RÉFRACTION PAU UNE SURFACE SPHÉRIQUE

{il) 65

Représentation des objets par une surface réfringente sphérique.

Quand, par la suite, il sera question d'objets dont les images sont produites par des surfaces courbes réfringentes, il est entendu, une fois pour toutes, que ce sont des objets plans, situés perpendiculairement à l'axe du système et tels que, d'une part, tous les rayons qu'ils émettent tombent à peu près normalement sur la surface courbe et que, d'autre part , ces rayons fassent de très-petits angles avec l'axe.

Quand une surface réfringente sphérique donne une image d'un point lumineux, nous pouvons prendre pour axe la ligne qui joint ce point au centre. Quand il y a en présence de la surface un objet tel que nous l'avons défini quelques lignes plus haut, nous devons prendre pour axe la perpendiculaire abaissée du centre de la sphère sur le plan de l'objet.

Soit (fig. 28) pr l'axe, sp une droite perpendiculaire à pr et figurant une section du plan de l'objet, s un point lumineux voisin de l'axe, a le centre de la

Fig. 28.

surface réfringente, / l'image de s. Il s'agit de déterminer la position du point t par deux coordonnées rectangulaires ra et rt, la première parallèle et la seconde perpendiculaire à l'axe.

^ Faisons préalablement abstraction de p et des autres points lumineux de l'objet sp; il résulte de ce qu'on a déjà vu que l'image t de 5 doit se trouver sur le prolongement de la ligne qui joint les points s et a, de telle sorte que sa et al forment une ligne droite.

Désignons sa par y' et al par /', d'après l'équation 3 c) on a

Désignons de plus pa par g', ar par x et l'angle sap par a, on a :

COS a

cos a

Les valeurs de y' et y" transportées dans l'équation U) donnent :

cos

Comme, d'après notre supposition sur la grandeur des objets à représenter

l'angle a doit être très-petit, cos a ne diffère de 1 que par un infiniment petit du second ordre, et peut-être approximativement égalé à 1. Alors il vient :

g oc

Mais, d'autre part, si g" est la distance de a à l'image du point p, on a :

donc x — g") • 5).

Le pied de la perpendiculaire tr est donc l'image du point p.

Les images des points compris dans un plan mené perpendiculairement à l'axe par le point p sont donc aussi comprises approximativement dans un plan perpendiculaire à l'axe et mené par l'image du point p.

Si l'on a donc cherché d'abord l'image r du point p, et qu'on a mené par r un plan perpendiculaire à l'axe, il suffit, pour trouver la position des images des différents points de l'objet lumineux, de joindre par des lignes droites ces points au centre de la surface : les intersections de ces droites avec le plan mené par r sont les différents points de l'image.

De cette construction, il résulte, en vertu de propriétés géométriques bien connues, que l'image est semblable à l'objet.

Il en résulte aussi facilement la connaissance du rapport des dimensions linéaires de l'objet à celles de son image. Nommons, par exemple, (3' la ligne sp qui est une dimension linéaire de l'objet, et — (3" la dimension tr correspondante de l'image (nous mettons le signe —, parce que la ligne considérée est de l'autre côté de l'axe), on a :

ou, en tenant compte de la seconde des équations 3 c) :

l^J&^SïJL] 6a),

ou, de même, en tenant compte de la première des équations 3 c) :

Quand la surface réfringente est plane, les distances focales deviennent infinies, et l'équation 6 b) devient :

L'image que donne une surface réfringente plane est donc de même grandeur que l'objet.

RÉFRACTION PAR UN F. SURFACE SPHÉHIQUIi.

Généralisât ion des formules précédcntss.

Nous commencerons par appliquer au cas actuel les notions, définies plus haut, des foyers, des points principaux et des points nodaux.

Les foyers sont les points où se réunissent les rayons qui sont parallèles à l'axe dans le premier ou le second milieu. Les distances /" cl F" des deux foyers au sommet de la surface réfringente et les distances G' et G" de ces points au centre de cette surface ont déjà été exprimées par les équations 3 a) et 3 b), et, 'par là, leur position a été définie.

Les plans focaux sont des plans perpendiculaires à l'axe passant par les foyers. Comme l'image de chacun des foyers est à l'infini, la même chose doit avoir lieu pour les points des plans focaux qui sont suffisamment près de l'axe pour pouvoir donner des images régulières. Les rayons partis d'un point de l'un des plans focaux sont donc parallèles après réfraction.

Les points principaux et les plans menés perpendiculairement à l'axe par ces points, ou plans principaux, sont caractérisés par ce fait que des images situées dans ces plans sont de même grandeur et placées de même. On a donc, pour les plans principaux, (3' =(3", ce qui, d'après les équations 6 b), ne peut avoir lieu que pour f = oetf"= o, conditions qui, d'après les équations 3d), se réduisent à une seule. Dans le cas qui nous occupe, les points principaux coïncident donc avec le point où l'axe rencontre la surface réfringente, et ce point principal est sa propre image.

Les points nodaux sont définis par cette condition que tout rayon qui, avant réfraction, passe par le premier d'entre eux, passe, après réfraction, par le second, et prend alors une direction parallèle à sa direction primitive. Dans le cas actuel, ils se réduisent également à un, qui est le centre de la sphère. En effet, un rayon qui, dans le premier milieu, se dirige vers le centre de la sphère , n'est pas réfracté à son entrée dans le second milieu ; il passe donc par le centre en restant parallèle à sa direction primitive.

Les constructions pour obtenir la direction des rayons, qui ont été déduites plus haut des définitions des plans et points cardinaux, s'appliquent au cas d'une seule surface réfringente et se simplifient par ces circonstances que chaque point du premier plan principal étant sa propre image, on n'a plus besoin de chercher

Fig. 29.

cette image dans le second plan principal, et que le rayon qui va vers le premier point nodal se prolongeant en ligne droite, on n'a pas besoin de lui mener une parallèle par le second point nodal.

Nous avons établi en 3 c) deux équations d'une forme analogue, mais qui sup-

68 (i9) PREMIÈRE PARTIE. - DIOPTRIQUE DE L'OEIL. § 9.

posent qu'on soit parti de points différents pour mesurer les distances des images Nous obtenons toujours des équations de cette même forme si simple, en mesurant à partir d'un point arbitraire s de l'axe (fig. 29) les distances des points de concours relatifs au premier milieu, et à partir de l'image t de ce point, les distances des points de concours relatifs au second milieu.

Soit en effet t l'image de s, q celle de p, Pt le premier foyer principal, P, le second, et désignons désormais (fig. 29) :

«o par/', popartp', P.oparF',

ta par/", gaparcp", P2a par F",

on a f> ~ f

Désignons de plus :

ps par h', PjS par — H',

gtpar — h", P2tpar — fî",

ou, en d'autres termes, posons :

fn — f< = h"

pu f — H" 0-

Substituant dans (S) les valeurs de «p' et de «p" tirées de y) et de S), on obtient :

ou 2?' (ft<< + f") + F" (.';' + f) = 0 + f) (/>" + /")•

D'autre part, de a) on peut tirer :

F' f + F" f = f /"; retrancbant membre à membre, il vient :

F' h" + F" h' = h' h" + /" + ,l /' ou • (F'-f')ti' + (F"-f")h' = h' h'\ ;

ce qui, grâce aux équations e) et Ç), donne :

H' h" + H" h' = ft' /i"

Si l'on prend donc comme origine des distances un couple quelconque de points de concours conjugués des rayons, on retombe toujours sur la même formule

. o RÉFRACTION PAR UNE SURFACE SPBJSRIQOE. (*» «9

Lpte. 0. « d'nne part, sur I, surface elle-même, et dtauap*

centre le point lumineux, qui est l'objet, se confond avec son image, ce eux 'J***m » p*.' image, e, les formules 3 c) ne sont pat conséquen <iuc des cas particuliers de la formule 7). devient ' Si l'on tait coïncider le point s avec le premier foyer, léqu .Son 7) ,togx inappliquée, parce que B" et h" deviennent minus; mars de kpenM des équations S d), on déduit facilement l'équation correspondante. Cette cqua tion S d) est :

' ~~ ft F"'

Retranchant F' aux deux membres, il vient :

ff F' = ^ ^ — ) 7

Posons ici f-F' = L\*f' — F"=*l"J étant la distance du point lumineux an premier fover, comptée vers en avant, et VI la distance de son image au second foyer, comptée en sens inverse, et nous obtenons la forme la plus simple sous laquelle on puisse exprimer la loi de la position des images ; c est :

En appliquant la même notation, la loi de la grandeur des images, données par l'équation 6 b), devient :

PL t ' '

ou p, — F" )

Relation entre la grandeur des images et la convergence des rayons.

Soient (fig. 30), pq l'axe, sp un objet et qr son image. Nous allons déterminer les angles a' et a" que fait avec l'axe, avant et après réfraction, un des rayons, pc, émanés de/). Nous considérerons ces angles comme positifs quand le rayon s'éloigne de l'axe, en marchant dans le sens des images que nous considérons

comme positives. On a donc L epa = a',Lcqa = - a". De plus, continuons à poser s p = p\ qr = - (3", ap = /', aq = f \ Comme les angles d'inci-

70 (Si) PREMIERE PARTIE. - D10PTRIQUE DE L'OEIL. § 9.

rfêftce des rayons sur la surface réfringente doivent rester toujours très-petits, ca doit être un très-petit arc que nous pouvons confondre avec une perpendiculaire à l'axe. Nous pouvons donc poser :

ac=l'tga'

ac = —f'tga"t

do»c /' lg*' = — /"' igd1 } A

De plus, d'après 3 d), on a :

d'après 6 b), on a :

et enfin, d'après 3 a) et 3 b), on a :

De ces trois relations, on tire :

ce qui, transporté dans l'équation A, donne :

n'ptga' =n"p'tga" } . . ." 7d).

Cette équation exprime une loi importante, qui lie la grandeur des images à la divergence des rayons, indépendamment de la distance de l'objet et de la longueur focale de la surface réfringente.