IX -r ,^^ , y.^ -r

au moyen des valeurs connues de ces séries, tous les termes étant supposés positifs. La question se ramène à celle de trouver les valeurs

/fw...

limites de l'intégrale / F (j) dz , où l'on suppose que F {z) est

une fonction qui ne devient pas négative pour z > 0 et que la valeur de l'intégrale

" V {z) dz

est connue (*).

co

(*) Les formules de M. Tchébychef ont été démontrées et remplacées par d'autres par M. Sonine (Une rémarque relative à la lettre de P. L. Tchébychef à Mme Kovalevshi. Bulletin de l'Acad. de St. Petersb., 1895).

Les résultats cités de la théorie des valem^s limites des intégrales ont été donnés par Tchébychef, comme nous l'avons déjà dit, en 1873 sans aucune démonstration. Il s'est contenté d'y ajouter un exemple intéressant de problèmes que l'on parvient à résoudre au moyen de ses formules, à savoir: « étant données la longueur, le poids, le lieu du centre de gravité et le moment d'inertie d'une droite matérielle de densité inconnue variant d'un point à l'autre de la droite, trouver les valeur.-^ limites qui se rapprochent le plus du poids d'un tronçon de cette droite ». C'est à M. Markof que l'on doit la première démonstration des formules de Tchébj^chef , même généralisées pour le

cas de l'intégrale / Q (^x) f{.x) dx. Après la publication du travail

u de M. Markof (*) Tchébychef publia dans deux mémoires [68, 70] les résultats détailles de ses propres récherches avec leur application au cas où l'une des fonctions a la forme

Nous avons fait connaitre en partie ces résultats. Quant à la méthode qui conduisit Tchébychef à ses résultats, il ne la publia que plus tard en 1891 dans le mémoire [79]. Tchébychef y considère les sommes suivantes :

composées des produits des valeurs positives f {fc^, f {■'^i)i

par les puissances de quantités réelles x^f, oo,, . . . Ces sommes peuvent être régardées comme des cas particuliers de sommes plus générales y, zf w] où quelques uns des carrés wf peuvent dévenir égaux

(*) Sîtr qi'clques ap2)lications des fractions continues algébriques. St. - Petersb. 1884 (en russe). M. PossÉ a eclairci le passage des formules de M. Markof à celles de Tchébychef dans sa monographie : Sur quelqries apjylications des fractions continues algébriques. St. - Pétersbourg. 1S86. Tout récemment M. Markof a publié ses récherches sur des problèmes analogues au problème posé par Tchébychef dans le mémoire : Nouvelles apjHications des fractions continues (Mém. de l'Acad. de St.-Pétersb., Série Vlll, Vol. III, 1893). Le problème de Tchébychef est généralisé en supposant que la fonction f{x) vérifie les deux inégalités

Voir aussi du même auteur : Sur une question de minimum proposée par M. Tchébyclieff (Acta mathem. T. VIII, p. 57) et Sur les valeurs limites des intégrales en leur rapport avec l'interi^olation. 1898.

à .zéro.' Pour ces sommes Tchébychef résolut le problème de trouver le

maximum (ou le minimum) de la somme : ul -\- u\ -^ w; + + «<|

où de la somme : m^^ + wj^ ^ j + + " J - 1 ^^' ^i ^ P) lorsqn'entre

les 2p variables :

^0' ^I' ^2' ^pl,

^C^^, W|, IC), Up.i ,

ont donne les équations de condition suivantes p p p

^ z\ iCi = Co, :^ zrm = C,, . . . , I. z\-' ti\ = Ct ,

Au moyen du développement en fraction continue de l'expression

^0 . ^i , , Cl- 1

on trouve le système des valeurs z^^, Zi, . . . Zp.\ qui correspondent au maximum ou au minimum, et les sommes correspondantes s'expriment alors au moyen de résidus intégraux.

Une généralisation de la question coiisidérée dans le mémoire [74] a fait le sujet du dernier mémoire de l'illustre savant [77]. Dans ce mémoire il suppose que les sommes

liZU , Zzu , . . .

0 l i dit

ne sont pas complètement connues , mais que l'on eonnait seulement les limites assez restreintes entre lesquelles elles sont comprises, La résolution de cette question générale repose sur les résultats du mémoire [75], où Tchébychef avait ramené la question de la détermination des réduites du développement en fraction continue d'une série

à la question correspondente relative à la série

les quantités c^ , c^ , . . . différant plus ou moins des quantités

Théorie des probabilités.

Après les recherches relatives aux questions de minimum et aux expressions approchées des fonctions c'est la théorie des probabilités qui fut le sujet de prédilection du grand géomètre russe. Nous avons vu (chapitre 1) qu'un de ses premiers travaux fut un essai d'analyse élémentaire de la théorie des probabilités [3]. « La théorie des probabilités », dit-il dans l'introduction de cet ouvrage, « constitue juscju'ici une des branches le plus intéressantes et en même temps le plus

difficiles de l'analyse transcendante En commençant par les

équations qui déterminent les inconnues et en terminant par le calcul des valeurs numériques, nous rencontrons partout l'analyse transcendante la plus élevée. Cependant- si nous regardons plus attentivement les problèmes de la théorie des probabilités, nous pouvons nous convaincre qu'il est possible, outre la méthode de l'analyse transcendante, d'en employer une autre fondée sur les seuls principes de l'Algèbre ». En effet Tchébychef n'emploie dans son essai pour la démonstration du théorème de Bernoulli que la série qui représente log {\-\-x). Il expose deux démonstrations du théorème. La première donne même l'expression de la valeur de la probabilité que la différence entre le rapport du nombre d'arrivées de l'événement au nombre total des épreuves et la probabilité (chance) de l'événement ne surpasse pas une certaine limite E; seulement l'intégrale employée d'habitude est remplacée chez Tchébychef par la somme des valeurs de la fonction e -^' prises en nombre suffisamment grand. La seconde démonstration encore plus élémentaire ne donne pas l'expression de la probabilité précitée, mais démontre que, quelque petit que soit E, elle tend vers l'unilé quand le nombre total des épreuves augmente indéfiniment. Le principe de cette seconde démonstration est employé par Tchébychef dans une note publiée en 1846 dans le Journal de Crelle [4] pour démontrer un théorème plus général que le théorème de Bernoulli et relatif au cas où la probabilité d'un événement varie d'une épreuve à l'autre. La démonstration que Poisson avait donné de ce théorème nommé par lui « Loi des grands nombres (*) » n'avait pas satisfait Tchébychef qui fit l'observation suivante: « Quelqu'ingénieuse que soit la méthode employée par le célèbre géomètre, il reste à être impossible [sic) de montrer la limite de l'erreur que peut admettre son analyse

(') Recherches sur la probabilité des Jugements. Cliap. W

approximative, et par cette incertitude de la valeur de l'erreur, sa démonstration n'est pas rigoureuse ». Dans la sienne Tchébychef n'emploie que les considérations les plus élémentaires à savoir, celle de la série donnant log^l-'f-r) et celle de l'expression approchée du produit 1.2 .. ..T.

De même que l'analyse de Poisson, celle exposée par Laplace dans le chapitre de sa Théorie analytique des Probabilités, qui traite de la probabilité des erreurs des résultats moyens d'un grande nombre d'observations et des résultats moyens les plus avantageux , ne pouvait pas contenter un esprit aussi rigoureux que celui de Tchébychef (*). L'analyse qu'avait employé Laplace pour démontrer que la méthode des moindres carrés est la plus avantageuse dans le cas d'un grand nombre d'observations, et cela quelle que soit la loi de la probabilité des erreurs, a, comme Bienaymé l'a dit avec raison (**), une beaucoup plus grande portée; la théorie des erreurs n'est en effet qu'un cas particulier de la théorie des valeurs éventuelles quelconques. En vertu du théorème fondamental de cette dernière théorie , la moyenne arithmétique des valeurs d'un événement quelconque , si le nombre des épreuves augmente indéfiniment, tend avec une probabilité approchant de la certitude vers une valeur constante. Tchébychef donna deux démonstrations de ce théorème que Poisson avait nommé la seconde partie de la loi des grands nombres et au quel Tchébychef donna le nom de théorème des valeurs moyennes. L'une d'elles tout-à-fait élémentaire confirme l'idée très juste de Bienaymé (***) que si l'on veut se borner à démontrer la méthode des moindres carrés en ce qui touche la combinaison des observations sans calculer la grandeur de l'erreur, et seulement en prouvant qup cette méthode opère de manière à la rendre minimum, il ne faut plus d'analyse transcendante ni même de grande contention d'esprit. En effet des transformations algébriques très simples suffisent à Tchébychef pour démontrer le théorème qu'il énonce de la manière suivante: « Si les espérances mathématiques de quantités m,, m^, W3, . . , . et de leurs carrés m,'-, m/, u^^, .... ne dépassent pas une limite finie

(■) Plusieurs autres auteurs out exprimé des doutes sur la rigueur de l'analyse de Laplace, par exemple M. Leslie Ellis (voir Todhinter, Ristory ofthe mathematical Theory of ProbabUity. Cambridge 1865, p. 561) et M. Glaisher. Ce dernier s'est exprimé ainsi : « It is well known that ail the proofs that hâve been given of the raethod of Least Squares coutaiu, to say the least, some points of difïiculty, and on this account an.\ new investigations of the resuit is necessarily a matter of much iuterest ». (Mem. of R. Astrou. Society. Vol. 39, 1871).

(*•) Considérations à l'appui de la découverte de Laplace sur la loi de probabilité dans la méthode des moindres carrés (Journ. de Liouvillé, Série 'ii-. Tome XII , 1867, p. 160).

(*••) Loc. cit., p. 161.

quelconque, la probabilité que la différence entre la moyenne arithmétique d'un nombre N de ces quantités et la moyenne arithmétique de leurs espérances mathématiques sera moindre qu'une quantité donnée se réduit à l'unité, quand N devient infini » [34]. La loi des grands nombres et le théorème de Bernoulli relatif à la répétition des événements ne sont que de simples corollaires de ce théorème; on les obtient en supposant que chacune des quantités i/.,- ne peut admettre que deux valeurs : l'unité et zéro.

La démonstration élémentaire donnée par Tchébychef suffit pour révéler l'influence des grands nombres. Mais les calculs numériques de la méthode des moindres carrés où il est question d'estimer la précision des nombres trouvés par cette méthode exigent autre chose; ces calculs sont fondés sur la possibilité de représenter la loi des probabilités des erreurs par la fonction — A — ^ —Wx^-^ ^^ Gauss

a trouvée être une conséquence de son postulat de la moyenne arithmétique. L'analj'se de Laplace a eu pour but de démontrer que pour un grand nombre d'observations quelle que soit la loi de la probabilité des erreurs, celle ci peut être représentée par une fonction de la forme indiquée. Tchébychef dans la théorie plus générale des valeurs éventuelles quelconques a remplacé l'analyse donnée par Laplace (*) par une autre fondée sur la théorie des valeurs limites des intégrales.

Supposons que nous ayons les valeurs éventuelles Mj, u^, pour

lesquelles les espérances mathématiques sont égales à zéro, tandis que les espérances mathématiques de toutes leurs puissances ne surpassent pas une certaine limite finie. Alors une analyse analogue à celle employée par Laplace et par Bienaymé (**) donne le résultat suivant: « En désignant par f{x)dx la probabilité que

soit compris entre les limites x et ;c -\- dx , on a, pour w ^= x , quelques soient les lois de la probabilité des valeurs éventuelles Ui , l'égalité suivante exacte aux puissances près d'ordre 2m — 1 d'une quantité arbitraire s

->r ce

{') Théorie analytique des probabilités. Livre II, cliap. 7.

(•*) Mémoire sur la probabilité des erreurs d'après le méthode des moindres carrés (Mém. des sav. étrang. T. XV, 185S).

Ui^-^ désignant l'espérance mathématique du carré de la valeur iCi D'après cette égalité les valeurs des intégrales

X ^f(x) dx (k = 0, 1,..., 2m i)

coincident avec les intégrales correspondantes pour la fonction

Ce résultat permet d'appliquer le théorème que nous avons cité dans le chap. V, et d'après lequel pour n = oo et pour m quelconque la valeur de l'intégrale

f i-^) (fx

peut être remplacée par celle de l'intégrale

ijV

avec une erreur qui ne surpasse pas la valeur numérique de -vjt-. Mais -Tj— tend vers zéro pour m infini, que nous employions l'expression

de M donnée par Tchébychef ou bien que nous employions celle donnée par M. Sonine; on oblient donc facilement ce résultat: « Pour n=rc l'intégrale

représente la probabilité que

[•este compris entre les limites

t et e

c'est-à-dire, en vertu de la relation

que S M. reste compris entre les limites

^^^^2:: a (2) et ^' ^2 V ^ (2) ^y

L'analyse par laquelle Tchébvchef parvient à ce théorème, qui peut servir de fondement à la méthode de moindres carrés, sera toujours un de ses plus beaux titres de gloire.

Série de Lagrange — Mécanique appliquée — Géométrie des sîirfaces (déformatioyi des plans -tissus) — Mécanismes de Tchébychef.

Les chapitres précédents ont été consacrés aux travaux analytiques les plus importants de l'illustre savant. Il nous reste à mentionner quelques autres recherches du domaine de l'analj'se qui ne se rattachent pas aisément aux travaux dont nous avons jusqu' ici rendu compte.

Tel est par exemple un mémoire sur la série de Lagrange [lUj où Tchébychef emploie une formule générale d'intégration par parties (**) pour en déduire la série de Lagrange avec son terme complémentaire. En appliquant la valeur de ce terme complémentaire aux développements de l'anomalie excentrique et du rayon vecteur selon les puissances croissantes de l'excentricité , Tchébychef trouva que ces développements sont toujours convergents si la valeur de l'excentricité est inférieure à la limite k = 0,66274. C'est ce que Laplace avait trouvé le premier et ce que Cauchy avait démontré par une méthode plus générale. Mais Tchébychef trouva de plus que dans ces développements l'erreur est toujours inférieure au rapport de l'excentricité à 0,66274, élevé à un degré égal au nombres des termes conservés de la série.

(•) D'après la première démonstration du théorème des valeurs moyennes [34j, la probabilité que 'Zn, reste comprise entre les limites

± a rliOf^ surpasse 1 ^-.

i") Cette formule a été trouvée aussi par M. Bertrand ■ Journ. de Liouville, T. VIII, 1843). Voir son Calcul intégral, p. 10.

■An

Nous indiquerons aussi un ti^avail [50] où Tché!'yehef généralise la formule remarquable de Catalan

en y remplaçant les numérateurs par les termes d'une série quelconque ce qui donne comme résultat une expression de la constante

4rt lot; 2 '- — au moyen des fonctions E(a), E(2a), E {}^a), . . . , E(.r)

désignant le plus grand nombre entier contenu dans x. Ajoutons encore que M. Hermite dans son Cours cite une proposition intéressante de Tchébychef relative au caractère arithmétique des coefficients rationnels de séries qui résultent d'une fonction composée de fonctions algébriques, logarithmiques et exponentielles en nombre fini [79].

Passons maintenant à une série de travaux où les méthodes analytiques générales exposées dans les chapitres précédents sont appliquées à des questions de la mécanique industrielle. Nous avons vu que Tchébychef, dès son plus jeune âge, manifesta de l'intérêt pour les applications de la mécanique. Ce goût se reveilla de nouveau lorsqu'en 1849-1851 il professa la mécanique, industrielle à l'Université de Saint-Pétersbourg et au Lycée Impérial Alexandre I. En 1852 il fit un voyage dont le but principal était, comme le fait voir un intéressant compte-rendu [78], d'étendre ses connaissances en mécanique appliquée en visitant des centres industriels. Le Conservatoire des Arts et Métiers à Paris, le chemin de fer de Paris à Saint-Germain, les mines et les forges de Lorraine, les manufactures de papier d'Angouléme et leurs turbines, les moulins à vent de Lille et les fabriques d'armes à Châtellerault intéressèrent vivement le jeune professeur russe; mais ce qu'il cherchait tout particulièrement c'était les données nécessaires pour ses recherches sur la théorie des parallélogrammes de Watt. Il poursuivit le même but en Angleterre où il put voir les machines construites par Watt même. C'est après ces voyages qu'il publia son premier mémoire sur la théorie des parallélogrammes dont nous avons parlé dans le chap. II.

Ses études sur le parallélogramme de Watt, continuées :' plusieures reprises [28], [60] conduiserent Tchébychef à l'étude générale des systèmes articulés. Sous l'influence de Tchébychef, un jeune homme de talent, M. Lipkine, retrouva en 1871 la solution du problème du guidage exact du mouvement rectiligne d'un point qui avait été donné par Peaucellier en 1864. Les belles découvertes de Peaucellier et de Lipkine et les travaux de Tchébychef relatifs au guidage approché au moyen de systèmes articulés attirèrent sur ces sujets l'attention

de plusieurs éminents géomètres (*). Tchébj-chef d'ailleurs pendant toute sa vie s'intéressa aux systèmes articulés; le cas seul du « troisbarres » a été l'objet de plusieurs mémoires [37, 52, 56, 57, 58]. C'est à l'aide des systèmes articulés que Tchébychef réalisa le mouvement parallèle à un plan dans sa machine qui marche [91] et dans quelques autres mécanismes; les systèmes articulée peuvent, comme il l'a montré dans le mémoire [67], transformer un mouvement de rotation en un mouvement circulaire ou rectiligne; enfin la règle inventée par Tchébychef pour tracer des arcs de cercle de grand rayon [85] est fondée sur le même principe.

C'est aussi à l'étude des systèmes articulés qu'est intimement lié un problème de la géométrie des surfaces posé par Tchébychef, problème qui nous parait destiné à un grand avenir [53]. (**). Les systèmes articulés se composent de tiges rigides assujeties à se mouvoir dans un même plan de manière à laisser leurs angles variables. Il y a une analogie évidente entre cette théorie des sj'stémes articulés et celle de la déformation des tissus ou, selon l'expression de Tchéb^'chef de la « coupe des vêtements ». En effet dans toute déformation d'un tissu, formé par deux systèmes des fil qui se croisent à angle droit, le point d'intersection de deux fils ne change pas, et les longueurs de ces fils restent les mêmes. C'est l'angle seul de ces fils qui varie. Il s'agit par conséquent dans cette question, au moyen d'un choix convenable des courbes coordonnées de ramener l'élément linéaire de la surface proposée à la forme

dii^ + dd^ + '2du dv cos a,

où a est une fonction quelconque de ic et de v. En prenant comme point de départ certaines hypothèses sur la contexture des tissus, Tchébychef donne des formules qui permettent de déterminer les contours qui doivent limiter deux , trois ou quatre morceaux d'étoffe pour que l'on puisse recouvrir le plus exactement possible la surface d'une sphère, pour V habiller, selon l'expression de Tchébychef (***). Ce ne furent pas les systèmes articulés qui seuls intéressèrent Tché-

(') V. LiGUixE. LUte de travaux sur les systèmes articulés. (Bulletiu de M. Darboux, 2. e série, t. VJI, p. 145-160). L'historique et l'exposition de la question des système articulés se trouvent dans les Leçons de cinématique de M. Kœnigs, (Caris 1897) Chap. XI.

(••) Il parait que les travaux intei*essants de E. Lvcas sur la géométrie du tissage n'ont pas été sans influence sur le problème posé par Tchébychef.

(*") G. Darbolx. Leçons sur la théorie général des swr/ace^. Troisième partie, p. 133. Voir aussi: Darboux, Considérations sur les équations différentielles qui se rapportent à la déformation des surfaces. (Ass. Franc, pour l'avanc. des sciences. Congrès de Paris,\

bychef. Les recherches sur les fonctions qui s'écartent le moins de zéro, faitBs eu vue de la théorie des parallélogrammes, trouvèrent aussi leur emploi dans la question du régulateur à force centrifuge. On sait que ce régulateur a pour but de limiter les écarts de la vitesse moyenne lorsque le travail est soumis à des irrégularités; à cet effet, le rapport entre les vitesses correspondant aux angles formés par les tiges à boules avec Taxe vertical doit se rapprocher autant que possible de l'unité, ce qui fait voir comment la théorie des fonctions qui s'écartent le moins possible de zéro s'introduit dans cette question (*).

Non seulement Tchébychef à inventé des méthodes mathématiques de la plus haute importance pour la théorie des mécanismes et les a appliquées pour calculer a priori les dimensions de leurs parties, mais encore, épris dés sa jeunesse des travaux mécaniques, comme le furent Newton et Watt, il appliqua ses facultés d'invention à la création de quelques machines absolument nouvelles. La machine arithmétique à mouvement continu, dont un exemplaire se trouve à Paris au Conservatoire des Arts et Métiers, sa règle pour le tracé des arcs de grand rayon qu'il envoya à l'Exposition de Londres en 187(3 , le fauteuil-vélocipède, envoyé à l'Exposition de Chicago, resteront toujours comme témoignages de sa faculté d'invention.

Pour terminer cet article nous donnons ici la liste des mécanismes dus à Tchébychef, et qui depuis sa mort font partie du musée de mécanique appliquée de l'Université de Saint-Pétersbourg (**) ; nous y ajoutons l'indication des mémoires correspondants :