partie algébrique dans l'expression de l'intégrale / »^. , où

f{x) , F (x) , G (x) sont des fonctions entières quelconques et m un nombre entier positif; il y donne également une méthode pour déterminer séparément tous les termes logarithmiques à l'aide des conditions analytiques que ceux-ci doivent vérifier. C'est aussi dans ce mémoire qu'il montre que les méthodes ordinaires de l'intégration des différentielles binômes à exposants rationnels renferment tous les cas où cette intégration est possible au moyen de fonctions algébriques et logarithmiques.

Dans le mémoire [14] Tchébychef fait voir comment on peut trouver, d'après les conditions données dans le mémoire [12] , les termes logarithmiques dans le cas le plus simple où la différentielle porte sur la racine carrée d'un polynôme du 3" ou du 4" degré. Il démontre aussi que l'intégration d'une différentielle elliptique, lorsqu'elle peut être effectuée sous forme finie, se réduit en fin de compte à l'évaluation d'intégrales de forme

(x -\- A) dx

Dans mémoire spécial, consacré à l'intégration de cette différentielle [26], Tchébychef donne, pour le cas oti a, p, y, ô sont rationnels, une méthode qui, au moyen d'opérations algébriques en nombre limité, conduit ou bien à trouver si pour une certaine valeur déterminée de A, l'intégrale ci-dessus peut s'exprimer en termes finis, ou bien à reconnaître si cela n'est possible pour aucune valeur de A. Cette méthode a une grande supériorité sur celle d'Abel, qui conduit à une série d'opérations pouvant se prolonger indéfiniment sans jamais atteindre un résultat décisif (*).

C'est dans ces questions que Tchébychef reconnut l'immense importance pour l'analyse des fractions continues introduites par Abel dans la question de l'intégration sous forme finie. Son attention une fois portée sur ce sujet le conduisit aux plus belles applications de la théorie des fractions continues, et la plus grande partie de ses recherches ultérieures est intimement liée à cet instrument d'analyse que personne depuis Lagrange et Abel n'a manié avec une facilité pareille à celle de l'illustre géomètre russe. Mais avant de passer à ces nouvelles applications, je veux encore mentionner les recherches de Tchébychef relatives à une question plus élevée de la théorie de l'intégration des différentielles irrationnelles, oii les fractions continues cessent d'être applicables; c'est celle de l'intégration des différentielles irrationnelles qui renferment une racine cubique [30, 36].

Dans le mémoire [12] Tchébychef a montré que, si l'intégrale

/f(x) (Ix — ' — ^ peut s'exprimer sous forme finie, elle aura la forme

F(x\ VR(x]

oii Z et :p sont les fonctions rationnelles et a une racine primitive

/f(x) rlx m, dœ , il se y'R(x)

présente la question algébrique suivante : trouver les fonctions

ç(?ir), -^ ( Ji^ir) — , :p(a--iï^ir)

qui vérifient l'équation

C) Le cas plus général de oc, p, y , ô réels quelcouques a été considéré par uu des disciples de Tchébychef , Zolotaref, et résolu par une méthode ingénieuse à l'aide de la théorie des nombres entiers complexes.

où C est une constante. Pour les intégrales des différentielles portant sur une racine carrée, la question se ramène aisément à celle de trouver les polynômes P et cp satisfaisant à l'équation P- Q- R = C , et peut être résolue au moyen des fractions continues. Pour les intégrales des différentielles portant sur une racine cubique la question se ramène au problème de trouver trois polynômes X,Y, Z tels que le degré de l'expression

X + Y ^rTr? ^ ^ ?^'^îï7X

(R=:R-|R-.j) soi le plus petit possible. Cette recherche exigeait une nouvelle méthode; on est en présence d'un problème des plus difficiles, dont se sont occupés Jacobi et M. Hermite, et qui dans ces dernières années a attiré de nouveau l'attention de géomètres éminents. Cette nouvelle méthode a été exposée par Tchébychef dans le mémoire [36], où l'illustre analyste donne les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'intégrale

cp(x) dx