CENTRES DE GRAVITÉ
à celle qui est par IK; alors le cylindre BG à IL sera comme 2 à i ; et soit que BG pèse deux Livres, et IL I Livre : donc NO sera la barre, laquelle divisée en ses rayons, comme en R, ainsi que NR soit double à RO; alors R sera centre des cylindres circonscrits, et O de l'inscrit; alors R et O seront equidistants de
E, assavoir chacun — de AD ; ce qui adviendra tou-
îL Q
Fig.
siours ainsi es autres exemples : Mais afin de déclarer tout plus apertement, nous y joindrons encore cest
exemple.
» Soyent 4 cylindres
circonscrits c o u p a n s l'axe en 4 parties égales, et 3 inscrits, les centres des cylindres I, K, L, M, et AE encor double àED. Maintenantcomme DA à AN (c'est 4 à iJ) ainsi la superfice de la base BC, à celle de OP : donc le cylindre BF au cylindre OQ, ainsi 4 à 3 ; et pour mesme raison BF au tiers cylindres, sera comme 4 à 2; et au quatriesme, comme 4 à i : les circonscrits soyent donc 4 livres, iJ livres, 2 livres, i livre : et les inscrits 3 livres, 2 livres, I livre, tellement que par la 2 proposition du premier livre, le centre des 4 cylindres circonscrits sera en L, et des 3 inscrits en S, equidistans de E,
chacun de -7 de AD; ces deux poincts donc L, S,
viennent de part et d'autre de E, et de mesme intervalle.
» Que si on circonscrivoit 8 cylindres, et 7 inscrits, lesdicts poincts viendroyent de part et d'au-
SIMON STEViy, ALBERT GIRARD 3i3
tre de E chacun distant d'iceluy de la ^ de AD.
» Et si on en circonscrivoit i6 cylindres, et i5 inscrits, lesdicts poincts seroyent chacun distans de.E
de la -^ de AD : et tousiours selon ceste progression approchant la moitié plus près l'une des fois que l'autre précédente.
» Ce qu'estant ainsi, E sera centre de gravité du conoïde parabolique; car s'il est possible que ce soit dehors, comme entre EL, ou entre ES, alors on pourra tant prendi;e de cylindres à l'inscription et circonscription du conoïde, que le centre des circonscrits sera plus bas que celuy du conoïde, ou que celuy des inscrits sera plus haut que celuy du conoïde ; ce qui est impossible. Et partant ce ne sera pas en autre lieu qu'en E, ce qu'il falloit demonstrer.
» Conclusion. — Nous avons donc trouvé le centre d'un conoïde parabolique, selon le requis.
y> Notez, — On trouvera au triangle, que les parallélogrammes circonscrits ou inscrits ont mesme raison entre eux, comme icy les cylindres au conoïde parabolique; d'autant que leur centre de gravité divise la ligne du sommet, vers le milieu de la base en mesme raison, assavoir 2 à i. « g -
(( Estant donné un conoïde parabolique tronqué par un plan parallèle à la base : Trouver son centre de gravité.
» Le donné: — Soit en la figure suivante ABCD un conoïde parabolique, tronqué par un plan AB parallèle à la base DC.
3 14 CESTRES DE GRAVITÉ
cf Le requis. — Il faut trouver son centre de gravité.
» Construction. — Ayant parfait le conoïde, y adjoustant AGB son défaut, et trouvant le centre de gravité du tout l, et de la partie H, selon la précédente proposition; on trouvera le centre du reste K, par la 9 proposition de ce deuxiesme livre; dont la démonstration est manifeste. »
Albert Girard,
(( Geste manière a aussi ceste imperfection qu'il faut remettre ce qui estoit retranché; et Stevin prend la proposition plus générale, sans la restriction (tronqué par un plan parallèle à la base) veu qu'il l'entendoit ainsi ; ce qui a fait que nous l'avons remis en la proposition, afin qu'il n'y ait point de doute; nousferons donc la construction plus simple, comme s'ensuit.
» Pour trouver le centre de gravité K, on usera de cet organe.
,,,, 1 J. + EF : sera pour KF, 3.
)) Ou bien, en divisant EF en trois parties égales; puis derechef la partie du milieu en telle raison,, comme le quarré de AE, au quarré de DF, disposant les parties réciproquement aux plans parallèles, comme nous avons dit en la 8 proposition; dont la démonstration est assez manifeste par la correspondance qu'il y a entre les parallélogrammes inscrits et circonscrits au triangle, et les cylindres inscrits et circonscrits; ce qui suffira icy pour éviter prolixité. J'aurois mis icy comme aux plans, plusieurs belles inventions fort difficiles touchant le centre de gravité des sec-
SIMOy STEVL\\ ALBERT GIRARD 3i5
lions de cercle, d'ellipse, et d'hyperbole, et d'autres figures planes; comme aussi les centres de gravité des secteurs sphériques, et des sections tant de la sphère, que du sphéroïde et du conoïde hyperbolique et d'autres figures solides, qui n'ont jamais esté mises en lumière ni inventées de personne, et qui pour la grande difficulté qu'elles ont, méritent bien le jour, afin qu'un autre, ne prenne la peine de les cercher, et lesquelles poui^la construction organique que je leur ay adapté, tant pour l'Arithmétique, que pour la Géométrie et Mechanique, pourroyent rendre un Archimedes désireux de les voir, mesme après la seconde fois. »
On trouve, en effet,
j Ldf» + ae» ^ J
IV. — De la pratique des formes mouyantes. — Le charistion d^Archimdde. — Le cricq.
SiMO?( Stevin, Albert Girard, pp. 469, 47^, 4^o> 4^^)-
Simon Stevin,
DE LA PRACTIQUE DE l'aRT PONDERAIRE, OU STATIQUE PRACTIQUE
Au Lecteur.
(( D'autant qu'il sera parlé en quelques propositions de la Practique ponderaire du mouvement des corps, il m'a semblé bon, avant que de venir là d'en déclarer quelque chose : Assavoir que la Statique enseigne seulement à mettre en équilibre le mouvant avec Tesmeu. Et que touchant la pesanteur ou puissance, que le mouvant a besoin d'avoir encor d'avantage, pour faire que l'esmeu se puisse [mouvoir, (laquelle puissance ou pesanteur doit gaigner et surpasser ce qui empesche le mouvement de l'esmeu) la Statique ne monstre pas la manière de trouver telle pesanteur ou puissance Mathématiquement; pour ce que l'esmeu, et ses empeschemens n'ont aucune proportion, avec un autre esmcu, et ses empeschemens. Mais pour déclarer cela par exemple ; Soit qu'un char chargé, duquel la pesanteur soit notoire, doive estre tiré sur une montagne de pente aussi notoire; alors la Statique-prac-
SIMOX STKV/y, ALBERT GIRARD 317
tique (comme on verra eoi la 9 proposition exemple quatriesme) enseigne quelle puissance ou pesanteur sera équilibre avec ce char, sans mettre en ligne de compte les empeschemens des accidens, tels que pourroyent estre le frottement de Fessieu dans le moyeu, des roues contre le pavé mal uny, du char contre l'air, etc., lesquelles puissances et empeschemens la Statique ne monstre pas, ne consistans point en raison, où n'estans point proportionelles ; partant nous pourrions demonstrer, et réfuter les argumens de ceux, lesquels tombans en erreur, pensent le contraire, n'estoit que ce sera en un autre lieu, comme en l'Appendice suivant . Notez aussi que ceste cognoissance d'équilibration suffit, car on sçait qu'en une balance, où les pesanteurs sont égales, il ne faut pas grande puissance pour l'esmouvoir, (combien qu'elle ayt aussi des empeschemens à son mouvement) et ainsi es autres.
» Cecy est dit touchant Tenipeschement du mouvement, afin que si quelqu'un trouvant la force du mouvant quelque fois plus grande que celle de Fesmeu ne pense que ce soit faute en la science, mais que de nécessité (comme il a esté dit) le mouvant doit estre au dessus de l'équilibration d'autant pesant, qu'il est de besoin pour forcer les empeschemens de l'esmeu. Secondement, afin que personne ne soit trompée en telle apparence de proportion, ce qui advient tresai sèment à ceux qui prennent le faux pour le vray. »
Albert Girard.
(( Je monstreray comment il faut vuider ceste question une autre fois au livre du mouvement que je prétends mettre bien tost au jour : Cependant voyez
3iS PROBLEME DE STATIQVE
ve qu'en dît Slevin en l'Appendice de la Statique, chapitre deuxiesme,... »
Simon Steviit.
« Le donné. Soit A un homme, ayant sur son espaule B, une lance CD, pesant la livres, dont l'axe est CD, et E son centre de gravité : et du poinct d'attouchement de la lance et de son espaule, soit menée la ligne BF, perpendicle à l'horizon, coupant l'axe CD en G ; Et tirant avec sa main directement en bas, vient -au poinct H en l'axe, et que GH soit double à GE.
« Le requis. II faut trouver quelle force c'est que la main fait, en attirant.
B Opération, D'autant que <iH est double à GE,
la pesanteur en E, qui est la lance, sera double à celle qui est en H, la force que la main fait : Maïs la lance pèse 13 livres, la main donc attirera 6 livres.
» M^is si c'estoit un soldat qui ayt esté à la picorée, et ayt pendu un chappon I, en IC, pesant 3 livres :
smoy sTEi'/y, albert giiurd jiy
tellement que KG soit triple à GH; il appert que le butin luy appesantira la main de 9 livres, et attireroit i5 livres en tout
» On suppose icy qu'il tire droit en bas la main, mais si c'estoit obliquement, alors comme la dépression directe à Foblique, ainsi le déprimant direct à l'oblique, par la 21 proposition du premier livre des Elemens, d'où tout pourra estre cognu. »
Albert Girard.
« Mais d'autant qu'il arrive , comme icy, d'autres inconvénients au porteur, qu'à la main, comme sur Tespaule; on demande quel poids il porte sur son espaule ? ce qui servira une fois pour tout, tant ici qu'en autre lieu.
L lance CD pesé 12 livres, En K, il y a 3 livres, Et la main H tire i5 livres,
Vient en somme iîo livres
sur l'espaule B, et ainsi des autres : que s'il mettoit tout à l'équilibre, sans la main il ne porteroit qu'à la moitié... »
Simon Stevin.
« Déclarer les qualitez et circonstances des forces indéfinies,
» Les hommes construisent divers instrumens pour agir avec plus.de force, par lesquels ils peuvent augmenter leurs efforts sans fin ; ce que nous appelions en gênerai force indéfinie. Et pour déclarer ses qualitez et ses cîrconstaiices, pouryeu. qu'pi) use de force par le moyen de quelque instrui^ient, on demande com-
It
320 LE CUARïSTIOy D\4RCniMÈDE
bien de temps il faudra pour attirer le poids jiisques à un certain lieu, et choses semblables. A ceste fin je traceray la figure de quelque instrument de qualitez simples, et tel que par iceluy je puisse proprement exposer mon dessein, ayant premièrement parlé de la force indéfinie d^ArchimedeSy selon que rapporte Plu^ targue et autres : Assavoir qu'^Ifiéron Roy de Sicile ayant fait construire un navire d'une notable grandeur, et d'une façon scientifique, pour faire un présent à Ptolemeus Roy d'Egypte : que lors qu'il fut achevé, que les Bourgeois de Syracuse ne le peurent faire venir en mer; mais qu^Arckimedes y ayant appliqué son instrument, qu'on appelle en Grec Charistioiiy que Hieron, estant mesme seul, l'y attira de la main. Ce Charistion (selon la figure que Jacques Bessoii a mis en lumière ainsi qu'il Ta trouvé en la Bibliothèque du Roy de France) avoit des essieux avec des vis-sans-fin : Œuvre certes digne de perpétuelle mémoire, lequel nous eussions icy figuré, puis que nous ^sommes sur semblable matière, n'estoit que nous posons la susdite force indéfinie en son lieu, comme pouvant plus aisément déclarer mon intention, et la règle générale dès proprietez et qualitez des semblables, par le moyen d'iceluy : Assavoir comme estant fort et plus durable, et à meilleur marché : par lequel à temps égaux on pourra faire plus d'effort, il est aussi de forme indéfinie, comme estoit le Charistion. La construction duquel est telle. »
Simon Stëvin décrit ensuite son Cricq : une manivelle à axe horizontal actionne une roue dentée qui engrène avec d'autres roues dé différents diamètres. On peut ainsi faire tourner un axe horizontal autour duquel é'énroiile une corde, et ce système est propre,
SIMON STEVIN, ALBERT GIRARD 3'2i
en particulier, à « relèvement des batteaiix par dessus les dodasnes ou digues ; car c'est une chose fort nécessaire en ces pays, et. principalement en Hollande. »
Simon Stevin donne ensuite, sur la manière de construire l'instrument, un exemple numérique, inexact, que corrige Albert Girard, lequel termine ainsi :
Albert Girard.
« ... On pourra voir comment, en quelle forme, et de quel nombre^ on pourra faire les dents, dans des vigoureux rouages en mes Mechaniques; car il y a une raison, une considération, et une invention non vulgaire sur ce subject, mais estant icy en pays estrange, sans Mœcenas, et non sans pertes, avec une grande famille, je n'ay pas le loisir, ny le pouvoir d'escrire icy tout ce qui pourroit estre convenable. »
Maupin. Curiosité!» mnthômotiqucs. oti
Equilibre d'un corps suspendu par trois fils. Un théorème de Despeyrous et Darbonz.
(SiMox SxfcviN, Albert Girard, p. 5o8).
Stevin a déclaré précédemment que lorsqu'un corps pesant est suspendu par deux fils, appliqués en deux points différents du corps, ces deux fîls sont dans un même plan avec la verticale qui passe par le centre de gravité du corps. Il a examiné ensuite le cas d'un corps dont un môme point est attaché à trois, quatre ou davantage de fils, et expliqué que les tensions des fils ne sont déterminées que dans le cas où ceux-ci sont au nombre de trois.
Simon Stevin.
(( Notez. — Un corps peut estre suspendu à 3 lignes d'autre façon..., assavoir que les lignes soyent attachées au corps mesme en divers lieux, tellement qu'estant produites, elles ne se rencontrent en mesme , poinct, comme il doit advenir de nécessité à deux
lignes : Mais comment il faut trouver le poids qui
eschoit sur chacune ligne des trois; y ayant pensé, je n'ay trouvé en ceste description aucune manière pour trouver le requis, quant à ce que je feray une autre fois, ou que quelqu'autre y trouvera, ou non, le temps l'apprendra. »
siMoy r/r::yi:< ali^ert cihaud j^j
Albct l Ciran!.
c( Quant à ce que Stevin d.t cy-dessus, combien que je n'aye encore rien recerché, il se peut faire que les trois lignes ne se rencontrent à mesme poinct, comme lors que deux sont attachées parallèles, ou s'estroisissant par enhaut (car on les peut attacher près Tune de l'autre à la poultre soustenant, et arrière l'une de l'autre au corps suspendu) neantmoins je croy d'abord, que le plan perpendiculaire à l'horizon, passant par une des trois laquelle on voudra, et par Je poinct de rencontre des deux autres (ce qui me semble estre possible, excepté quand deux lignes sont parallèles comme dit est) que ce plan passera par le centre de gravité du corps suspendu : Mais il faut sçavoir que Stevin dit à propos, des lignes au lieu de cordes, et qu'il a bien veu qu'elles ne sont pas en lignes droites estant estenduës, sinon que la seule corde perpendiculaire à l'horizon; car les autres cordes lasches ou fort estenduës, sont lignes paraboliques ; (comme j'ay autrefois demonstré, environ l'an 1617) ainsi que je demonslreray cy-apres, à la fin du corollaire suivant, ce qui viendra icy fort à propos pour l'ornement de cette Spartostatiquc.
» Pour satisfaire à ma promesse qui précède le dernier corollaire, et n'y ayant pas le loisir toutefois de mettre icy la copie de ma démonstration entière, je la donneray un autre fois au public, avec mes autres œuvres, moyennant l'aide de Dieu, lors que la recerché des sciences sera plus recomniandable, qu'elle n'est à prescrit. ))
L'énoncé d'Aibcrl Girard n'olfre pas do sens précis :
3j4 corps suspendu PAU TROIS FILS
les plans verticaux dont il parle sont surabondamment déterminés, et d'ailleurs les fils ne se rencontrent pas en général deux à deux.
Il suffît pour résoudre le problème de remplacer chaque fil par une force égale 'et directement opposée à sa tension. Nous sommes alors dans le cas d'un corps sollicité par quatre forces, et nous savons que celles-ci doivent constituer quatre génératrices de même système d'une surface réglée du second ordre. (Voyez Despey- Rous, Cours de mécanique, tome i, p. 97. — Paris, Hermann, 1884.)
Nous pouvons ajouter avec M. Darboux (note IV de l'ouvrage précité, page 889) que lorsque quatre droites sont des génératrices de même système d'une surface réglée du second ordre, elles peuvent être prises pour lignes d'action de quatre forces se faisant équilibre.
Bornons-nous au cas général, où les quatre forces sont sur un même hyperboloïde. Des propositions précédentes il découle — et nous tâchons ainsi de nous rapprocher de l'énoncé d'Albert Girard — que les plans verticaux passant par les trois fils se coupent suivant une même verticale. Soient en effet T|, T2, T3 les droites qui représentent les forces équilibrant les trois tensions, G la droite qui représente le poids. Il existe sur rhyperboloïde une génératrice parallèle à G, du système différent de celle-ci, et qui s'appuie par conséquent sur T|, T2, T3, ce qu'il fallait démontrer.
D'une façon plus élémentaire, — On peut décomposer la force G en trois appliquées respectivement aux points A|, A2, A3 où s'insèrent les fils : soient G|, G2, G3 ces composantes. G| et T,, G2 et T2, G3 et T3, composées deux à deux, donnent trois forces M|, M2, M3 appliquées en A, B, C. Ces trois forces se font équilibre,
donc elles concourent en un point unique : mais elles sont tracées dans les trois plans verticaux de T|, T2, T3, et ces plans constituent les faces d'un prisme. Si les forces M|, M2, M3 concourent, il faut donc que les faces du prisme se coupent sur une même droite.
Despeyrous.
(( Lorsque quatre forces appliquées à une solide invariable se font équilibre, ces forces sont situées sur une surface réglée du second ordre,
y> Soient les forces P, P\ F", F"', il y a une infinité de droites D, D\ D",.-.- rencontrant trois des forces F, F', F"; le lieu de la droite D est une surface du second ordre (hyperboloïde à une nappe, ou paraboloïde hyperbolique). La somme des moments des quatre forces relativement à chaque droite D doit être nulle ; or les moments de F, F\ F" sont nuls; donc relativement à chaque droite Die moment de F'" doit être nul. La force F doit donc rencontrer chaque droite D ou lui être parallèle, et comme elle ne peut être parallèle à toutes les droites D, elle doit les rencontrer toutes. Les quatre forces F, F', F", F''' sont donc des génératrices d'un même système de la surface S.
)) La surface ^era généralement un hyperboloïde à une nappe, elle sera un paraboloïde si trois des quatre forces sont parallèles à un même plan. »
