RÉFRACTION DES RAYONS NON HOMOCENTRIQTJES

Les recherches physiologiques dont nous venons de parler demandent une anase de la lumière simple bien plus exacte que les expériences ordinaires de phyque; je vais donc étudier la théorie de la réfraction dans les prismes, autant l'il est nécessaire pour produire des spectres purs. — Si je ne me trompe, on n'a niais examiné, jusqu'ici, que la réfraction de rayons lumineux simples par les i ismes, et l'on n'a pas considéré la position et la constitution des images prismatiques. Cependant, lorsqu'on regarde dans un prisme, ou lorsqu'on fuit passer nr des lentilles et des lunettes les rayons émergents d'un prisme, il est fort 'Imitant de connaître les images prismatiques pour chaque sorte de lumière >mogène; en effet., elles doivent être considérées comme objets par rapport aux

Fa i g Violet.

So/j Ultraviolet.

SoJ, # Ultraviolet.

La, Ultraviolet.

Sii I» l' lira violet

Sit Extrémité du sneclrc solaire.

320 (258) DEUXIÈME PARTIE. — DES SENSATIONS VISUELLES. § 10. images optiques que projettent les milieux de l'œil et les lentilles. Pour remplir celte lacune, je chercherai à déterminer, dans ce qui suit, la position a In constitution de Vimage prismatique, bien que cette recherche n'appartienne pas, à vrai dire, à l'optique physiologique. Mais les résultats en sont importants pour qui veut produire des spectres prismatiques purs.

Les rayons homocentriques perdent, en général, ce caractère en passant par un prisme : chaque faisceau infiniment mince affecte alors deux dislances de convergence des rayons. Il se passe la même chose que pour les rayons homocentriques qui sont réfractés par une surface ellipsoïdale, ou par une surface sphérique placée obliquement (1). Pour faciliter cette élude, j'emploierai une forme de la loi de réfraction, trouvée par Fermât, peu de temps après la découverte de cette loi, et qui facilite particulièrement l'étude des cas où les différentes parties d'un même rayon ne sont pas situées dans un même plan.

Définition.

Considérons un rayon traversant divers milieux réfringents ; multiplions le chemin parcouru dans chacun des milieux, par l'indice de réfraction corres- pondant, et additionnons toutes ces longueurs ; cette somme est ce que nous>, appellerons la longueur optique du rayon.

Soient rn r2, r3, etc., les chemins parcourus par le rayon dans le premier, le second, le troisième milieu, et n„ na, n3, etc., les indices de réfraction correspondants; d'après la définition qui précède, on a, en désignant par Y la longueur optique :

Y == nlrl + nar3 -f- »3r3 -f- .... -f n'»r«- Appelons c0, cn c2, c3.... les vitesses de la lumière dans le vide, dans le premier, le second, le troisième.... milieu; on a (§ 9, page 52) :

d'où

[ Cj C2 C3 Cm J

Désignant par t le temps employé par la lumière pour aller d'une extrémité à l'autre du chemin, total considéré, on a

t = -i- + — - + — + etc. -f- — ;

Cj C, C3 Cm

donc Y = c0f.

La longueur optique est donc proportionnelle au temps employé par la lumière pour parcourir la longueur du rayon, et égale au chemin que la lumière aurait parcouru dans le vide pendant le même temps.

L'idée de longueur optique peut aussi être étendue au cas où l'on suppose le

(1) Voyez p. 195-197. — Les théorèmes qui suivent peuvent aussi être appliques au chapitre des aberrations monochromatiques de l'œil.

§ 19. RÉFRACTION DES RAYONS NON IIOMOCENTRIQUES. {239) 321 rayoo prolongé en arrière du dernier milieu, même en dehors de ses limites, jusqu'en un point, par exemple, où se trouve une image virtuelle du point lumineux. Pour déterminer la longueur optique entre le point lumineux et son image virtuelle, on procède comme ci-dessus, en comptant seulement comme négative la distance mesurée de l'entrée du rayon dans le milieu jusqu'à l'image virtuelle. Les déductions analytiques qui vont suivre n'en sont point modifiées.

Théorème I.

La loi de la réfraction des rayons lumineux peut s'exprimer par cette condition que la longueur optique du rayon comprise entre deux de ses points pris, l'un dans le premier, Vautre dans le second milieu, soit une valeur limite (maximum ou minimum).

Supposons les deux milieux réfringents séparés par une surface quelconque, d'une courbure continue. Choisissons les coordonnées de manière à prendre pour axe des z la normale d'incidence; supposons la forme de la surface réfringente définie par une expression de z en fonction de x et de y. Pour le point d'incidence on aura :

dz dz

Soient ensuite a,, b{, clt les coordonnées d'un point du rayon incident,«2,62,c2, celles d'un point du rayon réfracté. Joignons ces deux points à un troisième pris sur la surface réfringente, dont les coordonnées sont x, y, z-, la longueur optique de ce chemin est

Y= n, f (a, — a)2 + (bt — y)* + (c, — »)«

Pour que Y, qui est une fonction des variables indépendantes x et y, soit un maximum ou minimum, il suffît ici de remplir les conditions

dY dY

àx dy

ou bien

ï^(o f — a;)* -I- (6f — y)* + (ëj iji

x — ai + (* —c,)

— + (6, — y)« + (Cj i)i

y — 6, + (* — ct)

^(at — a)2 + (ftf y)* j (0|;,)i -f* »9 . dy

322 (240) DEUXIÈME PARTIE. — DES SENSATIONS VISUELLES. § 19. Au point d'incidence du rayon réfracté, ces équations deviennent, d'après les relations 1),

En rapportant les positions des points an 6t, et a2, ô2, cs à des coordonnées polaires à la manière ordinaire, c'est-à-dire en posant

al = ri sin cos 94 a2 = r2 sin a, cos 9, \

bi = ri sin at sin 6, 62 = rs sin «s sin 92 j . . . 3).

c, = r, cos ot c, = r2 cos a, '

les équations 2a) se transforment dans les suivantes :

nl sin ot cos 8, = - n2 sin <xa cos 9, | ^ ni sin «i sin 9j = — ns sin a2 sin 9j ) '

Élevant au carré et ajoutant membre à membre, il vient

Hj* sin'otj = n2! sin2a2 , c'est-à-dire ni sin Wl = ± »»j sin a2.

Le signe + est seul admissible ici, parce que, d'après la notation adoptée, ai est nécessairement compris entre 0 et 90°, et «2 entre 90° et 180°; et que, par conséquent sin at et sin a2 sont toujours positifs ainsi que n, et n2. On a donc

n, sin otj = r»j sin à, 4).

et, en substituant dans les équations 2b), on obtient

cos 9j = — cos 9S , sin 9, = — sin*92 ,

d'où e2 =0, + <8o° ia|

Les équations h) et k a), déduites de la condition que la longueur optique doit être une valeur limite, sont identiques avec les deux lois de la réfraction. En effet, il résulte des équations 3), queai est l'angle de réfraction, 9, l'angle du plan des a» avec le plan d'incidence, et 92 l'angle du plan des xz avec le plan de réfraction. Les plans d'incidence et de réfraction font donc entre eux un angle de 180 degrèsj c'est-à-dire qu'ils coïncident.

La même démonstration s'applique également au problème de la réflexion du rayon lumineux sur la surface considérée jusqu'ici comme réfringente. On n'a qu'à poser n, = n2, parce que le rayon reste dans le même milieu* et à prenj

§ 19. RÉFRACTION DliS RAYONS NON HOMOCENTRIQUES. (M1) 323

die a, compris entre 0 et 90°, comme «t. Les équations U) et ùa) deviennent alors

siu «, = sin «2 , ou a, = as , 98 = 6, + 180, qui sont les deux lois de la réflexion d'un rayon.

Le théorème démontré pour une seule surface réfringente peut s'étendre facilement à un nombre quelconque de surfaces. Si un rayon lumineux traverse un nombre quelconque de milieux réfringents, limités par des surfaces à courbure continue, le chemin qu'il parcourt peut être déterminé par la condition que la longueur optique du rayon, entre un de ses points dans le premier et un autre dans le dernier milieu, soit une valeur limite.

Soit Y la longueur optique du rayon, et définissons par xK et y1 les coordonnées des points de la première surface réfringente, par œ2 et y2 celles des points

de la seconde , par xm et ym celles des points de la mième, et plaçons tous ces

systèmes coordonnés de manière à faire coïncider leur axe des z avec la normale d'incidence, le plan xy étant tangent à la surface réfringente. Les premières conditions pour la valeur limite sont :

da;,

dj/j

dx2

dy2

etc.

dj/m

La première de ces équations est, d'après le théorème précédemment démontré, identique, à la condition que le rayon soit réfracté par la première surface suivant la loi connue; la seconde exprime la même chose pour la seconde surface, la mième équation pour la mième surface. Le chemin parcouru par le rayon est donc déterminé, par la condition ci-dessus énoncée, exactement de la même manière que par la loi de la réfraction.

Il suffit aussi dans ce cas de rechercher la dérivée première de la longueur optique. Que le chemin parcouru par le rayon soit un maximum ou un minimum pour toutes les positions du point d'incidence, qu'il soit un maximum pour certaines de ces positions, un minimum pour d'autres, elc. , cela dépend, comme on sait, de la dérivée seconde; mais il ne s'agit pas de cela ici, et, dans la présente recherche, on peut appeler valeurs limites en général, les valeurs de la longueur optique dont les dérivées premières satisfont aux conditions de maximum ou minimum, sans avoir à se préoccuper ensuite du signe ou de la grandeur de la dérivée seconde. L'influence de cette seconde dérivée dans l'objet qui nous occupe, sera étudiée plus loin.

Théorème II.

Si des rayons lumineux, émanant d'un point, sont réfractés par un nombre quelconque de surfaces à courbure continue, ils sont, après la dernière réfraction, normaux à toute surface courbe pour tous les points de laquelle la longueur optique possède une valeur constante.

Nous prendrons les mêmes notations que dans la généralisation du théorème I. Supposons l'extrémité du rayon située sur une surface courbe pour laquelle

Y == const

Nous allons rapporter les points de cette surface au même système de coordonnées que les points de la dernière surface réfringente ; pour les points de la surface Y =C, posons xm =o, ym~b, zm=c, et considérons c comme une

fonction de a et de b.

Considérons maintenant deux rayons réfractés infiniment voisins 1 un de l autre.

Soient

art, ylt œs, y2, etc., xm, Vm, a, &> c,

les coordonnées des points où le premier rayon rencontre les diverses surfaces ; les coordonnées des points correspondants pour le second rayon seront

œ, + A*, , Vj + AVi' cc2 + Aœ2 , t/a + Aî/a ' etc.

xm -f- acc»i, ym -|" Ay»» »

o + Ao, b + A&, c + Ac, et c étant une fonction de a et de b, on a la relation :

de i dc «i

La longueur optique du premier rayon étant Y, celle du second Y + AY, on a, pour des variations infiniment petites,