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faire sortir la science des mathématiques toute entière de sa logique.

Deux observations, long-temps éprouvées , longuement méditées , lui inspirent cette confiance , lui donnent ce courage. Il a remarqué, dans tous les genres de connaissances, que la nature elle-même nous donne les premières leçons, et que toutes les autres sont dues à l'analogie. Il ne lui en faut pas davantage. 11 commence un traité dans lequel il nous enseignera l'algèbre, et il n'a aucune connaissance de l'algèbre; il commence

sans se tracer de plan , et il est assuré que l'analogie lui fournira le meilleur de tous les plans , et que , dans les développemens successifs de ses différentes parties, il inventera , ou , pour parler avec son exquise justesse, il trouvera l'algèbre et toutes ses méthodes.

Son premier soin est de donner à son ouvrage un nom , un titre % «t ce titre , que d'abord il faut déterminer comme un but fixe , il le sait d'avance. 11 avait déjà démontré , et il démontre surtout dans ce dernier ouvrage , qu'une science se réduit à une langue bien faite;

c'est donc la langue des calculs qu'il va faire ou refaire. Tout ce qu'il en fera ou refera , il l'apprendra de la nature ou de l'analogie.

La langue des calculs admet cinq dialectes: celui des doigts, celui du langage ordinaire, celui des chiffres, et celui des lettres de l'alphabet qui en comprennent deux.

Chacun de ces dialectes a ses variations. Aux doigts se rapportent les calculs qu'on pourrait effectuer avec des arbres , des hommes , etc. ; au langage ordinaire, les noms des nombres dans les idiomes des di-

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vers peuples ; aux chiffres, la méthode des Grecs , des Romains , des Arabes ; aux lettres de l'alphabet , à X 'algèbre , se rapportent enfin les méthodes qui apprennent à calculer ce qu'on appelle improprement Xinfini, méthodes qui forment le cinquième dialecte.

Le dialecte des doigts , quand il est seul, est un calcul d'action; et c'est dans ce calcul avec les doigts que Condillac voit le premier calcul, comme dans le langage d'action il avait vu le premier langage ; mais on conçoit aisément quç ce premier de tous les calculs ne peut

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guère s'étendre , les collections d'unités se confondant aussitôt , si elles ne sont pas distinguées par des noms. Il associe donc les noms aux doigts : ceux-ci exécutent le calcul , et les mots le notent , le traduisent.

Après avoir observé combien cette traduction est vicieuse dans notre langue, combien il y a peu de justesse à dire onze, par exemple , quand les doigts disent dix et un; vingt y quand les doigts disent deux dix y etc.; il fait, avec les doigts, les six premières opérations.

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En ouvrant successivement , l'un après l'autre , les doigts des deux mains , nous nous représentons une suite d'unités , depuis un jusqu'à dix; c'est la numération. Si , après avoir compté jusqu'à dix ,

nous fermons successivement les

doigts, les nombres décroîtront successivement d'une unité. Cette opération étant l'inverse de la numération , l'auteur l'appelle dénumération.

Pour porter au-delà de dix la numération par les doigts , il observe qu'il n'a qu'à prendre dix pour unité ; et alors , en rouvrant

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successivement les doigts , il forme une suite qui s'étend jusqu'à dix fois dix , ou cent. De la même manière , il formera des suites qui s'étendront jusqu'à dix fois cent, ou mille, etc.

L'habitude de la numération doit la rendre plus facile et plus rapide.

Pour compter jusqu'à cinq, par exemple, au lieu d'ouvrir successivement, l'un après l'autre, tous les doigts d'une main, on en ouvrira, je le suppose, deux tout d'un coup, puis deux encore, et puis un. Cette manière de numérer prend un nom particulier; c'est

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Y addition y qui a son opération inverse comme la numération ; cette opération inverse est la soustraction.

On ne saurait faire beaucoup d'additions qu'on ne rencontre des nombres égaux à ajouter. Cette espèce d'addition est encore susceptible de s'abréger ; et alors elle prend le nom de multiplication, dont l'inverse est la division.

On voit sensiblement, d'après l'exposé de ces premiers progrès f que c'est la nature qui nous donne les premières leçons , et que le

germe de la science du calcul est

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dans les doigts de nos mains.

La multiplication , en effet, n'est qu'une addition; l'addition n'est qu'une numération , et la numération est le premier calcul des doigts donné par la nature.

Le dialecte des doigts est resserré dans des bornes extrêmement étroites , alors même que les nombres sont distingués par des noms.

Comme il ne peut montrer que successivement toutes les parties d'une opération , il exige une mémoire au-dessus de tous nos efforts.

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Les doigts ne pouvant donc pas suffire à exécuter des opérations compliquées , dont le besoin se fait sentir, Condillac les abandonne pour ne conserver que les noms des nombres. Ici se fait un changement considérable, et dans la manière d'opérer qui s'étend beaucoup plus loin , et dans les idées des nombres qui , ne se rapportant plus aux doigts ni à aucune variation de leur dialecte , ne représentent plus d'objet réel , et deviennent générales.

Il traite avec ces signes de Information des puissances et de Yextrac-

tion des racines, des fractions , des raisons , des proportions etdes progressions. Il fait voir que toutes ces opérations ne sont, au fond , que celles qu'il a exécutées avec les doigts, et que toutes peuvent être comprises sous l'expression générale d'évaluation.

Mais bientôt les noms , à leur tour, commencent à manifester leur impuissance. Ils expriment mal les connaissances acquises; ils font, longuement et avec embarras; les opérations nécessaires pour arriver à de nouvelles connaissances.

Ce besoin de signes plus simples

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donne naissance aux chiffres et à l'algèbre.

A peine entrevus dans la nature ou dans l'analogie , ces nouveaux dialectes deviennent les dépositaires des connaissances acquises avec le dialecte des doigts et avec le dialecte des noms. Pour apprendre une langue nouvelle, il faut d'abord ne lui faire dire que des choses que l'on sait. Condillac commence donc par traduire , dans les deux dialectes qu'il veut étudier, ce qu'il a appris avec les deux premiers. A l'instant , on sent avec évidence combien le raisonnement

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dépend du choix des signes , et l'on ne peut se défendre de la plus vive admiration , en voyant avec quelle facilité des opérations qui demandaient la plus grande contention d'esprit se font, pour ainsi dire , d'elles-mêmes. Aussi ces nouveaux dialectes sont-ils proprement la langue des calculs —

Voilà tout ce que nous avons du travail immense que Condillac avait réservé pour occuper et pour remplir la fin de sa vie. Mais ce petit nombre de pages suffît pour attester à jamais le génie de leur au-

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teur etla puissance de sa méthode.

Il n'est pas une seule de ces pages où le lecteur ne trouve quelque instruction, et, sur-tout, où il n'apprenne à s'instruire lui-même.

L'esprit d'analogie qui en a tracé le plan , qui a trouvé les dialectes et leurs diverses méthodes, se montre jusque dans les moindres élémens de ces dialectes. Il les cor ■ r ige souvent , les refait quelquefois ; et lorsque, dans sa circonspection, il n'ose pas combattre des habitudes trop invétérées , il les signale comme causes d'erreur, ou comme obstacles à de nouveaux progrès.

Calcule-t-il avec des noms? H fait sentir combien est vicieux un dialecte où l'analogie des opérations disparaît sous des expressions qui en manquent elles-mêmes ; et , parce qu'elles en manquent, on est porté à voir dans les diverses opérations autant de méthodes différentes 1 et à perdre de vue l'opération fondamentale dont elles ne sont que des perfectionnemens. Ce défaut d'analogie dans lés noms peut nous laisser croire , par exemple , que la multiplication est une opération toute différente de l'addition , et que l'addition est autre

chose que la numération. Aussi, voyez de quelle manière des mathématiciens 9 d'ailleurs très-habiles , ont défini la multiplication.

C'est , disent-ils , une opération par laquelle on trouve un troisième nombre, qui contient autant de fois le nombre à multiplier que le nombre multipliant contient de fois l 'unité. Cette manière d'envi* sager la multiplication a son utilité sans doute; mais on conviendra qu'elle serait mieux partout ailleurs qu'à l'entrée d'un traité élémentaire de mathématiques.

Nous n'ignorons pas que cette

définition est celle de Descartes et de Newton : mais, qui pourrait penser que Y Arithmétique universelle de Newton et la Géométrie de Descartes sont des ouvrages élémentaires ?

Si les noms des premières opérations du calcul avaient plus d'analogie entre eux et avec le calcul des doigts, on n'aurait pas besoin de chercher des définitions. Qn n'a pas besoin de demander ce que c'est que la dénumération , quand on sait en quoi consiste la numération; et nous osons croire que, si la division avait reçu le nom

de démultiplication 9 ce nom seul aurait prévenu beaucoup de mauvais raisonnemens. Il aurait fait plus; il nous aurait avertis que, pour faire une division , il ne s'agit que de défaire une multiplication; et cette observation aurait diminué les difficultés d'une opération qui en a beaucoup pour les commençons.

Les expressions nombre, multiplier, diviser y quotient, puissance > renfermaient une espèce de contradiction avec les idées ou les résultats des opérations qu'elles désignent. Condillac fait voir que

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l'analogie nous commande de pren dre ces mots dans deux acceptions différentes , et il dissipe les obscurités dont une mauvaise métaphysique les avait enveloppés.

Il parle des fractions comme d'une chose connue de tout le monde. Il ne voit dans les raisons, les proportions et les progressions* qu'une manière nouvelle de considérer les opérations les plus simples.

Il bannit du dialecte des chiffres ce qu'on appelle quantités concrètes, complexes et incomplexes. Ces mots, à peine français,

sont tout-à-fait étrangers à un dialecte qui ne connaît que des termes abstraits.

Il dénonce au bon goût les parties aUquotes et les parties aliquantes , rejette les fractions exponen* tielles pour ne conserver que les exposans fractionnaires , et préfère raison carrée, cube, etc., à raison doublée, triplée, etc.,, parce que cette dernière manière de s'exprimer a besoin d'être expliquée, et que , lorsqu'on a déjà une dénomination, il n'en faut pas une nouvelle pour rendre la même idée.

3o - PARADOXES

Les signes du dialecte algébrique étant indéterminés, les ré sultats des opérations algébriques doivent aussi l'être nécessairement; et l'on est conduit par l'analogie à des expressions qu'on ne trouve pas dans les autres dialectes. Les mathématiciens avaient toujours confondu en une seule idée deux idées très-différentes , qui sont cachées sous ces expressions , savoir, l'opération qu'on fait sur les quantités et les quantités mêmes sur lesquelles on opère. Condillac s'étonne de trouver en algèbre des quantités qu'on ne retrouve dans

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aucune autre langue, et bientôt il démêle ce qui jusqu'alors avait été confus. Il sépare les quantités de l'opération qui les ajoute ou qui les soustrait; et cette distinction est un trait de lumière qui éclaire tout-à-coup une théorie jusque-là inexplicable. Il rejette l'expression quantité négative, la remplace par celle de quantité en moins , de quantité à soustraire ou de soustraction ; et l'on voit tout de suite, non pas seulement que moins a retranché de plus a égale plus deux a ; mais on voit encore avec évidence comment cela doit

être , parce que soustraire une soustraction c'est ajouter , comme nier une négation c'est affirmer.

Cette explication, il est vrai, laisse quelque chose à désirer , elle laisse quelques points dans l'obscurité; mais la constante méthode de Condillac est de ne répandre la lumière que graduellement , et ce n'est qu'en traitant des équations des degrés supérieurs qu'il devait compléter l'explication de la théorie des signes.

Une quantité en moins ne pouvant jamais être une puissance d'un degré pair , il s'ensuit que moins a*

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n'est pas un carré , que moins a* n'est pas une quatrième puissance.

Par conséquent, racine carrée de moins a* , racine quatrième de moins « 4 ne sont pas des racines, ni même des quantités. Cependant on avait donné à ces expressions le nom de quantités imaginaires :

Condillac les réduit à n'être que des expressions imaginaires. Il les appelle expressions , parce qu'elles ressemblent aux expressions qui signifient quelque chose, et i/rcaginaires , parce que, dans le vrai , elles ne signifient rien.

S'agit-il d'exprimer Infractions décimales? Il observe qu'un dixième, un centième, étant l'inverse de dix, de cent, leurs expressions doivent être également inverses, et, puisque dix s'écrit 10, cent ioo, un dixième doit s'écrire 01, un centième ooi.

Mais pourquoi dix s'écrit-il par l'unité suivie d'un zéro, en cette manière 10? Pour vous répondre, il va lui-même interroger l'analogie, et il s'adresse aux doigts. Dans ce dialecte, pour exprimer dix, il faut fermer le petit doigt et tenir ouvert le doigt suivant. Pour ex-

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primer le même nombre avec des caractères, il suffit de copier ceux que la main nous offre, i représentera un doigt ouvert; o, que nous appelons zéro, représentera un doigt fermé ; et ces deux caractères , employés comme on le voit ici, 10, signifieront dix.

Toujours ses explications , ses réponses les plus inattendues, sont frappantes de simplicité et de lumière. Lui demandez-vous de fixer vos idées sur quelqu'une de ces expressions algébriques,qui semblent nous échapper par leur indéter-