P.L. Tchébychef et son oeuvre scientifique

Pafnutii Lvovitch Tchébj^chef, fils de parents nobles résidant dans le gouvernement de Kalouga, district de Borovsk, naquit le 14/26 Mai 1821. Comme bien des enfants actifs et intelligents, il éprouvait un grand plaisir à construire des jouets mécaniques, tels que petits moulins etc. Je lui ai enten'''U raconter que dès ses premières leçons de géométrie il aperçut la liaison étroite existant entre ses Jouets favoris et ce nouveau sujet d'études. « Il faut que j'apprenne bien ces choses là » se dit l'enfant, et il se mit à étudier la géométrie avec ardeur. Ainsi se manifestèrent dès l'enfance les penciiants et les tendances d'esprit du géomètre qui, pendant toute son existence, rechercha les méthodes mathématiques les plus propres aux applications de la mécanique.

Admirablement préparé dans la demeure paternelle par une éducation qui donna libre carrière au développement de ses penchants naturels, Tchébychef en 1837 devint étudiant de la Faculté Physicomathématique de Moscou. Cette Université brillait alors d'un vif éclat; l'enseignement mathématique était donné par d'excellents professeurs, entre autres, Zernof et Braschman.

En 1841 Tchébychef quitta l'Université avec le diplôme de candidat, après avoir obtenu une médaille d'or pour un travail intitulé « Sur la résolution numérique des équations algébriques d'ordre supérieur ». Ses études universitaires terminées, c'est en 1843 qu'il débuta comme savant par deux notes publiées dans les premiers journaux mathématiques de l'époque. La première est une « Note sur une classe d'intégrales définies multiples », qui parut dans le Joui-nal de Liouville [IJ ('), et attira l'attention de Catalan : la deuxième parut l'année suivante

(*) Ce numéro entre crochets, comiiie ceux qui suivent, se rapporte à la liste es ouvrages et mémoires de Tchébychef placée à la fin de l'article actuel.

(ians le Journal de Crelle [2J et traite de la convergence de la série de Taylor, Ces deux sujets n'eurent depuis qu'un intérêt secondaire pour Tchébychef. C'est vers cette époque que le jeune savant commença à s'occuper de la théorie des probabilités, qu'il devait enrichir plus tard de résultats d'une si haute valeur. Le but de son « Essai d'analyse élémentaire de la théorie des probabilités » (1845) [3] est, comme il le dit dans la préface, de « démontrer, sans le secours de l'Analyse transcendante, les théorèmes généraux du calcul des probabilités, et d'en déduire de même les pi^ncipales applications sur lesquelles reposent toutes les connaissances fondées sur les observations et sur les expériences ».

Cet essai valut à Tchébychef le grade de magister, et en 1817 il fut invité par l'Université de Saint-Pétersbourg à professer l'Algèbre supérieure et la Théorie des nombres. Quelque temps avant son arrivée à Saint- F^étersbourg, l'Académie Impériale des Sciences avait entrepris la publication d'une édition complète des mémoires d'Euler (Opéra minora collecta). L'Académicien Fuss dans son rapport sur ce sujet, daté du 6 Avril 1841, écrivait: « Hoc monumentum, quod etiam ad veram Russiae in litteris gloriam promovendam valebit, est editio compléta omnium operum viri illius quem Academia Petropolitana inde a prima origine quinquaginta amplius annos suum fuisse gloriatur ». Le jeune Tchéb^^chef fut appelé à collaborer à cette œuvre grandiose, et dès 1849 Bouniakofsky et lui firent paraître les deux grands vo- Irimes (]ui, sous le titre « Leonhardi Euleri commentationes arithmeticae collectae », contiennent les 99 mémoires d'Euler sur la théorie des nombres, ('es mémoires (parmi lesquels un mémoire étendu, « Tractatus de numerorum doctrina », et quelques autres encore parurent alors pour la première fois) sont disposés dans l'ordre chronologique ; mais un « Index systématique et raisonné » [7] admirablement rédigé, précède cette collection. Si l'idée d'une nouvelle édition d'Euler , émise dans ces dernières années et correspondant à un pressant besoin scientifique, va se réaliser, grâce au concours de toutes les nations civilisées, on n'aura qu'à prendre comme modèle l'excellente édition des oeuvres arithmétiques à laquelle collabora Tchébychef.

L'édition des mémoires d'Euler conduisit le jeune mathématicien à étudier la théorie des nombres, et, comme pour essayer ses forces , il attaqua pour commencer le problème le plus ardu de la théorie des nombres, la recherche de la loi de distribution des nombres premiers dans la série des nombres naturels et il consacra à cette question deux mémoires remarquables.

Dans le premier de ces mémoires [.5] il démontre par une' analyse extrêmement élégante que la fonction -;: {ce), qui détermine le nombre

des nombres premiers inférieui-s à une limite donnée, vérifie une infinité de fois, entre les limites 00 = 2 et .x=rj:>, les deux inégalilés

loq X loq "x

et

(Ix a X

log X lofi '"X

liuelque petite que soit la valeur de a, supposée positive, et quelque grand que soit en même temps le nombre n. Il s'ensuit que l'expression

; loq X ,

cp {X) ■'

pour £prx=oc, ne peut avoir une limite différente de 1, ce qui ne s'accorde pas avec la formule approximative pour la fonction 9 {x), donnée

par Legendre (^H^ loçj x-\,^m^\

De même il s'ensuit que l'on peut adopter comme valeur approchée

de la fonction cp [oc] l'intégrale / -J^— (*).

Dans le second mémoire [8], Tchébychef donne une équation fonctionnelle, vérifiée par 0 {z), la fonction qui désigne la somme des logarithmes népériens de tous les nombres premiers qui ne surpassent pas z. Cette équation (**), trouvée en même temps par le Prince A. de Polignac et plus tard généralisée par Tchébychef [51], donne deux limites pour la fonction 9 {z\ ce qui permit à Tchébychef de démontrer rigoureusement le célèbre postulatum de M. Bertrand : « Entre le nombre N et le nombre 2 N — 2 il y a toujours un nombre premier ».

Pendant l'époque comprise entre les publications de ces deux mémoires, Tchébychef fit paraître son ouvrage classique sur la théorie des congruences qui lui tint lieu de thèse de doctorat. Cinquante années se sont écoulées depuis la publication de cet ouvrage, mais il n'a rien perdu de sa haute valeur scientifique et pédagogique; les deux traductions (en allemand et en italien) qui ont paru dans ces dernières années [6] nous le prouvent et nous dispensent aussi de l'analyse détaillée de l'ouvrage. Disons seulement que ce livre est aussi remar-

(') Gauss en 179i trouve empiriquement cette même valeur approchée de Cf (x\.

r*) Voir Serret. Covrs d'Algèbre supérieure H.iènie édit., tome JJ, p. 201.

quable par son style élégant et précis que par l'originalité de l'exposition qui se manifeste spécialement dans les derniers chapitres, traitant de la résolution des congruences du second degré à deux inconnues et de l'application de la tliéorie des congruences à la décomposition des nombres en leurs facteurs premiers.

On peut considérer comme un complément de ces recherclies le mémoire sur les formes quadratiques [9], oii l'auteur montre que pour décider si un nombre donné N est premier ou composé , on peut se servir non seulement des formes quadratiques à déterminants négatifs, comme le fait Euler dans ses recherches, mais aussi des formes rt (^^ — D/^) , dont les diviseurs quadratiques ne sont que de la forme Xx^ — \i.y-. Les théorèmes trouvés par Tchébychef sont appliqués au nombre 8520191 , dont la nature présente un intérêt particulier pour la théorie des nombres (*). Tchébychef prouve que ce nombre est premier.

C'est ici la place de citer quelques autres beaux résultats obtenus par Tchébychef dans le domaine de la théorie des nombres.

Le résultat de la recherche de la valeur de /"(l), f{po) étant liée à une autre F {x) par une équation de la forme

¥{x) = r{x) + r{2x) + r{^x) + r{Ax) + — ,

montre que f{\) = k,¥ (1) + A^ F (2) + A3 F (3) + A, F (4) ^

Si n est premier, on a A.n = \\ si n est le produit de plusieurs facteurs premiers différents au nombre de ^, on a An=(— 1)*; enfin si n contient deux fois le même facteur premier, A^ est nul. Un beau développement de e-« en produit d'une infinité de facteurs est un des résultats du théorème cité (Voir [10] et aussi Bertrand. Calcul différentiel p. 334). Cette recherche de Tchébychef est intimement liée à l'équation vérifiée par la somme des logarithmes des nombres premiers. Une équation plus générale conduisit Tchébychef à ce résultat remarquable qu'il y a une diff'érence dans la répartition des nombres premiers de la forme 4n-\-\ et ceux de la forme 4w -f 3 dans la série des nombre naturels , qui se manifeste , par exemple , par ce fait que la valeur de la série (ou À r= ^ ] suivent que c = hi ^^ 1)

nie tend vers l'infini, lorsque e tend vers zéro.

{' 1 L^OENi>nv{Théo}'iedes no/iiOres, tome II, 3é édit., 1830, p. 152) trouva que les deux nombres A = 2* X 8520191 et B = 2^ X 257 X 3302i sont des nombres amiables, si le nombre 8520191 est un nombre premier.

Notons enfin le résultat mentionné par M. Hermite dans son cours

[70| relativement à la valeur du l'apport ^^^^ , quand P est le

plus grand nombre premier contenu dans le nombre 1 + 4n'-. La démonstration rigoureuse de la propriété qu'a ce rapport de tendre vers Finfini avec n a été donnée récemment par M. Markof d'après un fragment trouvé dans les manuscrits de Tchébyehef après sa mort (*).

Ses brillants mémoires sur la théorie des nombres placèrent Tchébyehef au premier rang parmi les mathématiciens russes et le désignèrent comme professeur au choix de l'Académie des sciences de S. Pétersbourg. Les chaires des mathématiques pures y étaient occupées par Fuss, Ostrogradsky et Bouniakofsky; aussi l'Académie, n'ayant pas de chaire de mathématiques pures disponible, s'empressa de l'appeler en 1853 à la chaire des mathématiques appliquées. Nommé en LS59 académicien ordinaire, et bientôt après professeur ordinaire à l'Université de Saint-Pétersbourg, Tchébyehef, grâce au célibat exempt des soins de famille, consacra sa vie exclusivement à la recherche et à l'enseignement. Son enseignement ne fut pas moins remarquable que ses découvertes; son esprit toujours clair et vif s'y reflétait; on ne pouvait écouter ses leçons sans être absorbé par leur intérêt, sans être entrainé par leur enthousiasme (**). Ce fut grâce à son talent de maître que Tchébj-chef eut des disciples nombreux qui travaillèrent avez zèle au développement de ses idées. Aussi Tchébyehef était il entouré dans l'Université de Saint-Pétersbourg d'une auréole de gloire, et ce fut un grand coup pour l'Université quand, nonobstant les prières réitérées du Conseil Académique de 1 Université, il résolut en 18rS2 de quitter sa chaire pour se consacrer exclusivement à l'Académie. Presque tous les ans il allait passer l'été à l'étranger, et l'Association française pour l'avancement des sciences l'a vu souvent assister aux séances de ses Congrès. Ses voyages à l'étranger lui valurent beaucoup d'amitiés scientifiques qu'il aimait à rappeler, même au nîilieu d'une leçon. Une amitié particulière le liait à MM. Hermite, Bertrand, Catalan, plus tard à MM. Ed. Lucas et Laisant. Il aimait Paris et on l'y voyait toujours plein d'entrain et d'amabilité. Mais à St. Pétersbourg il menait une vie très retirée qu'il consacra aux mathématiques jusqu'à la fin de sa vie. La veille même de sa mort subite, qui survint le 26 Nov. (S Décembre) 189 1, il s'entretint encore

(') Comptes rendus, T. CXX, 1895, p. 1032-1034.

(•*; De 1860 jusqu'à 1875 il donna des leçons sur la théorie des intégrales définies et sur l'intégration des équations différentielles, sur la théorie des nombres et sur celle des probabilités. En 1875 il transmit à un autre professeur le cours sur les équations différentielles.

de mathématiques au s ajet d'une simple régie qu'il avait découverte pour la rectification très exacte d'une courbe [83J.

Les mérites de Tchébychef furent hautement appréciés par le monde scientifique. En 1860 il fut élu membre correspondant de l'Académie de Paris, et en 1874 son associé étranger. C'est le premier russe qui ait eu cet honneur depuis Pierre-le-Grand. Aucun savant russe n'a de son vivant joui d'une telle gloire, qui ne pourra que devenir plus grande quand le monde scientifique connaîtra tout l'ensemble des recherches et des idées ingénieuses de Tchébychef. Aussi doit on se réjouir extrêmement de l'excellente idée qu'a eue l'Académie de St. Pétersbourg de publier deux éditions complètes des Œuvres de notre illustre géomètre (en russe et en français). Le premier volume de cette édition est déjà en voie de préparation.

Valeurs approchées d'une fonction. Questions de minima d'un genre particulier. Fonctions qui s'écartent le moins possible de zéro. Construction des cartes géographiques.

Avant la nomination de Tchébychef à la chaii-e académique de mathématiques appliquées, deux problèmes de cette science — un problème de la théorie des mécanismes et un problème de balistique — lui avaient ouvert un champ de recherches tout-à-fait nouveau et très fécond, où il est parvenu à créer une nouvelle branche des mathématiques , ayant pour but de donner des méthodes d'approximation qui fournissent le maximum d'exactitude pour toutes les valeurs de la variable entre deux limites données. Pour fixer les idées du lecteur, j'abandonnerai maintenant l'ordre strictement chronologique afin de pouvoir grouper ensemble les travaux analogues , et je commencerai par faire connaître une série de recherches qui eut pour point de départ un problème de la théorie des mécanismes, où il s'agit d'assurer la direction rectiligne du mouvement d'une pièce soumise à un efïort oblique.

Donner la théorie du célèbre parallélogramme de Watt et de ses autres modifications, ainsi qu'une méthode pour déterminer les éléments le plus convenables pour la précision du jeu du parallélogramme — tel fut le but de son mémoire de 1^53 : « Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes » [11]. Pour résoudre ce problème, il faut trouver des formules approximatives d'un caractère tout-à-fait distinct de celui des formules qui sont données par l'analyse ordinaire. La somme des n premiers termes de la formule de Taylor nous donne pour la fonction f(rr) un polynôme qui , parmi tous les

autres dé même degré, s'approche le plus prés de la fonction f{x) pour x = a, et c'est ce polynôme que l'on prend pour valeur approchée de la fonction f{oc). Mais dans ce problème de la théorie des mécanismes, il s'agit de trouver le polynôme qui s'appi'oche le plus d'une fonction donnée, non pour une valeur particulière de .t — a, mais pour un intervalle donné de x, entre x = a — h et oc ^= a -h 7k Ce polynôme P est déterminé par la condition que la plus grande valeur que prend la différence f{x) — P entre des limites données s'écarte le moins possible de zéro, c'est-à-dire soit moindre que cette différence pour tous les autres polynômes de même degré. A mesure que l'intervalle considéré décroit, la seconde valeur approchée de f{x) se rapproche de celle qu'on trouve au moyen du développement de f{x) suivant les puissances de oc — a. Mais tant que cet intervalle reste fini, les coefficients de ces deux valeurs différent entre eux, et ces différences, même dans le cas où elles sont petites, ne peuvent être négligées dans la théorie des mécanismes.

Une analyse ingénieuse réduit la question posée à l'intégration d'une équation différentielle de la forme:

où p et Q sont des polynômes de degrés '2.m et ni, et L une constante.

Pour le cas ordinaire et qui se présente dans la théorie des parallélogrammes (>w = o), l'intégration s'effectue immédiatement, et fournit la forme générale du polynôme qui détermine les différences entre les coefficients de la valeur approchée de f{x), trouvée au moyen de son développement suivant les puissances de x — a, et ceux pour lesquels la limite des erreurs dans l'intervalle x = a — h, a + h est un minimuyn. On obtient ainsi, sous forme d'un polynôme, la valeur approximative de la fonction dans un intervalle donné. Dans le mémoire [20] qui parut en 1857 Tchébychef résout des questions d'un ordre plus général, notamment: « étant donnée une fonction quelconque ¥ {oc) possédant n paramètres arbitraires j9|, jo^, . . .,jo„, il s'agit par un choix convenable des valeurs p, , p^, . . . , ^„, de rendre minimum, la limite des écarts de zéro de la fonction F(,9^), entre x-= — h ef X = -\-h ».

Tchébychef considère en particulier les trois cas suivants:

F (x) = pi x»-^ + p, x''-^ 4- + ^j„., X + 2)„ - y

^' A^x^-\- A,x«^^-t A. A„i.ix-]-Am

Fte) ^ Pi ^"'" + P^ ^'"'-^ -^ +JO«.M X ^- pn.l

Les fonctions déterminées d'après les conditions posées donneront ainsi des valeurs approchées de y sous forme d'un polynôme ou d'une fonction rationnelle ayant un dénominateur donné ou arbitraire.

Après avoir donné les théorèmes généraux pour la résolution des questions posées, Tchébychef s'arrête plus spécialement sur le cas y~o c'est-à-dire sur la recherche des polynômes et des fractions rationnelles qui s'écartent le moins possible de zéro entre les limites x=^— h et x=:^-\-Ji. Nous ne nous arrêterons un instant que sur la première question, celle de la recherche du polynôme ¥{x) de la forme

Des considérations à la fois simples et ingénieuses ramènent cette question à un problème d'analyse indéterminée , c'est-à-dire à la recherche de deux polynômes F(fl7) et * {x) satisfaisant à l'équation F(a;)'^ — V- =-= (a?' -■ A-) *'- (x) , L désignant la plus grande valeur absolue du polynôme F (x), lorsque x varie de — h à -f h.

Cette équation , que l'on ramène aisément à la forme :

montre que — — — doit être une des réduites du développement en

fraction continue convergente de f^ x-— h- ; on en déduit pour le polynôme F{x) la forme définitive suivante :

(x A- l/~:r/-li'\ " + (x—y x^^-i? ) " (*)

Des conséquences importantes peuvent être tirées de cette valeur de la fonction qui, entre x= — h et x = ^ h, s'écarte le moins possible de zéro. Telle est l'application à l'interpolation. Tchébj^chef montre que, sous le rapport de la précision des résultats d'interpolation, le système de valeurs de /"(^c,), f {x .2) ,...., f{Xn) le plus avantageux est celui où la fonction {x — x^) {x — x ) (x — Xn)

s'écarte, entre les limites d'interpolation, le moins de zéro, et que, par conséquent, on doit prendre

{x — x,){x - ,r.,) . . . {ic — X,,) = — '

lorsqu'il s'agit d'interpoler entre les limites 0: = — h, x=z-\~h. On peut de là déduire d'importantes conséquences pour l'Algèbre

(•) Bertrand. Calcul aifTèrcntlel, p. 48H.

supérieure, sous forme de théorèmes relatifs aux limites des racines; nous donnerons comme exemple le suivant : « Si l'équation

.cc2'+ 1 ^ A .r 2' - 1 H + S a; + K = o

ne contient que des puissances impaires de .r , une au moins des racines est comprise entre

Les fonctions qui s'écartent le moins possible de zéro, étudiées dans le mémoire fondamental qui nous occupe , peuvent croître et décroître entre les limites données. Plus tard Tchébychef se proposa la question de déterminer les polynômes qui s'écartent le moins possible de zéro et sont de plus assujetis à la condition de croître continuellement ou bien de décroître continuellement entre les limites données. Tel esl le sujet d'un mémoire de 1873 [45]. Les polynômes qu'on trouve alors sont des polynômes que Tchébychef a nommé « polynômes analogues aux fonctions de Legendre » (dans le cas ou le polynôme est de degré impair et est une fonction toujours croissante, ce polynôme coïncide avec la fonction X„ de Legendre); il déduit encore de la forme de ces polynômes des l'ésultats importants pour la théorie des limites des racines.

Enfin, plus tard, Tchébychef appliqua les formules générales du mémoire « Sur les questions de minima » [20], à la recherche des expressions approchées d'une racine carrée au moyen de fractions irréductibles et à la détermination de polynômes qui, entre les limites données, représentent le mieux ces fractions [(36, 73, 70]. Les deux résultats qu'il trouve dans ces mémoires , c'est-à-dire la meilleun^

représentation de ( — par la fonction

où les coefficients A , B ^ , C j- s'expriment par des fonctions elliptiques,

et la représentation de la fraction par un polynôme, peuvent

être appliqués à la recherche des valeurs approchées des intégrales

et

•^ -r '<■ / fjx) dx J H-a-

— h Tchébychef a consacré de plus un mémoire spécial [43] à la questio

des quadratures, où il considère l'intégrale / F{w) cp (x) dx, et généralise

les beaux résultats de M. Hermite relatifs a 1'

Tchébychef avait étudié a fond Euler et avait reconnu que celui-ci l'avait précédé dans la considération des fonctions qui s'écartent le moins possible de zéro; il en donna une belle application dans l'étude des projections géographiques. Dans ses recherches sur la projection conique, Euler détermine les coefficients de la projection d'après la condition qu'une ellipse, dite « ellipse d'altération », diffère le moins possible d'une circonférence (*). C'est probablement cette remarque d'Euler, conforme aux pensées qui occupaient Tchébychef depuis 1853, qui l'a porté à s'occuper de la construction des cartes géographiques, et à se proposer le problème de trouver parmi toutes les projections qui conservent la similitude dans les parties infinitésimales celle pour laquelle l'altération du rapport d'agrandissement dans toute la carte se réduit à un minimum. Tchébychef repond à cette question par le théorème suivant : « Parmi toutes les projections qui conservent la similitude des éléments infiniment petits, la projection pour laquelle le rapport d'agrandissement est constant le long du contour de la région représentée est celle qui donne les plus petites altérations de ce rapport à l'intérieur du contour ». Comme Lagrange avait donné pour le logarithme du rapport d'agrandissement la formule

log ûi = U

où u est l'intégrale de l'équation -3-7- + —r-r =■ 0, le théorème,

donné par Tchébychef en 1856 sans démonstration [17], constitue une application de sa théorie de fonctions qui s'écartent le moins possible de zéro à la théorie des équations aux dérivées partielles ; la démonstration du théorème a été donné par M. Gravé en 1894 (**).

Tchébychef a donné une application de son théorème à la carte géographique de la Russie qui présente, à cause de l'étendue du pays, des difficultés particulières. Tandis que la projection stéréographique donne pour la Russie Européenne des altérations du rapport d'agrandissement

(*j De projectione geographica DelisHana in mappa gênerait Imperiî Russici usitata (Acta Acad. Petrop. pro anno 1777). (*•) Association franc, pour l'avancement des sciences. Congrès de Caen , 1894.

recommandée par Tchébychef diminue cet écart jusqu'à «/g^ de cette valeur; c'est le plus haut degré d'exactitude qu'on puisse obtenir si on représente les méridiens et les parallèles par des cercles ou des droites [IS].

Intégration des différentielles irrationnelles. C'est l'équation différentielle

a laquelle Tchébychef a ramené le problème de la détermination de la valeur approchée d'une fonction dans son mémoire [11], qui a été le point de départ de ses recherches sur l'intégration des différentielles

/* Qdz

irrationnelles ; cette équation montre en effet que

où P et Q sont des polynômes, peut être réduite à un terme logarithmique. Depuis lors, la théorie de l'intégration sous forme finie devint un des sujets d'étude de prédilection de l'illustre géomètre, et là, comme partout ailleurs, il a obtenu des résultats remarquables. Dans le mémoire [12] Tchébychef donne une méthode pour trouver la

f(x) dx