Cns où l'exccntrivitO est trùs faible. — Lorsque e

est très petit, on peut supprimer dans la valeur de de les

inliniment petits du second ordre; r est très voisin de ri

et a = a sensiblement.

D'autre part, ds égale à très peu près a^/O et (24) devient : (•27 da= — -2urd().

De même, la formule (26) deviendra :

(28) de = — -Iza cos 0 r/0.

En considérant p comme constant, et la, Ze comme les parties variables de a et de e, il viendra en intégrant : ùa = — 2ça-0, ôe = — 'Ica sin 0. '

* Voici comment ces résultats sont obtenus dans les deux cas : da et de sont les difforeutielles de la partie variable de a et de e, qu'on peut exprimer par la et ce.

On écrira donc d.la = — 2ç,a-db ;

intégrant, on obtiendra :

fd.la = — 2pa^ fdb,

ou £a = — 2po*e.

de = — 2pacos6 df) , d . ôe = — 2paJ (sinô);

J^d . îe = — 2pa J'd. sin 6 , 6e = — 2oa sin 6-

Pour on écrira :

intégrant, on obtiendra :

On peut donc connaître les variations de ca pour 0 ^ - ou 6 := 2~; de même, en est -il pour leurs multiples kr. et k2-. en d'autres termes toutes les fois que le mobile repassera à son périhélie et à son aphélie.

La variation le est plus complexe.

Pour T. et 2-, c'est-à-dire au périhélie et à l'aphélie sinO = 0. En ces deux endroits, le mobile décrit donc des éléments d'ellipse dont l'excentricité est la même qu'au début. La diminution de cette dernière ne peut reprendre qu'entre ces deux valeurs extrêmes, et l'inégalité se fait sentir à chaque révolution.

Corollaire. — Le moyen mouvement augmente, comme aussi la vitesse linéaire. On voit que, dans tous les cas, la marche dune planète dans un milieu résistant a pour effet de diminuer aussi bien le grand axe que l'excentricité.

11 s'ensuit une autre conséquence paradoxale au premier abord : malgré la résistance, le moyen mouvement de la planète s'accroît.

Ce moyen mouvement w a, en effet, pour valeur

mais, d'après la troisième loi de Kepler, nous avons :

d'où

u. = oi-a^ = (iocij'a.

Donc, si a diminue, m augmente par compensation; il en est de même de la vitesse linéaire wa.

37. Étude de hi résistance dans le mouvement circulaire : effets de cette résistance. — Ainsi, à mesure qu'un mobile circule dans un milieu résistant, sa trajectoire tend vers la circonférence qu'on peut considérer, dans une première approrimnlion, comme la limite qu'il s'elforce d'atteindre.

Cette circonférence, toutefois, n'est qu'une limite de forme, mais non de dimensions, car a diminue sans cesse sous l'efTet de la résistance du milieu et se confond donc bientôt avec r.

Après une période plus ou moins longue, comprenant un nombre déterminé k de révolutions pouvant comporter une variation de a, nous aurons :

L'excentricité, n'ayant pu varier, reste toujours nulle et, au bout de la période considérée , le mobile repartira pour subir, dans la période suivante, une nouvelle variation, et nous aurons :

G,^Av2u.

Cherchons la variation de a dans chaque cas. Pour la première série A,, nous aurons :

oa = a — r = 2pa^0 ; d'où

r = a — 2ça"''0.

(a souligné est une constante) et à la fin de k r = a — 2ç,a-k'2-K.

Pour la deuxième série Ai, a est devenu :

a — 2ça-A-2z, nous aurons donc

ca = [a — '2^a^k'2-) — r^ , ou

(29) ûa = 2ç(a — 4pA-7ra2j-Ô;

d'où

r, = ( a— 4pa^7r) — 2p(a — 4pA-7ra*)26,

(la partie soulignée est considérée comme une constante). A la lîn de la série A-,, nous aurons enfin

r, = (constj — 2pA"j2:r(a — 4p7ta''')^, ou, en simplifiant

r, = (const) — (const^) (47:A',p).

On obtiendrait d'une façon analogue r^, r^, r^, etc. La conclusion est que le mobile tombe peu à peu vers la

masse centrale en décrivant des spires très rapprochées les unes des autres. La trajectoire est toujours très voisine du cercle, si Ion considère un de ses éléments; mais, après chaque révolution, r a néanmoins varié d'une certaine quantité, qui est elle-même fonction du coefficient p et de //.

On peut calculer la variation de a au moyen de la formule (-9). Développant et supprimant les infiniment petits du second ordre, on a d'abord

oa = 47rp(a^ — 2a^hA~^a'^j.

Eti'ectuant de nouveau et supprimant toujours les infiniment petits du second ordre, il vient pour la valeur définitive de za, après chaque révolution, la forme suivante assez simple et qui est classique ' :

(30) ca=A-ça'.