RÉFRACTION DANS LES PRISMES
les deui dernières équations expriment seulement les conditions pour que les eux rayons puissent être considérés comme parallèles pendant le trajet infiniment ourt à travers le prisme, ce qui va de soi, si leurs points de convergence sont nûniment éloignés en comparaison du chemin parcouru dans le prisme. Nous avons donc exprimé deux des inconnues Au et AÇ au moyen des deux atres, Ay et A;. Nous pouvons maintenant tirer des équations 5), par élimination, eux nouvelles équations qui ne contiennent plus la quantité négligeable r, et des-
uellcs nous pouvons déduire les rapports — et — . Nous obtenons une semblable équation en ajoutant 7b) et 7d) :
— cos m cos vAy H (1 — » cos*-v) As H cos p cosv Au
r0 ro ?»
^ (4— n2 cos2 v) AÇ= 0
»our obtenir la seconde, multiplions l'équation 7 a) par
y = ■ . * ■■ (cos m 4- cos u cos «), sur «p
'équation 7c) par
'équation 7b) par
v — . * ■ (cos u 4- cos m cos w), sin2 f v ^ r"
2 — Ç = r, cos
t ajoutons les trois équations ; tous les termes où — entre comme facteur dispaaissent, et iL vient
{(< — n2 cos2 m) Ay — n2cos m cos v As]
-\ { — n2 cos ro cos v Ay + (1 — n2 cos' v) As) V . . . 8d).
+ — {0 — n2 cos2 /*) Au + n2 cos p cos v AC} = 0
>i l'on tire de 8a) et 8b) les valeurs de Au et AÇ en fonction de Ay et As et qu'on substitue dans 8c) et 8d), on obtient deuî équations qui contiennent les quan-
ités inconnues — et -. En éliminant l'une d'elles, on obtient pour l'autre une
qualion ne contenant que le carré de la variable, qui présente deux racines, uomme, pour chaque combinaison des valeurs arbitraires des angles m, v, Oïl
btient une ou deux valeurs numériques déterminées du rapport -1 r varie
proportionnellement à r0 pour chaque direction donnée du faisceau lumineux. Si
336 (253) DEUXIÈME PARTIE. - DES SENSATIONS VISUELLES. s 19 r0 devient infini, il en est de même de rt. Il est inutile d'écrire ici les équati< m résultant de l'élimination. Nous n'allons étudier que les cas particuliers qui nous intéressent pour nos expériences.
I. — Cherchons d'abord dans quels cas la lumière homocentrique reste homocentrique après sa infraction dans le prisme.
Pour que tous les rayons émanés d'un même point lumineux puissent se rencontrer, les conditions d'intersection 8c) et 8d) doivent être remplies, quelles que soient d'ailleurs les valeurs choisies pour A,y et Az. On peut donc égaler à 0 chacune de ces quantités, et l'on obtient les conditions suivantes.
1° Si, dans 8c), on pose Ay = 0, d'où, d'après 8a) et 8b), Av=0 et AÇ=Az,
il vient ^ + ^-j (1 — n2 cos2 v) = 0 9a),
Maintenant, comme, d'après 6a), n cosv= , le second facteur de cette équa-
tion ne peut devenir nul que si r0 — c — z, si, par conséquent, le rayon lumineux rencontre la surface réfringente en rasant, cas où il ne peut la traverser. Il faut donc que le premier facteur de 9a) soit nul, c'est-à-dire
rs — ro* 2° Si, dans 8d) on pose Az = 0, et r2 = — r0, on a
0 == (1 -f" n4 sin2 v + n2 c°s2 v) (cos2 m — coss p). Le premier facteur, égal à 1 -f- n% n'est jamais nul, d'où
cos m = =b cos fx 9b).
3° Si l'on pose Az = 0dans 8c), ou Ay = 0 dans 8d), et r% = — r0, on a, en. tenant compte de 6b),
(1 — n8) cos v siu2 <p = 0.
Mais y étant l'angle de réfraction du prisme, sin y ne peut pas être nul; on a donc
cos v = o )
Par conséquent, le rayon est tout entier dans un plan perpendiculaire à l'arête réfringente. Nous écrivons, d'après 6a), l'équation 9b) sous la forme
y — v cos y = =b (v — y cos <p)
y (1 ± COS w) — db V (1 ± COS u>),
d'où
Maintenant, si c désigne l'angle d'incidence sur la première surface, c, l'angle de
§ 19. UOMOCENTBICITÉ DANS UîS PRISMES. 337
réfraction, >?, l'angle d'incidence, dans l'intérieur du prisme, sur la seconde surface, r, l'angle de réfraction dans l'air.
v sin y » sin <p cos £, = , cos y,. = " 1 ;
donc, d'après les hypothèses faites,
cos e, = cos nl , et sin e = n sin e, = n sin y?, = sin »j;
c'est-à-dire que, pour que les rayons restent homocentriques, il faut que les angles du rayon et de la normale au point d'incidence soient égaux des deux côtés du prisme.
Celte direction suivant laquelle les rayons homocentriques" doivent traverser le prisme pour rester homocentriques, est encore remarquable par celte propriété que la déviation du rayon de sa route primitive est un minimum.
En transformant les coordonnées du premier système a, b, e, x et y, d'après les équations 5a), en coordonnées du second système, nous obtenons les cosinus des angles que fait le rayon à son entrée avec les axes des a, (3 et y du second système, respectivement égaux à
a cos y -f (b—y) sin y (b — y) cos y — a sin y c — z
ro r0 r
les cosinus correspondants des angles que fait le rayon à sa sortie avec les axes des «, (3, y, sont
COS to — —
rs r* rt
Si nous désignons par w l'angle des deux directions du rayon à l'entrée et à la sortie, on a
° cos y + (b—y) sin y a (b—y) cos y — a sin y (j3— v)
Au moyen des équations 5) et 6) on peut éliminer ici les quantités a, b, c, «» (i, y. On a d'abord
~ — \ I \—ri> (?y~ v cos + (=— Qa m /naoasin > / s ^ r0 ~ V
Si l'une des deux racines devient imaginaire, nous avons réflexion totale du rayon wr la surface correspondante. Les valeurs des rapports —2 r~z- v ~^
338 (255) DEUXIÈME PÀHTIE. - DES SENSATIONS VISUELLES. § 19. sont immédiatement données par les équations 6). En les supposant transportées dans l'expression do cos w, on obtient côSci en fonction de y, v, z et Ç; on petft même arriver facilement à n'y obtenir les deux dernières (quantités que contenues dans r.. On obtient la valeur suivante :
sin -m , cos w = — ?i- + n- (y — yv cos <p v-)
sin y , . : — —
— h (y — v cos f) k" ir y- sin 8y — {n- — 1 ) r42
sin u> , *
— n — (v — «/ cos «p) ^ na vâ sin -tp — (n* — i) i\-
ri
cos y l^7i- 1/ sin — (?r— 1 ) c, ^ kV sin -<p— (n2— ^r,2 ]
Considérons les quantités a; et y comme constantes, et cherchons à déterminer v et Ç de manière que l'angle a> soit un maximum ; nous devons poser
("Ito du)
— = 0 et — == 0.
dv dÇ
Comme Ç n'est contenu que dans ?\ dans la valeur de cos w, nous pouvons aussi écrire la dernière équation
^ = L d (cos "} . (ç s) = 0. I
à% sinw à (!•,») v
Cette équation est satisfaite pour toutes les valeurs de y, si nous posons
Cette solution ne pourrait être inadmissible que dans les deux cas où l'on aurait sin g> = 0, car alors le rayon ne pourrait être réfracté, ce qui ne peut se produire que pour des surfaces parallèles, ou bien où la dérivée de cos u> prendrait une valeur infinie, son dénominateur devenant égal à zéro. On conclut facilement de 10b) que le dénominateur ne peut renfermer que i\ et les deux radicaux. Mais r\ ne peut devenir nul tant que y et v ont les valeurs positives, même infiniment petites, qu'ils doivent avoir pour que le rayon puisse traverser le prisme. De plus, à cause des équations 6a) les racines ne peuvent devenir nulles, si le rayon doit se propager dans l'espace en avant et en arrière du prisme. Nous remplissons donc la condition
dot
pour toutes les valeurs de v, en posant
Il s'ensuit comme plus haut, d'après les équatioûs 6),
§ 19. IIOMOCENTRK'.ITÉ DANS I.KS PUlSMliS. (256) 339
tous les points du rayon sont donc situés dans un plan perpendiculaire à l'arête réfringente (axe des z).
Pour satisfaire à la seconde condition, qui doit être remplie pour donner à w une valeur maximum, c'est-à-dire
dw
— = 0, àv
nous pouvons d'abord simplifier l'expression de cos w, en y faisant z = Ç, d'où
r4a = y* -f- o!i — 2yu cos «p.
Remplaçons y par une nouvelle variable g, en posant
v disparaît alors de l'expression de cos w dans l'équation 10b) ; il en est de même de y, et cos &> devient une fonction de q seul,
cos (i> = f (q) .
Mais, comme cos w ne change pas si l'on permute partout les deux lettres y et v, on a, pour chaque valeur de q,
cos-w = f (q) = f
Posous de plus
if =m
on a
dt> y y \ </ / 9
Pourw = y, c'est-à-dire ç = l, il vient
d'où /"(O — o,
par conséquent aussi
(1 COS w
du
et, si en même temps sin u> n'est pas nul,
dw d cos w J 0
dû " '
Si donc
on a en même temps
ilr,)
aS :
et ta est une valeur limite. La recherche delà dérivée seconde prouve que, dans ce cas, t*> est un maximum. L'angle du rayon réfracté avec le prolongement du
du
t et
0 et
dû ~
3/i0 (2Ô7) DEUXIÈME PARTIE. — DES SENSATIONS VISUELLES, § 19. rayon incident, qui est le supplément de w, cl qui mesure la déviation du rayon de sa roule primitive, est donc un minimum,
Le maximum de w se trouve en posant, dans 10b), y=v et z=Ç,
•== (o + 2 arc cos Çn sia
Donc : Un faisceau infiniment mince de rayons homocentriques émanant d'un point situé à une distance finie, ne peut rester homocentrique après sa réfraction à travers un prisme que si la déviation est un minimum, c'est-à-dire si le faisceau se meut dans un plan perpendiculaire à l'arête réfringente et fait des angles égaux avec les deux surfaces du prisme.
Dans ces circonstances, il se produira donc, après réfraction, une image virtuelle du point lumineux placée du même côté et à la même distance du prisme que le point lui-même. Mais cette image se trouve dans une autre position : vue
du prisme elle paraît déplacée de l'angle — « vers l'arête réfringente. H, — Cas de la réfraction non homocentrique.
Si l'on regarde un point lumineux, son image ne peut être nette qu'à la condition que la lumière soit homocentrique après réfraction. Si c'est au contraire une ligne lumineuse que l'on regarde, celles des aberrations des rayons qui se présentent suivant la direction de l'image de cette ligne ne nuisent aucunement à la netteté de l'image. Or c'est là le cas ordinaire dans le spectre. Ainsi, si la ligne lumineuse est parallèle à l'arête réfringente du prisme, laquelle est dirigée suivant l'axe des z, les aberrations suivant la direction des z ne nuisent aucunement, tandis que le contraire a lieu pour celles comprises dans le plan mené par le rayon perpendiculairement à cet axe. Dans ces conditions, les équations 8b), 8c) et 8 d) doivent être satisfaites par AÇ = 0 pour l'une, et par àv = 0 pour l'autre des lignes focales. Celte dernière relation entraîne Au = 0 et As = AÇ; alors 8c) donne
(1— n2 cos -v) = 0,
d'où r% = — r0 • - • "a),
et 8d) donne (1— n2) cos v sin2 <p = 0.
d'où, comme plus haut (9c) cos y == 0
et c— z == z — Ç == y — Ç « 0.
Quand celte dernière condition est remplie, les aberrations Mj sont situées dans un plan mené, par le rayon, perpendiculairement à l'axe Az. Elles correspondent donc au second plan de convergence, qu'on sait devoir être perpendiculaire a celui qu'il nous faut chercher. La distance focale des rayons relative au plan de convergence perpendiculaire à l'arête réfringente s'obtient en faisant simultanément, dans 8d), Az =0 et cos v = 0, ce qui entraîne AÇ = 0, et il vient
1 (1 — n2 cos 2m) y" -f — (1 — n- cos V) v* = 0 ,
g ,9 REFRACTION NON HOMOCKNTRïQUE. (25S)
ou si comme précédemment, nous nommons e âl r> les angles d'incidence sur les deux faces du prisme, dans l'air, el 4 et * ; les angles d'incidencedans le verre,
on a
v sin w y si» <p
COS E. = COS yjj = 1
1/ V COS «p
sin e = n sin £ , = n ' ■ = « cos m
sin >j = w cos p ; substituant ces expressions, notre relation devient
r COS "E, COS -y)
r0 cos -£ cos2»j,
COS" y?, COS "£|
011 r* "c^sV"" ''° ™S2£
'** [4 + Kl - - r"[4 +
Sous cette dernière forme, on reconnaît aisément que — ra augmente et rfl diminue, quand £ augmente et y, diminue. La plus grande dislance focale appartient donc au côté du prisme où l'angle d'incidence est moindre.
Pour la déviation minimum, e étant égal à „, on a aussi r^ — r^ c'est-à-dire qu'alors la dislance focale dans le plan perpendiculaire à l'arête réfringente est égale à la distance focale dans le plan parallèle à cette arête.
I 'imagé d'une ligne lumineuse parallèle à l'arête réfringente se forme a 1 endroit où se produit, d'après l'équation 11b), la réunion des rayons compris dans un plan perpendiculaire à l'arête ; donc la distance du prisme à l image d une ligne lumineuse parallèle à l'arête réfringente est plus grande que la distance l V objet au prisme, quand l'angle d'incidence sur la première face rencontrée par les rayons est plus grand que celui qui appartient à la déviation minimum . La distance dît prisme à l'image est au contraire moindre que celle de V objet au prisme, quand le premier angle d'incidence est moindre que celui relatif a
la moindre déviation.
On voit donc que si l'on regarde une semblable ligne lumineuse à travers un prisme, soit à l'œil nu, soit à travers une lunette, si l'on est dans le cas de la déviation minimum, il faut mettre l'œil ou la lunette au point pour la distance véritable de l'objet. Mais si l'on vient h faire tourner alors le prisme autour d'un axe parallèle à l'prête réfringente, il faut faire varier en même temps l'adaptation de [«œil ou de la lunette. Dans le seul cas où l'objet esl infiniment loin, l'image étant aussi à l'infini, on peut laisser constante l'adaptation de l'œil ou de la lunette pour toutes les positions du prisme.
Quand l'objet est une ligne lumineuse verticale qui émet de la lumière monochromatique, rouge par exemple, son image, vue à travers un prisme situé verticalement, est également une ligne verticale. Si la ligne émet en même temps de la lumière violette, les rayons violets donnent également, au moyen du prisme,
m (259) DEUXIÈME PARTIE. — DES SENSATIONS VISUELLES. § 19. une ligne droite verticale, mais cette ligne est plus éloignée de l'objet lumineux que la ligne rouge, à cause de la réfrangibilité plus grande de la lumière violette. Enfin si la ligne émet de la couleur présentant tous les degrés de réfrangibilité compris entre le rouge et le violet, à chacun des degrés de réfrangibilité répond une image séparée de la ligne verticale, et ces images linéaires viennent se ranger entre l'image rouge et l'image violette, suivant l'ordre de leur réfrangibilité, de manière à constituer un spectre de forme rectangulaire. Si la lumière émise par l'objet contient une série non interrompue de rayons présentant tous les degrés de réfrangibilité successifs, le spectre forme également une surface lumineuse continue. Certains degrés de réfrangibilité viennent-ils à manquer, les images linéaires correspondantes manquent également dans le spectre, el, à leur place, on voit le spectre interrompu par des lignes sombres verticales nommées lignes de Fraunhofer.
Largeur apparente des images prismatiques.
Comme il est impossible de produire des lignes lumineuses mathématiques, et que l'on est réduit à prendre pour objets, dans les expériences, des surfaces lumineuses étroites, les images de ces surfaces étroites présentent nécessairement une certaine largeur que nous allons déterminer.
Nommons toujours e et c , les angles d'incidence et de réfraction sur la première surface, yi{ et y? ces angles à la rencontre de la seconde surface, les angles f , et ni étant situés à l'intérieur du prisme; nommons <p l'angle réfringent, on a
sin c = n sin £ , \
sin'yj = n sin y> , > . 12).
^1 + £i = f ' Prenons une fente très-éloignée, et nommons de l'angle très-petit sous lequel cette fente est vue à partir du prisme; l'angle d'incidence delà lumière qui provient de l'un des bords de la fente étant £, celle qui provient de l'autre bord arrive sous un angle e + de. Pour ce second rayon, les angles tv ni et n deviennent respectivement £, +de,, yjj +d»j, et y? +cl*j. La diflerentiation des équations 12) donne alors
cos £ d £ = n cos .£, de,
COSyjdyj = HCOSvj, Ayi{ drj, + d e, == 0.
éliminant de, et dïj,, il vient
• cos £ . COS y)
cos n . cos £,
ce qui donne la valeur de l'angle d*j sous lequel la fente apparaît après réfraction par le prisme. Si la réfraction se produit sous l'angle de déviation minimum, ce qui entraîne
il vient
Dans ce cas, la grandeur apparente de la fente reste donc inaltérée.
g 19 PURETE DU SPECTRli. m
La valeur la plus grande que puisse atteindre t est celle d'un angle droit ; quand le rayon marche vers l'arête réfringente en longeant la surface réfringente, les antres angles restant aigus, leurs cosinus ne s'annulent pas, et il vient
drj = 0
On voit que, pour cette position, l'image de la fente est infiniment mince ; or, en pratique il est clair qu'on peut se rapprocher de l'incidente rasante de la lumière, mais qu'on ne peut jamais l'atteindre. Le contraire se produit quand on tient le prisme de manière que la lumière sorte presque en le rasant, cos „ devenant a pou près nul. On a alors
d yj
— oo.
de
Si r0
est la distance de la fente au prisme et y, la distance apparente du prisme à l^age pour des ravc.ns divergeant dans un plan horizontal, 11b) donne
*/r] : f = dyj : Uç.
Pureté du spectre.
Plus la différence An de l'indice de réfraction des couleurs qui se superposent en un même endroit du spectre est faible, plus le spectre est pur; nous pouvons donc considérer la valeur de dn comme mesurant l'impureté.
Nommons rayon réfracté celui qui va de l'endroit considéré du spectre au point nodal de l'œil; la position de ce rayon, et, par suite, la valeur de l'angle sont déterminées. Au contraire, l'angle , est différent pour des rayons qui proviennent des différentes parties de la fente, et, pour les différentes couleurs, lind.ee de réfraction diffère. Dans les trois équations
sin t = » sin t., sin yj = n sin y?, ,
considérons f et „ comme constants, ,, u, n, et n comme variables, la différentiation nous donne les équations
cos t àz --- sin e, d/i + n cose, de, , 0 p= sin y?, dn + »» cosyj, d«, , drj, + de, == 0; éliminant de, etd»,, nous obtenons I cose . cosnt . de = (sine, cos-fl.+cose.sinrîOdn
= sin <p . dn.
Si nous entendons par de la largeur apparente de la fente, vue du prisme, la mesure de l'impureté du spectre est
dn «
(:0St ; C0Srî' iU 13).
sin œ
mH (MÛ) DEUXIÈME PAHTIK. - DÈS SENSATIONS VISUELLES. g 19 .
Quand t s'approche de l'angle droit, c'est-à-dire pour l'incidence rasante de la lumière, il vient cos e = 0, et par suite aussi dn = 0. Pour une grandeur donnée de la fente, c'est donc dans ces conditions que le spectre devient le „|„s pur; mais en même temps, pour une incidence aussi oblique, l'ouverture du prisme devient très-petite, la perle de lumière devient très grande et en somme, il reste plus avantageux d'obtenir la pureté du spectre en rétrécissant la lente de manière à diminuer de, ce qui ne présente ordinairement aucune difficulté.
Intensité lumineuse du spectre.
En ce qui concerne l'intensité lumineuse du spectre, si l'on néglige les pertes causées par la réflexion de la lumière sur les surfaces de verre, et si l'ouverture du prisme est plus grande que celle de la pupille ou que celle de l'objectif, suivant qu'on observe à l'œil nu ou avec une lunette, le rapport de l'intensité '// de la fente, relative à une couleur simple quelconque, à l'intensité de son image, est égal à l'inverse du rapport de la largeur de de la feule à la largeur dv de l'image : on a
hàt = /t, drj ,
ou bien, en tenant compte du rapport précédemment trouvé, de deà dr„
, cos n cos e,
COS e COS y; ,
Or l'intensité // d'un endroit quelconque du spectre est égale à la somme des intensités kt de toutes les couleurs simples qui viennent s'y superposer. En général, nous pouvons admettre que des couleurs simples, de longueur d'onde >. très-peu différente, possèdent la même intensité. Si nous désignons par d\ et par dn L'intervalle de la longueur d'onde et de la réfrangibililé qui comprend les couleurs qui se superposent, nous pouvons écrire
dn
et, en substituant la valeur de dn donnée par 13), il vient
COS y) cos E j d\
H = h : de . -— ,
sin <p an
où e désigne la largeur apparente delà fente. Pour comprendre la signification de celle expression de H, remarquons encore que si nous déterminons l'angle dr? sous lequel les couleurs comprises dans l'intervalle dn sont vues dans le spectre idéal, parfaitement pur, qu'on obtiendrait en remplaçant la fente par une ligne
