S 9 RÉFRACTION DANS LES SYSTÈMES DE SURFACES SPHÉRIQUES
rayons des surfaces réfringentes, quand la convexité de ces
avant, et connue négatifs ces rayons, quand la convex.té des ^
en arrière. Je fais aussi observer ici, une fois pour toutes que orsquil est
gestion d'un point de concours de rayons on d'une image ^és dan un m -
lieu, ou relatifs à ce milieu, on comprend toujours dans cette express on le ca
()ù rimas, est Virtuelle et ne se produirait que par la prolongation des rayons
au delà des limites du milieu.
En premier lin,, nous saums, d'après ce qui précède, que des rayons homocentriques qui tombent sous de petits angles d'incidence sur des surfaces rôfnn- «entes BpMqiies restent homocentriques. Il en résulte que des rayons homocentrioues nui pénètrent dans le système optique, en faisant de petits angles avec son J restent homocentriques après chaque réfraction, et sortent homocentriqucmenl .le la dernière surface réfringente. Quand la lumière incidente appartient a une série de points de concours, qui sont tous situés dans un même plan perpendiculaire à l'axe optique, nous savons, de plus, qu'après la première réfraction, les points de concours se trouvent de nouveau tous dans un même plan perpendiculaire à l'axe optique, et que leur distribution est géométriquement semblable à celles qu'ils avaient d'abord. Il en sera par conséquent de même après chacune des réfractions suivantes, et la dernière image sera aussi géométriquement semblable à la première et placée dans un plan perpendiculaire à l'axe optique.
En considérant l'image fournie par la première surface réfringente comme étant un objet relativement à la seconde surface, l'image fournie par la seconde, comme objet relativement à la troisième, etc. , on peut, sans difficulté particulière, calculer finalement la grandeur et la position de la dernière image. Il est juste d'ajouter qu'avec un nombre même peu considérable de surfaces réfringentes, les formules deviennent bientôt très-compliquées.
Il nous importe seulement ici de démontrer quelques lois générales, qui s'appliquent à un nombre quelconque de surfaces réfringentes, ce qui est d'autant plus important pour les applications que nous aurons à en faire à l'œil, que cet organe, avec les différentes couches du cristallin, nous présente un nombre infini
Fig. 31.
de surfaces réfringentes, et que, par suite, il n'y aurait pas à essayer de venir à bout d'un calcul entrepris de la manière dont nous venons de parler.
lo — je vajs démontrer d'abord que la loi exprimée par l'équation 7) pour une seule surface, est également vraie pour un nombre de surfaces quelconque.
Soit (fig. 31) i la première surface du système [)n — i) l'avant-dcrnière et m la dernière. Si s et p sont respectivement les points de concours de rayons inci-
dents et u et r les points de concours des rayons émergents correspondants dési gnons/?* par h', ur par Mm+*), je vais démontrer qu'on a :
H, étant la distance du premier foyer principal à *, et H, celle du second foyer principal à u. :
Pour démontrer que cette loi est générale, je vais faire voir que si elle est vraie pour un système de (m - 1) de surfaces, elle l'est aussi pour m surfaces Comme elle est déjà démontrée pour une surface, il en résulte alors qu'elle l'est aussi pour deux, puis pour trois, etc pour un nombre infini.
Supposons que le système des [m — i) premières surfaces donne du point * l'image t et du pointp l'image et désignons tq par A M. Soient respectivement L, et Z2 les distances des points * et t aux foyers principaux du système des (m - 1) premières surfaces ; soient respectivement M , et M, les distances des points t et u aux foyers principaux de la dernière ou mièmesurface toutes ceg distances étant comptées positivement en allant des points *, t et u vers le côté où le milieu réfringent auquel correspondent les faisceaux lumineux en question se trouve par rapport aux surfaces ou aux systèmes réfringents. Nous avons par hypothèse : ' r
h' ^ hH ~ ' et pour la réfraction par la dernière surface :
Divisant la première de ces équations par Z2 et la seconde par M., et ajoutant membre à membre, il vient :
L2 ' h' + Mi hfr+i) ~ L2 + .4/, ou A/i £t ' , M,L, \
Posons A' = 00, il en résulte A(«+*J = If,, el il vient :
De même, posant = 00, il en résulte h' = #lt et l'on a :
et enfin, suivant la notation qu'on voudra adopter
§ 9. RÉFRACTION DANS LES SYSTÈMES DE SURFACES SPHÉRIQUES. (53) 73 Pour toute valeur réelle de /*', comprise entre — ooct -f- oo, cette équation donne une valeur, et une seule, de et vice versa. Le premier et le dernier
point de concours peuvent donc se trouver en un point quelconque de l'axe, et dès que l'un d'eux est donné, la position de l'autre est complètement définie.
2<>— Tout système optique possède un couple, et un seul, de points de concours conjugués des rayons, tels que la grandeur d'une image plane perpendiculaire à l'axe devienne égale à celle de son objet. Nous nommons premier et second plan principal du système, le plan d'un pareil objet et celui de son image ; premier et second point principal, les points où ces plans coupent l'axe optique. Les distances focales principales relatives aux points principaux sont proportionnelles aux indices de réfraction du premier et du dernier milieu.
En effet, soit 5 p l'objet, p le point de cet objet situé sur l'axe et s un autre de ses points. Si nous déplaçons l'objet parallèlement à lui-même le long de l'axe, le point s se meut parallèlement à l'axe, suivant s t. Le rayon st appartiendra donc toujours au point s, quelle que soit d'ailleurs la distance pq. Maintenant, les rayons parallèles à l'axe sont déviés par le système réfringent, de manière à passer finalement par le second foyer principal P^. Soit rw la position du rayon st après la dernière réfraction. Comme st ne cesse d'appartenir au point s, rw ne peut cesser d'appartenir à l'image de ce point, c'est-à-dire que l'image de s doit se trouver sur rw.
FiG. 32
Soit fg l'image de sp, qu'on sait, d'après ce qui précède, devoir être perpendiculaire à l'axe uv. Quand p se déplace le long de l'axe, f se déplace également le long de uv et g le long de rw, et il est évident que, dans ce mouvement, la grandeur de l'image fg doit varier proportionnellement à la distance P*f, comme cela a été exprimé plus haut par les équations 6) et 6b), pour une seule surface réfringente. Comme, de plus, on peut voir, d'après l'équation 8), que la distance Pj/'pcut prendre toutes les valeurs comprises entre + ooet — oo, il en résulte que la grandeur de l'image, si nous considérons une image renversée comme négative, peut affecter, et ne peut affecter qu'une seule fois, chacune des valeurs comprises entre ces limites. Donc, dans une certaine position , et dans une seule, l'image peut devenir égale à l'objet; soit alors cibi l'objet et ctbt l'image qui lui est égale : ces deux lignes définissent la position de ce que nous avons nommé les plans principaux du système. Désignons maintenant :
«P = c462 parfî,, fr, P,papF„ bt p par ft, fg par - (32, &a I\ par Fit bt( par /•„
llx (54) PREMIÈRE PARTIE. — DIOPTRIQUE DE L ŒIL. § 9.
on a, d'après la ligure,
fg ~~ l\f ' P, «
ou
et comme d'après l'équation 8), les points b{ et b% jouant ici le rôle de s et u de la figure 31, on a
on obtient l'équation analogue h 6 b) qui était relative à une seule surface : cette équation est
Si = F* - ' F'~^ î 8 bx
P2 F2 - 'Fi J h
Nommons /, et lz les distances des foyers aux images correspondantes, c'est-àdire posons
h — fi Ft,
et, de même que, pour une seule surface, nous avons de l'équation 3 d) déduit l'équation 7 b), dans le cas actuel d'un système composé, en opérant de la même manière, de l'équation 8 a), nous déduisons cette forme si simple qui exprime la loi de la position des images, à savoir :
Enfin, pour trouver le rapport des quantités Fl et Fit appliquons la loi exprimée par l'équation 7d) au rayon qui passe avant réfraction par s et bi et après réfraction par &2 et g.
Nommons y la grandeur d'une image contenue dans le premier plan principal, y", y'1'.... celles des images qui se formeraient après une, deux... réfractions et y (»*+*) celle de la dernière, qui se forme dans le second plan principal. D'après la définition des plans principaux, on a y' = y(m+d>. Nommons, de plus a",
a'" a(«t-M) les angles formés successivement par le rayon sb' et l'axe dan
les différents milieux, de sorte que :
D'après l'équation 7d), on a
n' y' tg a' = n" y" tg a", n"y"lga"=n"'y'" tga'"
§9. RÉFRACTION DANS LES SYSTÈMES DE SURFACES SPHERIQUES. {3S) 75 et ainsi de suite; |>ar conséquent
n' y' tg a' = j$H*î yM»0 tg aC"^1) }. • ■ • 9),
ou, comme / = yi"^1),
n' tg a1 = n(»+*J tg a(m+1) } 9a)-
Mais, d'après les notations adoptées plus haut, et d'après la figure, on a
sp = p, =-A tg fg = - P* = - A> 'ë «(w+1)' donc, transportant dans 9a) :
Substituant dans cette équation la valeur de f„ tirée de 8 a), on obtient
n' p, ng+i) p2
or, d'après 8 b), on a
Pi Pi .
r< - *\ fi '
ces deux équations, divisées membre à membre, donnent, en nommant n1 et w,, les indices de réfraction du premier et du dernier milieu,
n' Fi n,
3° — Dans tout système optique, il existe un couple de points noclaux, et un seul, tel que tout rayon dont la direction, dans le premier milieu, passe par* le premier de ces points, conserve, après la dernière réfraction, une direction parallèle à sa direction primitive, et passe par le second point nodal. Les plans menés par les points nodaux perpendiculairement à l'axe optique se nomment plans nodaux. Comme les rayons qui passent par le premier point nodal, passent par le second après la dernière réfraction, ce point est évidemment l'image du premier. Les distances focales relatives aux points nodaux sont entre elles comme les inverses des indices de réfraction du premier et du dernier milieu.
En effet, partons de l'équation 9) établie tout a l'heure
H' / tg a' *= nl*+i) y{m+i) tg «('''+!) } 9).
En l'appliquant aux points nodaux, il faut qu'on ait a = afm+1). Pour cela» il faut que
pt y' = (!&*+*) y(*-H)'4
Les dimensions linéaires de deux images conjuguée*, situées dans les plans nodaux, sont donc entre elles comme les inverses des indices de réfraction du Wtemier et du dernier milieu.
Les grandeurs des images d'un môme objet y' étant entre elles comme leurs distances au second foyer principal, la grandeur de l'image permet de déterminer sa distance à ce foyer. L'image de l'objet / se forme-t-elle dans le second plan principal, sa grandeur est aussi y\ et sa distance au foyer est ; se formet-elle dans le second plan nodal, d'après ce qu'on vient de voir, sa grandeur est :
Soit (?2 sa distance au foyer, on a
donc, à cause de 9 c),
G, = - Fa =: F. \ 4 0 a).
Par suite, la distance entre le second plan principal et le second plan nodal est
as = F, — G,
== F, - Fi.
Le premier plan nodal doit être l'image du second. Nommons ai sa distance au premier plan principal, et G t sa distance au premier foyer, nous avons
at = G, - Fi ;
l'équation 8 a) donne
équation qui est satisfaite si l'on a a, = a, = F2 — Fx ;
donc G, = F2 } 10 b)
et ^ =.=« 10c.
G2 n' ïit )
Méthodes pour trouver les foyers, points principaux et points nodaux d'un système de surfaces sphériques centre, résultant de la combinaison de deux systèmes de ce genre.
Soient donnés deux systèmes optiques centrés A et B, ayant le même axe. Soient p, et pu (fig. 33) les deux foyers, et a, et an les deux points principaux du système A ; soient tt( et ic;, , a, et a„ les deux points analogues du système B. Soit d la distance an a, du second point principal de A au premier point principal de B, cette distance étant comptée positivement quand, comme sur la figure, a, est en arrière de a„. Désignons par f et f" les distances focales principales a,p, et an pu du premier système, et par <p' et <p" les distances focales principales a, 7T, et a,, 7r;/ du second.
Le premier foyer du système combiné est évidemment l'image que le système A donne du premier foyer Wj du système D. Soit t, ce point, il est clair, comme
g 9 Rf FRACTION DANS LES SYSTÈMES DE SURFACES SPH&UQUES. (.57) 77 l'indique aussi le rayon parti de tt sur la figure, que les rayons parus cle / se réunissent en après réfraction par le système A, et qu'après re — P rte système B ils doivent être parallèles à l'axe, de sorte que t, répond a la définiUon l premiej: foyer. La distance «„ Wj est égale à - y'; il en résulte pour ajt
De même, le second foyer du système combiné est l'image que le système B donne du second foyer %l du premier système. Soit tn la position de cette image, on a „
Les deux «ni* princîpaiw du système combiné doivent être chacun l'image de l'autre, le premier étant relatif à la marche des rayons lumineux dans le premier milieu, et le second à leur marche dans le dernier milieu. Ces deux points principaux doivent donc posséder une image commune dans le milieu moyen,
FiG. 33.
intermédiaire aux deux systèmes optiques. Soit s cette image (fig. 33), et soient r, et ru les points principaux du système combiné. Si s est l'image de rn et rn l'image de s, il en résulte que rn est l'image de r„ et la première condition des points principaux se trouve satisfaite. La seconde condition consiste en ce que.les points correspondants des images conjuguées, comprises dans les plans principaux, doivent se trouver sur une même droite parallèle à l'axe. Soit a la grandeur d'un objet situé en s, (3, celle de son image formée en r, par le système A, et (J, celle de son image formée en rH par le système B. Soit x égal à la longueur at, s et y égal à ona, d'après 8b),
Pour que (3, soit égal à (3,, il faut qu'on ait
78 {S8) PmMlÈRE PARTIE. - DIOPTHIQUE DE L'ŒIL,
ou enfin : ùiL = £il
au Pu «,
Donc, pour trouver le point du milieu réfringent moyen, dont les images sont les deux points principaux du système combiné, il faut partager la distance comprise entre le second point principal du premier milieu et le premier point principal du second milieu en deux parties, proportionnelles aux distances focales principales des deux systèmes relatives à ces derniers point* principaux.
Comme on a x -f y = d, on a, d'après 11c),
(ii i
I cp
D'où l'on tire x
' I ri? '
dr'
Connaissant x, on trouve aisément la distance a, rt = hl du premier point principal du système combiné en avant du premier point principal du système A :
hi =- T,
x — f df<
de même, la dislance au rtl = /<„ du second point principal du système combiné en arrière du second point principal du système B :
if" ) = )■
Il résulte de là, pour les valeurs Ft et F9 des distances focales principales du système combiné,
Fi =altl — a, r,
r2 ull ltl ail ' il
Ayant trouvé les points principaux et les foyers, il est très-facile de trouver les
! § 9. RÉFRACTION DANS LES SYSTÈMES DE SURFACES SPHÉRIQUFS. (80) 79 points nodaux, puisque la distance du premier point nodal au premier foyer est ég il a (a seconde distance focale principale, et que celle du second point nodal au secon \ foyer est égale à la première. distance focale principale.
Si l'on ne veut chercher que les points nodaux et qu'on n'ait pas besoin des points principaux, on peut employer une méthode analogue à celle que nous venons de suivre pour les points principaux, et utiliser cette propriété que les dimensions des images conjuguées, situées dans les points nodaux, sont en raison forerse des indices de réfraction des milieux correspondants.
Snr la même figure 33, ne considérons plus a, et àn, a, et comme étant les points principaux, mais bien comme étant les points nodaux des deux systèmes A et B; soient r, et rlt les points nodaux du système combiné, et s leur image commune dans le milieu moyen ; nous avons
an s = x, otj s = y .
xf
On a :
n'a „, rf •
Soit maintenant a la grandeur linéaire d'un objet situé au point s du milieu moyen, (3j celle de son image formée en rt par le milieu A, (32 celle de son image formée en rn par le milieu B, d'après les propriétés connues des points nodaux, on a
fti ^ f a X X — f '
Pa = «n ru ^ ?'
Or, si rij et n2 sont les indices du premier et du dernier milieu, et v celui d milieu moyen, on doit avoir, dans les plans nodaux,
il en résulte que Mais on a
donc d'où ou
nj" n2 y'
nj"=v/' n2y' = vcp",
°/(Pii à, te,
Nous avions trouvé les mômes formules au numéro 11c), lorsque nous considérions les points ap am <xn *n, rt et ru comme des points principaux ; donc, pour trouver les points nodaux du système combiné, on procède absolument comme pour trouver ses points principaux, avec celte seule différence qu'on part des points nodaux et non plus des points principaux des systèmes donnés.
Inscrivons encore ici les formules relatives au cas le plus simple de tous, celui où chacun des deux systèmes à combiner se compose d'une seule surface sphérique. Soient rt le rayon de la première surface, r% celui de la seconde, d leur distance réciproque, n\ n" et n'" les indices de réfraction des trois milieux D'après 3a) et 3b), on a
rc'r, n"r n" n< f ~ n"i nii
n"r. nmr
jll . 1 \\ '• ' 2
n" — «' y n"t nii
Posons pour abréger
n" (n'" — n") r, + n" (n" — n') r2 — (n'" - n") (»" — n') d = AT, les distances focales principales sont alors
n' n" rt r2 \ N
n"n"'rlri 1 ;<
les distances hi et //2 des points principaux aux surfaces sont
n' (n" — nf") dr,
- n'") dr, \
if I
n'" (nf — n") dr2 (
ft2
la distance //de l'un à l'autre des points principaux est d + hi -f A2, ou
Pour d = 0, on a hl = hô = H = 0, et, alors aussi
(n" — n')(n"'-n")(rf~ r2 - d)
F = ri *•«
1 (n"> — n") r, + (n" — n') rs '
E- n"'ri T*
Dans ces formules, faisant r2 = ?\, il vient
