénivellation superficielle h vérifie une équation aux dérivées partielles analogue à (28).

Or, M. Hadamard a montré que pour les solutions A, qui sont

telles (à l'instant considéré) que -— - soit réi;ulier le long de la courbe G, l'équation (2()) entraînait la suivante

,)'/i ô-h <nh r)t' ()x- <i\-

où K est une certaine fonction des deux points M{1, r,) et P(a:, r) symétrique |)ar rap|)orl à ces deux points. Si donc celte tonction K n'est pas identiquement nulle, /i ne vérifie, pour le liquide limité par des parois, aucune é(pialion aux dérivées partielles analogue à celle de Cauch v-Boussinesq. Or il est certain que la fonction K n'est pas nulle dans le cas général, car M. Boulig.md a démontré (-) qu'elle ne l'est pas pour le vase hémisphérique.

Signalons encore ici une autre contril)ulion împorlante apportée par M. Bouligand au problrine actuel ( ' ). lia étudié les conditions (le validité du calcul précédent et la ligilimilé du procédé de linéari-

(') Celle ériualiini (^iS), iiniis l'avions ('(rile poiii- le polenliel des vilcsses v; elle

esl évidcinmenl vraie aussi pour la déiiivellalion h — -~- ■

(-) G. BorLlGAND [ [ ].

(•') G. lîOVI.IGAND [2J.

salion du problème. Il est nécessaire de supposer que la véritable surface libre conserve partout avec le plan :i-Oy un voisinage suffisant et qui interdit notamment à cette surface libre de présenter des arêtes vives (soit en creux, soit en saillie). Au voisinage d'une telle arête, le calcul précédent tombe en défaut : il ne permet d'obtenir une

approximation de Taccélération -— que sur une plage de la surface

libre excluant un certain voisinage des arèj^es. Pareillement faudrat-il exclure un certain voisinage de la courlxt C intersection de la surface libre S et de la paroi 2l. On j>eut dire que cette courbe C joue un rôle analogue à celui des arêtes éventuelles de S (ou même un rôle plus complexe) : on le reconnaît sur le cas particulier d'un bassin limité par une seule paroi plani; (et verticale) indéfinie II; si la véritable surface libre n'est pjs partout normale à cette paroi, le bassin (indéfini en tous sens) obtenu en adjoignant au bassin donné sou symétrique par rapport au plan II, présentera une surface libre ayant une arête dans le plan H. Sur ce cas particulier, étudié au moyen des équations complètes (et non plus linéarisées ), M, Bouligand reconnaît ce fait important : les singularités qui apparaissent sur Féquatioa linéarisée de M. Hadamard pour le voisinage de la courbe C ne corresj)ondent nullement à celles qui se présentent dans le problême complet.

M. Hadamard a étudié aussi par ailleurs le cas particulier d'un bassin horizontalement indélini et de profondeur fl/iie, mais constante H ('); la méthode des images lui permet de former la fonction de (Ireen. Il reconnaît que, si II est infiniment petit (et si les variations de h ne sont pas très rapides), l'équation intégro-différentielle (26) entraîne ré(]uation aux dérivées partielles classique de

Lagrange

= Il \ -t- •

supjiosant en>uile II fiai et h indépendant de >' (|)r()blêui(! plan), puis admettant une propagation de vitesse constante V, de Iclh; sorte que h=f{x — Vf), il se trouve amené à l'étude d'une certaines é(juation intégrale.

vVjoiiton^ i'ii terminaul cpie la méthode de M. Hadamard, pour le

f) J. IIADAMAIID ;2 |.

ONDES LIQUIDES DE GRAVITÉ. Sg

vase quelconque, permettrait (a l'aide des l'ormules qu'il a données pour le calcul de la variation de la (onction de (îreen dans une déformation infinitésimale de la frontière) une mise en équation relativement simple des mouvements finis (et non plus infiniment petits) de la surface lii)re.

CHVPrj HE II.

OSCILLATIONS l'ROl'RKS «UN LIQUIDE PESANT DAXS VN VASE.

lo. Nous abordons maintenant la recherche du potentiel des vitesses cp(x, y, :?, /) pour un liquide pesant renfermé dans un vase de forme quelconque lorsque le mouvement esl peiiodique par rap- [)ort au temps : nous cherchons donc des solutions de la forme

( 29 ) ■^(a^,y, z, f.) = 'i^(œ, y, z) ^'^" ^7ct.

Nous \ errons que, pour une infinité dénombrable de valeur de />, il existe de telles solutions : elles correspondent aux diverses oscillations propres harmoniques.

Nous nous placerons tout d'abord, surtout pour simplifier le langage et l'écriture, dans le cas du mouvement plan à deux dimensions; nous jM'cnons toujours pour plan des :rz le plan parallèlement auquel se fait le mouvement (qui est alors indépendant de y), l'axe des ^ vertical vers le bas, l'axe des x coïncidant avec la surface lil)rc du liquide au repos ( /i^'\ i ).

Il s'agit de lormer une lonclion

(îo) ç(x, z, f) = ^(.r, G)^'" ^/Jf

cos

définie dans le domaine limité par les parois — et la surface libre S el satisfaisant aux conditions (pie nous avons déjà écrites ( ').

L\j lia lion indcfinie :

(J.r- oy-

(') Hicn ciilenilu, nous néglif;cr>ns toujours les carrés ri produits des déplacciiicnls el des vitesses, et nniis l'iiisoiis, (niiiinr plus lunil. ^ .— i .

."io H. VERGNE.

Conditions aux limites :

(lo

(ï) —^ =o (sur la paroi S),

an I /î

(3) ~ = o (sur la surface libre S).

(Jz ut-

Xous voulons pour o une solulion de la forme (3o); par conséquent, ces équations nous donnent, pour déterminer la fonction ^{x, z)^ les conditions suivantes :

Equation indéfinie A = ! ^ — = o

parois lu.. . . ~~ = o Conditions aux iiniiles :

r7'ï> du

I surfac

Pour donner une forme unique aux conditions aux limites, aj)pelonsCle contour total formé pari et S : c'est la frontière du domaine d'existence de la fonction harmonique cherchée ^^{x, z)', appelons c (s) une fonction du point quelconque s de ce contour, fonction qui sera nulle si s est sur les parois i et qui sera égale à i si 5 est sur la surface horizontale S ( il y a lieu de remarquer (|uc cette fonction c(s) n'est jamais négative). Nous aurons alors, en tout point du contour frontière C?,

et le système (l) s'écrit

/ Equation ind(''finio A'I> = o

I Condiliou au contour.... -,— = — /ce <J' f an

Or le prol)lème défini par ces conditions (1 (hs) est bien connu en Physique mathématique; c'est, par exemple, le problème des températures stationnaires du vase (supposé solide et isotro|ie) dont la frantière (S rayonne vers un espace à leuipèratiire zéro, le cotîfficient de rayonnement étant [■ — Ac). Donc nous pr(''voy()ns cpie lorstpie ce cocfticient de rayonntînnnit sera positif, nous n'aurons pas d'autre solution (pic = o, mais (Hie pour ('(Miaiiuîs \ alciii^ ^n>,s7/MV'.v (U; / ,

nous aurons pour le système ( I bis) des solutions non nulles, correspondant auY diverses oscillations propres harmoniques du liquide.

11 est facile de démontrer ce fait rigoureusement dans le cas d'un contour C sans singularités, c'est-à-dire en laissant de côté la difticulté provenant de ce que la frontière présente deux points anguleux (intersections de i et de S). Suivant une méthode indiquée par M. E. Picard (Annales de VEcole Normale supérieure, t. XXIII, p. 007), on cherchera à résoudre le système (I bis) en mettant sous la forme dun potentiel de simple couche; il se trouve que la densité de cette simple couche doit satisfaire à une certaine équation de Fredholm, dont le noyau dépend linéairement de /. ; cette équation de l'redholm est, comme le système (1 bis) dont elle provient, homogène (sans second membre). Si donc k est quelconque, elle n'admet pas d'autre solution que zéro\ mais on montre (^), en suivant lu théorie classique de l'équalion de Fredholm homogène, que pour certaines valeurs singulières de A, elle admet des solutions non nulles, fournissant par suite aussi des solutions non nulles pour le système (I bis).

Ces valeurs singulières de k sont toutes les racines d'une certaine équation transcendante entière en A", et l'on démontre que toutes ces racines sont simples, réelles el positives et en nombre infini.

Ainsi donc, abstraction faite de la difliculté, relative aux points anguleux du contour, nous pouvons dire (pi'il existe une suite indéfinie de \aleurs positives

auxquelles correspondent des solutions

<î>i fl>si <î>) 'T>

pour le système (I bis) ou (I) (^- ). Chaque fonction

, sin i-f- «!)/ s/ kit cos

représente le potentiel des vitesses d'une oscillation projjre.

(') H. VicRGNK [1], p. 57 et suiv.

(^) Ces solulions ^ ne sont d'ailleurs évideinnient diileiininées qu'à un facleui" constant près puisque le syslcnic (I Ijis) ou (I) est lioniogéne.

\l H. VERGNE.

11 est clair que de^ considéralious entiôreinent analogues s'appliquent au mouvement à trois dimensions pour un liquide renfermé dans un vase de forme quelconque. La difficulté relative aux points anguleux du contour est remplacée par la suivante : la surface frontière présentera une arête anguleuse C (intersection de — et de S ) formant une courbe fermée en chaque point de laquelle elle admettra deux plans tangents distincts. Cette difficulté (d'ailleurs très grave) mise à part, nous pouvons considérer comme établie l'existence d'une infinité d'oscillations pro|ires, dont le potentiel a la forme (29).

16. Étude d'une oscillation propre simple ('). — Considérons l'oscillation harmonicpie simple dont le potentiel est

9 ( .r, y, z, n = 'Im .r, r, z) cos y/ A- /.

Nous avons pour composantes de la vitesse d'une particule

thl' r '^'I' /T '^* /r

Il ^ —- C()^ V A/, (' = -;— COS V'''/> "' = r ^ns \/ h t ;

Ox ôy oz

el pour composantes (hi dé])lacemenl ou élongation

I ihb . - T <;<!> . .y ^1 t) . y

1=2 --^ —- S1I1 i ht, r, =^ :- -- Mil i/A 7, C = — . -T— siii i kl.

Dans ces formules, nous |)Oii\ons, |)uisque les oscillations sont sup-

iiosees pelitcs, traiter les coeilicienis -- ■> -1 -r- comme des con-

slanles, en j remplaçant les cooidonnées actuelles .r, y, z de chaque |)articule ])ar ses coordonnées moyennes (qui correspondent à l'étal rr(''quilil)re ). Nous voyons donc que les particides sont animées, autour de b'tir [losition inoyeiiiic. (fim iiiou\ement oscdlalolre VfiClilii^ne^ qu'elles passent toutes euseinl)h' par leur position (fécpiilibre (j)our siiiy//7 = o), et (pi'elles Noieiil toutes ensemblf^ leur vitesse

s'annuler ( pour cos ^ /. 7 : o ).

Portons notre altenlidu sur la (IcMiixcllation su jti'rjiiicUi' toujouis

1'» Pour imilrs li's (|iii-^i icm-. l'i mlii-cs il;iiis les paragraijhcs suivants, on (.onsuilera l"Oii\raf;(; do 11. IIih.a^si: (I, (,li;i|i. lit cl IV 1, mi ellos sont lrail»-cs avec délails. taiil ail iiuiiil (je \iic mal li('iiiiih(|ii( i|ir('\|H''i'ini('ulal .

donnée par Tcqualion (2)',

La surface libre réelle dérive donc de la surface fixe li = •I*(-r, y, o), par multiplication de ses ordonnées par un même facteur sinusoïdal en /. Dans le plan c- := o, les courbes ^{x, j\ o) = const. peuvent être appelées lignes de même amplitude verticale (' ); en particulier, les courbes (^, >', o) = o sont dites lignes nodales^ leur déplacement vertical est toujours nul. Les trajectoires orthogonales des courbes <1> = const. ont pour équation

dx dy dx dy

(>* tM> u V

elles peuvent être appelées lignes de courant (-). Un poinl du plan

pour lequel -— et ;— s annulent ensemble correspond, en gênerai,

' '■ i)x ôy ^

pour la surface libre, à un sommet (ou creux), ou à un col ; en un tel point, les lignes de même amplitude verticale el les lignes dtî courant présentent la disposition, bien connue en topographie, pour les lignes de niveau et les lignes de plus grande pente.

17. Combinaison de deux oscillations simples de même période. — Il peut arriver — et il arrive — qu'à une même valeur singulière de/i' correspondent deux (ou plusieurs) fonctions tl>(.r, )'•, :: ) distinctes. Cela veut dire que le vase considéré présente d»Mix (ou plusieurs)

oscillations propres de formes différentes, mais de même période — 4^ •

luudions maintenant ce cas.

En premier lieu superposons deux oscillations en concordance

de phase : c'est-à-dire | et <l'o étant deux fonctions correspondant

à la même \aleui' de /. , prenons pour potentiel des \itesses

c{x, y, z. I) = (À*: — [} «l'jisiii v^/7,

{') Ce suiU Ilv; pr()j(?clioiis liorizonlales des lignes do nivciiu de la suiface

Il — <l>i X. y, o).

( - 1 Ce sont les projerlions liorizonlales des lignes de plus grande pcnlc dr la

SMi iai'c

y et [j. étant deux coefticients quelconques. Suivant la valeur du rapport ^ (qui peut varier de — x à + oo), on voit que la ligne nodale

correspondante peut varier d'nnc façon continue, pour une même valeur delà période.

En second lieu, superposons deux oscillations do/U les phases

diffèvent de - : c'est-à-dire prenons pour potentiel des vitesses

cpi {x. y. z, t ) — *P{x^ y, z) siii \^ k/ -+- ^l^ii cr, y. z) cos \ kl .

Le mouvement d'une particule quelconque résulte cette fois de la superposition de deux oscillations rectilignes de même période non en phase; la [trajectoire est donc généralement une ellipse (ayant pour centre la position d'équilibre), et la vitesse ne s'annule jamais.

La dénivellalion superficieile h = ( yj- ) peut s'écrire

h = A cos(v''Z-/ -^'\') en posant

A'-= Â[*î(.r, y, o) + 'I>i(r, y, o)], lang'L = -^^——-—-.

Dans le plan ;; ;= o, les lignes de même amplllude verticale oui pour équation A =: const. La phase du mouvement ici n'est pas partout la même, elle varie d'un point à l'autre, et il existe à la surface des lignes « isophases » appelées aussi lignes cotidales, ayant pour équation .L = const. ; tous les points d'une telle ligne voient ensemble passer l'amplitude verticale maxiuia(ou minima). Si, en un point de la surface libre, «l», (x,y, o) et <l>o(.r, }-, o) s'annulent simultanément, la dénivellation verticale en ce point est constamment nulle et la phase y est indéterminée. Un tel pi)int est appelé point nodal on point anipliidroniique ; toutes les lignes colidalcs passent par le point amphidromicjue autour du(|uel elles rayonnent, et la dénivellation h se |)ropage en touruaiit autour de ce point avec une vitesse angulaire généralement variable (').

Nous nous rendrons aisément com[)te de celle |)r<)pagaliou, en

f) La nolioii (II' piiiiil ;iiii|)liiilioiiii(|m; il ilc li;,'nt's cuImImIi^s joue iiii n'.lr lies iiiil)oihiiil, dans ri-liule des Mun-r^. \'<>ir, pai' cxciniilc, II. l'iuNcAiiK jlj, p. 3(i.'i cl sui\ . \-. I''k;iiot |1I, p. rî*^ cl siin.

transportant l'origine des coordonnées au point amphidromique et en j prenant des coordonnées (obliques) tangentes aux lignes O, = o et <I)^=:o; nous bornant au voisinage immédiat du point amphidromique, nous réduisons | et <t*., à leurs parties linéaires (supposées non nulles)

(J), = 7.x, <ï>2= Pj^;

et la dénivellation /i prendra la forme

/i =z y/A ( y^x--\- 'y- y' ) cos ( si kt -r- arc lang ^

les lignes de même amplitude verticale sont des ellipses concentriques au point amphidromique, et les lignes cotidales sont les droites issues de ce point; en deux points diamétralement opposés, tangip a la même valeur et la phase diftere de -: lorsque l'amplitude est maxima en un de ces points, elle est minima à l'autre.

18. Auge de profondeur constante. — Le cas d'une auge de profondeur finie, mais constante H, est facile à traiter directement. Les parois i sont constituées d'une part par le fond qui est le plan horizontal :; = H, et, d'autre part, par un cylindre vertical (de section droite S quelconque). Prenons le potentiel des vitesses (29) sous la forme (■29'j rC-^)J% -, O = cil A'(H — 5)*r:r, 7)^'" V^/^/;

il doit satisfaire aux équations générales (1), (2), (.]) du problème. L'é([uation indéfinie (1 ) de Laplace s'écrit ici

ù'-^\i ,r-^ ,,,^ ôx'- ()y-

elle doit être satisfaite par la fonction de deux variables <l>(a7, y). La condition (2) d'annulation de la dérivée normale est satisfaite d'ellemême au fond ^ = H; elle sera satisfaite aussi sur les parois cylindriques verticales, si la fonction $(^,j)- ) est telle que -p- = o en tout ])oiiil du contour (\ qui limite la section droite S. La condition (3) à la surface libre c = o s'écrit (Z-i) /.■ = A' ih( A'H),

c'est une relation qui doit avoir lieu entre les constantes /.■ et A'.

MIÎMORIAI. ni;S SI . MATII. — N" 3't. 4

!• inalenient, il faudra déterminer toules les valeurs de />' pour les- (juelles l'équation (3i) admet des solutions *P{x, }') non identi- <juemcnt nulles, définies dans l'aire S et ayant leur dérivée normale -r- nulle au contour C de eetle aire C'est là un problème bien

fin ' '

< onnu de Plnsique mathéuiatique, et Ton sait qu'il existe une infinité de valeurs positives de A- pour lesquelles il en est ainsi. A chacune

de ces valeurs correspond une oscillation propre dont la période -e>t donnée par la condition (32).

Auge rectcuigulaire. — Soient x =^ du (t, y =:- ± b les équations <les p trois verticales. Nous satisferons à l'équation (oi) en prenant

<1> = sin/f'^" ou '!> = cos/i'u'

expressions indépendantes de j'. La condition — - = o, au contour C, sera satisfaite aussi si

k = — - ou k = p — ,

j} étant entiei'.

Ce potentiel correspond au phénomène bien connu du clapotis simple s'effectuaiit parallèlement au plan vertical des;;** (phénomène indépendant de y) entre les deux murs ,r = ±: a. Bien entendu, on j)eut supprimer ces murs, à condition de supposer c[ue le mouv(!ment ■^e prolonge sYmélric|uemcnt par rapport à eux : on obtient ainsi le (lapotis dans un canal de longueur indéfinie (et de largeur quelconque ih). Si nous prenons

n — (>, A = — . 'I> = siii — :

I.i condition (3;^) nous doune, entr(' la Ion gucur d onde l. = /\(i cl hi

pciiodc .- = -'—, la relation

M lii pr((loinh'ur 1 f ('si inliniUKinl grande, la laDucnh- li \ perbolupie A aut I . cl \\ \ K'iiL

c'esL la relalion de Gerstner ('), entre la période et la longueur d'onde de la Itoide en eau profonde: on sait, en efl'et. qu'une houle progressive dans un canal indéfini résulte de la superjjosition de douN. clapotis de même période (donc de même longueur d'onde), présentant entre eux une différence de phase égale à -•

Revenons à l'auge rectangulaire. Outre les clapotis parallèles au plan des zx ( jdiénomtne indépendant de j'), nous pouvons aussi considérer les clapotis |)arallèles au plan des r; ( phénomène indépendant de x), en prenant

<l> = siaA'j- ou = cosA';' avec

/. = -2 j nu h = q -,

q étant entier.

On voit que si a et h sont égaux (ou commensiirables). à une même valeur de /. ', par suite de k^ peuvent correspondre deux fonctions diUerenles, <'t l'on pourra se trouver dans le cas du point amphidromique. Dans le cas de l'auge carrée, par exemple {a = h), on aura au centre un point amphidromique, en prenant

et superposacit, en décalant leur pliase de -> les deux clapotis rectangulaires correspondant à

1= 7. sin — et <!' — j SI 11^^ ;

les coeflicienls y. et ,^ j)roviennent de ce (|ue ces (h'ux clapotis com-

[)osants peuvent être d'amjdiludes différentes. Le polenliel sera ahii.s

, -(H — s) /■ . r.x . j ^ '. ■ ~ y IT

i = cil a sin — sm i kl -i- j sm — — cos \l L

formule sur hi(|iieHe on vérifie aisément toul ce (pu a été dit au n" 17. A lige circulaire . — Transformon> léqualioii i .î i ) en cooi'diunîées

(■) Celte relalion s'i'ciit lialiilucllemeiU t = 1 ■' i 1l1-^ rappelon- i|uc iiutis avons,

\ S an (li'bnl. posi'' poni' siinplilicr i,' = i .

polaires 7", 0, en prenant pour origine le contre du cercle; elle s'écrit ,P*l) I à^ I 0"^^

Suivant un procédé classique, nous satisferons à celle écpialion en

|)renant

(b — " rt6J(/c'/"i (a entier arbitraire ); cos ■'

la fonction J de la seule variable p =: A'/" devra donc satisfaire à

d-^3 i di / (/■'\, rfpî p c/o \ pV

ce cpii conduit à prendre pour J(p) la fonction classicpie de Bessel d'ordre q

Enfin, on délerminora les valeurs de A' convenant au problème par la condition -j- = o au contour, qui s'écrit ici (en appelant R le

rayon de l'auge)

à cliacpie valeur de A', l'équation (Sa) fera correspondre une valeur de A', c'esl-à-dire de la période.

Les oscillations propres les plus simples correspondent à ^ = o et r/ = I . l^oiir q = o, <1> ne dépend pas de 9, le phénomène est de révohilion; le centre de la surface libre se soulève et se déprime alternalivement, il j a une ou plusieurs lignes nodales (circulaires), correspondant à Jy(A'7")==o et unc! ou plusieurs lignes ventrales (circulaires également), correspondant à Jj, {A'' r) =^ o.

Prenons encore le cas de ^ = i et choisissons pour A' la j)lus petite racine de J'j(A'R.) = o. Nous aurons une ligne nodale diamétrale (,sinO = o ou cosO = o) de |)art et d'autre de laquelle les (h'nivellatlons seront de signe contraire. Superj)osons deux telles oscillations rectangulaires entre elles (l'une avec sln 0, l'auli^e avec cosO) correspondant à la uu'uu; valeur d(! A', en sup[)Osant leurs phases décalées de -> l'une par rapport à l'aiilrc ((!t en leui: attribuant, par cx('mj)le, même amphludc); nous aurons poui- jjolcnLicI

(f — fil /i7 il — 3j Jii A'/' ) I si 11 0 si 11 \ Ivl -\- cosO C(js/Â/ J ;

comme le crochet est égal à cos ( \J kt — 6*), nous voyons que le centre est un point amphidromique autour duquel l'onde tourne [avec vitesse angulaire uniforme dans le cas actuel ( ' )].

Bien entendu, pour une valeur quelconque de l'entier ç ^ i , nous pourrons encore avoir un point amphidromique au centre : le facleur cos( y//i / — 0\ sera seulement remplacé par cos{\^' ht — ^9), ce qui correspondra à une périodicité d'ordre q autour de l'axe.

Âiitfes cas. — • Il y a lieu de signaler que le problème peut être traité d'une manière analogue pour d'autres formes d'auges (triangle équilatéral, hexagone régulier, etc.). On peut aussi, avec Stokes, étudier les oscillations de deux couches de liquides non miscibles superposés ( -).

Mentionnons aussi spécialement le cas d'un puits cylindrique vertical de profondeur infinie, qui peut évidemment être traité par l'analyse du présent n" 18; il suffit d'y supposer H infini et d'y remplacer dans l'expression (29) du potentiel des vitesses chA'(H — z) par e~'''^; la condition (Sa) devient simplement A- = A' (^).

19. Profondeur variable très petite. — Le cas d'un vase de profondeur variable quelconque (finie) a été étudié aux n°* 16 et 17; nous n'y reviendrons pas. Mais il y a lieu d'examiner spécialement le cas d'une profondeur variable infiniment petite, à cause de sa grande importance pour la théorie des marées et des seiches des lacs (^).

Soit H la profondeur très petite; :; est ég.ileuient très petit et l'on peut développer o suivant les puissances croissantes de ;,

(33j 9 = 9o-i-?iS + 'fi =' + •••,

o,,, Q|, Oo, . . . étant des fonctions de x ctdv y. Nous allons chercher à déterminer cpo, c'est-à-dire hi valeur de 0 à la surface.

La condition Ao = o à l'intérieur du lluide s'écrit, vu l'expres-

(') Si nous n'avions pas allriljué aux deux oscillations simples composâmes des amplitudes égales, la vitesse angulaire n'aurait pas clé uniforme.

(-) Voir H. 130UASSE [1, Chap. HIJ.

(■') Le puits vertical infiniment profond, de section droite circulaire, a été étudié autrefois par Ostroguadsky (Savants étrangers, t. III, >.

{'') Voir, par exemple, II. Poinc.vhk [1^ Cliap. IV', 11. I5oc.\ssf. ^I, Cliap. IVJ.

sion (33) de o.

Aç = (A9y-+- oïïo) -+- ^(A3:i-4- 6?:,) +. . . = o;

cette condition devant être satisfaite en parliculior pour c = o, on devra avoir entre Oo et Oo la relation

Au fond, on doit avoir

a, ,3, y étant les cosinus directeurs de la normale au fond ou d( s^

quantités proportionnelles à ces cosinus. Or la surface du fond a pour

équation

et les cosinus y., i, y sont proijortionnels a -—y -r— et — i .

' ' ' i i âx ay

La condition au fond sécrit donc :

-y^ = y- — 4- — - -^ (pour ; = H ).

D'ailleurs (33) donne

T" ) = Cil — 2II02,

en négligeant les termes eu z- ou en II-. Donc, la condiliou an funi s'écrit, en tenant couipte de ce (pie >. o^ = — Ao,, .