VI

Hig. i3. — Réfraction par une surface sphérique. Construction de limoge. G, le contre; <t>(, le foyer antérieur; <i>2, le foyer postérieur; 0, l'objet; I, l'image. AS = f{, BS = f^, A<î> : B*2=/2.

La figure i3 montre la construction au moyen des rayons 20 et 3°. Les triangles DA«t>1 et "ï^SG et les triangles HM*a et ^BE étant semblables, nous avons la même relation que pour les miroirs

d'où l'on tire les deux formules générales

L'image est réelle et renversée lorsque l'objet se trouve au delà du foyer antérieur ; elle est plus petite que l'objet si la distance de celui-ci à la surface est > 2F4, plus grande si la distance est < 2Fr Si l'objet se trouve entre le foyer et la surface, l'image est virtuelle, droite et agrandie, et elle se trouve derrière l'objet.

NOTIONS D'OPTIQUE ii

Si la surface est concave, le rayon est à considérer comme négatif. Les distances focales deviennent alors négatives : F. = — , F. = - — " R ,

ce qui indique que le foyer antérieur est situé en arrière, le foyer postérieur en avant de la surface.

Si, dans ce dernier cas, les rayons vont d'un milieu plus dense (à indice = n) dans un autre moins dense (à indice = i), il faut dans les formules remplacer n par-^-. Les distances focales deviennent alors de

nouveau positives : F, = ™ F2 - ^ . C'est ce qui arrive avec les

rayons qui, après avoir traversé la première surface d'une lentille biconvexe, rencontrent la deuxième.

Force d'une surface réfringente. — La force réfringente d'une surface s'exprime en dioptries par l'inverse de la distance focale antérieure mesurée en mètres :

Si par exemple la distance focale antérieure est de 24 millimètres

(surface antérieure delà cornée), la force réfringente est de D — — — —

= 42 dioptries.

Réfraction par une surface de révolution de second degré. — Si le point lumineux se trouve sur l'axe, la réfraction en un point donné B (fig. i4)

Fig. 14. — Réfraction par une surface parabolique. A, point lumineux; F, son image; BG, normale ; BH, rayon de courbure.

se fait comme si la surface était remplacée par une sphère tracée autour du point G, où la normale BG rencontre l'axe. En désignant la normale BG par N, la force réfringente de la surface au point B est donc

On peut en effet calculer les distances focales, pour une surface de

ï4 LEÇONS D'OPTIQU E PHYSIOLOGIQUE

révolution, absolument comme nous l'avons fait pour la sphère, et on trouve les mêmes expressions, en remplaçant R par N. Il est bien à remarquer que c'est la normale BC et non le rayon de courbure BH qui entre dans la formule. — Ces remarques ont de l'importance pour la théorie de l'accommodation et du kératocône.

14. Lentilles infiniment minces. — La théorie des lentilles est très simple si l'on peut en négliger l'épaisseur. On désigne comme axe la droite qui joint les deux centres des surfaces et comme cen tre optique le point où cet axe traverse la lentille. Ce point jouit de la propriété qunn

rayon passant par 1 ni traverse la lentille sans déviation .

Distance focale d'une lentille biconvexe. — Désignons les rayons de

courbure des deux surfaces par R, et R2. Des rayons incidents parallèles

qui rencontrent la première surface sont réfractés vers son foyer posté-

rieur, dont la distance, comme nous l'avons vu, est égale à . Ce

point agit maintenant comme objet pour la deuxième surface; comme il se trouve derrière celle-ci, sa distance est à considérer comme négative. Dans la formule

f\ est donc égal à — " R' . F, a la valeur de " Rs et F„ de P>:i (§ i3).

On a donc

R, , % R. + R2 (n — i) ft 1 ~R) R,

-iï = in-l)-içw = {n-1> \n; + 17

La distance focale postérieure de la lentille se déduit donc de l'expression

La distance focale antérieure est égale à la distance focale postérieure, car il est clair qu'en retournant la lentille l'expression de reste la même ; il faudrait remplacer Ri par R2 et inversement, ce qui ne change pas l'expression.

NOTIONS D'OPTIQUE ir>

Construction de l'image (fig. i5). — Pour construire l'image A' d'un point A, on peut tracer :

i° Le rayon AC passant par le centre optique : ce rayon n'est pas dévié ;

2° Le rayon AD parallèle à l'axe : après la réfraction, ce rayon passe par <V,

3° Le rayon A*, passant par le foyer antérieur : après réfraction, ce rayon est parallèle à l'axe.

Fig. i5. — Construction de l'image formée par une lentille mince. BC = ft, B'C — fi, C*, C4>2 = F, B<J>! = llt B'<î>2 =

Ces trois rayons s'entre-croisent au point A', mais deux suffisent pour trouver ce point.

Les triangles AB^ et i>i CE d'un côté, et les triangles DC*, et <t>2 B' A' d'un autre côté, nous donnent, comme pour les miroirs, les relations :

T = F" = H ou <• h =

lesquelles peuvent aussi s'écrire

T + T = 1 ou T + T = TT ■

Par la formule ou par construction on trouve les relations suivantes entre l'objet et l'image :

i° Si l'objet se trouve au delà du foyer, l'image est réelle et renversée, elle se trouve de l'autre côté de la lentille. Elle est agrandie si la distance de l'objet à la lentille est plus petite que le double de la distance focale, diminuée dans le cas contraire. Si la distance de l'objet à la lentille est égale au double de la distance focale, l'objet et l'image sont de même grandeur.

a0 Si l'objet se trouve entre le foyer et la lentille, l'image est virtuelle droite et agrandie ; elle se trouve du même côté de la lentille que l'objet, mais plus loin.

Si, après avoir placé une forte lentille sur une feuille imprimée, on

l'éloigné peu à peu de la feuille, en regardant à quelque distance on verra d'abord une image droite, qui est virtuelle et située derrière la lentille et qui augmente de grandeur plus on éloigne celle-ci, jusqu'à ce que la feuille se trouve au foyer ; en ce moment, l'image disparaît (elle devient si grande, qu'un seul point remplit tout le champ de la lentille). En éloignant encore la lentille, on voit une image renversée située entre la lentille et l'œil ; elle est agrandie d'abord, mais diminue rapidement à mesure qu'on éloigne la lentille.

Lentilles concaves. — Tandis que les lentilles biconvexes et les lentilles plan convexes, qui agissent de la même manière, font converger les rayons incidents, les lentilles concaves les font diverger. La formule de la distance focale reste la même, mais comme les surfaces sont concaves, il faut considérer les rayons comme négatifs :

La distance focale est donc également négative, ce qui veut dire que le foyer se trouve du côté d'où viennent les rayons. Des rayons incidents parallèles continuent leur chemin comme s'ils venaient du foyer situé du même côté que l'objet.

La construction de l'image est analogue à celle que nous avons employée pour des lentilles biconvexes. Elle nous donne les mêmes relations qu'avant, avec les changements nécessaires des signes :

Tant que l'objet est réel, l'image est virtuelle, droite et diminuée. Elle est au foyer lorsque l'objet est à l'infini. A mesure que celui-ci se rapproche de la lentille, l'image fait de même (i).

Ménisques. — On désigne sous le nom de ménisques les lentilles dont l'une des surfaces est convexe et l'autre concave. Suivant que le rayon de la surface convexe ou celui de la surface concave est plus petit, le ménisque est convergent ou divergent (positif ou négatif). Les ménisques positifs sont plus épais au milieu, les ménisques négatifs sont plus épais vers les bords. — Ces règles ne sont pourtant valables que tant que l'épaisseur est négligeable, ce qui souvent n'a pas lieu.

Méthodes pour mesurer la distance focale d'une lentille. — La méthode employée le plus souvent parles oculistes consiste à regarder les objets

(i) En général, l'objet et l'image se meuvent dans le même sens dans tous les cas de réfraction, en sens contraire dans les cas de réflexion.

NOTIONS D'OPTIQUE 17

extérieurs à travers la lentille, en faisant subir à celle-ci des petits déplacements. On voit alors les objets extérieurs se déplacer dans le même sens que la lentille si celle-ci est concave, dans le sens contraire si elle est convexe. En effet, si l'œil se trouve en face du milieu de la lentille, les rayons lui arrivent sans aucune déviation; mais, placé devant une partie périphérique du verre, il reçoit des rayons déviés à cause de l'effet prismatique du verre, et cet effet est d'autant plus grand que la partie à travers laquelle l'œil regarde est périphérique (fig. 16). — Pour déterminer la distance focale d'une lentille, on cherche dans la boite d'essai le verre qui la neutralise ( i).

Fig. 16.

Mais il est à remarquer que la numérotation des verres des boites d'essai n'est souvent pas très exacte. — Les verres ont la même courbure des deux côtés; on a donc -4-= 3 „ — -: l'indice du verre est

approximativement n = i,5, ce qui fait que la distance focale et le rayon

sont à peu près de même grandeur — — ~=rT~)' — ^n ava^ pendant longtemps l'habitude de numéroter les verres d'après leur rayon de courbure, mais comme l'indice est en général un peu plus grand que i,5, il en résultait que les verres forts avaient une distance focale un peu plus petite que le chiffre qu'ils portaient.

Ensuite, on introduisit la numérotation en dioptries ; pour ne pas avoir besoin de changer les bassins dans lesquels on taille les verres, les fabricants inscrivaient simplement les numéros en dioptries sur ceux des anciens verres qui s'en rapprochaient le plus. Ce n'est que depuis quelque temps qu'on s'est décidé à fabriquer des verres exacts d'après la série dioptrique.

Pour toutes ces raisons, il peut être utile à l'oculiste de pouvoir déterminer la distance focale directement. Pour les lentilles convexes on n'a

(i) On peut aussi avec avantage se servir du sphéromètre américain, un petit instrument avec lequel on mesure le rayon de courbure, et par cela, indirectement, la force réfringente du verre.

i8 LEÇONS D'OPTIQUE PHYSIOLOGIQUE

besoin que de former l image d'un objet éloigné sur un écran. La distance de la lentille à l'écran est la distance focale. — Pour les lentilles concaves, on place une flamme à grande distance, de façon qu'elle forme son image virtuelle au foyer de la lentille ; on place ensuite derrière celle-ci un écran et on cherche la position à lui donner pour que le cercle lumineux formé par le verre ait un diamètre égal au double de celui de la lentille. La distance de celle-ci à l'écran est alors égale à la distance focale.

On peut déterminer les rayons de courbure au moyen des images de réflexion, suivant les formules que nous avons données pour les miroirs. Connaissant les rayons et la distance focale, on peut calculer l'indice d'après la formule -^-= (// — i) (~- + -^-j,

Force réfringente d'une lentille. — On exprime la force réfringente (D) d'une lentille en dioptries par l'inverse de la distance focale, mesurée en mètres :

On conçoit mieux la signification de cette expression si on se rappelle que nous avons exprimé la force réfringente d'une surface par l'inverse de sa distance focale antérieure, " „ 1 . La force réfringente d'une lentille infiniment mince est donc simplement la somme des forces réfringentes de ses deux surfaces.

La force réfringente d'un système optique composé de plusieurs lentilles infiniment minces, placées très près les unes des autres, est égale à la somme des forces des lentilles.

15. Théorie de Gauss. — Si les lentilles ne sont pas assez minces pour qu'on puisse négliger leurs épaisseurs, ni placées assez près les unes des autres pour qu'on puisse négliger leurs distances, on peut trouver la position et la grandeur de l'image par construction ou par calcul, d'après les règles que nous avons données pour la réfraction par des surfaces sphériques : on construit ou on calcule d'abord l'image formée par la première surface ; cette image sert ensuite comme objet pour la seconde surface et ainsi de suite. Mais il est bien plus simple de se servir de la théorie de Gauss. Nous allons brièvement exposer les points essentiels de cette théorie, qui s'applique à tout système optique composé de surfaces sphériques, en supposant que le système soit centré, c'est-à-dire que tous les centres des surfaces se trouvent sur l'axe et que l'ouverture des surfaces soit petite.

NOTIONS D'OPTIQUE lg

D'après la théorie de Gauss, tout système optique possède six points cardinaux, à savoir :

Deux points principaux, hv hî (fig. 17) ; Deux points nodaux, Kn K2 ; Un foyer antérieur <f>, ; Un foyer postérieur <!>,.

La distance focale antérieure, F, = <I>, ku est la distance du foyer antérieur au premier point principal ; elle est égale à la distance du deuxième point nodal au foyer postérieur, K2 tt>2.

La distance focale postérieure, F, = lt% $2, est la distance du second point principal au foyer postérieur ; elle est égale à la distance du foyer antérieur au premier point nodal, «ï^K,.

<£l /ul ]kï Kl K? <t>3

Fig. 17.

Il en résulte que la distance du premier point principal au premier point nodal est égale à la distance du second point principal au second point nodal et à la différence entre les distances focales F2 — F,. — La distance séparant les deux points principaux est égale à la distance séparant les deux points nodaux.

Le rapport entre les distances focales est égal au rapport entre les

indices des milieux extrêmes ~ = ».

On nomme plans principaux deux plans perpendiculaires sur l'axe et passant par les deux points principaux. L'image d'un objet situé dans le premier plan principal vient se former dans le second plan principal et inversement. Elle est de grandeur égale à l'objet et sa direction est la même que celle de l'objet.

Un rayon qui, dans le premier milieu, passe parle premier point nodal passe, après réfraction, par le deuxième point nodal, et les directions du rayon avant et après la réfraction sont parallèles.

Connaissant la position des points cardinaux, on peut trouver l'image d'un objet donné par construction ou par calcul, d'une manière analogue à celle que nous avons déjà employée pour des lentilles infiniment minces. Pour trouver l'image du point G (fig. 18) par construction, on peut choisir deux des trois rayons suivants :

i° Le rayon GA, qui est parallèle à Taxe, doit couper le deuxième'plan principal en D, à une distance de l'axe égale à Aht, et il doit passer par *2. Sa direction est donc DH.

a0 Le rayon GB, qui passe par le foyer antérieur <t>n doit après réfraction être parallèle à Taxe : il prendra donc la direction EH.

Fig. 18. — Construction de l'image I de l'objet 0. L<I>, = /,, <t>l h = F,, L/i = f ; M*, = l„ 4>2 - F2> MA2 = fr

3° Le rayon GK,, dirigé vers le premier point nodal, prend après réfraction la direction K2H, parallèle à sa première direction.

Les triangles GL*, et B/^<P, d'un côté et les triangles DA2<i>2 et HM<ï>2 d'un autre côté nous donnent la relation

On a donc comme avant = F^, et on peut en déduire l'autre lor-

mule générale —p- + -r1 = i. — Il est à remarquer que ft se compte comme Ft du premier point principal, ft au contraire du deuxième point principal.

Méthodes pour trouver les points cardinaux d'un système donné. — a. Construction (fig. 19). — On trace un rayon incident parallèle à l'axe et l'on construit sa marche d'après la loi de Descartes ou suivant les formules que nous avons données pour la réfraction par des surfaces sphériques. On trouve ainsi le foyer postérieur. On prolonge ensuite le rayon incident et le rayon sortant ; leur point d'intersection est situé dans le deuxième plan principal, et la perpendiculaire abaissée de ce point sur l'axe marque le deuxième point principal h,. En répétant la même construction avec un rayon parallèle à l'axe, provenant de l'autre côté, on trouve de la même manière le foyer antérieur et le premier point principal. — Connaissant ces quatre points, on peut en déduire la position des points nodaux, puisque la distance du premier point nodal au foyer antérieur est égale à la distance du second point principal au foyer postérieur, etc.

NOTIONS D'OPTIQUE

b. Calcul. — Désignons par A et par B les deux systèmes optiques que nous voulons combiner, leurs distances focales par F', et F's (pour le système A) et par F"j et F"2 (pour le système B), et la distance du premier point principal du système B, en arrière du second point

Fig. 19. — Construction pour trouver le deuxième plan principal.

principal du système A, par d. On peut alors trouver les points cardinaux du système combiné au moyen des formules suivantes, dans lesquelles hi indique la distance du premier point principal du système combiné, en arrière du premier point principal du système A, et hî la distance du second point principal du système combiné, en avant du second point principal du système B.

dF' F' F"

Cas spéciaux. — Comme les distances focales sont proportionnelles aux indices des milieux extrêmes, elles doivent être égales si le premier et le dernier milieu sont identiques, ce qui a lieu pour presque tous les instruments d'optique. Dans ce cas, la distance du foyer antérieur au premier point principal est égale à sa distance au premier point nodal, c'est-à-dire que le premier point principal coïncide avec le premier point nodal et le deuxième point principal avec le deuxième point nodal.

C'est ce qui a lieu pour les lentilles épaisses, cas dans lequel on peut trouver les points nodaux par une construction simple. Soient en effet C, (fig. 20) le centre de la première surface, C2 celui de la seconde, C2A un rayon quelconque de la seconde surface, C,B un rayon de la première surface parallèle à C2A. Traçons la droite AB qui représente la marche

d'un rayon dans l'intérieur de la lentille ; DB et AE indiquent sa direction en dehors de la lentille. Il est facile de voir que ces deux droites sont parallèles ; les angles /' sont en effet égaux puisque les angles /• le sont. En les prolongeant, elles coupent l'axe aux deux points K4 et K2, qui

sont les deux points nodaux. Le point 0 est le centre optique de la lentille. Il est l'image de K, par rapport à la première surface et celle de K, par rapport à la deuxième surface.

Dans une lentille infiniment mince les points nodaux et les points principaux coïncident tous avec le centre optique. Si tout le système est représenté par une simple surface réfringente, les points principaux coïncident tous les deux avec la surface et les points nodaux avec le centre.

Les miroirs peuvent être considérés comme des systèmes dioptriques dans lesquels le dernier milieu a un indice égal à celui du premier milieu, mais avec le signe contraire (puisque les rayons reviennent en sens contraire). Les deux points principaux coïncident avec la surface, les points nodaux avec le centre, et le foyer se trouve à égale distance entre les deux (puisque F4 = — F2). Les systèmes réfléchissants composés n'ont également qu'un point principal et un point nodal, et le foyer est situé à égale distance entre eux. Tel est, par exemple, le cas des systèmes composés qui donnent naissance aux images de Purkinje dans l'œil.

Exemple i. — Trouver les points cardinaux du cristallin.

Admettons que le cristallin ait une épaisseur de 4 millimètres, que le rayon de la surface antérieure soit de 10 millimètres et celui de la surface postérieure de 6 millimètres. Prenons i ,33 pour indice de l'humeur aqueuse et du corps vitré, et admettons que l'indice du cristallin par rapport à ces liquides soit de i ,06 environ.

Dans ce cas chacun des systèmes A et B est représenté par une seule surface réfringente. Les distances focales du système A sont :

Fig. 20. — Construction pour trouver les points nodaux d une lentille épaisse.

io. i ,06 0,06

= i67mm

NOTIONS D'OPTIQUE

celles du système B sont :

F"„ = = = ■ : = ioomm