CHAPITRE XIX Deux quadratures naïves du cercle

iS52 et i855.

Nouveau rapport de la circonférence au diamètre, suivi d'une nouvelle manière de faire Taddition et la multiplication, par Joseph Lacomme, Mathématicien naturel.

L'Instruction, nourrice du Génie, De son lait pur ne m'abreuva jamais.

Que demander à qui n'eut point de maître?

Mon génie seul m'a formé ; Et ses épis que mon printemps vit naître, Sont ceux d'un champ où rien ne fut semé,

A Paris, chez TAuteur, passage JoufTroy, 44. — L'auteur est visible tous les jours, de midi à dix heures du soir. (Plaquette de 12 pages, i855) (Voy. La Science pour tous, 1874).

« Nonobstant toutes les contrariétés que j'ai éprouvées, je n'ai pas perdu courage et j'ai toujours persisté dans la conviction d'avoir découvert le rapport exact du diamètre à la circonférence, comme je Tai prouvé à plusieurs savants, et comme je le prouverai à toute personne qui le contestera. Descartes a dit : La ligne droite et la ligne circulaire étant de natures différentes^ il ne peut y avoir nulle proportion entre elles (discours de Descartes). J'ai reconnu l'exactitude de ce raisonnement; dès lors, j'ai abandonné la ligne circulaire, en établissant mes opérations de la manière suivante : soit pris un carré de 4 centimètres de dianiètre et 4 centi*

JOSEPH LACOMME 149

mètres de côté, le côté du carré circonscrit au cercle est toujours égal au diamètre, puisque la tangente touche à la corde, comme on peut voir à la figure ci-après. En décomposant le carré en quatre parties, en mettant les quatre parties bouta bout, on aura i6 centimètres carrés, et on obtiendra un parallélogramme rectangle de I centimètre de largeur qui fera i6 centimètres carrés» et en donnant à ce carré 4 centimètres de hauteur, on obtiendra 64 centimètres cubes.

» Dès lors, je fais construire une boîte de i6 centimètres de long, I centimètre de large, 4 centimètres de hauteur, cette boîte contiendra 64 centimètres cubes ; et si je fais construire une mesure cylindrique de 4 centimètres de diamètre et 4 centimètres de hauteur, [la circonférence étant de 12 centimètres 5o, et en multipliant i2,5o par 4> qiii est sa hauteur, le cube de cette mesure cylindrique sera de 5o centimètres cubes]. Je remplis cette mesure d'eau, je la verse dans le prisme; le prisme n'étant pas plein, à l'aide d'un compartiment qui peut se mouvoir entre les deux parois du prisme, je presse le compartiment jusqu'à ce qu'il soit parfaitement plein ; cette mesure a été pleine quand le compartiment est arrivé à 12 centimètres 1/2, ou, en d'autres termes, à 12 centimètres 5o centièmes, j'ai conclu que le diamètre est à la circonférence comme 4 est à i2,5o, et comme 8 est à 25.

» Il en est de même pour tous les autres vases, en multipliant le diamètre par 3, divisant ce même diamètre par 8, et en ajoutant le quotient au produit de la multiplication, on aura toujours la circonférence du cercle parfaite,

» Plusieurs expériences m'ont donné toujours un résultat exact, et, en multipliant la circonférence du carré circonscrit au cercle, on aura la surface ou aire du

i5o DEUX QUADRATURES DU CERCLE

cercle. J'ai fait les expériences de 7 à 22, ou ii3 à 355, ou comme i est à 3,i4i6 ont donné un cube faux, alors j'ai conclu que toutes les méthodes des anciens sont fausses.... »

Nous avons placé entre crochets un passage qui doit être omis à la lecture, si on veut bien se pénétrer de la pensée du « mathématicien naturel». 11 n'est pas besoin de faire ressortir la naïveté et l'ignorance que révèlent l'emploi d'un semblable procédé. Le suivant est dans un autre genre tout aussi extraordinaire, et repose sur l'emploi d'un théorème qui a semblé, à première vue, vrai aux auteurs, et qu'ils croient alors avoir démontré.

Solution du Problème dEsLA quadrature du cercle, par Michel Miladowski et Antoine Izbicki. (Paris, 56, aux Batignolles. — Plaquette de 6 pages, i852.)

« Cette question, traitée par tant d'hommes et depuis tant de siècles infructueusement, donne assez d'avertissement à tout homme sensé de ne pas s'aventurer dans les recherches sur des voies jusqu'à présent. employées; car c'est impossible. Mais, cependant, cette occurence ne décide pas encore définitivement que la solution de cette question fût déjà impossible, même par des recherches sur toutes les autres voies.

)) A notre avis, la question de la quadrature du cercle peut être possible à résoudre en démontrant : que tout arc convexe à l'angle droit, détermine le quart du cercle tracé avec la moitié de son rayon.

j) Cette vérité paraît être la conséquence bien logique de ce que tout arc concave, à l'angle droit, détermine le quart du cercle formé dans la raison directe du rapport de cet arc à son entier (sa circonférence).

» Car, en effet, l'arc convexe ou, dans le sens inver&e.

MILADOWSKI, IZBICKI i5i

qiielepremier,à Tangle droit, devrait déterminer le quart du cercle aussi; mais formé dans la raison inverse du rapport de cet arc'à son entier; c'est-à-dire du cercle quatre fois plus petit que celui tracé avec le rayon de cet arc.

» La vérité résultante de la position de l'arc concave, à angle droit, ne peut pas être contestée ; puisqu'elle se démontre bien clairement d'une manière graphique. Mais il n'est pas de même de la résultante de la position de l'arc convexe à l'angle droit, parce que la démonstration graphique ne lui vient pas en aide.

» Cette dei'nière vérité, ne pouvant pas être démontrée de la manière graphique, se laissera-t-elle peut-être mettre en évidence, moyennant des combinaisons ? Si son existence est réelle dans la nature. Et ce n'est que dans ce but que nous posons le théorème ci-après.

» Théorème. Si dans le quadrans ABGD l'arc ABD tourne autour de sa corde AD, comme charnière, de manière à venir en AID, la surface AIDC ainsi déterminée, que nous pig. 6.

désignons par Xy est le quart du quadrans donné, ou le tiers de la figure ABDI, que nous désignons par s, »

On arrive à démontrer cette proposition, par des jeux étranges d'équations, et enfin on formule le théorème que voici :

Soit un carré de coté a, on construit l'hypoténuse 3

du triangle rectangle dont les côtés sont a et .Le

cercle inscrit au carre de côté g est équivalent au carré de côté a. Et cela revient à prendre