AY

S 19. RAYONS RÉFRACTÉS NORMAUX A LA SURFACE D'ONDE. (243) 325 comme, de plus, d'après le théorème précédent,

dY dY dY dY

dx, ~~ dy, ~~ da?2 dyâ

il en résulte que

Vda ^ de da7 ^ \db ^ de d&/

cette équation devant être satisfaite pour toutes les valeurs de — , on doit avoir simultanément

dY dY de

do de ' da

dY , dY de

d& "de ' d& ~~

Nommons maintenant rQtrl ... rm, les chemins parcourus par le rayon dans les divers milieux réfringents et n0, nt ... nm, les indices de réfraction, on a

Y = "0 ro ~\~ ni ri ~\~ n,)l rwt*

lti rm seul dépend de a, b et c; donc

drm

—xm

= nm

drm

= nm

dft

àb

ttm

drm

"de"

donc enfin, substituant dans les équations 2), on a

. de

(a — xm) + (c — *m) jj^ = 0

de n ,

équations qui expriment que a, b, c est le pied de la normale abaissée du point xm, ym.'Zm, sur la surface Y=C

La manière la plus simple de le voir est de remarquer que la normale ellemême est un maximum ou un minimum de la distance entre le point d'où on l'abaisse et la surface courbe; or la distance entre le point a?m, y m, 2 m e* le point a, b, c est exprimée par

rm = V{xm— a)1 + (ym— bf + («m— c)* ;

pour obtenir le maximum ou le minimum de cette valeur, il faut poser

Q drm drm de a — xm de c—z,

da de da " rm + da '

et 0 — ~ 4-~ — — b~~XJm 1 dc c~z

db dc da ~~ rm db * ~7

relations identiques aux équations 2a).

Le rayon passant par le poiut a, b, c est donc normal, en ce même point, à la surface Y = C.

Comme la lumière parcourt des longueurs optiques égales dans des temps égaux, elle arrive aussi en même temps du point lumineux à tous les points de la surface Y = C ; celle-ci est donc une surface d'onde, c'est-à-dire qu'elle passe par tous les points pour lesquels la phase de la vibration de l'éther est la même.

Détermination du chemin d'un faisceau lumineux infiniment mince.

On vient de démontrer qu'il existe une surface courbe, la surface d'onde, à laquelle sont normaux tous les rayons homocentriques, après un nombre quelconque de réfractions à travers des surfaces courbes continues quelconques; il s'ensuit que les rayons lumineux réfractés jouissent de toutes les propriétés qui appartiennent aux normales des surfaces courbes. Imaginons donc un plan passant par un rayon quelconque; il coupera la surface d'onde suivant une courbe; si l'on fait tourner ce plan autour du rayon, la ligne d'intersection présentera en général différentes courbures au point où le rayon A perce la surface, et le plan de plus grande courbure sera perpendiculaire au plan de plus petite courbure. Élevons maintenant en des points de la surface infiniment voisins du rayon A, des normales correspondant à des rayons voisins ; celles dont les pieds sont sur les lignes de plus grande ou de plus petite courbure, couperont le rayon A au centre du cercle de plus grande ou de plus petite courbure ; celles, au contraire, dont les pieds ne sont sur aucune de ces deux lignes, ne rencontrent pas le rayon. Il y a donc, en général, sur chaque rayon, deux foyers où il est coupé par les rayons voisins; ces foyers correspondent aux centres des cercles de plus grande et de plus petite courbure de la surface d'onde, relatifs au point où elle est percée par le rayon.

Si les deux points coïncident en un seul, c'est-à-dire si, au pied du rayon, la courbure de la surface d'ondes est la même dans toutes les directions, le rayon A sera coupé en un seul point par tous les rayons infiniment voisins.

Pour démontrer ces théorèmes par l'analyse, nous allons employer un système de coordonnées ayant pour axe des z le rayon A. Pour les seuls points de la surface d'onde, posons

Supposons la surface déterminée en considérant c comme une fonction dc a et de b. D'après le choix du système de coordonnées, pour

6 19. DOUBLES POINTS DE CONCOURS DES RAY. NON HOMOCENTR. (2U) 327 Si x, y, z désignent les coordonnées d'un point de la normale élevée au point o, b, c de ia surface d'onde, nous avons, d'après l'équation 2a) de la proposition II,

Remplaçant a et 6 par les valeurs infiniment peu différentes a + Aa, 6 + Ai, les équations la) deviennent :

de de de

de , de , de

(f, + Afc,/) + (e+- Aa+- Ab-s) -

de de

Faisant, dans ces équations, a = b—0 et aussi, d après 1), ^ = ^ = °> nous

obtenons les équations d'une normale infiniment voisine du rayon A, qui coupe la surface d'onde au point déterminé par les coordonnées Aa et Aô :

Aa -, + <c-«) Aa + g— A* j = 0

Pour tous les points du rayon A, on a simultanément x = y = 0. Pour que A soit coupé par le rayon dont le chemin est donné par les équations 2), il faut donc qu'il existe une valeur de z pour laquelle les équations 2) donnent simultanément x = y = 0. Posons donc, dans ces équations, x = y =0 et éliminons z, il reste, comme condition de possibilité de la rencontre,

Aa2 4- ( -a Aa Ab : 77 Ab2 = 0 . . . 3).

da . db ^ Vdb2 daV da . db

Appelons r la distance inûniment petite des pieds des deux normales, et a l'angle, nécessairement compris entre 0 et -n, que fait cette distance avec l'axe des x; on a

Aa = r cos a, Ab = r sin a.

Posons en outre

dsc dj^

db* ~~ dû1

da . db

328 (245) DEUXIÈME PARTIE. - DES SENSATIONS VISUELLES. § l9, à2c

supposant que ^— ^ n'est pas égal à zéro, l'équation 3) devient

tang2 a — 2n tang « = \ 3 a)

ou tang « = n ± + n2 3 b).

Les deux valeurs de tg a, qui sont toujours réelles, peuvent être mises sous la forme

Si donc «0 est l'une des valeurs correspondantes de «, «0 + - ou a0 — - est

l'autre. Les deux angles diffèrent d'un angle droit. La grandeur r, qui désigne la distance des normales sur la surface d'onde, disparaît de l'équation 3 a). Le rayon A est donc coupé par tous les rayons infiniment voisins situés dans les plans

qui font avec l'axe des x les angles «0 et «u + — .

Jusqu'ici la position des axes des x et des y a été prise arbitrairement dans le plan perpendiculaire au rayon A. Pour simplifier, nous allons les supposer placés dans les [plans des rayons intersecteurs, ce qui est toujours possible. Les deux valeurs de tang a deviennent alors 0 et oo, ce qui exige que

n — dtz oo

et — o.

du . àb

Par le fait, si nous supposons la dernière relation remplie, la condition de l'intersection, exprimée par l'équation 3), se réduit à

condition satisfaite en prenant Aa ou Aô égal à zéro , c'est-à-dire en plaçant les normales intersectrices dans les plans yz ou xz. — Enfin, si l'on a en même temps

dï2 "~ dô* ~ ° '

la condition de l'intersection est remplie pour toutes les valeurs quelconques infiniment petites de Aa et àb, et par conséquent toutes les normales infiniment voi-

sines de A rencontrent ce ravon. En conservant la condition - — — == 0 et y joi-

da d6

gnant Aa ou Ab — 0, nous trouvons, comme on l'a remarqué plus haut, la distance z à laquelle les rayons voisins coupent le rayon parallèle à l'axe des z, en posant x = y = 0 dans les équations 2). Pour les rayons situés dans le plan des xz, on a àb = 0, et l'on déduit, de la

19. DOUBLES POINTS DE CONCOURS DES HAY. NON HOMOCENTR, (346)829 Lremiôre des équations 2), pour la distance z — c du point d'intersection a la .urface d'onde :

do»

A seconde équation devient 0 = 0. Pour les rayons situés dans le plan des yz, n a Art = 0, et

Z~~c~ dV

di>2

d*c d*c 4 î enfin — - = — - = — , on a, pour tous les rayons voisins sans distinction, da2 abi p

Du reste, dans ce cas, les plans des xz et des yz sont aussi les plans de plus rande et de plus petite courbure, et les valeurs des rayons de courbure corresondants pa et p& sont

da2 db-

m sorte que les foyers coïncident avec les centres de courbure de la surface 'onde.

Forme d'un faisceau circulaire et infiniment mince de rayons lumineux.

Pour obtenir une représentation plus claire de la marche des rayons en faisceau îfiniment mince, nous allons considérer la forme d'un faisceau de rayons dont la •ace sur la surface d'ondes est un cercle. — Nous posons, par conséquent, dans ;s équations 2), comme précédemment,

-; — = 0 et Aa = r cos a, àb — r sin a;

da . àb

îs équations 2) nous donnent

r cos a — x + (c — z) — r cos a = 0 ,

ta m d2c r sina — y + (c — 3) -— • r sin a = 0.

àb*

our obtenir l'intersection du faisceau avec l'un des plans perpendiculaires à son rte, nous devons poser 3= constante, et éliminer l'angle *. Posons pour abréger

T , fl2c~| r

MO (247) DEUXIEME PARTIE. — DES SENSATIONS VISUELLES. § i9,

il vient — + — = \ .

C'est l'équation d'une ellipse dont les axes, respectivement parallèles aux axes des x et des y, sont égaux à 2p et 2q. Les deux axes de l'ellipse diminuent avec r ; si le faisceau lumineux remplit donc, dans la première surface d'onde, non-seulement une ligne, mais une surface circulaire, tous les rayons demeurent compris dans l'espace limité par les rayons marginaux, qui déterminent donc la forme du faisceau. Dans la surface d'onde d'où nous sommes partis, on a même c — z = 0, les axes sont p = q — r, la section transversale est un cercle. L'axe p devient égal à zéro si

et, par conséquent, si la section transversale passe par les foyers des rayons dans le plan des xz. L'autre demi-axe est alors

q — ± - (p„ 4- pi).

La section transversale du faisceau est alors une ligne droite parallèle à l'axe des y, dont la longueur est égale à cette valeur de q.

En revanche, la section du faisceau devient une ligne droite parallèle à l'axe

des x si

q = 0, p = ± - (p« -f- pi).

Enfin il y a encore une seconde position où la section du faisceau lumineux est un cercle, c'est-à-dire où l'on a

c'est pour < H • = — 1

ou bien - — c

ou, ce qui est la même chose,

pa p'i 2pa pi»

pa — pb

fa T" P&

Entre les deux sections circulaires du faisceau se trouve une des sections linéaires. Cette ligne est parallèle aux grands axes des sections elliptiques placées entre les deux cercles, tandis que les grands axes des ellipses extérieures lui sont

} 19. DOUBLES POINTS DE CONCOURS DES RAY» NON HOMOCENTR. (248) 331 )erpendiculaires. Dans la figure 108, la ligne cd désigne le rayon central ; en c m a mis un diaphragme circulaire, en a et b sont les deux foyers. Au-dessous de

Fie. 4 08.

h ligne cd on a dessiné les sections du faisceau qui correspondent aux différents koints de cette ligne.

Condition analytique générale pour la position des foyers.

Appelons Y et Y + AY les longueurs optiques de deux rayons infiniment voisins i et B, depuis leur origine commune jusqu'à l'un des foyers, où ils se ren- «ontrent de nouveau après un nombre quelconque de réfractions sur des surfaces réfringentes à courbure continue. Les coordonnées auxquelles nous rapportons ps points des surfaces réfringentes sont encore choisies de manière que l'axe, es z coïncide avec la normale correspondant au point d'incidence du rayon A, t que le plan des xy soit tangent à la surface réfringente. Les coordonnées des toints d'incidence du rayon Useront xi, yt, zi pour la première surface,

fi> Un *a Pour la seconde, , xm, ym, zm pour la miè,ne. On supposera dans

e qui va suivre que les longueurs optiques sont exprimées seulement en foncon de x et de y, et que les z, qui sont également des fonctions de x et y, sont iminés de ces valeurs; comme d'ailleurs les rayons A et B sont supposés infiniîeut voisins, il faut considérer les grandeurs x% , y t ,. . .. , jusqu'à xm , ym » comme ifiniment petites.

D'après la série de Taylor, on a

lY ilY dY

Y + AY = Y + -— + -ir2+ +

, dY , dY dY

ayi Aym

Les deux rayons doivent satisfaire à la condition énoncée dans le premier ferème, c'est-à-dire que les dérivées premières de Y et Y «j* AY prises par rap- Jjrt à xit y,, xt, y2 etc., xm, ym, doivent être égales à 0. Cela donne, pour le eniier rayon,

332 (249) DEUXIÈME PARTIE. — DES SENSATIONS VISUELLES. § i9> et, en tenant compte de ces équations pour le second rayon, on obtient le système d'équations suivant :

dtPj2 dec, dt/,

*i + -, — r y4 + etc. - — - — xm -f - — - — t/m = 0

diy1dx1 àyt d2Y d2Y

(Kl . C1lvi>]

. in

dx. dt/m

dy4 d£Cm

dt/t dt/m

Vm =

doCjn^

dcCmdl/m

Xni

ym =

dymdxm

daîj dxmdy,

d2Y d2Y "a — a — xt + Â — j— Vi + etc. - — - — xm + - — , ym = 0 dl/mdXj dl/mdî/j dymdxm aj/m*

Le nombre des termes de ces équations est diminué d'ailleurs par la considéra-

non que :, et ; — deviennent nuls, aussi souvent que les s

ûxf àxg dxf àyg àyf dyg

indices fet g diffèrent de plus d'une unité.

Le nombre de nos équations est de 2m et elles renferment 2m inconnues xv

yi} , xm, ym- Comme toutes ces inconnues ne peuvent devenir nulles (le -

rayon B devant être différent de A), on peut diviser toutes les équations par une des inconnues xu qui ne devient pas nulle, et considérer les (2m— 1) autres inconnues divisées par xi comme de nouvelles inconnues. On a alors 2m équations avec 2m — 1 inconnues, en sorte que, si l'on élimine les inconnues, il reste encore

une équation dans laquelle les grandeurs «n yt xm,ym, ne figurent plus,»

mais qui ne contient que les dérivées secondes partielles de Y. Cette dernière équation, dans laquelle on égale à 0 le déterminant des équations U), est lai relation cherchée pour la position des foyers.

Le déterminant des équations k) est facile à former d'après les règles connues (1). C'est une somme de termes dont le premier est le produit

(Py d2Y d2Y d2Y d2Y

■ • etc. — . — ~ — •

dx, . dx, dy 4 . dt/, dx2 . dx2 axm . axm dt/m . aym

On obtient les autres termes de la somme, en laissant invariables les premiers facteurs des dénominateurs des dérivées, mais faisant toutes les permutations pos* sibles avec les seconds, et faisant changer le signe du terme à chaque permu-i tation.

Ainsi, dans le langage du calcul différentiel, le chemin d'un rayon entre « deux extrémités est déterminé par la condition que la différentielle première da la longueur optique soit égale à zéro. Ces deux extrémités coïncident avec les ■ foyers si la seconde différentielle de la longueur optique peut aussi devenir nulle. Dans ce dernier cas, la longueur optique n'est pas forcément un maximum ou un minimum.

(1) Voy. .Iàcobi, in Crdh's Journ. fur Math., XXII.

l9 RÉFRACTION DANS LES PRISMES. (25°) 333