X- f (x) dx

Dans une mémoire de 1873 [44] Tchébychef a donné sans démonstration les résultats qu'il a obtenus relativement aux valeurs limites de rintéurale

f {X\ (Ix

lorsque, par hypothèse, les valeurs des intégrales

b (1) / x" f [x) dx = A^ , (/c = 0, 1 , . . . n — 1)

l)rises pour des intervalles plus étendus (a < w , è > u) sont données et la fonction f{x) reste positive entre x^=a ^i x = b.^\ par exemple le nombre de ces intégrales connues est pair {n = 2m) les valeurs limites de l'intégrale

f [x) âx

ne peuvent être obtenues (^ue dans le cas où m et u vérifient une certaine équation qui dépend des valeurs connues des intégrales (1). Pour obtenir cette équation ainsi que les valeurs limites de l'intégrale

f {x) dx

où II et V doivent vérifier l'équation précitée, on développe l'intégrale

/ {x) dx

en une série procédant suivant les puissances descendantes de z. Aux termes près de l'ordre , on a

fjx) dx ^ A^ A^ A2„fi

D'autre part si l'on développe la fraction rationelle

en fraction continue, cette fraction continue sert à déterminer l'équation

vérifiée par les valeurs de w, u et les valeurs limites correspondantes

de l'intégrale / f [x) ctx

Soit . /, la m-iéme réduite de la fraction continue : u et v doivent ^■m (2)

être les racines zi et z^ de l'équation 4)„i {z) = 0, et les limites des

valeurs de l'intégrale / / (x) dx sont les deux résidus intégraux :

w désignant une quantité positive infiniment petite. Ces formules sont

tirées de formules plus générales relatives à l'intégrale / f (x) dx,

a où V est un valeur quelconque comprise entre a et b. Pour les valeurs limites de cette intégrale on a les formules suivantes:

OÙ F {z) est une fraction rationelle

^o(g) ^ cp»^ (21 Z — y»,.i (z) *, (2) cp^ (2) Z — cb^.i (2) '

Z est une certaine fonction du premier degré en z, dont l'expression en fonction de v est plus simple lorsque n est pair que lorsque n est impair. Les formules (2) peuvent facilement se mettre sous la forme

qui fait voir que le résidu intégral . , fournit la valeur

L *i y'I Ja — 0)

approchée de l'intégrale / f[x) dx avec une erreur qui ne surpasse

1 ^ (v) pas la valeur numérique de --y- y . De la sorte, lorsque les intégrales (1) coincident pour deux fonctions f{x) et fi{x), la différence entre les

deux in

tégrales / f (x) c^j- et / /l (^) c?a; ne peut surpasser ^ , , ,

En s'appuyant sur les formules fondamentales de la tliéorie des fractions continues (voir chapitre IV), Tchébychef montre [70] que dans le cas considéré

Comme exemple, il discute le cas où

Dans cette hypothèse on a

(ce) dx = 0,

//, {X) dx = \, / X f.

- /, {X) dx ^,

■2 /', (X) dx

Si donc les intégrales correspondant à une autre fonction f{oc) ont

mêmes valeurs, la différence entre les intégrales / f (x) dx et

f\ CO f^-^ i^era exprimée par la formule (4), oii les fonctions

■l^i (sr) seront alors les polynômes de M. Hermite. Dans ce cas on peut aisément déterminer pour v quelconque la limite supérieure du second membre de la formule (4): il suffit d'évaluer la limite inférieure de la somme

'"y"' Ti= '=';!,"' '4)i* (f)

Une analyse remarquable donne la résolution de la question posée. Comme on a

il s'agit de déterminer la somme ^ T; d'après la valeur connue de

ce

la fonction I] T/ <' = 9 (t). L'on n'a qu'à rechercher la valeur de

ra - 1

l'intégrale / Y t^ dx au moyen des valeurs connues des intégrales

Y t^ dx

et l'on y parvient au moyen de la théorie générale des valeurs limites

des intégrales. Pour la limite inférieure de la somme T,, -r T, +

+ Tra-x Tchébychef trouve l'expression

?, (r,^--ha -p 3~ {(f v' + !)■

C) M. SoNiNE a remplacé cette limite par une autre 1/ ^"^' ^ beaucoup plus

simple et de plus indépendante de v. (Sur l'exactitude de la détermination des valeurs limites des intégrales (Mém. de l'Acad. de St. Petersb.. 1892).

De tout ce qui vient d'être dit résulte le théorème suivant: « Si pour une fonction f {oc) qui reste toujours positive les équations (5)

ont lieu, la valeur de l'intégrale / f{x) dx reste compiMse entre les limites

nous verrons dans le Chap. suivant une importante application de

cet théorème à une des propositions fondamentales de la théorie des probabilités.

Ajoutons encore que le problème analogue à celui qui consiste à

trouver la limite de la somme ]S T, , au moyen de la valeur de la

somme ^ T; ^, , a été traité dans le mémoire [09]. Il s'agit dans ce

mémoire de la détermination des limites entre lesquelles reste comprise la somme d'un nombre quelconque de coefficients successifs de la série

A^ -\- A^ X -\- A^ x^ ->r ' • ' ou de la série