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Or, au lond, c =^ i I , <iu a, eu uégligeaut II-,

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11 resle à tenir compte de la eondilioa à la surface lilne

à- w da .

c'est-à-dire

à- cf 0 <)(■'■

OU, en tenant complo de (35),

'^ = -f-(n'^) + 4^(ii'^

()x \ à.i: I ()y \ ôy

Telle est l'équation aux dérivées jiartiellcs à laquelle doit salistaire la fonction '^^^i^x, )', t). Si nous voulons des solutions harmoniques de la forme

:io= "I^Ca-, jk; y/ A/,

la fonction de deux variables ^{x^ y) devra satisfaire à l'équation

<3(5) — H — -+- — II — +A* = o.

()x \ ()x ] <\y \ (ly !

11 faudra, en outre, que <I> satisfasse aux conditions aux limites de l'aire plane du bassin. Si le vase se termine par des parois verticales, la condition aux limites est

mais, dans le cas général où la paroi est inclinée, cette condition ne donne plus rien (car il faudrait introduire les dérivées de cp par rapport à z). La condition aux limites est alors que <l> doit rester finie : c'est bien là une condition et il est nécessaire de l'énoncer, car on peut montrer que la solution générale est alors infinie.

Bref, les valeurs de /.', correspondant aux: oscillations propres harmoniques du bassin, seront celles pour lesquelles léqualion (36) admet des solutions restant finies aux bords du bassin. La déni\ellation superficielle /< sera toujours donnée par la formule

Où

h =± i/A-'l>(^, y) . \/kt.