Théorèmes de Lagrange et d'Huyghens
i°. — Rapport des distances focales.
Au § 99 nous avons démontré la formule générale :
Appliquons-la au système formé d'un nombre quelconque de dioptres. Pour chaque dioptre, les distances focales sont de même signe
et proportionnelles aux indices des milieux correspondants (§ 80). Pour former q dioptres, il faut q -f- 1 milieux dont nous représentons lep indices par n , » 4 , ... n q . On a 1 :
f\n* û—!h A— 5lzJ
JD'où : f:f = n :n q
Quel que soit le système, les distances focales sont proportionnelles aux indices des milieux extrêmes correspondants. Si les milieux extrêmes sont identiques, les distances focales sont égales.
Dans tous les cas elles sont de même signe.
Cela veut dire que si le plan principal objet est à droite du foyer de l'espace objet, le plan principal image est à gauche du foyer de l'espace image ; ou inversement. Mais les plans principaux peuvent êlre placés n'importe comment l'un par rapport à l'autre ; celui qui correspond au milieu extrême de droite n'est pas nécessairement à droite de celui qui correspond au milieu extrême de gauche.
2°. — Théorème de Làgrange.
Un système quelconque est donné par ses plans principaux et ses foyers (fig. 153). Soit O une longueur dans un plan de front P de l'espace objet; soit I la longueur conjuguée du plan de front P / de l'espace image. On a :
°P—f Pf P n , I- f -pf-p'n:
en vertu du théorème précédent.
Fig. 153.
Par les points A, A\ des plans de front conjugués P t P', menons des rayons conjugués quelconques AB, B'A'. On a :
h=ptgu =p'tgu r
D'où : On tgu = \n q . tgu q -
Cette formule contient le théorème de Làgrange.
Gomme le système n'est aplanétique que pour de petits angles
LENTILLES EPAISSES ET SYSTEMES DE LENTILLES
w© ©t u v la formule se réduit pratiquement à :
On u =ln q u r
Si les indices des milieux extrêmes sont égaux, le grossissement g=l : O, mesure le rapport des angles au sommet des cônes respectivement émis et reçu par deux points conjugués pris sur Taxe du système.
3°. — Théorème d'Huyghens.
Je laisse au lecteur le soin de généraliser le théorème suivant d'Huyghens : quand on interverlit lés positions de l'objet O et de l'œil Q» pour un système quelconque dont les milieux extrêmes sont identiques, les images I sont vues sous le même angle a; elles sont toutes deux droites ou renversées.
Soient p t et p % les distances de l'objet et de l'œil aux plans principaux du système optique.' On a :
L'œil voit l'image sous l'angle :
a = ; = jr •
/>.—/>. PiP* — tKPi+PÙ
L'expression est symétrique en p p t , ce qui démontre le théorème.
Fig. 154
Le figure 154 suppose le système optique réduit à une lentille mince.
Détermination des caractéristiques des systèmes.
117. ' — Détermination des caractéristiques d'un système optique*
i # . — Toutes les opérations qui suivent sont effectuées avec le banc d'optique à l'aide d'un viseur ou d'un microscope à long foyer*
L'expérience élémentaire qui re/ient un grand nombre de fois, consiste à déterminer la distance PI d'un point matériel P et d'une image 1 : pour cela on amène successivement les images à travers le viseur, P' du point et I' de l'image (jouant le rôle d'objet), à se former sur la croisée des fils du réticule de ce viseur, comme il est expliqué au % 8. On est forcé de déplacer le viseur le long du banc d'optique précisément de la distance IP à mesurer. Peu importe la constitution et le mécanisme du viseur et du microscope (nous Têtudions dans notre Cours sur la Construction...) : nous n'utilisons ici que le fait qu'à des images situées de même dans le viseur (ou le microscope) correspondent des objets lumineux (ou des images jouant le rôle d'objets) situés de même par rapport à lui.
Pour déterminer les foyers principaux, nous avons besoin d'un objet très éloigné. Comme il serait incommode de le prendre réellement très éloigné, nous réalisons une image à l'infini d'un objet rapproché. Pour cela nous utilisons un collimateur : c'est tout sim-
L Collimateur
T Sens delà htmière
Fig. 155.
plement une lentille L (fig. 155) (en réalité, un système achromatique ; peu importe pour le moment) dans le plan focal duquel nous plaçons un objet D. C'est généralement une fente lumineuse, mais ce peut être un dessin tracé sur du papier calque, collé sur un bout de glace et fortement éclairé. Pour régler le collimateur, nous réglons le viseur sur des objets éloignés, puis nous réglons le dessin D par rapport à la lentille L de manière à le voir nettement avec le viseur à travers la lentille : c'est l'application du principe ci-dessus énoncé.
2°. — Ceci posé, soit à étudier le système optique centré A constitué, par exemple, par deux lentilles fixées à quelque distance l'une de l'autre dans un tube T. Avec quelques sous on construit aisément de tels systèmes pour les manipulations.
Les éléments cardinaux de ce système doivent être évidemment rapportés aux parties matérielles accessibles. On choisit naturellement les sommets R et r. On ramène ces origines l'une à l'autre par la détermination de V épaisseur Rr au moyen d'un compas d'épaisseur. On matérialise les sommets au moyen de deux petites croix tracées à l'encre sur les surfaces extérieures de l'appareil.
On dispose le long du banc le collimateur réglé sur l'ififini, l'appareil à étudier, enfin le viseur ou microscope à long foyer réglé pour une distance de 10 à 15 cm. par exemple : c'est dire que l'image d'un point P situé à 10 ou 15 cm. en avant de lui, se fait dans le plan du réticule.
lentilles épaisses et systemes de lentilles 173
3°. — Foyers principaux.
L'image D' de l'objet D à travers L est par hypothèse à l'infini ; D' joue le rôle d'objet par rapport au système A qui en donne une image D" en son foyer F. La détermination de ce foyer par rapport au sommet R revient à mesurer la distance FR comme nous l'avons dit plus haut.
On approche le microscope du système A jusqu'à voir sur le réticule l'image de la croix R, puis on l'éloigné jusqu'à voir sur le réticule l'image du dessin.
Le déplacement est précisément égal à FR.
On retourne l'appareil A ; on recommence l'expérience.
On détermine ainsi la distance FV.
Les distances FR et FV peuvent différer beaucoup des distances focales principales. Celles-ci sont mesurées, non pas à partir des sommets, mais à partir des plans principaux; or, ces plans ne sont généralement pas tangents aux sommets.
4°. — Plans principaux.
Nous voici donc ramenés à déterminer la position des plans principaux.
a) Supprimons le collimateur, plaçons un objet*lumineux à une distance connue du point r, par suite à une distance connue x' du point F'.' L'image se forme à la distance a; de F donnée par la formule de Newton (§ 95) :
xx'=ff'.
Mesurons .r; nous avons la valeur du produit ff 1 .
On peut recommencer l'expérience après avoir déplacé l'objet, c^est-à-dire pour d'autres valeurs de x. On obtient ainsi des vérifications ; mais pour grand que soit le nombre d'expériences, elles ne permettent pas de séparer le produit ff en ses facteurs fet f.
b) On prend pour objet une règle graduée. Par un procédé quelconque] (voir § 73), on détermine le grossissement latéral ? (rapport de l'image à l'objet, § 93) :
Connaissant ?, x et x f , on calcule f et f .
On sait d'après l'expérience du 3° si le système est convergent ou divergent (si ses foyers sont réels ou virtuels). Il n'y a donc aucune ambiguïté pour placer convenablement les plans principaux par rapport aux foyers.
