DES RÉDUCTIONS ALGÉBRIQUES

siesme i T l ). Je dis que le 4® terme proportionnel est incertain, car iceluy peut estre tout nombre quelquonque majeur à 4 ; veu que ' ( 2 j estant posée valoir 36; alors 4(0 + 5 vaudroit 29 (comme le suyvant problème l'apprendra) et i ( 1 j vaudroit 6 ; or le qua-

triesme proportionnel de ces trois, 36, 29 et 6, est 4 ^ ?

qui seroit aussi celuy des trois susmentionné, car que I r 2 J aye telle raison à 4 f 1 } + 5 comme » ( * )

à 4 ^ cela sera certain si on prend que i T i ) vaille 6.

La raison de cecy est que les nombres algebraiques sont quantités indéfinies, si on n'adjoinct quant et quant

leur valeur par supposition. Mais si je dis que i ( 2

est égale ou vaut autant que 4 ( 1 J + 5, alors i T i )

vaudra infailliblement un nombre certain et est 5. Et en ceste manière se devront entendre les problèmes suyvans en commençant au problème 68, car les deux

suyvans, le second terme estant (0 \ assavoir nombre

absolu, et tous les trois non meslés de nombres algebraiques et absolus par + et — , ont leur quatriesme proportionel certain. J'ay dit cy dessus que le quatriesme terme de l'exemple proposé est tout nombre quelquonque majeur à 4, c'est à dire que si Ton veut

que ce soit 6, 7, 8 ou 9, on prendra que 1(1) vaille

^~j ' Q> ï "7> ou I, etc. »

Y. — Une méthode d'approximation.

(Simon Stevin, p. 88.)

Simon Stevin.

« Estant donnez trois termes de nombres algebraiques quelconques, trouver, leur quatriesme proportionel, ou parfaict, ou avec infini approchement. »

« J'ay descrit (depuis le 66 problème jusqu'au 80) rinvention du quatriesme terme proportionel de trois algebraiques donnez, et cela si avant comme j'estime qu'icelle matière est cognuë. Mais j'ay puis après trouvé une reigle générale, pour de trois termes algebraiques

donnez trouver le quatriesme ou valeur de i Ti j par-

faicte ou avec infini approchement, ce qu'en la praticque nous donne quasi autant comme une opération qui consiste en sa parfaicte démonstration mathématique ; car comme les sinus sont en leurs tables imparfaicts, et toutesfois en la practique font comme si c'estoyent multinomies radicaux accomplis, ainsi se fait le semblable en ceste matière algebraique.

y> Le donné. Soyent donnez trois termes selon le problème tels :

le premier i TaJ, le second 3oo M ) + 38915024, le troisiesme i

y> Le requis. Il nous faut trouver leur quatriesme terme proportionel (i).

» Construction. Pour premièrement déclarer en général la méthode suivante, je di qu'on trouvera de

combien de charactères doit estre la valeur de iTl

laquelle multitude de charactères estant cognue, on trouvera puis après le premier charactère, qui sera un de ces neuf, i, 2, 3, 4» 5, 6, 7, 8, 9 ; puis se trouvera semblablement le deuxiesme, et tout les autres tant qu'il y eu a.

» Or pour venir à la chose, et premièrement trouver

de combien de charactères doit estre la valeur i ( 1

donnée, je mets pour icelle i, enquiers par le mesme

ce qu'il en sortira, disant, veu que i M ) fait i , les 3oo ( \ j

font 3oo, par le 67 problème. Aux mesmes adjousté 33915024, fait pour la valeur du deuxiesme terme

33915324. Et le premier terme, à sçavoir i fa), sera

tant seulement i; ce qui estant trop peu, parce que la valeur du premier terme doit estre égal avec la valeur du second, et pourtant je mets au second 10

pour la valeur de ifi)? et enquiers par le mesme

comme dessus, et trouve la valeur du second terme de 33918024, et le premier terme de 1000. Ce qui estant autrefois trop peu, je mets au troisiesme 100 pour

valeur de i (1). Le mesme estant aussi trop peu, je

mets au quatriesme 1000, par lequel je trouve le pre-

(1) Se reporter, pour la signification exacte du problème, à ce que dit Albert Girard à notre chapitre précédent.

mier terme trop grand : pourtant la valeur de i Ti j

est moindre que looo et majeur que loo, elle est donc nécessairement de trois charactères.

;^ Or estant cognu que la désirée valeur est de trois charactères, il faut que le premier soit un de ces neuf, i, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Mais il est cy dessus enquis avec le premier charactère i, à sçavoir avec loo, et trouvois trop peu; pourtant je l'essaye maintenant avec le premier charactère 2, mettant 200 pour valeur de i f 1 \ et

trouve trop peu. Je Tenquiers puis après avec 3oo, et vient aussi trop peu ; puis avec 4oo, et trouve trop, ce qui me dénote que le premier charactère doit estre 3.

» Or pour trouver le second charactère, il doit nécessairement estre ou o, i, 2, 3, 4> 5, 6, 7, 8, ou 9. Mais il est devant esprouvé avec le second charactère o, à sçavoir avec 3oo, et vint trop peu ; pourtant je mets maintenant le second charactère i, à sçavoir 3 10, et trouve trop peu; puis après 32o, vient aussi trop peu; puis 33o, et vient trop; ce qui nie signifie que le second charactère faut estre 2.

» Pour trouver maintenant le troisiesme charactère, il doit estre nécessairement ou o, i, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ou 9. Mais il est dessus enquis avec le troisiesme charactère o, à sçavoir par 32o, et vint trop peu; pourtant je mets maintenant le troisiesme charactère i, à sçavoir 321, et trouve trop peu; puis après 322, et vient aussi trop peu; puis 323, vient trop peu, puis après 324, ^t trouve par iceluy la valeur du premier terme, égal à la valeur du second, à sçavoir l'un et l'autre de 34012224.

Ce qui me démonstre que 324 est la valeur de i T 1 J, et

quatriesme terme proportîonel requis; car comme 34012224 valeur du premier à 34012224 valeur du second

terme, ainsi 324 valeur du troisiesme au quatriesme 824. » Corollaire. Il appert par le susdit, que quand la

valeur de i (ij est nombre entier, que la mesme valeur

se peut tousiour trouver parfaictement.

» Mais si le susdit compte n'eustpas venu ainsi précisément, comme par exemple, que le ^0 j ou nombre

arithmétique donné, au lieu de 38915024, eust tant seulement esté 33900000, alors 828 eust esté peu et 824

trop, ce qui me certifie que la valeur de i T i J fait 828

avec un rompu moindre que unité. Or pour trouver le

mesme rompu ou d'y approcher infiniment, je mets 828

avec encore un o, dessus une ligne comme numérateur,

et 10 dessoubs comme nommateur, en ceste sorte .

Ce rompu fait 828, qui estant trop peu, il faut que o du numérateur face o avec quelque reste, ou i, 2, 8, 4> 5, 6, 7, 8, ou 9. Le mesme charactère estant trouvé comme dessus, et qu'il y a encore quelque superflu, on adjoustera au numérateur et nominateur autrefois o, enquirant comme dessus, ce que doit venir au lieu d'iceluy

du numérateur. Et procédant ainsi infiniment. Ton approche infiniment plus près au requis.

» Mais si la désirée valeur de i T 1 ^ fut rompu moindre

que unité, l'on enquestera premièrement avec — ,.qui

estant trop ffrand avec — , puis après , etc. Or

posé le cas que — fut trop grand, mais trop

petit, cecy me certifie que dessus le nominateur loooo doit venir un nombre comme numérateur majeur que

1 et moindre que 10 : le mesme sera nécessairement un

charactère, comme i avec quelque superflu, ou 2, 3, 4, 5» 6> 7» 8, ou 9. Iceluy charactère estant trouvé au plus près et moindre, et qu'il y a encore quelque résidu, Ton agrandira numérateur et nominateur chascun d'un o, enquirant puis après comme dessus, ce que doit estre icelui dernier o du numérateur, et ainsi des autres.

» Avisez encore qu'estant la valeur de i T 1 ^ nombre

rompu, il peut avenir qu'on pourra approcher infiniment au requis, sans toutesfois par ceste manière pouvoir parvenir à la parfaicte solution. Comme par exemple

fust ^, et que

l'on [vaei le nominateur selon la susdicte règle, 'on

trouve que dessus le mesme 10 faut venir 8, en ceste

sorte — . Mais parce qu'il est trop peu, je mets près de

chascun nombre o, ainsi — -, et cerchant puis après quel

charactère doit venir au lieu de o du numérateur, je

trouve au plus près et moindre 3, ainsi — . Et faisant ^ ^ 100

le semblable au troisiesme, îe trouve ; et au qua-

triesme . Et procédant ainsi avec les autres, l'on

voit qu'on peut infiniment approcher, sans toutesfois

parvenir aux ^ accomplies, à cause qu'il n'y a nul nombre

entier en telle raison à 10, 100, ou 1000 (et semblables desquels le premier charactère est i, avec les suivans o), comme 5 à 6.

» Nous pourrions encore donner exemples là où la

valeur de 1(1) est de nombres radicaux à nombre

arithmétique incommensurables : mais veu que Pinfini approchement est assez notoire par les précédens, il ne semble point mestier d'en faire propres déclarations. » Or estant tous les susdicts exemples notoires par leur opération, nous n'en faisons point des particulières démonstrations. Conclusion. Estant doncques donnez trois termes de nombres algebraiques quelconques, nous avons trouvé leur quatriesme proportionel, ou parfaictement, ou par infini approchement, ce qu'il falloit faire. »

VI, — Préface de la traduction de Diophante d'Alexandrie.

Simon Stévin,

Les six premiers livres de Diophante d'Alexandrie

Dont les quatre premiers sont traduicts en langue Françoise : et expliquez par Simon Stevin de Bruges. Et les deux derniers par Albert Girard, Samielois.

Préface de Stevin.

« Il est vray, que nous avons descript cy devant, plusieurs exemples d'Algèbre, qui pourroyent suffire à leur problème, d'autant plus que bonne partie d'iceux contiennent double utilité. Au premier qu'ils déclarent le style et la manière requise en opération Algebraique. Au second qu'ils servent aux origines des constructions des precedens problèmes, demonstrans ainsi les causes des choses : neantmoins voulans en tout plus abondamment satisfaire, et donner plus de contentement aux singuliers esprits, qui se pourroyent complaindre de la petite quantité de subtiles questions, il m'a semblé bon de conjoindre à ce 8i problème (i), comme pour exemples du mesme, les quatre premiers livres de Diophante, tant pour leurs tressubtiles et habiles ope-

(1) Stevin résout en effet, précédemment, 8i problèmes sur les équations.

aoa PRÉFACE DE DIOPHANTE D* ALEXANDRIE

rations, comme aussi qu'ils n'ont encore esté divulgez, que je sçache, en langue Françoise.

» Or Diophante environ le commencement de son premier livre, se dict comprendre son Arithmétique en i3 livres, lesquels aucuns affirment tous exister. Et entre autres Jehan de Regiomonte se dict les avoir veu à la Vaticane Bibliothèque de Rome ; mais les six premiers sont pour le présent seulement venuz en lumière, transferez de langue Greque en Latine, par Guillaume Xylandre, et par le mesme diligemment expliquez. Sur les deux premiers a commenté Maxime Planude. Suide et autres disent, que Hypatheia femme philosophe et Royne d'Alexandrie en a aussi tresdoctement commentée, mais ses œuvres ne sont point encore divulgées.

y> Or desdicts six livres, nous convertirons seulement le Premier, Second, Troisiesme, et Quatriesme, laissant le Gincquiesme, et Sixiesme, pour empeschement d'autres occupations plus nécessaires. Quant au texte de Diophante, nous ne nous obligerons pas tant à la lettre, qu'au sens d'iceluy, et ce pour deux raisons : Premièrement que l'exemplaire Grecq duquel Xylandre l'avoit translaté, a esté (par le souvent rescrire, comme il semble) si rempli de vices (dont Xylandre s*en complaint souventesfois) que le texte de Diophante, ne se pourroit expliquer de mot à mot : Au second que nous avons voulu diriger les mesmes questions, en forme et disposition comme les précédentes. Quant aux nombres proposez du premier livre (qui est de questions n'ayans qu'une solution) nous les avons changé, et mis en leurs lieux des moindres : Des autres livres dont les questions ont solutions en multitude infinie, nous avons prinsles mesmes nombres. »

vu. — Albert Girard tire parti des fractions continues,

Albert Girard.

« Voilà en somme les six livres d'Algèbre de Diophante laquelle a donné entrée en l'Algèbre générale ou plustost à l'Analytique, par laquelle se parfaict ce ce problème des problèmes qui se prononce. Résoudre tout problème quelconque proposé.

» Devant que de mettre fin à ceste œuvre j'ay bien voulu mettre quelques applications régulières, qui ne sont pas de peu d'efTect, en la resolution de plusieurs propositions, et soit posé B, plus grand que D : et notez que deux lettres joinctes ensemble sans l'intervention d'aucun poinct ou autre marque, signifie le produict des mesmes.

)) S^ensuwent quelques applicatioiis régulières^ de quelques binômes, ou si Von veut multiplications dont le multiplicateur et le produict sont binômes. Et faut noter que les noms de chascun multin. sont continuellement proportionauXy dont les extrêmes sont puissances de telle dénominateur de quantité^ qu'il y a de noms moins un.

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