RÉFRACTION DANS LES PRISMES
Nous supposons la position du point lumineux déterminée par trois coordonnées rectangulaires a, b, c, en sorte que l'axe des c coïncide avec l'arête réfringente, le plan des bc avec la première surface réfringente, et que les a positifs soient en dehors du prisme. Soit a — 0, b=y, c==z, les coordonnées du point d'intersection du rayon avec cette surface. Définissons, de même, un point du rayon après sa sortie du prisme, par trois coordonnées rectangulaires a, 6, y, appartenant à un second système dans lequel l'axe des y coïncide encore avec l'arête, niais dont le plan des (3> coïncide avec la seconde surface, les a positifs étant encore en dehors du prisme. Comptons les y du même point de l'arête que les c, en sorte que le plan ab du premier système soit identique avec le plan a3 du second. Soit, pour le point de sortie du rayon, a = v, (3 = 0, y = C Soit <p l'angle du prisme et n l'indice de réfraction de la substance du prisme par rapport au milieu extérieur. Soit r0 la longueur du rayon en deçà, r, à l'intérieur, r% en arrière du prisme, Y la longueur optique du rayon tout entier, on a r0 = f"a» + (6 y)« + (c-s)2 \
r, = ^y* — 2yo cos <p + t>2 + («— 9* f B).
Si nous exprimons les coordonnées du premier système en fonction de celles du second, on a
a = — a cos y — b sin (p \
P = — a sin <p + b cos «p > 6 a).
D'après le théorème I, pour que le rayon soit réfracté suivant la loi connue, il
doit remplir les conditions suivantes :
dY y — b y — v cos «p o = — = — h n :
dy r0
dY v — S . v — y cos cp
ùv r2 r,
dY z — c , z — Ç 0 = — = 1- n
àz r0 r{ dY Ç— y , S—
dÇ r2 r, Posons les notations suivantes :
h — y y — 1> cos tp
=== cos m
nr0 r,
g — v v — y cos «p 1 „ .
! = - - = cos y. } 6 a),
nr, r,
= cos v
nr0 nr2 rt
334 (251) DEUXIEME PARTIE. - DES SENSATIONS VISUELLES. § M d'où l'on déduit
sin2 tf> sin* v = cos* m -f 2 cos m cos p cos <p -f cos2 f*. ... 6b) et, tenant compte de ces notations, formons la dérivée seconde de Y, on aura pour le système des équations h) qui donnent la position des fovers, elles rao ports des différences infiniment petites Ay, Az, Av, AÇ relatives aux coordonnées y, z, v et C de deux rayons voisins se coupant en deux foyers conjugués,
\~ (1 - n2 cos* m) + ~ sin2 m] Ay—(- + l) cos m cos v As
ii n ~ — (cos f -f cos m cos fx) Av -i cos m cos v AÇ = 0
— fr- + "rj cos m cosviy -f ^ (1— n« cos2 v) + ~ sin2v)J Az
kr0 r
cos u. cos vAv sina VAC == 0
(cos <p -f cos m cos a) Ay cos u cos v Az
+ [k (1 ~n2 cos2 m) + ^ sin2 **] Av + (r + r) cos * cos v AC==0
— cos m cos v Ay sin2 v Az
W r) C0SF C0SvAu + [— n*cosN) + -sm2vjAÇ = 0
En général, on pourra négliger i\, longueur du chemin parcouru par les rayons dans le prisme, par rapport aux chemins r0 et r2 en dehors du prisme. Multipliant les quatre équations par ri et négligeant comme infiniment petits les
termes multipliés par -i ou ~ , nous obtenons les trois équations suivantes [7b) et 7d) donnent deux équations identiques] :
sin2 m Ay — (cos «p -f- cos m cos j*) Au — cos m cos v (Az —AQ — 0 \
— cos m cos v Ay — cos fx cos v Au -f sin'2 v (Az — AQ = 0 | . . . 8).
— (cos <p + cos m cos p) Ay + sin2 ^ Av — cos f* cos v (Az — AQ = 0 J
Mais, de ces trois équations, une se déduit des deux autres, en sorte que, par l'élimination de (Az — AÇ) ou de Av, elles se réduisent à
(cos fx + cos m cos f) Ay = (cos m -f- cos fx cos «p) Au
Ay Av >. . . . 8a),
ou —
et (As — AÇ) (cos m -j- cos fx cos <p) = cos v sin* y Ay
As — AÇ Ay Av }• • • • 8b)-
ou
