Discussion -de la formule

1. — Posons que le rayon passe de l'air (indice = 1) dans un milieu d'indice n. On a :

sin i=nsinr.

Pour tous les solides et les liquides transparents, ;i>l. Donc

/•<*. Le réfracté existe toujours; sa direction est moins inclinée

sur la normale dans le milieu le plus réfringent (celui dont l'indice

est le plus grand).

^ dr cos i

On a : —=-■==

ai yV — sin 2 /

Fig. 48.

La relation i = f(r), est représentée dans la figure 48; elle suppose « = 1,33 = 4 : 3.

REFRACTION. PRISME

Quand i est petit, on peut confondre les sinus et les arcs ; la courbe est tangente à la droite i — nr. Dans le cas de l'eau : ra = 4 : 3,

Pour £=90°, dr : di=>0.

La courbe aboutit horizontalement à son point d'arrêt. La valeur que r prend alors, s'appelle angle limite :

L = arcsin (1 : n).

Voici sa valeur numérique dans quelques cas :

Verre léger (crown) n = 1,53 L = 41° environ.

Verre lourd (flint) ti = 1 ,66 L '== 37° —

Eau 11 = 1,33 L = 49° —

Tous les rayons frappant l'intersurface en un point A donnent des réfractés contenus dans un cône de révolution BAC (fig. 49) dont Taxe AN est normal à la surface et dont le demi-angle au som- âJT met est L.

Ce qui précède reste vrai quel que soit le premier milieu, pourvu qu'on ait n à > n^

Il suffit d'écrire : n = n 2 : n t .

2°. — Éludions le cas.où le rayon passe du milieu d'indice n dans -D^ 1 air.

En vertu du principe du retour des rayons, la figure 48 représente encore la relation i=f[r\ entre l'angle d'incidence r et de réfraction L

A tout incident contenu dans le cône BAC correspond un réfracté.

Lorsque l'incidence r dans le milieu djindice n est supérieure à l'angle limite, l'équation :

sin i=n sin r

donne pour i un angle imaginaire. '

Effectivement l'expérience montre qu'il n'y a pas de réfracté correspondant à l'incident DA; le rayon réfléchi AD' existe seul.

Dans le cas général l'énergie transportée par l'incident se partage entre le réfléchi et le réfracté ; dans le cas particulier que nous étudions, l'énergie se retrouve tout entière dans le réfléchi : la réflexion est totale.

Par exetnple, un rayon qui se propage dans l'eau, ne passe dans l'air que s'il fait avec la pormale à l'intersurface un' angle inférieur à 49°, tandis que tout rayon se propageant dans l'air pénètre dans l'eau.

3°. — CoirsTRUCTicm gboîtétrï^uk.

Pour avoir le réfracté OB ccmj«g»c de l'incident ROA par rapport à l'intersurface XX, menons deux circonférences de rayons 1 et ».

tce*n

Indice * /

Fig. 50.

Par le point a où OA coupe la circonférence 1, menons la normale à XX. Elle coupe la circonférence n au point b.

Je dis que Qb est le rayon cherché.

En effet, on a :

d'où :

OD=Ofl. sin i=Ob. sin r\ sin i=n sin r.

Je laisse au lecteur le soin de discuter les phénomènes sur cette figure, en particulier de construire l'angle limite L.

36. Expériences sur la réflexion totale. Fontaines lumineuses.

i°. — L'expérience fondamentale sur la réflexion totale consiste à envoyer un faisceau lumineux normalement à une des faces d'un prisme de verre isocèle rectangle (fig. 53 en haut et à droite). Il ne sort pas de lumière par la face hypoténuse ; le faisceau émerge en quasi-totalité par l'autre face adjacente à angle droit.

Un tel prisme constitue donc un excellent miroir, que nous utiliserons comme tel dans une infinité d'appareils [prisme dit à réflexion totale.

Le lecteur vérifiera qu'on peut mettre le doigt hors du prisme, tout près de la face réfléchissante, sans qu'il soit visible. Si le doigt touche la surface, surtout s'il est humide, il y a contact optique : le phénomène est modifié; la réflexion totale disparaît.

Voici une jolie expérience de Bouguer.

Dans un verre V de Bohême, cylindrique, on met du mercure et

RÉFRACTION. PRISME

de l'eau. En disposant une bougie et l'œil comme l'indique la figure, on peut voir la bougie successivement par jéflexion sur le mercure et sur l'iirtersurface eauair du côté de l'eau. Dans les deux expériences, l'image paraît avoir le même éclat. On prendra le vase assez large pour que la surface du mercure soit plane dans sa partie centrale : elle est en effet fortement modifiée par la capillarité au voisinage de la paroi.

Plaçons l'œil en O. Ap- Fig 51#

prochons du point À une

allumette enflammée : nous ne la voyons pas. Nous sommes prévenus qu'elle atteint l'eau par le grésillement caractéristique. Pourtant de voir la bougie B par réflexion prouve que du point O nous pouvons voir le point A de l'intersurface eau-air.

2°. — Avec deux glaces sans tain de 15x10 centimètres (telles qu'on les trouve pour quelques sous dans les déchets des miroitiers), construisons une cuve très plate A de 5 mm. d'épaisseur, fermée

sur trois côtés par trois baguettes de glace collées au baume du Canada, ou par des bandes de liège collées à la gomme arabique, mais recouvertes de paraffine.

Plongeons la cuve vide dans une cuve B remplie d'eau, de manière que ses bords supérieurs soient hors de l'eau et ses faces latérales verticales.

A travers l'ensemble, projetons une fente F fortement éclairée. La lentille L en donne une image réelle en F'.

L'expérience montre qu'à partir d'une certaine inclinaison *', rien ne traverse la cuve. Avec la lumière blanche, l'image, avant de disparaître, passe par le jaune, l'orangé et le rouge extrême du spectre.

Calculons l'angle i.

[Vf" • i

ife J

tf-

Sri-

Soit n i l'indice de l'eau, n 2 l'indice du verre formant les glaces:

On a : n i sin i=n 2 sin r=l, sin 1 = 1:71!.

L'indice du verre n'intervient pas; l'angle i est l'angle limite qui convient à l'eau (49°). »

Cette expérience permet de mesurer rapidement l'indice des liquides. On fait tourner la Jàme dans les deux sens jusqu'à ce que la lumière disparaisse. L'angle des azimuts de disparition égale 2i. C'est une excellente manipulation.

3°. — Fontaines lumineuses.

Dans la paroi d'un vase de fer-blanc (tel qu'un vieux bidon à

essence) on perce uti trou sur lequel on mastique une lentille L.

En face on en perce un autre sur lequel on soude un ajutage métallique. On remplit d'eau; l'eau s'écoule sous forme de jet.

On éclaire au moyen d'un arc.

Le jet est obscur tant qu'il reste lisse, la lumière se réfléchit totalement sur l'intersurface eau-air.

La lumière jaillit au point où le jet se divise en gouttelettes.

Quand l'eau est trouble, le jet devient lumineux dans sa partie lisse, à cause de la lumière diffusée ou diffractée.

2°. — Ce que verrait un plongeur.

Un plongeur est couché horizontalement sur le fond d'un bassin dont l'eau est tranquille. Son œil est en O; on demande ce qu'il voit. L'indice de l'eau est 1,33; l'angle limite est L = 48°35'. II est d'abord évident que le phénomène est de révolution autour de la verticale OV. Ne considérons donc que la partie comprise entre deux plans P, P', passant par OV et faisant un très petit angle : P est le plan du tableau. Traçons deux circonférences concentriques de rayons VA, VB. Les circonférences et les plans PP' découpent un petit quadrilatère sur la surface libre VS de l'eau. Cherchons ce que le plongeur voit se projeter sur ce quadrilatère.

Par réflexion, il voit une portion semblable du fond du bassin. L'éclairement de cette portion croit à mesure que l'angle d'incidence r croît. A partir du point G' tel que /=L, toute la lumière émise par le fond dans les directions qui atteignent l'œil, se réfléchit : il y a réflexion totale.

Par réfraction, il voit les objets extérieurs écrasés clans le sens de la hauteur, et d'autant plus que r est plus grand.

En effet, il voit dans l'angle dr ce qui se trouve extérieurement dans l'angle di qui est plus grand (voir § 35 et fig. 48).

Le rapport dr : di tend vers zéro quand r tend l'angle limite.

Fig. 53.

RÉFRACTION. PRISME

Tous les objets extérieurs se projettent pour lui sur une portion circulaire de la surface libre dont le rayon est VC. On a :

VC=e tgh = e:\'n 9 — 1.

7777777777777ffl7ffl77M77m7mmmmv7

Fig. 54.

La portion CS extérieure au cercle qui vient d'être défini, semble opaque pour la réfraction; mais c'est un miroir parfaitement réfléchissant. Nous retrouverons le même problème en Optique géométrique supérieure.

37. Vision d'un objet placé dans un milieu plus réfringent que l'air.

1 °. — Un bassin rempli d'eau semble moins profond que lorsqu'il

est vide ; les poissons vus dans l'eau paraissent aplatis dans le sens vertical.

Tout point situé dans l'eau paraît au-dessus c(e sa position véritable pour un observateur placé dans l'air. Les lois de la réfraction expliquent ces apparences. Nous étudierons plus tard le cas général; limitons -nous pour le moment à l'étude des rayonç quasi normaux à l'intersurface. Rappelons qu'un point lumineux parait être à l'endroit d'où semblent partir les rayons dont il est l'origine, dans la partie

Fiff. 5

de leur trajet qui précède immédiatement l'œil.

Autrement dit, nous situons l'objet là où se forme sa dernière image.

2". — Soit A le point lumineux. Seule est utile la partie du faisceau émis qui pénètre dans la. pupille oo '. Elle forme dans l'eau un cône Aab qui se réfracte en traversant J'intersurface et se transforma en un cône aboo de sommet A'. Le point A esl vu en A'; le point A' est plus près de la surface que le point A, parce qu'un rayon lumineux, kbo' par exemple, est "plus écarté de la normale après réfraction qu'il ne l'était avant.

La position du point A' se calcule aisément.

Posons : cA— /), cA'=p'.

Les angles i et r étant petits par hypothèse, on a : pr=p'i, i=nr; d'où r p = np'.

Le rapprochement est : AA'— j? — p'—P ■

Pour l'eau n = M3; (n — 1): n— 0,25.

Le point A est rapproché du quart de sa distance à la surface libre.

S'il est à 40 cm. au-dessous de la surface, on le voit à 3{Tcm. .j*. — L'expérience est disposée comme l'indique la figure 50.

Une lentille L donne' une image réelle A' d'un point A.' Dans l'air le miroir M en donne une image A" qu'on repère avec un écran.

REFRACTION. PRISME

0» dispose alors une éprouvette £ pleine d'une solution de fluorescéine. On obtient de l'image A" jouant le rôle d'objet virtuel une image A", plus éloignée de la surface libre daas Le rapport de 4 à 3.