RÉFRACTION PAR UNE SURFACE SPHÉRIQUE

Soit a le centre de la surface sphérique cb^ et/) un point lumineux extérieur à la sphère. Un rayon venu de p qui se dirige suivant la ligne droite pa vers le centre de la sphère rencontre normalement cette surface, et, par suite, continue sans réfraction son chemin vers y, suivant le prolongement de ap. Soit pc un

Fw. 26.

autre rayon lumineux qui rencontre la sphère en c et soit réfracté en ce point Nous avons, avant tout, à déterminer son chemin après réfraction. D*après la loi de la réfraction énoncée plus haut, remarquons d'abord que le rayon réfracté doit rester dans le plan d'incidence, c'est-à-dire dans le plan mené par le rayon incident et la normale au point d'incidence. Comme tout rayon de la sphère est normal à la partie de la sphère qu'il rencontre, dans notre cas la normale est le prolongement cd du rayon ac, et le plan d'incidence est celui mené par les lignes pc et ad, La ligue pq se trouve tout entière dans ce plan, puisqu'il contient denx points /} et a de cette ligne. Le rayon réfracté doit donc rencontrer quelque part la ligne pa supposée prolongée indéfiniment dans les deux sens. Soit q le point d'intersection de ces deux lignes; il s'agit de déterminer la distance du point q au point b. Si le rayon réfracté se trouvait être parallèle à la ligne pa^ nous considérerions le point d'intersection q comme infiniment éloigné. La position du point q est déterminée par la condition que

n' sin {pcd) = n" sin (gco) } I),

v! étant l'indice de réfraction du premier milieu, et n" celui du second.

Comme, dans les triangles rectilignes, les sinus sont entre eux comme les côtés opposés, on a dans le triangle apc:

sin {fica) ap

et dans le triangle aqc :

sin (cpa) ac

sin (qca) aq sin {cqa) ac

§ 0. RÉFRACTION PAR LNE SURFACE SPIIÉRIQUE. 61

Difisant la première de ces équations par la seconde, en remarquant que le smos de /ICO est égal à celai de l*angle adjacent pcd, il vient

sio (pcd) sin (cga) ap sin {qca) ' sin (cpa) ag'

or, d'après l'équation 1), on a

et, dans le triangle pcq^ on a

Il vient donc

sio (ped) n" sin (qca) n' '

sin (eqa) ^^ ep sin (cpa) cq'

n" , cp ap \

n' . cq aq )

Pour a/) = OD, cette équation devient

n'.cq •= n".aq ] ^ îa),

car dors, en n^ligeant un infiniment petit, on a

ap

U est facile, au moyeu de l'équation 2), de trouver, par une construction, la ffluthc des rayons lumineux; et alors, comme en général le point q se déplace

FiG. 27.

vioéfflctemps que le point c, ou trouve que les rayons lumineux ne se coupen ^ euctement en un point, mais bien suivant une ligne courbe {caustique}, «abgiK à celle qui a été tracée ici (fig. 27), pour des rayons incidents parai-

62 {U) PREMIÈRE PARTIE. — DIOPTRIQUE DE L'ŒIL. § il

lèles. BB est la sorface sphëriqoe réfriogente; C soDt les rayons incâdcolt; GFG est la caustiqoe formée par rintersecdon de chaque rayon réfracté avec k rayon suivant Les rayons les plus voisins de l'axe se réunissent en F, in poitt de rebrousseroent de cette ligne.

Si nous ne considérons que les rayons qui tombent à peu près sur la surface réfringente, et qui» par suite, la rencontrent très-pris de Taxe, ] voyons sur la figure 26 que lorsque le point c se rapproche beaucoup da poim A,

le rapport -^ devient -Â L*équation 2) devient donc alors

ri" . ftp ap \

n' , bq aq ) ' '

Dans notre sur&ce réfringente^ désignons (fig. 26)

le rayon oft par r ;

les distances ^ psr ^,

bq par /^', ap par g\ aq par g",

de telle sorte que l'équation 2 b) devient

ou

On tire de là, par uuc transformation facile, les équations

H" , n' II" — fi'( ^^

qui permettent de déterminer les grandeurs cherchées de f et de ^'.

Nommons respectivement F' et C les valeurs de f et de g'^ qui rvpoodef^ à /^ = 00 et ^' = 00 , il vient

§ a. «ÉFRACTION PAR UNE SURFACE SPHËRIQUE. (45) 63

Po«Misaucoutnire/" = co et ^' = eo, et désignons par /"et G' les Taleor» conoiniidantetde f etg^, nous aurons

(t mainiaunt nous pouvons donner anx équations 3) la forme simple :

La première de ces équations, résolue par rapport à /' et à f\ donne^ pour olcoler ces grandeurs, les formules

pif \ 3d).

Qoand on trouve pour ces longueurs des valeurs négatives, cela signifie qu'il ht les mesurer du côté de la surface réfringente opposé à celui qui a été admis «la figure 26.

Obtervations. — 1<^ Si, au lieu de provenir du point p du premier milieu, la hnière provient du point 9 du second, le rayon cq (fig. 26) devient le rayon inâbt, et le rayon cp, qui était le rayon incident, défient le rayon réfracté cor- RspoDdant Si donc les rayons partis du point;?, et qui ont rencontré la surface ^pra près normalement, se sont réunis en q, ceux venus de q, et qui la rcncon- ^taossi à peu près normalement, se réuniront en ;>. De là résultent immédiateii^t les formules pour les cas où les rayons viennent frapper le côté concave de hsoHiKe sphérique. Il su£Bt de nommer second milieu celui qu'on nommait pre- ^ milieu, et inversement, et de changer en conséquence tous les indices des '^'^ Les équations fondamentales 3) deviennent alors

Ilsoffitdonc, pour une surface réfringente concave, de considérer le rayon ^courbure r comme n^atif, et la formule 3) devient applicable au cas de cette

6A (//;; PUKMIÉRE PARTIK. — DIOPTRIQUK DE L'ŒIL. § 9.

surface; naturellement les formules 3a), 3b}, 3c) et 3d), déduites de 3), cootH nuent également à s'appliquer.

2'' Si q est l'image de p, p est aussi l'image de q. Pour exprima- cette rehtîoo réciproque, on donne à ces points le nom de poinU de concùun conjugués, ce ^ qui a l'avantage de ne pas exprimer lequel des deux points est lumineux. De ~ même il est indifférent, pour les lois de la réfraction, que le point qui émet de h lumière soit une source lumineuse matérielle^ ou un corps qui diffuse de la iomière incidente, ou seulement le point de concours de rayons réfractés. Aussi le poiat lumineux peut-il môme être le point de concours virtuel de rayons réfractés, cl se trouver sur le prolongement de ces rayons et en arrière de la surface réfrin gente.

3® Je ferai observer que les lois de la réflexion des rayons sur les miroin courbes sont exprimées par la formule 3), si l'on y pose n" «= — n\ Noo»aurons parfois besoin de formules de cette espèce pour les images réfléchies qi^ donnent les surfaces réfringentes de l'œil. — Pour de semblables mirun o^^ préfère ordinairement une autre notation. Dans la première des éqaatiooi S^ remplaçons n" par — n\ il vient

Si, d'après la notation que nous avons employée jusqu'ici, /* est positif, c'est-^

à-dire si le miroir est convexe, pour /^ = oo , la valeur de /" deviendrait 7, edK.

cette valeur positive répondrait au cas où les rayons se réunissant en arrière db^ la surface réfléchissante, l'image serait virtuelle. Si le miroir est concaie * ou r négatif, f" serait négatif, l'image se trouvant eu avant du miroir et réelle. On préfère ordinairement appeler positive la distance des images au miroir. On donne donc à /*' et au rayon r de la surface réfléchissante I sigiR*s contraires de ceux qui se présentent pour les surfaces réfringentes, et !*( écrit l'équation fondamentale ainsi :

li^ Quand r devient infiniment grand, c'est-à-dire que la surface réfriuj devient plane, d'apri^s 3 a) les distanc(*s focales principales deviennent aussi iiimcnt grandes, et la première des éc|uations 3) de\ient

L'image se trouve donc du même côté de la surface réfringente, mjîs ^^^ ui distance différente.

s». RÉFRACTION PAR UNE SURFACE SPHÉRIQUE. (47) 65

Représentation des objets par une surface réfringente sphérique.

Quand, par la suite, il sera question d'objets dont les images sont produites par des sorÊices courbes réfringentes, il est entendu, une fois pour toutes, que ce soDt des objets plans, situés perpendiculairement à Taxe du système et tels que, d'ane part, tous les rayons qu'ils émettent tombent à peu près normalement sur h surface courbe et que, d'autre part , ces rayons fassent de très-petits angles ai ec Taxe.

Quand une surface réfringente sphérique donne une image d*un point lumineux, nous pouvons prendre pour axe la ligne qui joint ce point au centre. Quand il y a en présence de la surface un objet tel que nous Pavons défini quelques lignes plus haut, nous devons prendre pour axe la perpendiculaire abaissée du centre de la sphère sur le plan de l'objet

Soit (fig. 28) pr l'axe, sp une droite perpendiculaire à pr et figurant une section da plan de l'objet, s un point lumineux voisin de l'axe, a le centre de la

Fig. 28.

arfKe réfringente, t l'image de s. Il s'agit de déterminer la position du point t par deux coordonnées recungulaires ra et rt^ la première parallèle et la seconde peipendicolaire à l'axe.

Faisons préalablement abstraction de p et des autres points lumineux de l'objet sp\ il résulte de ce qu'on a déjà vu que l'image ^ de s doit se trouver sur le prolongement de la ligne qui joiot les points s et a, de telle sorte que sa et at ionnent une ligne droite.

Désignons sa par -/ et at par y\ d'après l'équaiion 3 c) on a

Désignons de plus pa par g\ ar par x et l'angle sap par a, on a :

^ cos a

cos a Les valeurs de y* et y" transportées dans l'équaiion k) donnent : G' G" __ 1

9' X cos a '

Comme, d'après notre supposition sur la grandeur des objets à représenter,

l*angle a doit être très-petit, cos aue diffère de 1 que par un infininieat petit da second ordre, et peut-être approximativement égalé à 1. Alors il vient :

Mais, d'autre part, si jr'^est la distance de a à l'image du point ;», on a :

donc « = g" ) 6),

Le pied de la perpendiculaire /r est donc l'image du point p.

Les images des points compris dans un plan mené perpendicoliiremeot à l'ue par le point p sont donc aussi comprises approximativement dans un ptan porpendiculaire à l'axe et mené par l'image du point p.

Si Ton a donc cherché d'abord l'image r du point p, et qu'on a mené par r on plan perpendiculaire à l'axe, il suffit, pour trouver la position des images des différents points de l'objet lumineux, de joindre par des ligues droites ces points au centre de ia surface : les intersections de ces droites avec le plan mené par r sont les différents points de l'image.

De cette construction, il résulte, en vertu de propriétés géométriques bien connues, que l'image est semblable à l'objet

Il en résulte aussi facilement la connaissance du rapport des dimensions linéaires de l'objet à celles de son image. Nommons, par exemple, |3' la ligne sp qui est une dimension linéaire de l'objet, et — ^" la dimension tr correspondante de l'image (nous mettons le signe — , parce que la ligne considérée est de Tautre côté de l'axe), on a :

OU, en tenant compte de la seconde des équations S c) :

ou, de même, en tenant compte de la première des équations 8 c) :

Quand la surface réfringente est plane, les dislances focales deviennent infinies, et l'équation 6 b) devient :

L'image que donne une surface réfringente plane est donc de même grandeur que l'objet

§ •. RÉFRACTION PAR UNK SURFACE SPUÉRIQUE. (48) 67

Généralisation des fbrmules précédentss.

Nous commeaceron ptr appliquer an caa actuel les notions, définies plos haut, fa fmfers^ dea pùinU prineipaux et des points nedmœ.

Les foyers sont les points oà se réunissent les rayons qui sont parallèles à l'axe dans le premier oo le second milieu. Les distances F' et F" des deux ibyera au sommet de la surface réfringente et les distances ff et 6r" de ces points au centre de cette surface ont déjà été exprimées par les équations 3 a) et 3 b), et, par là, lear position a été définie.

Les plans focaux sont des plans perpendiculaires à l'axe passant par les foyers. Comme Timage de chacun des foyers est à l'infini, la même chose doit avoir lieu pour les points des plans focaux qui sont suffisamment près de Taxe pour pouvoir donner des images régulières. Les rayons partis d'un point de l'un des plans focaux sont donc parallèles après réfiraction.

Les points principaux et les plans menés perpendiculairement à l'axe par ces poiots, oo pians principaux, sont caractérisés par ce fait que des images situées dans ces {dans sont de même grandeur et placées de même. On a donc, pour les plans principaux, ^' = p", ce qui, d'après les équations 6 b), ne geut avoir lieu que pour /* = o et /^' = o, conditions qui, d'après les équations 3d}» ae réduiseot à une seule. Dans le cas qui nous occupe, les points principaux coïncident donc avec le point où l'axe rencontre la surface réfringente, et ce point principal en sa propre image.

Les points nodaux sont définis par cette condition que tout rayon qui, avant réfraction, passe par le premier d'entre eux, passe, après réfraction, par le second, et prend alors une direction parallèle à sa direction primitive. Dans le cas actuel, 3s se réduisent également à un, qui est le centre de la sphère. En effet, un rayon qui, dans le premier milieu, se dirige vers le centre de la sphère , n'est pas réfracté à son entrée dans le second milieu ; il passe donc par le centre en restant parallèle à sa direction primitive.

Les constructions pour obtenir la direction des rayous, qui ont été déduites plus haut des définitions des plans et points cardinaux, s'appliquent au cas d'une seale surface réfringente et se simplifient par ces circonstances que chaque point

da premier plan principal étant sa propre image, on n'a plus besoin de chercher

FiG. 29.

cette image dans le second plan principal, et que le rayon qui va vers le premier point Dodal se prolongeant en ligne droite, on n'a pas besoin de lui mener une pnilèle par le second point uodal.

Hooi avons établi en 3 c) deux équations d'une forme analogue, mais qui sup^

posent qu'on soit parti de points dilTércnts pour mesurer les distances des images. Nous obtenons toujours des équations de cette même forme si simple, en mesurant à partir d'un point arbitraire s de Taxe (fig. 29) les distances des points de concours relatifs au premier milieu, et à partir de Tirnage / de ce point, les distances des points de concours relatifs au second milieu.

Soit en effet t l'image de s, q celle de p, P^ le premier foyer principal, P^ le second; et désignons désormais (fig. 29) :

sa par f, pa par y', P^a par F,

ta par f\ qa par y", P,a par F",

on a + = < a),

Désignons de plus :

ps par h', P^s par — H\

gtpar — A", Pjt par — iï",

on, eo d'autres termes, posons :

F' — /" = iï" Q.

Substituant dans P) les valeurs de <p' et de <p" tirées de y) et de •)), on obtient : h' + /' "^ A" + /" ■" ^

OU F (v + /") + f" (h' + n = {h' + f) (A" + n

D'autre part, de a) on peut tirer :

retranchant membre à membre, il vient :

F /i" + F' W = /i' /i" + h' r + h f ou {F — /') A" + (F" — D II' = h' h'\

ce qui, grâce aux équations c) et Ç), donne :

//' /i^' + ir h! = A' A"

Si Ton prend donc comme origine des distances un couple quelconque de points de concours conjugués des rayons, on retombe toujours sur la même iormnle