S7. ÉTUDE THÉORIQUE DE LA LOI DES ROTATIONS. (SOS) W

!• Pour la périphérie, en la supposant parcoarae dans le sens où croissent tes 0,

0==sin« -- de — Itt— * +C«««I -. — J

da VdO ' I 2m a f

^ eolf f» I lia a . lin (ii~0) dO «f coi (n— 0) éa 1 ]

2* Pour la sorfiice dn champ de regard,

d /. di|\ , 4 dS)

Il (aat ajouter enfin l*équation 6 e), gui peut Clément sintégrer une fois,

cotg f* /(< —ces a) de =3/[— lin « ooi (^-^e) dO + tin (n-^B) d«]|.... 7b)

ces deux intégrales étant relatives à toute la périphérie. L'intégrale du premier membre, qui est multipliée par cot fA, est, comme on sait, l'expression de la surfine dn champ de regard Four simplifier ces équations^ introduisons à la place de a une autre variable

p = Ipgnat. Ung ±,

ce qui donne

àa 4— ••?

dp = -: — - — -- = CCS a

^ sm a 4 + e*P

et si i|» est une fonction quelconque de a, on a

Substituant ces valeurs dans 7a), on obtient, pour l'intérieur du champ, l'équation

d% dS \

^Ton déduit de 7), pour la périphérie :

+ cos(n— e)d9

de > . . . . 7d)

6A8 {Wi) TROISIÈME PARTIE. -* DES PERCEPTIONS VISUELLES. 1 17. et enfin, de 7b,

On sait que toutes ks intégrales réelles de l'équation 7c) peuvent être reproduites par la partie réelle d*une fonction qndconque ^ de la quantité complexe p + et^— 1. Si l'on pose

où f et^sont réels et t =1^^, 9^^ x P^^^t (tre également l'intégrale de l'équation 7c).

Pour que f soit une intégrale appropriée à notre but, il &ut d'abord qa'eBe soit finie et déterminée pour tous les points de l'intérieur du champ de r^, même pour a = 0 ou pour p => — oo. U faut, de plus, qu'elle satisfasse, le loog du bord du champ de regard, aux équations 7d) et 7eX

Si nous nommons ^' la dérivée de ^ par rapport à la variable complexe P + e t, il résulte de l'équation 8) :

dp ^ dp^ dp

et en éliminant 4^, ou bien

de ^ de^ de' dp dp • de de dp ^ de (,

Posons de plus

de dp /

dp cene quantité est Clément une fonction de p + Bi, et l'on a

de ^ dp dp de

et

Y^=eXe?cosi^—B) \ ^^^

Y^ = —e^e? sin {<f—B) )

Substituant maintenant y à u dans réquation 7d) et multipliant par

en posant

cr = ^ + lognal. (<+e*/5),

ÉTUDE théorique: de la loi des rotations, {SOS) 649 it, en tenant compte des équations 8a) et 8c),

^ """^"è ^^ + ^'■55"^? + ^^^*'* [l'ide-Kodp] . . 8d). équation est une différentielle complète, car, d'après 8b)^

dp d» V V'

'ectireinent, si nous intégrons la fonction Kpar rapport à la variable complexe ) t, et que l'intégrale soit

obtenons

dp ^ d(3 • ^ •

de ^ de • '"

" dp de

♦ "~ ds ~ de •

tégrée, l'équation 8d) donne donc pour la périphérie du champ

(7 = e» — îcotg f» . #0 } 8e)

ff=X + lognat. (4 +e'/3)= log nat. [C+2 colg jj. . ♦o]). . . 80.

les ooasuntes C et fi doivent finalement satisfaire aussi à l'équation 7e), si

le f< est celui qui répond le mieux aux exigences du principe de la plus facile

tation.

-, on peut montrer que la valeur cotg ft = 0 satisfait simultanément aux équa-

8 f) et 7e). En effet, on a pour l'intégrale prise pour toute la périphérie du

/r.de+r.dp=/!|Lde + ^dp=o,

Qsi que cela résulte de l'hypothèse laite sur <p, la valeur ^, est partout finie terminée ; car cette intégrale est égale à la différence des valeurs que prend ^^ léroe point delà périphérie, avant et après en avoir fait le tour complet. Subaotaux quantités Y^ et Y^ leurs valeurs tirées de 8c), il vient

0 =y/V^^ [cos (y-e) de — sin (v> — 9) dp] .

si Ton pose cotg ft = 0, il résulte de 8f ) que la quantité a devient constante

iM 9m TROISIËM B PARTIE. — DES PEIICCFTIO!CS VISOBLLES. § S7. pour toale b périphérie, et qa'on ptwt, pv cwMCii|Mitf, fiûre mtîr lefKleor^ do s^^œ d*iiitégntioiL Nous afoos donc, en posant cotgft = 0,

^ =yr:p?j [«« <^--®> * - «^ <^--^ *] '

d'oà il résolte qoe l'équation 7e) est satisfaite dans notre hypothèse.

Je ne fois pas encore le moyen de résoodre, poor une tonne quelconque do champ de regard, la question de safoir si des Taleors antres que cotgfA=0 ponrraient satisfaire aux conditions de ta question. Mais comme, en réalité, le chunp de regard se rapproche assez de ta forme drcnlaire. il nous suffira de défflootrer que, pour une forme drcalaire, il n'existe pas d'autre Taieor réelle que fi = 0.

Loi des rotations pour un champ de regard circulaire, — Gomme la foDCtion 19 que nous cherchons doit être ta partie réelle d'une fonction arbitraire de P 4- 0 1 qui ne derienne ni infinie, ni indéterminée pour aucun point da champ de regard, y compris (} = — cx>, elle est, engénéral, de tafonne

n^ A, + A.efi eos (0 + c,) + Ày? cos (26 + c.) ]

+ A^? 008 (39+c,) + etc. j* ' " '

où les lettres Aei c désignent des ooqstantes arbitraires. Le x correspondant sera alors

X = A^e? sin (0 + c,) + A^S sîd (26 + c,) + i43e»^8in(3Ô+C3) + etc.

et si l'on a cotg fi = 0, Téquation de la périphérie devient

X = *«»"«*• r+ir^ ^^^

La quantité e? que Ton rencontre dans toutes ces questions est égale à tang lia. La question est donc résolue si Ton peut mettre sous la forme 9b) Téquation entre a et 6 qui détermine le contour, car, en partant de ^^ on peut toujours facilement trouver Tangle n qui mesure Técart de la loi de Listing.

Nous allons rechercher maintenant quelle forme prend le champ pour Tliyp thèse d'une valeur constante de y», ou bien, comme la valeur absolue de celle quantité est indifférente, pour

En revanche, nous laisserons indéterminée la valeur de cotg ^.

De cette hypothèse 10) il résulte également ^^ = 0, et les quantités F des éffu^ tions 8c) deviennent :

Ko = «P ces 6 Y^ = e? sin 6

Y, + Y,i=e? + Oi = ^^+^^i.

L'équation 8f ) de la périphérie devient donc

^ -^ e^? = C + 2e? cos 6 . cotg ^.

g i7. ÉTUDE THÉORIQUE DE LA LOI DES ROTATIONS. (507) 654

Remphçant H^ par fMi valeur tang i/2 «, cette équation peut s'écrire

ce qui est l*éqnation d'un cercle. En effet, dans le triangle spbérique ci-contre (fig. 165) on a, d'après ane formule connue,

tang — + (4 —C) cotg — • = 2 cos e . colg ^ }. . . . 40a)

cos p = cos a cos y + sin a sin y . cos 9, ^^-^'^y AT^'^^^^^

œ qui donne, en exprimant sin, a et cos a en fonction '

de tang 1/2 a. Fie. 165.

cos p M + tang* y) = c^ y ( ^ — tang' -r-j + 2 tang «l" . sio y cos 9

ou

(cos p + cos y) tang -2. .}- (cos p — cos y) cotg -^ « 2 sin y cos 9 |... 40b).

Si nous posons donc

cos p — cos y . ^ sin y ^ . v ^ ? == 4 — C et -^ = cotg li .... 10c)

cos p + cos y COS p + cos y )

l'éqaationlOb) est identique avec 10a), et il résulte des deux dernièreséquations une valeur constante de la quantité p qui exprime, sur la surface spbérique, la distance angulaire du point A au point B^ situé à la péripbérie du cbamp de regard. Pour q = 0, la péripbérie du cbamp de regard est donc un cercle dont le centre est en K et qui est décrit par un arc d'ouverture p.

Nous pouvons employer sous la forme 7b) la deuxième équation de la péripbérie. Âiosi que nous Pavons déjà remarqué, — et c'est sous la forme 6 e) que c'est le phs facile à voir, — l'intégrale du premier membre de cette équation donne la soriace du cbamp visuel, que nous voulons maintenant exprimer en fonction de 9, de sorte que nous avons

2 7rcotg^ . (1 — cos p) = — /sin a cos 9d9 + sin 9da |... lOd).

Appliquant maintenant au triangle spbérique de la figure 165 les formules connues ^ trigonométrie spbérique

cos a = cos y cos p — sîn y sin p cos c sin 9 sin a = sin p sin c

et les difièrenciant toutes deux par rapport à a et 9, en considérant p comme connut pour la péripbérie du cbamp visuel, nous trouvons le long de cette péripbérie

cos 9 sin ad9 + sin 9 cos ada = sin p cos cdc sin ada = — sin y sin p sin cdc

Ou

sin y sin* p sin* cdc

sin 9da = —

sin«

652 (SOS) TROISIÈME PARTIE. — DBS PERCEPTIONS VISUELLES. 1 17. Ces Yalenn, tnnqportées dans llntégrale de réqnatiixi lOd), donnent

îir colgtt(l— cosp) s*

/i«in p cos c 4

[pcosf + cosycospsinpcosf— 'Siny tin* p ^

COSpCOSy-— SmySIIIpCOSf

En posant ici» pour abréger

4 4- oûsy cosp es a sin y sin p :^ 6

UDg I = ».

nous pouvons amener l'intégrale à la forme

Sir coCg p(4 — cosp)

/»g-|"^ ^^ , g sinp /* do?

„!LfîL£(a-.v/?:=6i).

Exprimant de nouveau cotg^ aetAen fonction dey etdep, il vient

cos p -|* cou y sm y ' ' ^ ' ^'

ou

2sm*y(4 — cos p) = (cos p 4- cos y) \\ 4- cos y COSp — cos y — COS p])... 10e)

ce qu'on peut encore écrire

(4 — cos y) (4 — COS p) ( 2 + cos y — cos p} = 0 } lOf)

d*où il résulte que la seule valeur réelle de cos y, qui annule cette équation, est

cos y = 4, d*où il résuite

sin y = 0 et cotg p = 0.

La seconde valeur de cos y, que donne l'équation lOf), serait inférieure à— i» à savoir

cos y = cos p — 2

et répondrait par conséquent à un arc imaginaire.

Le calcul qui précède (1) a été fait dans Thypothèse que les mouvements de Toeil s'exécutent avec une égale fréquence dans tous les sens, ce qui n'est assoré-

(1) Le calcul a été poussé plus loin ici que dans la première publication de ces recherdies (^tirchiv fur Ophthaimologie, 1863, IX, 2, p. 195). — J'avais encore considéré, à «tte époque, l'angle p que la ligne de regard forme avec la ligne atrope comme détemnoé «( faible. C'est seulement plus tard qu'il m'a été donné de démontrer que les conséquences do principe sur lequel je me fonde exigent que cet angle soit nul.

a. ÉTUDE THÉORIQUE DE LA LOI DES ROTATIONS- {509) 653

Ht pas absohimeot coofonne à la vérité. En effet, nous maintenons, en général, regard anx environs da milieu du champ qu'il lui est donné de parcourir, et Dme nous parcourons moins fréquemment les parties périphériques du champ, s doivent exercer sur la loi des mouvements une influence moins grande que font les parties centrales. Il m'a paru inutile de tenir compte de cette circon- Dce dans le calcul, car nous ne connaissons pas de chiffres exacts à ce sujet, et st Êicile de se rendre compte de Tinfluence que cela peut avoir sur le résultat l'équation 9), que nous pouvons écrire

ri = Aq -{- A^ taug - ces (ô + c^) + ^t tang* V • ^* (^® + ^a)

+ i4 3 tang*—- CCS (3 6 + «s)» ®*<^-

OÙ nous pouvons encore déplacer l'origine des coordonnées de manière à annur le terme en tang 1/2 a, il résulte que nesik peu près constant pour de petites leurs de a, et que ce n'est que vers la périphérie, où les valeurs de tang 1/2 a îviennent plus grandes, qu'il peut se présenter des écarts sensibles de la loi de sting. Si donc les parties périphériques du champ visuel exercent en général peu influence^ les écarts que la forme non circulaire du champ peut produire par ipport à la loi de Listing doivent être encore moindres que si les parties périlériques étaient souvent parcourues.

De plus, il n'est sans doute pas absolument exact d'admettre que les mouvcents des yeux se produisent, dans le champ visuel, avec une égaie fréquence lus tous les sens. C'est ainsi que je remarque^ chez moi-même, une tendance à riter les mouvements dirigés parallèlement à la périphérie du champ visuel, uticulièrement lorsque je cherche à reconnaître exactement la forme et l'étendue e Tobjet qui occupe mon attention. J'éprouve alors une tendance involontaire tourner la tête de telle sorte que les mouvements du regard viennent se placer ans des méridiens du champ de regard qui passent par la position primaire. C'est insi que je puis suivre du regard, sur une grande longueur, une ligne située verîcalement, sans être tenté de déplacer la tête, tandis que pour parcourir une ^ horizontale placée en haut, il m'est plus naturel de lever la tête, pour amener i ligne dans la position primaire, que d'élever simplement le plan de visée.

II me semble donc que, parmi les mouvements des yeux, ceux-là sont préférés pi parcourent dans le champ de regard des méridiens passant par la position ximairc. Ces mouvements sont aussi ceux qui ne sont accompagnés d'aucune ^tion apparente des objets, et c'est de là, sans doute, que vient leur prépondé- ^SDce. De plus, quand la loi de Listing est devenue généralement applicable aux iftofements d'un certain œil, la tendance à s'écarter de la loi, par suite d'irrégu- ^rités quelconques du champ visuel, doit devenu: moindre.

L Bering (1) a encore insisté sur ce que, par suite de l'inspection fréquente l*oiqels rapprochés, l'œil se dirige relativement bien plus souvent en dedans qu'en Idiurs. Mais, ainsi que Yolkmann l'a montré expérimentalement, et ainsi que ^^ — . I I —

(1) Bdtrâgezur Physiologie, IV, 272.

654 (5iO) TKOISIÈME PARTIE. — DES FEHCEPTIONS VISUELLES. § Î7. nous ayons cherché à l'expliquer théoriquement, il est néoesnire et permis, —do moins pour les yeux myopes, — de séparer Tétude des mouTeiiieiils en étal de parallélisme d'avec ceUe des mouvements pendant la convergence ; par soîtet celte circonstance n'est pas à considérer dans l'étude des mouvements de tonioD qui se produisent pendant le parallélisme.

£n revanche, il ne faut pas oublier que nous employons les potttkms ptrallèks principalement pour les parties supérieures du champ de regard, parce que ce n'est que dans ces régions que nous rencontrons ordinairement des objets trèséloignés ; nous ne faisons guère usage, au contraire, des positions convergentes que pour les parties inférieures du champ visuel, qui comprennent le sol, do» mains et les objets que nous manions. Quand on essaye de regarder avec des lignes visuelles parallèles deux points marqués sur un papier, à une distance égale à celle des yeux, la fusion de leurs images est bien plus difficile à obtenir pour une position abaissée que pour une position élevée du plan visuel ; inversement, la convergence sur un point voisin est bien plus difficile quand sa position exige que noos élevions les yeux que lorsqu'il nous faut regarder en bas : nous devons donc nous attendre, pour les positions convergentes, à voir les mouvements de torsion s'écarter de ce qu'ils seraient pour des positions parallèles, dans le même sens que si la position primaire relative à la convergence était située plus bas et plus en dedans que pour le parallélisme. Et les expériences paraissent jusqu'ici confirmer cette supposition.

Il me parait vraisemblable, d'ailleurs, que des manières individuelles, particulières aux différentes personnes, puissent introduire^ par l'effet de l'habitude, des écarts de toute espèce dans les mouvements des yeux : cela ne doit pas ooos étomier pour une loi qui n'est qu'un effet de l'exercice et qui peut être rompue à volonté. La myopie paraît exercer également une influence considérable, qu'il faut attribuer, soit à l'emploi plus fréquent des positions convergentes, soiiàla difformité du bulbe, qui peut introduire des obstacles mécaniques. L'habitude de verres de lunettes inexactement centrés peut même exercer une influence de ce genre.

Une circonstance qui mérite peut-être de n'être pas oubliée, est la suivante.— La manière dont l'œil est rattaché à la conjonctive et même au tissu connectif el au coussin graisseux de l'orbite est telle, que les mouvements conformes à la loi de Listing produisent les moindres tractions sur ces parties. Toute torsion cousidérablc, non conforme à la loi de Listing, entraînerait nécessairement un tiraillement et un plissement de certaines parties de la conjonctive. On voit donc que sous ce rapport aussi, les mouvements conformes à la loi de Listing seraient accompagnés du moindre effort et de la moindre gène, ainsi que Fick et Meissner l'ont trouvé relativement aux muscles.

Je me permettrai de signaler encore une méthode qui simplifie extraordiiiairement les calculs compliqués relatifs aux positions des points d'un corps mobile autour d'un point fixe, et qui permet bien mieux d'en saisir Tensemble, maisqoi suppose que le lecteur soit familiarisé avec l'application des coordonnées complexes pour les points d'un plan .

§ i7. PROJECTION STËRÉOGRÂPHIQUE DES ROTATIONS. (5ii) 6Ô5

four tramporter màr un plan les points d'une surface sphérique, j'emploierai ta projection stéréograpMque^ généralement employée pour les cartes géographiques. — Soit AB (fig. 166) le plan de projection, C le centre de la sphère ioùt la surface est à projeter, CA'la perpendiculaire abaissée de ce centre sur le pian ABf et dont le prolongement coupe la surface sphérique en />; je me figure ■■ ma situé en /> et les points de la surface spliérique transportés au point du plan oA ils se projetteraient pour l'cûl situé en D. C'est ainsi que pour obtenir la piejecdon du point /"de la sphère, je joins DF et je prolonge cette ligne droite jusqu'à son intersection A avec le plan AB.

On sait que, par œ procédé de projection» les petits éléments de surface du dessin spliérique se représentent par des éléments géométriquement semblables lar le piio» bien que la proportk» de Paugmencatien de gnuDdeur Tarie d'un point à l'autre du dessin plan. Tous b cercles de la sphère se repiésentent sur le plan suivant des cercles ou des lignes droits, lesquelles peuvent être considérées comme des cercles de nyon infinL Ce sont tous les qoAi sur la sphère.

par le point A qui w projettent ainsi suivant des lignes droites, ainsi fil est fMJle de le voir en se figurant les plans de ces cercles, qui coupent le |ta AB suivant dis lignes droites qui sont précisément les projections de ces cerdes.

Les grands cercles qui passent par le point Z>, et qui, pour ce motif, se projettent sur le plan suivant des lignes droites, passent nécessairement par le point /), diamétralement opposé à H; leur projection passe donc par le pied de la perpeodiculaire CK. Ainsi les lignes droites qui passent par le point K, centre du doDu plan, correspondent à des grands cercles.

Pour les points de celui des grands cercles de la sphère qui est parallèle au l/kkAB^ l'angle FDKesX de /i5 degrés, et, par suite, la disUnce A AT est égale à h distance DK^ que nous prendrons pour unité de longueur. Ce cercle se projette donc sur le plan suivant un cercle de rayon 1 et dont le centre est en K,

Hotts le nonunerons cercle équatoriai

Tous les autres grands cercles de la sphère coupent chacun le cercle équatoriai «deux points diamétralement opposés. A ces points correspondent atissi dans le phn deux points diamétralement opposés du cercle équatoriai. Il en résulte que b cercles du plan qui coupent le cercle équatoriai de ce plan en deux points imétralement opposés correspondent à des grands cercles de la sphère.

Si le point G est diamétralement opposé au point F de la sphère, FDG est un 4^ dnnt, et B éunt la projection de 6, de la similitude des triangles AKD et AJW,il résulte

AK: DK =: DK : KB,

EB

Uft aittuKcs éÊ emn M mai fÊajfieûùBÊ é» poôMs dUamétnkniait «ipposéi WÊThwsbèn^mmèmciÊmtÊiÊrmmêtVmtÊtt. BeslcIair^DecesdMKpnh

\ {nr ce centre.

£• fwqection dn pûiia i) ée k iphèie, 4iHi^^ àrntftb

Nommoiii a Vm^McadnFCH, Vu^ imcntFÙB, qià conyrad le mêaieare,a|MNiriiiesiirei/2atelkdirtaiicedeUp^^ jfmatFm

ceatreiTest

ii£^ s Df . laag Y

00| comme no» afons pris DKftmr imité,

AK zszUaÈg-j.

GooridéroDS, comme jÂis ïiiat, le centre Cdeli sphère comme l'onigiiied'aa qritèmedecoocdonttémi^,u,C*Mraied»CMit Unor^ elAMitle phndestiCwit, pnrconaéqaentipÉraUiieaapbiiAA Soit f l'ange que le pi» du dessin fait avec le plan des Çu, et soit r le rayon de la sphère, les coordomiées du point F sont

Ç := r CCS a

u = r sin a CCS t = 2r

a tang — - . cos t

tang -r- . sm t

Ç 8= r sin a sin ( =â 2r •

4 a. iang« |-

£t les coordonnées du point A, que nous nommerons Ç^ m\ C» sont u = i4Â . CCS t = laug — . cos t

Tu

a Z' r= AK . sin ( n=s Ung --- . sin I

s ». PROJECTION STÉKÉOGRAPUIQUË DES ROTATIONS. (SiS) 657

d'où 0 résulte

RénnissaDt y' et C ea une seule yariaUe complexe, on a

« = u' + tC = 7^ « lang| . a" j H).

en posant

et à chaque valeur de x répond un point du pian, et par suite aussi un point de la rarface sphérique.

Nommons x' la valeur de x pour le point diamétralement opposé. Pour ce point, les valeurs de Ç^ u, C sont les mêmes que pour le point A, au signe près. Nous avons donc

Donc

Ha)

Formons maintenant les expressions correspondantes relatives à la position de h spiière après roution autour du point C, position pour laquelle nous avons les coordonnées x, y, z données par les équations le) (page 632). Nommons k la Uleor de x après la rotation, nous avons, d'après l'équation 11),

^jj^ ^ S . sin g + ^ (cos a .costù — t . sin w) + Ç (çqs g . sin o» + » « cos «) r -|- Ç . ces g — u . cos w. sin g — - 1^ . sin w . sin g

^Q exprimant dans cette équation sin g et cos g en fonction de tang 1/2 a, on peut ^^Muener sous la forme

2Ç + (« +•«'0 «-'- cotg ^ (u—tÇ) 0+u UDg ^ Ik = •-10 ! ^

(f +Ç) cotg y + (r-Ç) ting 1 (g + /Ç) ,-f^ („,Q ^/«

iE< co^ ^ — M tang -T- — it'M ?-*- + «*•

I jt + ei* tang ^ j [ *' + " '" ^"^ tÎ

ou bien, camme le numérateur et le dénominateur conlicnnent \e facteur commdo

f%* COtg y + <!»«> J ,

X 4* (?î« lang

1 — ^3E ê^in lang ^

On voit donc que toute rotation de la sphère ne correspond qu'à une traosfc^

m a lion linéaire de la varîal>lc *. Cependant umie tràiïsfoniiatioii linéaire ne réponi

pas à uu simple déplaceipent de la sphère. £n effet, mettons cette transformalioD

sous la forme générale

il vient

4 — xc'

jfc = 0 pour X = — 6

k =: oo pour X = —

X = 0 pour k = ab

X = oo pour fc = .

Mais 0 et po. sont des pointa diamétralement opposés de la sj^iére; il faut donc aussi que

a6 et

soient des points diamétralement opposés. Gela vent dire, d*après lia), que i et c^

ab et — doivent être des quantités complexes coiyugDée& Si oeb a lien poor ^

PHOJEGTION STÉRÉOGHAPHIQUE DES ROTATIONS. (5i5) 659 il résulte de la relation entre ab et — qae a doit avoir le module 1 . La forme

file d'une transformation de ce genre qui oorreqxwde à un mouvement de hère est donc

* = ^^L±i±^j no.

t fadie de voir que Téquation iib) est de cette fraine. La combinaison de ! équation avec la condition

>lace le système compliqué des équations Ib).

mr trouver Taxe de rotation, il fiint remarquer que les points de cet axe conint leur position, ce qui donne pour eux la condition % = k Introduisant condition dans lie), on obtient une équation du second degré eu x dont les racines sont les extrémités diamétralement opposées, x et x , de l'axe i» ion. Cette équation est

résulte

0 = X* H -7 X + —2-- «ti,.

a — b% a — In

x+ x' = -r , xx' = r. «*».

a — 6i a — ot

ne X et x' sont de la forme

X = ««< tang Y

x'= — ««tcotg -|.,

x + J = 2ét colg p; xx' = — «««.

oons posons

o + W = re»,

eii = k^^^ = etX« + -^)

sin(l,)

li définit la position de l'axe de rotation.

l'on a n = 0, on a aussi x + «' = co*g P = 0» ^t l'axe de rotation est alors lèie au plan du dessin. Un semblable mouvement satisfait doue ia loi de ig, si l'on considère la perpendiculaire abaissée du centre de la sphère sur

le plan comme étant la ligne de regard dans sa position primaire» ligne dont la position se trouve déGnie par la coordonnée x = 0.

Employons encore la méthode dont nous venons de faire usage pour calcoler les angles d'écart yj relatiCs au cas où la position à partir de laquelle on a fait les mensurations n'était pas la position primaire, question qui nécessiterait des calculs excessivement longs si Ton voulait la résoudre en partant des équations ib).

Soit a + bi Tordonnée de la position primaire de la ligne de regard. Je la ramène à Torigine, au moyen d'une rotation conforme à la loi de Listing, par \i transformation

Si je dirige maintenant, conformément encore à la loi de Listing, le regard vers un nouveau point pour lequel on ait x = c + di, et, par suite,

^^(c-a) + (ci-6)i

près cette transformation^ la nouvelle variable î devient

^ (c-q) + {d-b)i < +(c + di) (a — bi)

" I 1 Jfc ^'~^^ ~ (^^^ ' ^ 4 + (c— di) (a + bi)

Remplaçant k par sa valeur exprimée eu x, ou oblieut

X — (c + dt) 4 4.(0 — dO (a + bi)

ou

^ +x(c — di) 1 + (c + di) (a — bi) x — {c + di)

ï = ci-n

1 + X (c — di)'

en posant

Cette dernière équation donne n, en la décomposant en sa partie réelle et sa partie t imaginaire, et posant

a -{- bi = reit

e + di z= peir = tang — . «ît z

cos « = « + ^'•P «'OS (t-T) + r'p» cos [i(l-r)] < +2rpcos(«— T) + r*p»

si,, ^ 2 [< 4- rp cos (t — t)] rp sin (t— t) * +2rpcos(t— T) + r''p«

s 27. PROJECTION STÉRÉOGRAPHIQUE DES ROTATIONS. (516) 661

Ces expressions donnent donc les rotations quand, dans les expériences, on est parti d'une position difE&rente de la position primaire. Si l'écart r est faible, le exfU'essioDs deiriennent plus claires en développant en série l'expression de lûg (eh) de l'équation lld)

-p = rp sin (t— t) — - r« p« sin 2 {t—r) -}- — r» p» sin 3 ((— t), etc.

Cette expression est de la forme de l'équation 9 (page 670) et peut être facilement employée pour le calcul des écarts.

Méthode géométrique conduisant au même but. — La projection stéréograpUque des points d'une sphère sur un plan donne encore un moyen commode non-seulement de se représenter par des constructions linéaires simples, mais encore de rendre mesurables les torsions de l'œil, sans avoir recours à des calculs compliqués.

Supposons les points du champ de regard reportés stéréographiquement sur un

plan. — Si l'on a employé pour la mensuration la longitude et la latitude, comme

Fick, Meissner et Wundt, on peut employer à cet effet les tracés des méridiens

et des parallèles d'une demi-mappemonde. Les méridiens mesurent la longitude

de Fick (/des équations ^e et ^f de la page 6^1} et les parallèles mesurent la

latitude de cet auteur (m des mêmes équations). On sait que les méridiens

d*une pareille carte sont des arcs de cercle qui passent par les deux pôles et

ODupent la ligne droite qui représente Téquateur à une distance du centre égale

à It tang 1/2 /, si Ton désigne par R le rayon de la circonférence de la carte. Les

parallèles coupent la périphérie en des points situés à une distance angulaire m

de l'équateur, et le diamètre vertical du cercle à une distance B tang 1/2 m. Ces

remarques suffisent pour construire tous ces cercles.

Si l'on emploie Vangle ascensionnel X et Vangle latéral fi, il faut mettre les deux pôles à droite et à gauche, et Féqualeur verticalement. Alors encore les méridiens mesurent l'angle >, et les parallèles l'angle p.

Si l'on a déterminé, à l'exemple de Yolkmann, la position des points au moyen de méridiens du champ de regard et de distances angulaires mesurées sur ces méridiens à partir du pôle du champ de regard, il faut employer des systèmes de %M8 analogues à ceux employés dans les cartes des régions circumpolaires. Les méridiens du champ de regard sont alors des lignes droites qui passent par le eentre du cercle et s'y coupent sous les mêmes angles que les méridiens. Sur ces l^nes, un arc a, mesuré à partir du pôle, se représente par la longueur B

Ullgl/2a.

Représentons par le cercle afbg (fig. 166 6i>, p. 662) la périphérie de la projeotiofn stéréographique du champ hémisphérique; soit c le centre, qui est l'origiiie des mensurations angulaires, et h le point pour lequel on veut déterminer l*^ng|e de torsion de l'œil. Nous distinguons deux cas :

!• Le centre c répond à la positoin primaire de VœiL — Construction. — \ du point h une perpendiculaire sur la ligne horizontale ob et protonges-h

669 TROISIÈME PARTIE. — DES PERCEPTIONS VISUELLES. g 27.

d'une longueur égale à elle-même, jusqu'en t ; joignez kf et ifi rangk hfi est égal à celui dont le méridien vertical de l'œil s*est éloigné de la vertitale. Cet angle est celui désigné par V dans les équations lie) et /if ) de la pags 641.

Démonstration. — c étant la position primaire de Tceil, quand le regard va de c en A en suivant la ligne droite cA, qui représente un méridien du champ de regard, la loi de Listing veut que la ligne ck glisse sur elle-même. Or, comme dans le plan de la projection stéréographique, des angles dièdres égaux doivent toujours être représentés par des angles égaux, un élément vertical du champ visud qni passe le point de regard c doit faire le même angle avec la ligne cl quand le regard

FiG. 166 bit.

s'est porté en A : il doit donc être resté vertical. En revanche, un plan absolument vertical mené par Tœil et le point h coupe le champ de regard suivant le grand cercle représenté par Tare fhig. L'angle formé par le méridien rétinien vertical et le plan vertical mené par la ligne de regard est égal à Tangle formé en h par la tangente au cercle fhig en ce point avec la ligne verticale Ai, qui est une corde de ce cercle, et cet angle est égal, à son tour, à Tangle A/t, leur mesure commone étant la moitié de Tare Ai.

La construction indiquée présente l'avantage de donner l'angle hfi sans qu'il soit nécessaire de tracer le cercle fhig. Pour déûnir le sens de la rotation, remarquons que le méridien vertical de la rétine est tourné par rapport à la verticale absolue comme la ligne fi par rapport à /A. Ainsi, dans le cas de la figure, m torsion a lieu dans le sens direct.

Construction de la position de l'horizon rétinien. — Abaissez du point h une perpendiculaire sur le diamètre vertical fg^ et prolongez-la d'une longueur égale à elle-même jusqu'en k, joignant ha et ka, l'angle kah mesure l'angle que forment entre eux Vhorizon rétinien et le pian de visée^ pour le regard porté en h. La position de l'horizon rétinien, par rapport au plan de visée, est la même qoe

§ tt7. BECHERGHE DU CEINTRË DE; ROTATION. 668

oHe de ùkpèr npport à ah, c'est-à-dire qae, dans le cas actuel, la rotaiion est de m» inverte.

OémoDStradon — analogue à la précédente.

1* Le centre c ne répond pas à la position primaire de ta ligne de regard. — Dus ce cas, les angles h fi et hak subissent une correction qu'on peut construire de la manière suivante :

Qonatraction. — Soit m le point de la projection qui répond k la position primaire de la ligne Tîsoelle. Joignez mb et prolongea jusqu'en un point n tel ipi^oii ait

ne . me =^ ac , ac

Le point n est alors la projection du i)oînt diamétralement opposé à m dans le diamp de regard sphérique. Joignez An, la rotation du méridien vertical par rapport à la verticale est

Lhfi — 2 L hnm

et la rotation de l'horizon rétinien par rapport au plan de visée est

— Lfiah — %L hnm

Les angles se retranchent quand leur second c6té est tourné dans le même iâens par rapport au côté qui passe par A; ils s'ajoutent quand leur second côté est tourné de sens contraire.

Démonstration. — Comme les poinU m et n sont diamétralement opposés, les cercles menés par m et n, ainsi que la ligne mn, représentent des méridiens du champ de regard qui passent par la position primaire de la ligne de regard, et qui, par suite, se déplacent le long d'eux-mêmes lorsque le regard les parcourt Supposons que l'œil, dirigé d'abord vers c, prenne l'image accidentelle d'une ligne verticale située en ce point ; cette image est verticale elle-même et coïncide avec fg. Amenons le regard en m; en ce point, l'image accidentelle doit encore être verticale. Faisons passer le regard de m en h, en longeant le grand cercle repré- KMté par l'arc mhn ; l'image accidentelle doit faire en A, avec la tangente au Cferde, le même angle que la verticale avec la tangente en m. L'image accidentelle l'éloigné donc de la verticale d'un angle égal à celui que font entre elles les tangentes eu m et en A, ou du double de la valeur de l'angle inscrit hnm dont les QMs comprennent l'arc hm. C'est de cette quantité que l'angle entre l'image aeddentelie et le grand cercle vertical fhig est moindre que dans le cas précédent, 0(1 11 position primaire était en c.

Le même raisonnement s'applique aux images accidentelles négatives, situées sur rborizon rétinien.

Détermination du centre de rotation de l'œil ^ d'après Donders (1). — On détermine d'abonl, à l'aide de rophthahnomètre, le diamètre horizontal de la

(1) Arckiv fUr die hoUândisehen Beitrage lur Natur* und Heilkunde, lU, 8, p. a^O-^ai.

66/1 (5f 7) TROISIÈME PARTIE. — DES PERCEPTIONS VISUELLES. § Î7. cornée. A cet effet, on place immédiatement au-dessus de ropbthaloioinètreiiiie petite flamme qui se réfléchit sur la cornée, et à côté de Tinstrameat oo pboeim point de mire destiné à Tceil observé et qu'on peut déplacer horiiootalenieBt. L*œil est foitement éclairé, d*autre part, par une lampe très-brilhiite, atoée latéralement, et contre les rayons de laquelle on protège rophtlialmnmètre. Oa cherche à disposer Tinstrument de manière que les deux images dn reflet de b flanune se confondent avec les images de deux bords latéraux de la cornée. Pour que cet effet puisse se produire simultanément sur les deux ioiages du reflet lumineux, il faut que le milieu de la cornée soit tourné directement vos l'opbthalmomètre, ce qu*on obtient en déplaçant le point de mire jusqu'à ce qn'ony soit parvenu. L'angle dont il a fallu tourner les lames de rophthalmomëtre répond à la moitié de la largeur de la cornée, et l'on peut en déduire cette largeor pir le calcul, d'après les règles indiquées page 12. L'angle compris entre l'axe de l'ophthalmomètre qui est dirigé vers l'œil, et la ligne de regard qui va de l'œil au point de mire répond à l'angle que forme la ligne de regard avec l'axe de ia cornée.

Pour déterminer l'arc que doit décrire la cornée pour parcourir dans l'eqnce une longueur égale à son diamètre horizontal, on suspendait devant l'œil àobsvver un anneau dans lequel un fil mince était tendu verticalement Puis on déterminait le nombre de d^résdont il fallait faire viser de part et d'antre (eu partantde la position où l'axe de la cornée était dirigé vers la croix de l'ophtbalnioniètre) pour que, la tête restant immobile, les deux bords de la cornée vinssent successivement coïncider avec le cheveu. Le nombre de degrés trouvé indiquait l'angle que l'œil avait décrit autour de son centre de rotation. On trouva bientôt que, pour les yeux normaux, cet angle était d'environ 56*». Aussi Donders commençait-il plus tard chaque mensuration en plaçant deux nouvelles mires à 28° de part et d'autre de celle qui avait servi à amener le reflet lumineux sur le milieu de la cornée. On amenait la tête dans une position telle qu'en fixant Tune des mires latérales l'un des bords de la cornée vnit coïncider avec le cheveu, pois on cherchait si la fixation de la seconde mire latérale faisait coïncider le cbeveo avec le bord opposé de la cornée. En général, cette coïncidence ne se produisait pas exactement, mais l'expérience apprenait s'il fallait décrire un arc plus grand ou plus petiL On rapprochait alors ou l'on éloignait également de la mire moyenne les deux mires latérales , jusqu'à ce qu'on obtint enfin une coïncidence exacte des bords de la cornée avec le cheveu. Pour être certain de n'avoir pas été trompé par des mouvements de la tête, on faisait alors porter alternativement le regard àlplusieurs reprises et avec vivacité vers les deux mires latérales.

Soit a la demi-largeur de la cornée, déterminée avec l'ophthalmomètre, p l'angle qui sépare de la mire moyenne chacune des mires vues par l'œil observé, la distance entre le centre de rotation et la plus grande corde horizontale de la cornée est a cotg j3.

Dans plusieurs cas, et notamment chez des myopes, les mouvements de r<Bil étaient trop restreints pour permettre à la cornée de parcourir l'espace nécessaire. Donders employait alors un anneau muni de deux fils métalliques tendus parallé-

27. ÉTUDE DES ROTATIONS A L'AIDE DES IMAGES ACCIDENTELLES. 665 ament et dont l'intenralle (3"''»02) avait été exactement déterminé. Les mires (aient placées de telle fiiçon que les deux fils répondaient sacce8si?ement, Tan B bord interne et Tautre an bord externe de la cornée. Pour déterminer Tespace tfooaru, il suffisait alors de retrancher la distance des deux fils de la largeur ja'on arait trouvée pour la cornée ; cette valeur servait de base à la continuation kcâaoL Noos avons déjà donné plus haut (page 596) les résultats de ces recherches.

Vérification de la loi de rotation des yeux à l'aide des images accidentelles. —Pour les yeux normaux et pour les positions parallèles des lignes visuelles, le piooédé le (dus simple consiste à faire les expériences sur une tenture gris clair iknt le desnn, peu accentué, présente surtout des lignes horizontales et des lignes Terticales. On fixe, à la hauteur des yeux, un ruban rouge horizontal sur lequel oo marque un point noir pour servir de centre à la fixation. Si Ton regarde la tenture après avoir fixé ce point pendant un peu de tmnps, on voit une image KddenteUe vert dair du ruban, et Ton reconnaît facilement si cette image est (Ni n'est pas parallèle aux lignes horizontales de la tenture.

Pour fixer, par rapport à la tête, la position primaire de la ligne de regard, je me sers d'une planchette portant une mire et qu'on prend entre les dents, la fignre 467 représente cet instrument ea penpective. La planchette A B, longue de ^^

ISœnihnètres et large de A, offre en A une CBlaille correspondant à l'arcade dentaire (t porte en B une colonne quadrangulairc le bois sur laquelle une bande de carton CC ot filée avec de la dre à modder, ce qui pmnet de la déplacer facilement On garnit b bords de l'entaille A d'une couche de IMime-laque chaude, et lorsque celle-ci cmmence à se durcir, on mord la plandblte de manière à y laisser l'emprdnte la dents. Lorsque la gomme-laque est yig, 167.

Aicie, la position de la planchette entre les 'eats est invariablement déterminée et on la retrouve toujours la même dans h diiiérenies séries d'expériences.

On donne à la bande CC une longueur égale à la distance des centres de rotaha des yeux. On reconnaît facilement cette ^alité en regardant à une distance Ifiue. La bande de papier présente alors une image double binoculaire ; on lui 9mm la position et la longueur nécessaires pour que les extrémités des images ii aoot en regard se trouvent en contaa immédiat Alors les extrémités poinles de la bande présentent entre elles la même distance que les centres de nation (ou plutôt les centres des lignes de visée] des deux yeux, et la ligne ii les joint se trouve dans le même plan que celle qui joint les deux centres de

Avvrt de commencer les expériences, qu'on peut fairo avec un ceil oa avec les

666 {518) TROISIÈME PARTIE. ^ DES PERCEPTIONS VISUELLES. § 17. deax, il faut chercher empiriquement la position primaire des yenx.— Ac«t effet, on se place au fond de la chambre, en face du milieu du mban rouge, et, partant de la position choisie, on ûxe, pendant un certain temps, ie miiiea delà bande rouge, en rasant du regard l'extrémité correspondante de b bande CC; on déplace ensuite l'image accidentelle directement en haut ou en bas, à droite ou à gauche, et Ton remarque si elle reste parallèle ou non aux lignes horizontal» de II tenture. Si elle n'est pas parallèle, il faut déplacer la bande de la pbncbette jusqu'à ce qu'on ait obtenu la position convenable. Il faut déplacer cette bande à gauche lorsque l'extrémité gauche de l'image aocidentelle monte pour le regard en haut ou descend pour le regard en bas. Si c'est, au contraire, l'extrémité droite de l'image accidentelle qui s'élèfe ou s'abaisse avec le regard, il faut déplacer h bande fers la droite. Si l'extrémité gauche s'abaisse lorsqu'on regarde ègancke, et l'extrémité droite lorsqu'on regarde à droite , il fout monter h bande, et inversement

Quand on a fini par trouver, pour chaque œil, la position de la mire qui donne aax yeux leur position primaire, cela constate d'abord qu'il existe une pesilion de Vwà à partir de laquelle le regard se déplace horizontalement à l'aide d*ane rolatioB autour d'un axe vertical et verticalement par une rotation aatxmr d'un ne horizontal. *

Mais tandis que les images consécutives conservent la position borizonCaleoa verticale dos images primitives lorsqu'on dirige le regard directement en haut oi en bas, à droite ou à gauche, on voit que cda n'a pas lieu lorsqu'on dirige le regard obUipiement en haut on en bas. On trouve, an contraire, que : 1 *" Si l'on dirige le regard n droite et en haut ou à gauche et en has,

rimage consécutive d*unc ligne horizontale paraît tourner à gauche,

celle d'une ligne verticale paraît tourner à droite, par rapport aux lignes

du mur; 2'' Si l'on dirige le regard à gauche et en haut ou à droite et en bas,

rimage accidentelle d'une ligne horizontale paraît tourner à droite,

celle d'une ligne verticale paraît tourner à gauche. Comme les lignes horizontales et les lignes verticales présentent des rot.ilions de sens contraire, on peut déjà prévoir qu'il doit exister des lignes intermédiaire dont les images accidentelles sont parallèles à la direction primitive.

Le plus simple est maintenant de donner à la tête une inclinaison latérale, de sorte que, |>our parcourir les lignes horizontales et verticales du mur, Tœil aiti exécuter des mouvements obliques par rapport à la tête. En continuant, daos cette position de la tôte, à viser le long de la mire pour regarder le centre dn nibiB rouge, on s'assure qu'on prend encore pour point de départ la position primaire de l'œil. La direction de la ligne qui joint les centres de rotation est donnée par celle suivant laquelle se projettent, sur le mur, les pointes de la bande de cartoa qui sert de mire. Pour les yeux dont les mouvements obéissent à la loi de Listing, les |>ositions inclinées de la tête n'empêchent pas les images accidentelles de bandes horizontales de rester parallèles aux lignes horizontales du mur, lorsqu'on déplace le point de regard le long de la ligne horizontale ou de la ligne verticale qui passent par le milieu de la bande rouge. Il en est de niéine de»

§ 37, ÉTUDE DES BOTAT. A L'AIDE DES IMAfiES ACCrDRNTELÎ.RS. (31?/) GG7 K images accidentelles d*«ne bandi* verticale, par ropport aux fignes verticales de la

^^ Ces «tpénences, dans lesquelles ou projette riinage accidentelle f?ur un mur

Bfditîfement éloigné, présentent deux avantages : d'abrvrd les petit*! déplacements

Vie la têt«» à droite, à gaucfie, en haut ou eu bas, exerceur une inflneiuH* n^'-gli-

geable sar la position de la ligne visuelle détermiuée h Paide de la planclieite de

Kfif^e; en second lieu» les yeux couserveul d'enx-môtnps nne direction parallèle.

H Par contre, les murs de nos chanibres ue sont, en g{»néral, pas assez grands p**nr

permettre cette vérification , à une distance sidlisante du mur, pour les directinu»

périphérîquei de la liRue visuelle ; de plus ce luode d'obseiTaiion ne peut pas

s'appliquer aux yeux nnopes, parce que, sans lunettes, ils ne peuvent pas accoru-

moder pour le mur, et que 1^ verres de Innettes peuvent modiOer llnclinaisun

apparente des lignes, pour peu qu'ils ccsncnt d'éti'e centrés et perpendiculaires &

{ la ligne visuelle. Pour les observatttjus do près, j*aî modifié h méthode que j'avais

employée autrefois, afm de pouvoir également rechercher avec plus d'exactitude

i riaflueuce de la convergence, et de pouvoir déterminer la grandeur et la fonne du

diimp visuel

le prends |)our champ visuel un grand lableau de bois, fixé an mnr , et necou- I vert d'un papier gris clair bien tendu. Pour déterminer avec certitude la position [delà tête, on place devant ce tableau, It une distance convenable pour l'accomiou de lobservateur, nue petite table fixée au sol par des crampons de fer. ^celte table est fixé un support de fer, à bras mobiles, pareil à ceux employés Iles laboratoires de chimie; ce support maintient une plaucheite analogue h îde la figure 167, nioiiLs la colonne et la mire. fJette planchette, que l'obser- 'serre entre les dents, a pour unique objet de donner à sa tête une position [file par rapfvort au tableau. Pour fixer la position de la tête, les dents sont bien ables à tout autre moyen d'appui qui ufî s^appliquerait immédiaieuïent qu'à I parties non osseuses. Un second bras mobile du support est ihé h Taide d'une [^ de manière à soutenir le front On dîs|>ose ensuite sur le tableau, en regard ToD ou de l'autre œil, une baudede papier irès-fort ou debtîis niîuceqni pré- ' une coloration convenable et qui est fixée eu son milieu par nue punaise de aateur autour de lafpielle elle peut tourner. La coloration que je donne h cette f mi-partie blanche et noire ou ronge et verte ; la ligne de sépanUîon des divise longitudinalenient la bande en deux parties égales. Cette ligue de atîon donne une image accidentelle nettement dessinée* De plus, par le milieu i batjde, on tend deux fils noirs fms, Tun vertical et Tautre horizontal, et Toii la position de la planchette qui est entre les dents, jusqu*h ce que les ^ ^mftges accideatelles de la bande placée horizontalement ou verticalement, restent (^ poruHèlesau (û horizontal ou au fil vertical, lorsque, suivant le cas, on suit du ^. ^SB»M le premier ou le second de ces ûls. Il faut remarquer que les ligues ^^Itotlles doivent être maintenues parallèles ; pour éti-e certain de conserver cette ^, IWÉition, je marque sur le tableau deux points présentant ta même distance que «*» )mt (ea""); lun est tout près de ta ligne vers laquelle je regarde, Tantrc ^■«Éieèlé et à la méiue hauteur, de sorte que les images de ces points se fusion- ^■MyHjmie je les regarde avec les ligues visuelles parallèles.

On peut trouver ainsi la position priniaire de chaque oeil, — pour moi, elles sont éloignées l'une de l'autre d'une distance égale à celle des yeux, — on peat ensuite donner toutes sortes de directions obliques à la bande qui fournit les images accidentelles, et faire passer par sa ligne médiane des fib le kiog desquels on déplace ces images. Pour obtenir des lignes visuelles conveig^tes, on peut, après avoir développé l'image accidentelle dans l'un des yeux, regarder binoculairement un point du tableau, ou bien encore faire coïncider des pmnts choisis arbitrairement, à l'aide de la convergence ou croisement des lignes de regard.

Si, pendant la convergence, les images accidentelles ne coïncident pas exactement avec le fil le long duquel on a déplacé le regard, on peut placer la bande obliquement par rapport au fil et chercher la position pour laquelle son image accidentelle devient parallèle à la partie périphérique correspondante du fil. On calcule facilement l'angle compris entre la bande et le fil, en mesurant la distance comprise entre le fil et chaque extrémité de la ligne médiane de la bande, ou bien, mieux encore, on peut disposer, à chaque extrémité de la bande, une graduation qui n'a besoin de renfermer qu'un petit nombre de degrés.

La comparaison entre la direction des images accidentelles et celle du fil comporte une erreur qui ne dépasse guère un demi-dc^ré environ. Cette exactitude ne peut certes pas être comparée à celle qu'on obtient dans les observations astronomiques ; mais je crois que ce serait illusoire de chercher, dans une question semblable, une approximation bien plus grande. Car, dans ces observations, on trouve déjà certaines petites variations qui ne dépendent pas seulement de la convergence, mais aussi du chemin suivi par l'œil pour atteindre la position correspondanle; ces variations paraissent différer d'un jour à l'autre. Je les ai remarquées assez souvent, notamment pour des positions obliques de l'œil ; elles étaient plus nettes et plus considérables chez le docteur Berlhold, qui travaillait dans mon laboratoire, et je crois qu'elles doivent être plus grandes, en général, poar les yeux myopes, parce que l'habitude de regarder des objets rapprochés doit lenr rendre familières, pour une même direction de la ligne visuelle, des modiûcations plus considérables de la torsion, relativement aux différents degrés de conTe^ gence.

£. Hering a fait, pour contrôler l'exactitude que comporte l'emploi des images accidentelles , des expériences d'où il conclut que les erreurs qu'on peut commettre en comparant la direction de ces images avec celle de lignes objectives, peuvent s'élever jusqu'à 5 degrés. Je puis déclarer que des cireurs de cette importance sont absolument impossibles lorsque les images accidentelles sont biefl développées par suite d'une fixation exacte de l'objet; j'ai déjà dit plus haut qœ, dans les expériences bien faites, l'erreur ne dépasse pas un demi-degré : on reconnaît sûrement des déviations d'un degré, qu'il était facile de produire ï volonté dans l'appareil que je viens de décrire. Je conclus plutôt des expériences de Hering, que son œil a exécuté en réalité des oscillations; ce qui peut provenir notamment de ce que l'objet fixé était seulement à 10 pouces, et que lorsqu'on regarde longtemps, avec un œil, un objet aussi rapproché, il se produit des variations très-prononcées de la convergence.

§ S«7. ÉTUDE DES ROTATIONS A L'AIDE DU PUNCTUM CiECUM. 669

Parmi les méthodes employées jusqa*ici pour déterminer la position de chaque cûl indépendamment de l'autre, ceile des images accidentelles est la plus sûre lorsqu'on y est bien exercé. Ce qui me paraît très -important, c'est que, dans la forme sous laquelle je l'ai décrite, elle n'exige pas que l'œil conserve longtemps une position périphérique; chaque expérience est, au contraire, rapidement terminée.

Dans la méthode de Wundt (1), on se sert aussi des images accidentelles pour déterminer les positions des yeux. Il projette les images accidentelles sur un disque mobile qui est toujours perpendiculaire à la ligue visuelle et qui est flxé à un bras de levier mobile. Son appareil présentait des graduations en degrés pour lire les angles nommés longitude et latitude^ et la torsion du méridien vertical par nffori à la ligne verticale.

Vérifieaiion de la loi des rotations à l'aide du punctum cœcum. — Cette

nétbode permet également de déterminer la position de chaque oeil indépendam-

nent de l'autre. — A. Fick (2) est le premier qui Tait appliquée. Sur le mur gris

d'une grande chambre, et à la hauteur des yeux d'un observateur assis sur une

chaise, était disposé un petit objet de fixation approprié ; c'était un cercle blanc

aiecan bord noir dentelé. L'œil était à une distance un peu supérieure à 6 mètres,

et de telle façon que la hgne visuelle, en fixant l'objet, tombait perpendiculairement

mt h muraille. On avait marqué sur le parquet les diverses positions que devaient

noir les pieds de la chaise pour que son bord antérieur vînt former des angles

déterminés avec le mur. Dans toutes ces positions de la chaise, le milieu de l'in-

lervalle compris entre ses deux pieds postérieurs restait immobile. Fick s'asseyait

wr cette chaise, le dos appuyé, la tête droite ; il trouva que le plan médian de la

Me se plaçait, avec une exactitude suflBsante, perpendiculairement à l'autre bord

" le h chaise. Pour juger de l'inclinaison de la tête par rapport à l'horizon, on fixait,

h 1 Faide de deux vis, dans les conduits auditifis, un étrier de bois passant au-dessus

L de h tête; cet étrier portait, en outre, une branche de fer qu'on appliquait sur la

^ adne du nez, de manière à mieux assurer sa position fixe par rapport à la tête.

K^ ih vis qui pénétrait dans l'oreille gauche était suspendu un fil à plomb qui par-

^- Onraît uu arc gradué, invariablement lié à l'étrier. C'est ainsi qu'on pouvait déter-

- lioer l'angle que faisait avec l'horizon la tête ou une ligne droite située dans le

^tbi médian.

'f Sur le mur, on avait appliqué au point de fixation, une feuille de carton gris, ^^ lobilc autour du clou qui la maintenait. L'observateur pouvait faire tourner ce à l'aide d'un cordon réfléchi sur une poulie. Le carton portait une noire à une distance convenable pour qu'elle vînt se peindre sur le punctum tieeufn pour une position appropriée du disque. Un aide lisait l'inclinaison de la lte« et pour chaque inclinaison l'observateur, à l'aide du cordon, disposait le carton de façon à faire disparaître la tache noire. On pouvait lire la rotation dn «mon sur une échelle de tangentes. C'est ainsi qu'on mesurait la roution de

(1) Archiv fur Ophthaimologie, VIIl, 2, p. 16, 17.

(2) MoleschotVs Vniersuchungen zur Naturlehre des Menschen^ V, 193-233.

670 (521) TROISIÈME PARTIE. — DES PERCEPTIONS VISUELLES. § 57. Fœil par rapport à sa position initiale. La rotation de la chaise merarail Ttiigle de longitude, et Tare gradué, voisin de Toreille, indiquait la latitude. En répétant les expériences, on trouva, pour les torsions, des différences qui atteignaient 3 degrés. M. Mandelstamm a tenté, dans mon laboratoire, d'amener la méthode de Fick à un degré plus grand d'exactitude, mais malgré tous les efforts et toutes les modifications essayées, il fut impossible d'éviter une incertitade de 2 degrés.

Meissner (i) fixait la position de la tête et faisait mouvoir la mire qui portait h tache obscure. La tête était fixée de telle sorte que l'œil se trouvait au centre d'im demi-cercle gradué, de 10 pouces de rayon, lequel pouvait décrire autour de son axe vertical un angle qu'on pouvait mesurer (longitude de Fick, latitude de Meia»ner). Un curseur mobile sur l'arc de cercle, où l'on pouvait lire ses déplacements (latitude de Fick, longitude de Meissner), présentait, sur sa face tournée vers l'observateur, le disque à la tache sombre, auquel on pouvait donner un rookifement de rotation dans son plan. Les résuluts de Meissner 'sont indiqués dtn le tableau suivant; on y voit l'angle lu directement, et qui répond à J:* dan l'équation 4e).

SOTÉ NASAL

COTÉ TIMPOKAL.