COSTEZ COMPRENANT L'ANGLE
BDi quand l'angle est de 90 degrez.
BD3-j-D(?3+B^ BDa + B^ BD4 + D^3 + B^ quand
ou lien BDa -|- Dq'^ l'angle est de 60 degrez. BD3+D^3+Bg BDa + B^ BDa + D^3 quand Tangle
est de 120 degrez.
Autrement
B^ + BD + D^ BDa + D^
ou bien Bq — Dq B^ + BD+D^ BDa+DjT
BDa -|- Bg' de 60 degrez.
B^ — Dq de \io degrez.
» Puis que suis entré en la matière des nombres
SIMON STEVIN, ALBERT GIRARD ao5
rationaux j'adjousteray encor deux ou trois particularitez non encor par cy devant practiquées, comme d'explicquer les radicaux extrêmement près, par certains nombres à ce plus aptes et idoines que les autres, tel» lement que si l'on entreprenoit les mesmes choses par des autres nombres ce ne seroit sans grandement augmenter le nombre des characteres ; et pour exemple soit proposé d'explicquer par des rationaux la raison des segmens de la ligne coupée en la moyenne et extrême raison, soitfaicte unetelle progression©, 1,1,2, 3,5,8, i3, 21, etc. dont chasque nombre soit égal aux deux precedens, alors deux nombres pï-is immédiatement denotteront la mesme raison, comme 5 à 8 ou 8 à i3, etc. et tant plus grands, tant plus près, comme ces deux 59475986. et 96234155, tellement que i3, i3, 21 constituent assez précisément un triangle Isosceles ayant l'angle du pentagone ; Item pour l'extraction de la racine quarrée des nombres non quarrez, comme la
racine de 2 c est 7— g, voulez vous plus près — ^; et ainsi
en l'infini comme on pourroit prendre des si grands
nombres qu'on voudroit; la racine de 10 est 3 tt-^ — ^, ^ 020770
bien près, car son quarré est — ^ — TâK9. — S *^^^P> ^^^ ®^^ une chose de nulle estime, comme d'autre costé en la disme le quarré de 163574218751 Ti J est tres-pres de
2675652504 Ti^jï mais combien s'en faut il ? seulement
I (i^j, en somme le manière de remettre en petits
nombres une raison explicquée par grands nombres, et ayans trespres la mesme vigueur, et sous un mesme genre, comme le 7 à 22 d'Archimedes, et pour ne point passer les limites^nou^^mettrons icyla fin, advertissant
2o6 LES FRACTIONS CONTINUES
le lecteur qu'il ne se mesconteiite s'il n'a trouvé des fleurs de Retorique en un lardin là ou le champ du discours n'a nullement esté labouré, laissant les mesmes là ou on les doibt cercher. »
Commentaire du texte précédent.
Reprenons point par point les calculs d'Albert Girard.
I. — Le premier tableau nous indique les quotients d'un certain nombre de binômes par B + D : les résultats sont exacts, à part le cinquième, qu'il faut lire, avec notre notation,
B6 — A*D + B^D* — B*D3 -f BD* — D«.
II. — Le deuxième tableau donne des résultats analogues, le quotient étant cette fois B — D : ils sont tous exacts. La loi de succession des termes, dans ces deux séries d'exemples, est explicitée dans le titre.
III. — Les éléments constitutifs de certains triangles correspondent bien à des résultats exacts, ainsi qu'il est aisé de le vérifier.
IV. — J'arrive à l'usage de la série o, i, i, 2, 3, 5, 8, i3, 21, etc. dite de Fibonacci (Léonard de Pise). Si l'on considère un triangle isocèle dont l'angle au sommet vaille 108®, le rapport du côté à la base est égal à
fraction continue dont les réduites successives sont
ce qui vérifie l'assertion d'Albert Girard.
Les nombres 59475986 et 96234155 sont inexacts et doivent être remplacés par 68245986 et io2334i55. Estil bien invraisemblable de supposer que cette erreur viendrait de ce que, considérant la suite i, 2, 3,5,8, i3, 21,..., Albert Girard aurait écrit, comme vingt- cinquième terme, le nombre 11 1893 pour 12 1393? Cette omission d'une unité du cinquième ordre donnerait, au bout de treize opérations subséquentes, une nouvelle erreur de 377 unités du même ordre, et au bout de quatorze opérations une erreur de 610 unités. Or on a bien
Il ressort déjà de ce calcul qu'Albert Girard n'a pas ignoré le rôle et le mode de formation des fractions
continues (i). La fraction est évidemment très
simple, mais ce n'est pas la seule qui semblerait avoir été employée ici, ainsi que nous allons voir. V. — La racine de 2 s'écrit en fraction continue
La huitième réduite est t^* la neuvième —77=-, nombres
indiqués par Albert Girard.
VL — Mais voici quelque chose de plus remarquable.
(i) Bulletin de la Société mathématique de France, t. XXIII, 189$.
ao8 LES FRACTIONS CONTINUES
On à
La huitième réduite est
Nous disons, d'après des théorèmes connus, i® que
cette réduite d'ordre pair est supérieure à sfiôj 2** que Terreur commise en la prenant comme valeur de la fraction est inférieure à
Or ces deux assertions sont dans le texte d'Albert Girard.
