I. — Etude des mouvements dans un milieu résistant

'M). Si les étoiles nouvelles sont des exemples d'édilices néhulaires construits sous nos yeux , l'étude des transformations rapides enregistrées dans le milieu entourant les Novœ doit renfermer pour nous plus d'un enseignement. A cet égard, les clichés de la nébulosité accompagnant la Xova de Persée sont hautement suggestifs. Au début, c'est une mêlée un peu confuse d'éléments nébulaires disséminés à l'intérieur dune vaste circonférence excentrique, m;ns peu à peu des spires, ou plutôt des arcs de spirale, se dessinent çà et là; brillants dans les régions centrales, vagues en certains endroits, ceux-ci ne tardent pas à se raccorder et, en quelques mois, le dessin s'achève.

Une nébuleuse spirale peut donc se construire rapidement, et c'est d'ailleurs ce qui résulte de notre théorie; mais dans tous les cas, il ne faut pas l'oublier et l'exemple de la Nova de Persée est là pour nous le rappeler, la forme neltement spirale avec branches bien accusées témoigne déjà d'un stade avancé de la condensation.

Les éléments ne peuvent, en effet, se grouper en courbes plus ou moins s^^métriques que dans un milieu assez homogène et peu dense relativement. On pourrait donc imaginer ainsi les stades successifs de la nébuleuse.

Dès l'abord, pluie météorique sur la masse centrale; une partie des météores sont réduits à l'état gazeux; le noyau s'entoure d'une sorte d'enveloppe dont les spectres d'absorption et d'émission nous rappellent la genèse des premiers

éléments, suivant les belles théories de sir Norman Lockyer sur révolution de la matière. Les phénomènes spasmodiques dus à lacLivité interne soudainement réveillée et accrue au sein de la masse centrale fusent encore à travers les enveloppes de plus en plus épaisses; mais bientôt la chrysalide s'entoure du voile presque impénétrable des nébuleuses planétaires. Cependant, au sein du disque équatorial , le chaos n'est pas si complet qu'on ne puisse y distinguer déjà les linéaments des spires futures. Peu à peu, mais toujours assez rapidement, la condensation fait son œuvre, les chocs drainent les météores vers les régions centrales. La plupart de ces derniers, on peut l'affirmer pour les petites nébuleuses, sont destinés à grossir le noyau où ils sont copieusement précipités.

Après ce rapide balayage du plancher de la nébuleuse, les branches spirales apparaîtront dans toute leur régularité. Les chocs, en effet, subsistent encore, mais ils sont moins désordonnés: la résistance demeure toujours très accusée, néanmoins elle n'y est pas si forte que les lois de la gravitation ne s'y puissent exercer suivant les principes qui régissent des corps planétaires tournant autour d'une masse centrale.

31. Équation des hrmiches spirilles d'une nébuleuse : le litiius. — Nous pouvons essayer de nous faire une idée de la forme approchée de la courbe sur laquelle s'étagent les nœuds de condensation.

Considérons, en effet, la masse m des éléments situés à la distance r du centre d'attraction de la masse centrale M, et supposons-la déjà soumise à la loi des aires. Si w représente la vitesse moyenne angulaire, nous aurons évidemment

moyr- = const.

Pour la masse totale , on a rigoureusement '^imor- = const.

Mais, pendant la chute provoquée par la circulation encore embarrassée et par les chocs, on peut admettre qu'en passant d un point m à m', chaque nnx>r- ne varie guère, puisque r n'a pu beaucoup varier en un temps très faible (fig. 33).

CONDF.NSATION DE LA NEBULEUSE

L'équation de cliaque branche en coordonnées polaires serait alors (fig\ 3i)

/•"-O ^ coiist.

C'est celle de la spirale connue depuis Cotes , qui l'a étudiée au,xvm'' siècle', sous le nom de spirale lituus ,' elle

Liri

Fi g-. 33.

ressemble tout ;i lait à celle des nébuleuses; très pressée au centre, elle ne tarde pas, à partir d'une certaine distance, à s'élargir démesurément. Une brève étude va nous en montrer les principales caractéristi([ues.

Fig. 31. Fi^'. 35.

Forme de la spirale lilaiis.

L'équation de la spirale r-0^a'-(const.) montre immédiatement que cette courbe est le lieu d'un point M, se mouvant de manière que l'aire du secteur circulaire (fig. 35) MOm, de centre 0 et de rayon OM, compris entre OX et OM, demeure constante.

' Cotes : Harnionia mensurarum (1722), p. 84. V. aussi F. Gomes Teixeira Traité des Courbes, n» 476 (Coimbre 1909).

G — Cosmogonie.

Cette spirale fait un nombre indéfini de circonvolutions autour du pôle 0 , qui est un point asymptotique , et elle possède une asymptote qui coïncide avec l'axe des abscisses.

Quand 0 est très petit, soit e sa valeur, on a :

donc /• tend vers l'infini.

Aux points A, B, C, D, etc., où Q égale ^j ^~'

-9-7:..., r prend les valeurs suivantes :

•^ = V4' ^^=Vlè' OC=.ai^~ ,elc.,

ce qui nous donne un moyen simple de construire la courbe par points.

La sous-tanrfente au point (0, r) a pour expression

S=r-^ — = — ^ ' dr r '

doù l'on déduit les deux propositions suivantes :

1) La sous -tangente, au lit u us au point M, est inversement proportionnelle au vecteur MO du point de contact, et égale au double de l'arc Mm;

2) L'aire du triangle formé par le vecteur OM, par la perpendiculaire à ce vecteur au point 0 , et par la tangente au point M, est égale au double de l'aire du secteur circulaire MOr?t.

Le rayon de courbure de la courbe envisagée est donné par la formule

Il y a donc un point d'inflexion; il suffira pour le déterminer d'égaler R à c<d : cette condition est remplie quand

d'où

r' = ia\ et

condb:nsation de la nébuleuse 83

Si nous remarquons qu'ici r^ = 2a^, l'expression r-Q^a^ devient dans ce cas

r^() = 2(1^ = a" ; d'où

Le vecteur au point d'inflexion est donc toujours incliné d'un angle constant sur l'axe des X, et cet ang-le 0 égale 28H' environ '.

Cherchons, maintenant, l'aire balayée par le vecteur du point (6, r).

La dilTérentielle du secteur qui représente cette surface peut s'écrire :

Mais l'équation du lituus nous donne :

dès lors, on aura :

,, a" dh dA=-j.-j-,

c/fi expression dans laquelle -7— est la différentielle logarithmique de 0.

Intég'rant, il vient pour la valeur de A, dune façon générale

/ d\ = -^ / -^^ = A = ^ Log 6 + const.

Si enfin nous voulons avoir la valeur du secteur A compris entre r, et Tq, cette même intégration nous donnera au moyen des intégrales définies

A = ^ { Log 0, — Log %) = ^ Log y- .

' Nous avons vu que le point d'inflexion se produit pour r=^a\/2- Ajoutons qu'en ce point, la sous -tangente est égale à r.

Pour obtenir A en fonction de r. il suffira de remarquer que 6 = -^ ; d'où nous pouvons conclure :

a- /, a? , cî^ \ u^ ^^f /a^ . a^\ a? , r„

A = -^ (Log ^^ - Log -^, )=-^^ Log (-^ : ^^) = ^ Log -^=

ir ^^'^^^ (77) = T • - ^^"^ 77 = «■ ^°^ 77 •

Conclusion. — L'aire balavée par le vecteur A aura pour expression finale

(15) A = 4-Log j- = «'^^o&7^ + consl.

A la lin de ce chapitre, nous reviendrons sur une application des formules du Lituus ; mais nous pouvons déjà faire ici une remarque : en raison , sans doute , de la rotation rétrograde aux confins de la nébuleuse, le point d'inflexion des branches spirales n'est pas toujours marqué. Il se peut aussi que nous ne puissions suivre, jusqu'à ce point, les branches forcément atténuées, quand le vecteur aug-inente. Enfin notons que la forme de la spirale lituus n'est qu'approchée pour les nébuleuses; néanmoins, c'est encore elle qui rend le mieux compte des apparences observées.

32. Considérations générales sur l'influence d'un milieu résistant. — Toutefois, les branches spirales ne sont encore qu'une phase d'évolution du système nébulaire. En même temps que les amas glissent, pour ainsi dire, sur ces branches, tendant ainsi vers le centre, et que le gros des spirales balaye l'étendue du disque équatorial, ce dernier s'alimente des amas situés au-dessus et au-dessous de son plan principal; là, les météores manifestent une tendance aux deux circulations directe et rétrograde, les chocs sont nombreux et, peu à peu, la matière qui a échappé aux branches spiraloïdes gagne le noyau central . qui devient ainsi le lieu de rendez -vous de presque tous les matériaux capturés. Rares, en effet, seront les amas pouvant échapper à son emprise. Ceux-ci, dans notre petit système, ont donné naissance aux mondes planétaires. Par quel mécanisme

exact sont -ils arrivés à s'isoler, c'est ce que nous dirons dans la suite. En attendant, nous allons supposer toutes formées les nodosités sur les branches spirales.

A partir de ce moment, ces amas planétaires vont pouvoir circuler plus librement; ils obéiront à la troisième loi de Kepler et . suivant leur vitesse orii^inelle, ils décriront des orbites elliptiques d'excentricité plus ou moins accusée, dans un milieu <[ue nous pouvons considérer comme résistant.

Examinons les conséquences d'un tel état de choses.

Fiji. 36.

Soit TB l'impulsion tangentielle (fig'. 36) d'une masse planétaire située en T, S représentant le centre du soleil futur; la résistance af»ira en sens contraire de TB pour diminuer sa valeur et la réduire à TB'.

Mais la valeur TA, de l'attraction centrale, n'aura pas chang-é en un temps très court; dès lors, au lieu de suivre la première diagonale TD du parallélogramme, le corps situé en T prendra la direction de la diagonale TD', et l'orbite primitive sera modifiée. Les vecteurs ayant diminué dans la nouvelle trajectoire, le moyen mouvement, lié par la troisième loi de Kepler à la distance de la masse centrale, devra donc s'accélérer.

D'autre part, la résistance dépend du milieu traversé, et la densité de ce milieu s'accroît elle-même à mesure qu'on approche du noyau central; de sorte que, finalement, la résistance p a pour expression générale

r étant le rayon vecteur de la masse planétaire et K un coefficient constant.

On pourrait traiter le problème en posant :

mais, par analogie avec ce qui se passe sur la Terre en diHerents milieux, on suppose le cas où

Le premier effet dune résistance de ce genre est de diminuer le grand axe et d'atténuer la valeur de lexcentricité. C'est ce que nous démontrerons analytiquement ; mais le raisonnement suivant suffirait à faire comprendre le mécanisme de ces variations.

Supposons le cas de l'effet maximum qui doit se produire lorsque la planète est le plus proche du Soleil (fig. 37), c'est-

Fig. 37.

à-dire à son périhélie P. Introduisons brusquement une résistance : l'attraction vers le centre se fera plus largement sentir, et la chute, dans cette direction, se traduira par un rapprochement de l'aphélie A'; le périhélie restant au même endroit, nous aurons forcément une diminution de l'excentricité. Cette dernière augmenterait, au contraire, si la résistance ne se faisait sentir qu'au moment du passage à l'aphélie, puisque, dès lors, le périhélie serait obligé de se rapprocher du Soleil.

Mais, dans la réalité, les choses ne se passent pas ainsi : la résistance agit en chaque point de l'orbite, et, comme elle est plus forte dans la portion voisine du périhélie, cette dernière circonstance finit par prévaloir; si bien, qu'en somme, la marche d'un astre dans un milieu résistant a pour

effet de diminuer à la fois l'excentricité et le grand axe, si l'orbite est elliptique.

On étudie généralement ces variations des éléments par la méthode classique de la variation des constantes.

On trouvera un exposé complet de ce procédé assez laborieux dans certains Traités de Mécanique céleste, notamment dans les ouvrages de Poisson ' et de Pontécoulant'^ M. See l'a présenté sous une autre forme, en taisant intervenir l'équation des forces vives et le travail'; c'était déjà une simplification sur les méthodes antérieures.

Or, en examinant la question d'une large vue d'ensemble, il m'est apparu qu'il doit exister un moyen plus simple, et j'oserai dire plus élégant, pour arriver aux mêmes résultats. La démonstration que je donne aujourd'hui est fondée sur cette remarque que le travail de la résistance s'effectue précisément dans la direction, quoique en sens contraire, de

Fig-. 38.

l'accélération tangentielle ; cette seule considération , nous allons le voir, va nous conduire à déterminer les variations des principaux éléments de la trajectoire du mobile.

33. Effets de lu résistance sur la valeur du grand axe d'une orbite elliptique : a diminue constamment.

— Soit une petite masse m décrivant une orbite autour du Soleil suivant les lois de Kepler; nous supposerons l'orbite

' Poisson : Traité de Mécanique , t. I , p. 444.

2 Po.N'TÉcouLA.NT : Théoric analytique du système du monde, t. III, p. 271.

3 On verra un exposé de cette théorie dans H. Poincaré : Leçons sur les Hypoth. Cosmog., pp. 118 et suiv.

elliptique et l'excentricité quelconque (Og. 38; ; soit F Tun des foyers qu'occupe l'astre central.

Si la résistance était nulle, le corps planétaire parti de A arriverait en B (supposé très lapproché) en un temps très court, après avoir décrit sa trajectoire elliptique suivant la loi des aires, et sa vitesse aurait pour expression

fl6) r' = 'j.{^ — -\.

dv L'accélération tangentielle étant exprimée par -jy , si a

(demi -grand axe) est une constante, nous devrions avoir en différentiant :

(17) •2vdr = -2'j.(l^.

Mais leniarquons que

ds désignant l'élément de la trajectoire; il vient donc pour la valeur de l'accélération tang'entielle

Supposons maintenant qu'une résistance se fasse sentir en B; elle aura pour effet immédiat de réduire cette accélération tangentielle à laquelle elle est directement opposée ; comme, en outre, elle est, par hypothèse, proportionnelle au carré de la vitesse, si p désigne un coefficient proportionnel à la densité du milieu, l'expression de la résistance, ou mieux, de l'accélération résistante , sera zv-.

L'accélération tangentielle (18) deviendra donc :

ils r • ^

et la vitesse sera :

J'di\ = '•, ;

c'est-à-dire, que le corps partira de B avec une vitesse changée y,. Au lieu de se diriger vers D. il abandonnera sa pre-

mière trajectoire et décrira une autre conique; mais, en raison de la loi des aires, nous aurons encore

car FB^r; si donc, le rayon vecteur reste le même, la vitesse ayant changé, il faut ([ue le <;rand axe ait varié, lui aussi. Remar(|uons, toutefois, que les variations de a sont assez restreintes; pour (jue le mouvement ne cesse pas d'être elliptique, — et c'est ici notre hypothèse, — il faut, en elfet, cjuon ait toujours (n" lî))

11 s'ensuit que, dans ce cas, la résistance doit être faible : c'est ce que nous allons supposer.

Ainsi, pour que des mouvements de masses planétaires puissent s'elfectuer sur des orbites elliptiques, la résistance ne doit pas être trop forte, sans quoi ces masses se précipiteraient vite sur le noyau central. Cette dernière circonstance se trouve réalisée pendant une lar<^e période de l'existence des nébuleuses, et c'est ce qui explique que dans notre système solaire, en particulier, les matériaux planétaires ne sont rien en comparaison de la masse énorme du Soleil. C'est donc à la fin de la condensation, et seulement à celte phase, au cours de ]a([uelle s'est déblayée l'aire éfjuatoriale , alors qu'il existait une masse centrale bien condensée, que la résistance alTaiblie permit à des disques planétaires de subsister.

Après cette digression nécessaire, revenons à notre problème dont les données sont maintenant plus précises.

L'expression oénérale de la vitesse (Ki) montre (jue la valeur de cet élément est fonction de r et de a. Si v diminue, r restant constant, a diminuera et nous devrons le considérer, désormais, comme une variable dans la formule (20).

Calculons donc la nouvelle accélération tangentielle. En opérant comme précédemment, nous trouvons pour sa valeur a , 1 u , l

u.v /• 2<Is a

alors que la première nous avait donné :

a , 1 as r

La différence de ces deux expressions provient précisément de la résistance envisagée. Nous pouvons donc écrire que celte différence égale la résistance ou

'2ds a d'où

— fxd — = 2cv^ ds ;

-^ (/a = — Içv^ ds,

(21) c/a = — 2pa2 -^ (/5.

Nous pouvons remplacer y* par sa valeur et il vient fînament

(22) da = — 2pa ( ^^ — l\ds.

Gomme on a toujours

la différentielle est essentiellement négative, la fonction ne

peut donc être que décroissante, et nous pouvons conclure

que a diminue constamment : c'est d'ailleurs ce que nous

v~ aurions pu inférer de (21), puisque — est toujours

positif.

34. Remarque. — Si l'on voulait arriver à la formule classique, il suffirait d'introduire dans (22) la valeur de r en fonction de a, de e et de cos 6 (ô^anomalie vraie et e = excentricité).

En effet,

a{ï—e^) i -j- e cos 6 '

2a , 1 + 2e cos 6 + e\ l^-ij "T ~ 1 — e-*

on a donc

(24) ' (la = —j^^{l-\-2ecosf)-{-e^)ds.

35. Effets de hi résistimce sur l'excentricité : e diminue constamment. — Rappelons quelques formules du mouvement elliptique :

G ^double constante des aires;

p = demi-paramètre ;

0 = angle de r avec la direction de v.

Nous avons (V. Mécanique céleste) :

dt '

Nous allons calculer la valeur de -jr , accélération tan-

gentielle, par la méthode précédente (n° 33) :

1) D'abord dans le mouvement normal elliptique, avec a et e comme constantes ;

2) Puis, dans le même mouvement altéré par la résistance, en considérant a et <? comme variables.

Premier cas. — Les formules précédentes (25), qui expriment les valeurs égales de G, permettent décrire :

rsui o

Difîérentiant pour avoir la valeur de dv et divisant par dt, ! nous avons :

dv ^ d[r sin o)

'dt~~ dUr"" sin^^) '

Deuxième cas. — De même, nous trouverons quand la vitesse sera r,

ch\ d^{C){r sinvj,) — d(r sïno)C

1]T~ f// /•- sin- cp) '

d'où

dv di\ — Cd(rsin'i) — cZ/Clr sincp + (/(rsin cp)C

ITt dr~ dt{r^ sm^'^j)'

^ d, (C) dt [r sin '^)

Remplaçant G par sa valeur , (2o), on a :

dv dî^ (tt d/r'^d^]

dt dt dtirsinzi) r sin 'jdt'^'

Nous pouvons donc écrire finalement

2 dJr^dd)

r sm '-p clt^ mais, d'après (25)

il vient donc, en remplaçant sino et v par leurs valeurs respectives, et chang-eant les signes

d^{r^d^)= — ^(r'dh)ds, et comme

d^ (rVO) = d^ \/iJ.a 1 1 — e-') dt ,

d^ \JiKa (1 — e"^) dt=^ — p \l<j.a ( l — e^) (/< . ds,

f/, sa(J — e-' = — pv/afl — e^) (/s.

Nous pouvons remplacer a par sa valeur tirée de (24) et nous aurons après transformations

(26) (/e = — 2c(e + cose)(/s.

Pour étudier plus facilement les variations de e, il est toujours préférable de remplacer da par sa valeur déjà trouvée dans (23), et 1 on aura après transformations

de =

]. — e^\ds

Le deuxième facteur est toujours négatif, puisque

■ l >• 1; il en est alors de même de de : e est donc sans

cesse décroissant.