SI
Canalde largeur constante. — Pour montrer, sur un cas particulièrement simple, l'application de la méthode précédente, considérons un canal de largeur constante, mais de profondeur H variable (très petite), limité à ses deux extrémités par des parois inclinées où H s'annule. Prenant l'axe des j^ dans le sens de la largeur et l'axe des oc dans le sens de la longueur, H et <& ne dépendront plus de y et léquation (36) s'écrira
A lu ^'\ + A<I)=:odx \ dx j
dérivant cette équation par rapport à x^ et posant
elle devient
rf2P k ^ ^ -^ ïï P = ^-
Il faudra déterminer les valeurs de /. pour lesquelles cette équation différentielle ordinaire admet des solutions P non identiquement nulles, %^ annulant aux deux extrémités du canal. Le problème peut être poussé jusqu'au bout pour des formes simples du fond (telles que la forme parabolique, par exemple).
Dans un important travail théorique sur les seiches, G. Chrystal ( ' ) a traité un assez grand nombre de cas intéressants, dont certains permettent la discussion théorique des oscillations propres effectivement constatées dans les lacs.
!20. Loi de similitude. — Considérons un vase V de forme quelconque, et soit, pour ce vase, une oscillation propre ayant pour potentiel des s itesses
(29) ?(■■'*", 7, -, 0 = *(^, JK, -)sm\/Â/;
la période de celte oscillation propre est
et *h est une fonctiou haïuiouiciuc dont la dérivée normale -7— est
( ' ) G. ( illIiVSTAI.
nulle aux parois i du vase et qui satisfait à la surface libre S à l'équation
Oz
<e sont là les conditions (I) du n° 15.
Considérons maintenant un second vase V seinblable à \ , le rapport de similitude étant a. Appelons, pour ce nouveau vase, r', y', z'
les coordonnées
.r'=aJ7, y'=^ay^ ^'=cz5;
cherchons, pour le vase V, une oscillation propre ayant pour potentiel
<P( ^, •— , - ) sin v/F/,
4) étant la même fonction que pour le vase V. Quelle relation devonsnous pour cela établir entre A et /.', c'est-à-dire entre les périodes?
11 est clair que <I> [ — ? — ? — ) est une fonction harmonique ayant sa
dérivée normale -r- nulle aux parois i' du vase V. Il reste à satis-
CtJl •
faire à la condition à la surface libre
elle sera évidemment satisfaite en prenant d'où, pour la période r'.
Nous énonçons donc ce théorème :
Si Von multiplie tontes les dimensions linéaires cVun vase par (in nombre a^ les périodes des oscillations propres sont tnultipliées
par v/a.
11 semble que celle ])roposition doive avoir une grande importance pour l'étude expérimentale des oscillations propres des lacs (seiches) sur modèles réduits. Malheureusement, les lacs naturels ont toujours des dimensions horiz mlales d'un ordre de grandeur beaucoup plus
grand que leur prolondeui' verticale, et il est pratiquement impossible de construire un modèle réduisant à la même échelle les distances liorizontales et les profondeurs.
Or, il est aisé, dans le cas d' une profondeur très petite^ de donner du théorème précédent une importante généralisation, Nous avons vu au n" 19 que, pour un bassin de profondeur très petite, les périodes propres t= ^ correspondent aux valeurs de k pour les-
quelles l'équation aux dérivées partielles (3(i) admet des solutions (I> restant finies aux bords. Or, il est évident que cette équation (36) ne change pas si l'on multiplie toutes les dimensions horizontales (c'est-à-dire x, y) par un nombre a, toutes les dimensions verticales (c'est-à-dire H) |»ar un autre nombre ["^ el en même temps /,
par — .
II résulte que, si, jioiir un bassin peu profond, on niulliplie les dimensions horizontales par y.^ les dimensions verticales par Çl).
les périodes des oscillalions propres sont multipliées par --■
Sous cette nouvelle forme, le théorème de similitnde est appli" cable avec succès à l'étude expérimentale des seiches sur modèles r<''duits ( ' ).
!2I. Retour au problème des ondes par émersion dans uu vase de forme quelconfjue. — Pveprenons les résultats du n" lo. Pour un vase de forme quelconque, il existe une suite indéfinie de valeurs
|)ositives
auxquelles coirespondent des soluUons
|)oiii- le système (I his) ou (I). On a donc, pour le vase considéré, une infinitc' d'oscillalions propr(!s ayant p(uir |)Otenliel des vitesses
sin
:ii n /7—
\j(i problème qui se pose; maintcuiint est de savoir si uuc (tscillalioii I ' ) f'oir IJ. l-'ii iioT 1 . |). 10 ■.
<juelconque, pioduile par éniersion ou par iiiipulsioii, peut être (■onsidérée comme étant la superposition d'un nombre lini ou intini d'oscillations propres.
Considérons seulement le cas des ondes par émersion, puisque nous savons (voir n" 3) que celui des ondes par impulsion s'y ramène immédiatement. Et, j)Our simplifier l'exposé, bornons-nous au problème ])lan à deux dimensions. Les conrlilious initiales à satisfaire par le potentiel des vitesses o{x^ z, O sont les suivantes :
(37) ? = o, y =./'("'"J (pour / = o et z — o),
J'{x) étant une fonction donnée, rej)résenlnnt la dénivellation superficielle initiale.
Nous essaierons de satisfaire au proljlème en prenant pour o {x^ z^ i) \\i\Q série de la forme
dont chaque terme est le potentiel d'une oscillation propre, satisfaisant, par conséquent, à l'équation iudéllnie el aux conditions aux limites. Il reste à déterminer les cinislanles Ci de manière à vérifier les conditions d'état initial (3j). La condition o = 0 pour ^ = 0 est
satisfaite d'elle-même ('). La seconde condition y!^=/(x), pour
/ zzz o et pour ; .= o, s'écrit
(3()) ^tV<I),0, o) =f[x).
La question revient donc à la légitimilé du développement d'une fonction arbitraire ào\in.ée,f{x) en série de fonctions ^I*/(x, o). Or, il est facile de montrer (-) que la suite de fonctions *I>,(^, o) forme un système « orthogonal » et « complet w. On calculera donc les <'oeflicients ci par la formule de Fourier :
'V / [^i{-:r, o)\- dx — j <t>i{a:, o )f{x ) dx, «^s *-^s
(') Puisque nous a\(ius pi'i:~ les solutions ;ivcc sin^A',^; les solutions aveccosv A,^ conviendraient au cas des ondes par ini])ulsion.
( ■-) H. Vergne 1 11, p. 70-71.
et il résulte alors d'un théorème de iNlM. Fisciier et Rlc^z ('), que si /{.t) est une fonction de carré somniahle, la série (^g) conver<^e en moyenne \evs f{x) (-).
Ce que nous venons de dire du problème plan à deux dimensions peut se répéter, pour ainsi dire sans modifications, pour le problème à trois dimensions. En particulier, dans le cas d'une auge de profondeur constante, de section rectangulaire ou circulaire, la question de convergence n'olfrira aucune difficulté, puiscpi'il s'agira alors de séries de fonctions trigonométiiques ou de fonctions de Bessel.
Un dernier problème se pose. En supposant infinie la profondeur de l'auge, puis faisant croître indéfiniment les côtés de la section rectangulaire ou le rayon de la section circulaire, ces séricîs se transformeront-elles à la limite dans les intégrales que nous avons données dans la première Partie pour un bassin indéfini en tous sens? La chose est facile à vérilier. Dans le cas d'un bassin rectangulaire dont les côtés croissent indéfiniment, le calcul bien connu c[ui sert à passer de la série de Fourier à V intè ivraie de Fourier conduira à l'inlégriile (lo') de Poisson. Dans le cas d'un bassin circulaire dont le rayon croît indéliniment, un calcul analogue (eu supposant pour simplifier le phénomène de révolution) conduiiM immédiateuienl à la formule (i i) de Poisson-La m b.
On retrouve donc, comme il le fallait bien, les formules s'a|ipliq liant à un lupude indéfini, comme cas particulier de celles relatives à un li(piide renlermé dans un vase de forme quelconque.
