FF

Posons ici /' — /" = /', et f" — F" = /", /' étant la distance du point lumineux au premier foyer, comptée vers en avant, et /" la distance de son image au second foyer, comptée en sens inverse, et nous obtenons la forme la plus simple sons laquelle on puisse exprimer la loi de la position des images; c'est :

En appliquant la même notation» la loi de la grandeur des images, données par Téquation 6 b), devient :

Relation entre la grandeur des images et la convergence des rayons.

Soient (fig. 30), pq l'axe, sp un objet et qr son image. Nous allons déterminer les angles a! et a' que fait avec l'axe, avant et après réfraction, un dès rayons, pCy émanés de p. Nous considérerons ces angles comme positifs quand le rayon s'éloigne de Taxe, eu marcbant dans le sens des images que nous considérons

comme positives. On a donc L cpa = « , L cqa = — a". De plus, continuons à poser sp =^\ qr = -^ p", ap = f,aq = f\ Comme les angles d'inci-

70 (5f) PRRMIÈRE PARTIE. — DIOPTRIQUE DE L'OKIL. § 9.

dencc des rayons sur la surface réfringeate doivent rester toigours très-petits, ca doit être un très-petit arc que nous pouvons confondre avec une perpendiculaire ' à Taxe. Nous pouvons donc poser :

Qc =ftgj ac = —fUgo!\ donc /'fga' = — /"f(7a" } A.

De plus, d'après 3 d), on a :

d*après

6b), on a :

et enfin,

d'après 3 a) et 3 b), (

on* :

De ces trois relations,

on tire :

ce qui, transporté dans l'équation ^1, donne :

Cette équation exprime une loi importante, qui lie la grandeur dos images à la divergence des rayons, indépendamment de la distance de l'objet et de la longueur focale de la surface réfringente.

RÊntAGTION DANS LES SYSIËMES DE SURFACES SPilÊRIQUES.

Nous allons maintenant examiner les lois de In réfraction dans les s^'stèmes optiques contrés, c'est-à-dire dans ceux formés par une suite de surfaces réfringentes spliériques dont les centres sont tous sur une même droite qui est Vaxe optique du système.

Nous disons que le côté d'où vient la lumière est tm avant du système, que celui vei-s lequel elle se dirige est en arrihe. La surface réfringente que la lumièn^ rencontre d'abord s'appelle la preinthr, le milieu situé en avant de la première surface réfringenie est le premier milieu, celui com])ris entre la première et la seconde surface est le second, celui qui est en arrière de la dernière de ces surfaces est le dernier. Qiiand nous avons m surfaces réfringentes, nous avons m -f 1 milieux n>fringenls. Nous désignerons par n' ou n, Tindice de réfraction du premier milieu réfringent, par n" celui du second par fi(***+<)

ou par tu celui du dernier. Nous continuons à compter comme |)Ositib les

§ 9. RÉFRACTION DANS LES SYSTÈMES DB SURFACES SPH&RIQUES. 71 nyooi des nirfiMXs réfringentes, quand la convexité de ces surfaces est dirigée en mût, et comme négatife ces rayons, quand la convexité des surfaces est dirigée en arrière. Je fais aussi observer ici, une fois pour toutes, que lorsqu'il est question d'an point de concours de rayons ou d*une image situés dans un milieu, ou rehti& à ce milieu, on comprend toujours dans cette expression le cas oà l'image est virtodle et ne se produirait que par la prolongation des rayons au delà des limites du milieu.

En premier lieu^ nous savons, d'après ce qui précède, que des rayons homooentriqDes qui tombent sons de petits angles d'incidence sur des surfaces réfringentes sphériques restent bomocentriques. Il en résulte que des rayons bomocentrignes qui pénètrent dans le système optique, en faisant de petits angles avec son ne, restent bomocentriques après cbaque réfraction, et sortent bomocentriquement de h dernière snrfece réfringente. Quand la lumière incidente appartient à ime série de points de concours, qui sont tous situés dans un même plan perpendîcolaire k l'axe optique, noiis savons, de plus, qu'après la première réfraction, les points de concours se trouvent de nouveau tous dans un même plan perpendicolaire à l'axe optique, et que leur distribution est géométriquement semblable i celles qu'ils avaient d'abord. Il en sera par conséquent de même après cbacune des réfractions suivantes, et la dernière image sera aussi géométriquement semblable à la première et placée dans un plan perpendiculaire à Taxe optique.

En considérant l'image fournie par la première surface réfringente comme étant nn objet relativement à la seconde surface, l'image fournie par la seconde, comme objet relativement à la troisième, cic. , on peut, sans difficulté particulière, calculer finalement la grandeur et la position de la dernière image. Il est juste d'ajouter qu'avec un nombre même peu considérable de surfaces réfringentes, les fDrmnles deviennent bientôt très-compliquées.

U nous importe seulement ici de démontrer quelques lois générales, qui s'appliquent à un nombre quelconque de surfaces réfringentes, ce qui est d'autant plus important pour les applications que nous aurons à en faire à l'œil, que cet organe, avec les différentes couches du cristallin, nous présente un nombre infini

FiG. 31.

de sur£ices réfringentes, et que, par suite, il n'y aurait pas à essayer de venir à bout d'un calcul entrepris de la manière dont nous venons de parler.

!• — Je vais démontrer d'abord que la loi exprimée par l'équation 7) pour une seule surface, est également vraie pour un nombre de surfaces quelconque.

Soit (fig. 31) i la première surface du système (m — i) l'avant-dernière et m la dernière. Si s et p sont respectivement les points de concours de rayons inci-

dents et u et rjes points de concours des rayons émergents correspondants, désiguons/75 par h\ ur par Aî'^+O, je vais démontrer qu'on a :

B^ étant la distance du premier foyer principal à 5, et ff^ celle du second foyer principal h v.

Pour démontrer que cette loi est générale, je vais faire voir que si elle est vraie pour un système de (m — 1) de surfaces, elle Test aussi pour m surfaces. GomiDe elle est déjà démontrée pour une surface, il en résulte alors qu'elle Test aussi pour deux, puis pour trois, etc , pour un nombre infini.

Supposons que le système des (m — /) premières surfaces donne du point s l'image t et du point/? l'image q, et désignons ^^ par hi""). Soient respectivement L^ et //, les distances des |)oints set t aux foyers principaux du système des (m — i) premières surfaces ; soient respectivemerit M^ et àf^ les distances des points t eiu aux foyers principaux de la dernière ou m i^i"® surface, tootes ces distances étant comptées positivement en allant des points s^ t etu vers le côté où le milieu réfringent auquel correspondent les faisceaux lumineux en question se trouve par rappoit aux surfaces ou aux systèmes réfringents. Nous avons, par hypothèse :

h' ^M«) et pour la réfraction par la dernière surface :

Divisant la première de ces équations par Z, et la seconde par Af,, et ajoutant membre à membre, il vient :

L^' h' ^ M^ /i"«+<) L, "^ M, ou î — L. , ? — !— . = \ .

Posons K = co, il en résulte /^C^^'+t) = /T,, et il vient :

De même, posant *('"+*) = oo, il en résulte // = /^,, cl Ton a :

et enfin, suivant la notation qu'on voudra adopter

§9. RÉFRACTION DANS LES SYSTÈMES DE SURFACES SPHÉRIQUES. (53) 73 Poor toute Talear réelle de h\ comprise entre — cx>et + oo, cette équation doDoe une valeur, et une seule, de A('"+*^ et vice versa. Le premier et le dernier point de concours peuvent donc se trouver en un «point quelconque de Taxe, et dès qae Tan d*eux est donné, la position de Tautrc est complètement définie.

2*— Tout système optique possède un couple, et un seul, de points de concours ooQJogoés des rayons, tels que la grandeur d'une image plane perpendiculaire à l'aie devienne égale à celle de son objet Nous nommons premier et second plan principal du système, le plan d'un pareil objet et celui de son image ; premier et second point principal^ les points où ces plans coupent Taxe optique. Les distances focales principales relatives aux points principaux sont proportionnelles aux indices de réfraction du premier et du dernier milieu.

En eflet, soit sp l'objet, p le point de cet objet situé sur l'axe et s un autre de ses points. Si nous déplaçons l'objet parallèlement à lui-même le long de l'axe, le point ise meut parallèlement à l'axe, suivant s/. lie rayon st appartiendra donc toujours ao pomt j, quelle que soit d'ailleurs la distance pq. Maintenant, les rayons parallèles à l'axe sont déviés par le système réfringent, de manière à passer finalement par le second foyer principal P^. Soit rw la position du rayon st après la dernière •réfraction. Comme st ne cesse d'appartenir au point s, rw ne peut cesser d'appartenir k l'image de ce point, c'est-à-dire que l'image de s doit se trouver sur rw.

Fie. 32

Soit fg rimage de sp^ qu'on sait, d'après ce qui précède, devoir être perpendiculaire à l'axe lit;. Quand p se déplace le long de l'axe, /se déplace également le long de uv et g le long de rtv, et il est évident que, dans ce mouvement, la grandeur de l'image fg doit varier proportionnellement à la distance P^f, comme cda a été exprimé plus haut par les équations 6) et 6 b), pour une seule surface réfringente. Comme, de plus, on peut voir, d'après l'équation 8), que la distance P^fpeui prendre toutes les valeurs comprises entre -f ooet — oo, il en résulte que la grandeur de l'image, si nous considérons une image renversée comme négative, peut affecter, et ne peut affecter qu'une seule fois, chacune des valeurs comprises entre ces limites. Donc, dans une certaine position , et dans ooc seule, l'image peut devenir égale à l'objet; soit alors c^b^ l'objet et c^b^ rimage qui lui est égale : ces deux lignes définissent la position de ce que nous aioDs nommé les plans principaux du système. Désignons maintenant :

fp = c,6j parp,, 6, P, par F,, b.ppar/-,,

fg par — p„ 6, P» par F,, 6, ( par f^.

on a, cl*après la Ggure,

• fg PJ •

Pi /i--^.

et comme d'après réquation 8), les points b^ et A, Jouant ici le rôle de i et ti de la figure 31, on a

on obtient I*équation analogue ii 6 b) qui était relative à une seule suriaoe : cette équation est

Nommons /, et /, les distances des foyers aux images correspondantes, c'est-k* dire posons

'i - r. - Fi, 't - /t - Pt,

et, de même que, pour une seule surface, nous avons de l'équation Sd) dédoit l'équation 7 b), dans le cas actuel d'un système composé, en opérant de la même manière, de l'équation 8 a}, nous déduisons cette forme si simple qui exprime la j loi de la position des images, k savoir :