II

13. Valf'iir f/e l'anf/le forme pur la direction des météores avec Vaxe de symétrie à l'extrémité de :. —

Nous pouvons, dès maintenant, calculer l'ang-le o que forme la direction des météores avec le rayon vecteur p et à son extrémité. Nous avons en effet (Og. 12) :

C = vr «in À, et

Nous pouvons donc écrire :

vr sin À =^ \\ p sin o;

vr sin X sni-v = — r.^ ,

Yi <-<

0 ûe^rea X

Fig:. H. — \'ai'iatu)ns du caiT-.'' de la vitesse à rextréiiiilé de o.

qui devient ;iprès transformations,

'-p.— V -2 -f- ( n- — '2n ) i 1 — cos À; ' sin X

y/[i— cosxj |(» — t)'^-f i]

Ainsi qu'on pouvait le prévoir, l'angle o décroît à mesure qu'augmente la valeur de p.

14. Choc des niêtêorps sur l'axe de symétrie; valeur de la vitesse résultante : elle est constante, quelle que soit la grandeur du vecteur z. — Nous avons vu que

les trajectoires sont symétriques par rapport à c. Deux amas de météores a et a, situés dans un même plan diamétral à droite et à gauche de l'axe de symétrie, se rencontreront donc à l'extrémité de z ; la seule condition est qu'ils abordent la sphère d action en faisant un même angle /. avec r. Il en sera de même pour tous les amas formant dans l'espace un certain angle a', a", etc., avec r. Dès lors, des chocs sont inévitables pour la plupart d entre eux, d'où perte de force vive et de vitesse, car nous avons supposé nos météores se comportant comme des corps mous, c est-àdire non élastiques. Les masses a et a étant supposées égales dans l'ensemble, la vitesse de la masse totale a-\-a', après le choc sera, eu égard aux conditions admises, dirigée suivant l'axe de symétrie et égale à la projection de ^ p sur cet axe.

Appelons, en effet, V^ cette résultante après le choc et cherchons sa valeur.

Soient toujours o 1 angle de la direction d'un amas météorique par rapport à p et Vp sa vitesse (déjà déterminée n° 12 » à l'extrémité de c; nous avons d'une part (fig. 13 :

V =V ces o ou V2 = \'-cos^o,

cos o = ^ 1 — sm- o ou cos- 9=1 — sin^ o ;

d'autre part :

V 0 sin o ^ C ou \'- p- sin^ o = C^.

Nous pouvons donc écrire :

cos^ c. = 1 —

donc

pr r p

Remplaçons maintenant V* et —y par leurs valeurs respectives déduites de l'équation (7) et de l'équiitiou fondamentale C^ri'sin A, il viendra après transformations

it2

/ /) — '2 "I \ / 1 4- cns A \

\ n n-il — cosÀ)/ \/i-ll — cosÀ)/

d'où finalement

\ n ' II- J

Kig. \■^.

V étant une constante pour tous les météores, ainsi que

, à un instant donné, on voit que la vitesse résul-

tante V^ de tous les amas de météores après le choc, est toujours la même, quelle que soit la rég'ion d'où proviennent les amas.

Ce résultat intéressant, au([uel conduisent les lois de la Mécanique, facilitera singulièrement nos calculs dès que nous chercherons à nous rendre compte de la densité de la nébuleuse.

lo. Trajet parcouru par les météores après le choc.

— Les météores après le choc se trouvent dans la situation d'un corps animé d'une vitesse déterminée, égale en la cir-

constance k vi ), et qui s'éloignerait dune niasse

centrale attractive à partir d'une distance donnée p.

Si nous désignons par h la distance parcourue à partir de l'extrémité p, la formule connue

devient :

(10) ^-^^zfvv

Calculons maintenant p-\-h, c'est-à-dire la nouvelle valeur de p, puisque les météores ne sont pas restés à l'extrémité de ce vecteur qui est devenu ç-\-h, et posons :

Nous avons d'après (10)

Remplaçant dans cette dernière formule les valeurs de p, [A et V^ déjà trouvées, il vient :

^ 2RVn2(l — cosX)

2Rr-^ L^ ^^^-;^ n'R (1 — ces X)] '

■2/)-R 1 — ces À)

'2 — [fi — 1 j-( 1 — cos X)

Pour le calcul, cette dernière valeur peut se mettre sous les deux formes suivantes :

2— (H — 1)='(1— COSÀ) '

1 ces A ^

16. lirptutition et densité des unms sur l'uxe de symétrie — Nous avons vu (ju'un météore dont le rayon vecteur r lornic un angle a avec la direction générale ae Tessaim, est amené sur l'axe de symétrie aune distance p de la masse centrale. Pour une valeur de p déterminée, les météores x\yii tombent à son extrémité proviennent donc dune . circonférence (limitant une calotte sphérique) et décrite par /• faisant un angle a avec //iM. Le rayon de la calotte sphérique a pour valeur rsinX (fig. 14).

Imk- 1-

Proposons- nous de reciiercher la répartition et la densité des météores tombant sur l'axe de symétrie.

Si nous désignons par r/ le nombre de météores tombant sur l'élément de surface ds situé à l'extrémité de r et par N la totalité des météores arrivant sur la circonférence de ravon /'sin/,, nous aurons :

N = (f-r'^ sin"- À,

c/N = (fizr^'2 sin À cos À c/X.

Mais nous avions aussi d'après (4)

p= K(l — cos À),

c/p ^= K sin À c/À.

4 — Cosmogonie.

La densité D sur Taxe de symétrie sera donc représentée

par

r/X a-r^2 sin ÀcosÀ(/À Iq-r^

, =^ -^ p ^—r. = —\. COS A.

as k sin a ua K

Si nous remarquons d'autre part que

il viendra finalement pour la valeur de la densité D = ^'^ = 2y-R cos À.

Degré

Y'\s. 15. — ^'ariations de cos )..

D étant de la forme H cos a , on voit que les ordonnées varient comme les valeurs de cosX (fig. lo); mais elles sont réparties aux extrémités de p = K(l — cosl).

Posons :

y = cos À,

x = 1 — cos À, Nous voyons que

La courbe de la densité est donc représentée par une

droite, la densité décroît régulièrement à partir de la masse centrale' (fig. 16).

Fi^^ 16. — La densili- est re|)ivsenlée par une droite.

17. DdisitO en tcnnnt compte de la rêpurtilioii après les eliocs. — La densité que nous venons d'obtenir n'est qu'approchée, car, dans la réalité, si les ordonnées de la courbe restent les mêmes et sont toujours fonction de cos>., elles ne sont pas, comme nous l'avons supposé, réparties aux extrémités de p, mais à celles de p-[-/i=P. La densité exacte est donc :

En combinant la valeur de WS [n° 15) avec celle de dP déduite de ( Ll ), nous arrivons, après transformations, à une formule qui est loin d'être simple, mais qui ne renferme que des expressions faciles à calculer.

On a en effet :

'2q7:n^R- cos l

1 + co.s X

^ R 1 — cos X) + f =-— r — 1 + cos xl

posant

-^ + ces X — 1 = A,

' On arriverait au même résultat en écrivant directement les coordonnées de la courbe de la ûg. 16 :

1/ = H cos À ,

X ^ K ( 1 — cos X ) ;

d"où

nous voyons que la densité D' a finalement pour valeur , , . yTTft^R- CCS À A"-^

CCS A) + — -

La densité D' n'est plus représentée par une droite, mais par une courbe qui s'abaisse lentement à partir de M (origine) pour finir brusquement au moment où o -|- ''^ atteint le rayon de la sphèie d'action (fip:. 17).

Vii,. 17

— D, ancienne dcnsilé: D'. courbe de la densité en tenant compte des chocs.

18. Remarque importante sur la capture f tes amas. Formation de nouveaux noyaux nêhulaires. — Les

amas, nous l'avons vu (n° 9), ne sont captés que si leur vitesse après le choc ne les entraine pas eu dehors de la sphère d action; en d'autres termes, p-]-h doit être inférieur ou égal tout au plus au rayon /' de la sphère d'action. Nous verrons plus tard de quoi dépend ce rayon ; mais nous devons faire ici une remarque très importante sur la possibilité pour des courants filiformes de matériaux cosmiques de s'agréger en masses plus ou moins grosses.

En avant de la masse ^I, la sphère est assez bien délimitée; c'est le lieu géomélri(|ue des points où l'attraction de M sur les météores est supérieure à leur attraction mutuelle. Cette dernière, pour un large courant, est loin d'être négligeable ; elle dépend aussi de la densité du nuage cosmi([ue.

En arrière de M, du l'ait que les trajectoires ont été déviées (fig. 18) et infléchies, il se produit forcément un vide; nous sommes dans le cas d'une veine liquide qui setïile. alors qu autour d elle la densité diminue. Dans toute celte résrion

arrière, le rayon de la sphère d'action doit donc aug'menter quelque peu; mais la conséquence la plus intéressante au point de vue cosmogonique, c'est la formation de cette sorte de veine cosmique où les météores deviennent très pressés et où des agglomérations doivent prendre naissance. On a ainsi l'explication très simple de l'existence dans le ciel de masses plus ou moins grosses jouant le rôle des noyaux nébulaires, base indispensable à toute théorie. Qu'un noyau de ce'genre rencontre, lui aussi, un courant météorique, il donnera de nouveau naissance au [)hénomène de la capture et des nébuleuses spirales.

/^méiz non c/évièa

Fij;. 18. — Les amas captés directement ou indirectement sf)nt en pointillé. Un vide relatil" se produit derrière la masse centrale (sur la droite de la fi^'ure ).

\\). X'nlcur de ii diuis les difî'êrenls eus et pour cliuijue coiiitiue. — Four simplifier les formules précédentes, nous y avons introduit un coefTicient n (n" 11, à la lîn); c'est le nombre qui exprime le rayon r de la sphère d'action en \ unité conventionnelle adoptée R, valeur du rayon dans le mouvement circulaire; en d'autres termes, nous avons posé :

Or la valeur de n est loin d'être arbitraire; elle dépend de la trajectoire des météores soumis à l'action de la masse centrale ; elle est donc fonction de la vitesse propre des météores et de la masse attirante. Examinons les différents cas.

Cas du Cercle. — On a :

v- = ^ ou R = ^.

Ici,

Donc

Cas de la Parabole. — Pour la parabole nous devons avoir (V. Mécanique céleste) :

r n\\ nix n

Donc

Cas de V Ellipse. — On doit avoir

Donc

Cas de l'Hyperbole. — Dans ce cas nous aurons, au contraire :

Donc

En discutant la formation du système solaire en particulier, nous verrons que les trois premiers cas doivent se présenter très rarement; en raison des vitesses constatées dans l'univers, c'est le quatrième cas qui doit le plus fréquemment se réaliser ; les trajectoires sont hyperboliques et la valeur numérique de n est toujours supérieure à 2.

20. Largeur du faisceau météorique fournissant la capture indirecte; valeur maximum de p-j-h ou P. —

Pour que la capture ait lieu derrière la masse centrale, il ne

faut pas qu'après le choc, le trajet parcouru par les météores dépasse le rayon r de la sphère d action. Le mouvement doit donc s'arrêter en deçà de cette limite, et c'est la condition essentielle pour que les météores retombent sur la masse centrale. On doit donc avoir, en nous rappelant (no 15) que

Substituant à P sa valeur déjà trouvée (H), il vient : •2h2R(1— cosâ)

2 — (m— 1)"''(I — cos a ou, après transformations :

nR,

n' + 1 • Exemple. — Soit n = o, la valeur maximum de P sera :

qui correspond à 23''30' environ.

Ainsi, des amas, ne seront captés que ceux qui passeront à l'intérieur de la calotte sphérique décrite avec un angle de 23° '/j. On verrait que, si n était bien supérieur à o, le faisceau serait encore plus limité ; et il doit arriver pour beaucoup de nébuleuses que les captures directe et indirecte doivent se balancer.

Remarque. — On peut trouver directement la valeur de l'angle précédent en posant d'une façon plus simple

ces À ^^ 1 -, T- ou COS À ^::::^ — ô— i — T- .

— «--fi — n^ + 1

Appliquée au cas déjà envisagé, la formule donne immédiatement

II' 4- i valeur du cosinus de 23° 30'.

La formule — ^ , ^ montre mieux que la première qu'à

un accroissement sensible de n, correspond une rapide diminution de la largeur du faisceau fournissant les météores captés. Ainsi, pour ^1^=10, on trouve :

lui

qui correspond à 10° 30'; pour /î = 20, on aurait :

qui correspond à 4°30' seulement.

On voit que, dans ce dernier cas, la capture directe, c'està-dire la chute des météores sur la masse centrale, par le simple effet de la rencontre, est aussi importante que la capture indirecte.

Planche \'I

Ni'hulcuse spirale dans la constellation de la Gi'ande Ourse. D'après une pholoj,'rapliie. )

21. Nous avons recherché précédemment la densité de la masse nél)ulaire en arrière de M. Les calculs, hâtons-nous de le dire, ne peuvent être qu'approchés; nous n'avons pas tenu compte des amas ([ui reviennent vers le centre.

Considérons, en ell'et, les amas dont la capture est certaine [ï\g. 19), ceux qui sont compris dans la calotte sphérique dont la circonférence fournira des météores tombant en A, météores dont la vitesse résultante après le choc ne

Fig. 19.

les laissera pas sortir du rayon r d'action. La limite du parcours pour ces météores sera le point C ,. et quand ceux-ci retomberont en A, ils auront théoriquement recouvré leur vitesse; mais, en chemin, ils auront rencontré d'autres météores arrivés en B, 11 y aura donc une circulation g^énée et le résultat de cet enchevêtrement n'est plus susceptible d'être soumis au calcul.

Dune fayon générale, on peut dire qu'il se passera sur Taxe de symétrie un phénomène analogue à celui que nous

remarquons dans un jet d'eau s'élevant verticalement. A chaque instant, les molécules qui tombent annulent en partie la vitesse de celles qui montent , et des condensations ont lieu à diiïérentes hauteurs.

Toutefois, pour peu que le jet ne soit pas dirigé suivant une verticale rigoureuse , ou si une action déviatrice se fait sentir, comme celle du vent par exemple, immédiatement toute condensation disparaît. C'est précisément ce qui arrive dans notre nébuleuse, où la rotation de la masse centrale entre en jeu dès le début.