IMPRIMERIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES ET PHYSIQUES

Via Lau N? SU a.

Manuscrit coté GGGGXYII des manuscrits orientaux du British Muséum (7469 des manuscrits additionnels).

Volume in-4î de 210 feuillets en papier. Le premier et le dernier de ces 210 feuillets , qui sont des feuillets de garde , et les trois feuillets qui précèdent le dernier feuillet de garde ne sont pas numérotés. Les 205 autres feuillets sont numérotés au crayon avec les numéros 1 à 204, à l'exception du 30. « feuillet du volume, qui parait avoir été sauté par inadvertance.

Les quatre feuillets qui précèdent le dernier feuillet de garde sont en blanc, ou occupés par des notes détachées.

Tout le reste du Manuscrit est occupé par le commentaire de Chibàb Eddln Aboûl Abb&s Ahmed Ben Radjah, connu sous le nom d* Ibn Alraadjdi , le chàféïte, sur le Talkhîs ou (( Exposé des opérations du calcul » d*Ibn Albannà. La copie est datée du 17 Rabta' secon»! de Tan 840 de Thégire, ou 29 octobre 1486 de J.-C, et l'achèvement du commentaire du 6 Dzoûl-hidjdiah de Tan 834 de 1* hégire, ou 15 août 1431 de J.-C.)

Le commentateur Ahmed Ibn Almadjdl mourut en 850 de rhé;;ire (29 mars 1446 à 18 mars 1477 de J.-C), et est mentionné dans le Dictionnaire bibliographique de Hadji KJialfa comme autrur de plusieurs ouvrages concernant 1* astronomie et le calcul astronomique. Voir l'édition de Fhiegel, Tom. I., pag. 248, N? 475; Tom. II. pag. 581, N* 3990; Tom. III. pag. 233, N.' 5111 et pag. 528, N? 6773; Tom. V, pag. 205, N! 10694. Comparer Woepcke, sur Fintroduction de l'arithmétique indienne en Occident, pag. 66, lig. 22 et suiv.; et Bibl. Rodieianac codd. mss. orientall. catalogi partis secundae vol. I, confecit A. Nicoll. Oxonii, 1821. in folio, pag. 284. N° CCLXXXVI, 1«

Les Numéros des feuillets marqués en marge des pages 1 à 20 de la traduction ci-après se rapportent à la numération écrite au crayon et mentionnée ci-dessus.)

ijLU nom de Dieu clément et miséricordieux. Dieu be'nis notre seigneur Mohammed, sa famille et ses compagnons, et répands sur eux ton salut.

Le pauvre qui a besoin de la miseVicorde de son Seigneur , qui confesse son insuffisance dans Taccomplissement de ses devoirs et ses pe'cbe's, qui espère le pardon de Dieu qui resUvScite et qui crée, Ahmed le châfelîte Ibn Âlmadjdî dit :

Louange a Dieu qui a réuni (i) les savants dans les habitations (2) de la dignité' seigneuriale, et qui a fait tomber (3) sur eux, dans la distribution (4) des «[ualitës excellentes (5), le lot \6) de la bonne fortune; qui a soulevé' (7) de leurs

(1) Cette préface, écrite en prose rimée, est remplie de jeux de mots dans le goût arabe, Tauteur ayant eu soin d* employer des mots qui ont en même temps des significations techniques dans l'arithmétique pratique ou dans d' autres parties des sciences mathématiques. Ainsi le mot traduit ici par (c réunir » signine en même temps, comme terme trchnique « additionner ».

(2) Ce mot signifie en même temps les (( places » ou « rangs » de chiffres dans la numération* et en astronomie les « mansions » de la lune.

(3) Le mot traduit ici par « faire tomber » signifie aussi « multiplier ».

(4) Ce mot signifie en même temps « division ». '

(5) Le mot traduit par « qualités excellentes » signifie en même temps (C excès », et de là (C différence ».

(6) Ce mot signifie en même temps (( flèche » et (c.sinus verse », et en outre dans les calculs relatifs ù des sociétés de commerçants etc. (( portions ».

(7) Le mot qui signifie « soulever » est souvent aussi employé en arithmétique pratique pour désigner le (( montant » qui (C résulte » d'une opération.

cœurs le rideau (i), et quî les a comble's de bienfaits innombrables (2); qui leur a fait connaître les essences des noms (3) et les qualite's inhérentes et se'parables (4), de sorte qu'ils ont découvert les choses inconnues (5), et qu'ils ont appris la signification des mots.

Je loue Dieu parce qu'il a revêtu (e) les savants des robes d'honneur de la perfection, et les a orne's des colliers (7) de la gloire. Je le remercie de les avoir préserves des deux (espèces d') erreurs (s) dans l'action d'effacer (o) et dans l'action d'écrire, de sorte que les plateaux (10) de leurs balances (11) ont penché en leur faveur.

Je te'moigne (pi'il n'y a pas d'autre Dieu que Dieu seul, et qu'il n'a point de compagnon, Lui qui est un, unique, simple (12), e'Lernel, inaccessible au nombre, qui n'a point d'cpouse (l3) ni de fils.

Je témoigne que notre seigneur Mohammed est son serviteur et son prophète, son élu et sou ami, l'imam des imams auquel Dieu a inspiré les paroles de la sagesse, le possesseur de la noble origine (14) et de la destinée (is) élevée et sublime, Ae la place (ic) qui est l'objet des louanges, et du réservoir (i7) du nectar céleste célébré par toutes les langues; qui est initié au vaste ensemble et aux détails (is) de la science, et qui juge avec pénétration de l'excellence des offrandes (19), de sorte qu'il confère les grâces, petites et grandes; qui a été transporté dans l'apogée de la noblesse aux cercles du plus haut des paradis célestes; dans la main duquel les pierres muettes (20) ont loué Dieu, et qui est l'être pur chargé

(1) (( Le soulèvement du rideau )) est en même temps le titre d'un célèbre traité d'Ibn Albannà sur l'arithmétique pratique.

(2) Textuellement : ce qui n*est pas dans le « calcul ».

(3) Ces mots contiennent une allusion évidente aux termes techniques qui désignent les quantités irrationnelles appelées « de deux noms » et <( de plusieurs noms ».

(4) Allusion à la quantité (( continue » et (( discrète ».

(5) Allusion à la détermination des valeurs des inconnues eu algèbre.

(6) Le verbe traduit par (( revêtir», textuellement <( Jeter sur», est, sans la préposition (( sur » » le terme technique qui désigne la (( soustraction ».

(7) Ce mot signifie aussi les « nœuds » des nombres, c'est à dire les neuf unités, les neuf dizaines (10, 20, 80, etc.), les neuf centaines, et ainsi de suite.

(8) Allusion au (( calcul dos deux erreurs », c'est à dire à la règle des deux fausses positions.

(9) Allusion à une certaine manière de calcul-r sur le sable dans laquelle on efface successivement avec le doigt les chiffres que Ton vient d'écrire, pour les remplacer par d'autres, jusqu'à ce qu'on arrive au résultat.

(10) Allusion à un autre nom de la règle des deux fausses positions.

(11) Le mot qui signifie « balance » est aussi le terme technique employé pour désigner la (r preuve », par exemple la preuve par neuf, par sept, etc.

(12) Ce mot signifie en même temps <c impair ». (18) Ce mot signifie en même temps « pair ».

(14) Le mot traduit par (( origine » signifie, comme terme technique, le (( rapjiort » de deux quantités.

(15) Ce mot signifie en même temps la « division ».

(16) Ce mot signifie en même temps le ((dénominateur » d'une fraction.

(17) Ce mot désigne en même temps une certaine partie de la constellation de la Grande Ourse.

(18) Textuellement: au « beaucoup» et au c( peu ».

(19) Dans cette phrase le texte du manuscrit parait être altéré. Le mot traduit par (( offrandes » sert à designer en arithmétique des calculs « d'approximation » et en général des <c procédés expéditifs ».

(20) Le mot traduit par (C muettes » désigne en même temps les quantités « irratiounelles », et, parmi les nombres entiers, les nombres (( premiers », en égard à leur propriété de ne pas se laisser décomposer en facteurs. Comparer le Liber Ahhaci de Léonard de Pise, édition du Prince Don Balihasar Boncompagni ,

de la défense de la foi. Puisse Dieu re'pandre sur lui, sur sa famille et sur ses compagnons toutes les Lénédiclions possibles, le salut, la noblesse, l'honneur et la grandeur.

Pour en venir au fait. Attendu qu'aucun blâme (i) ne s'attache a la science du calcul, et qu'elle n'est rcsserre'e par aucune barrière (2), j'ai choisi, dans cette science, comme objet d'une étude particulière, l'ouvrage intitule « l'Exposé fait » avec choix » (Talkhis) , ouvrage complet en fait de théorie , composé par le chaïkh, Timàm, Aboûl Abbâs Ahmed Ibn Albannâ, puisse Dieu couvrir ses péchés de sa miséricorde et le faire demereur au milieu de son paradis. Cependant j'ai remarqué que cet ouvrage contient des opérations privées de leur partie la plus instructive, en tant qu'elles ne sont pas accompagnées, dans les chapitres qui en traitent, d'un (exemple ou d'un pi-oblème) correspondant; et qu'il contient des théories subtiles dont il est impossible d'exposer d'une manière satisfaisante les significations, quand même on y apporterait un soin extrême dans quelques feuillets d'un mince volume, quoique certainemeat remplis d'une science abondante, si ce n'est que l'auteur \\y a point entrepris l'explication de ces belles opérations. Au contraire, il les a laissées destituées de démonstrations, de sorte (juc nous se savons pas si la justesse de ce que l'auteur avance est nécessaire ou accidentelle, et si, en nous conformant a ce qu'il expose, nous pou\ons arriver a ce que nous désirons savoir en dehors de cela.

Par conséquent j'ai jugé convenable d'écrire sur cet ouvrage un commentaire qui contînt l'explication des principes sur lequels il est fondé, l'exposé clair et exact de ses parties compliquées, et qui écartât l'obscurité qui cache (3) les obiets qu'il a en vue; de réunir, au moyen de ce commentaire, ce qui se trouve dispersé dans 1' ouvrage original , et de rassembler les joyaux précieux qu'il renferme; d'cclaircir enfin les méthodes de ses opérations et les démonstrations de ses problèmes.

J'ai donc essayé (4) mes forces en consignant dans cet ouvrage ce qui est dans les limites du possible, et c'est a l'épreuve (5) que l'on reconnaît la valeur du caillou ou qu'on le juge mépiisable; j'ai dirigé (g) vers cet obiet le cœur (7)

Rome 1857, in-4.", pag. 31 , le tableau placé sur la marge <le la page. Le mot (( hasam )) y est la reproduction, un peu raottiGt''e, <lu mot arabe t\\\\ signifie « muet ».

(1) Littéralement : c( poussière )). Ce mot contient en même temps une allusion au calcul du gob/Sr , ou calcul de poussière.

(2) Le mot arabe traduit par (( barrière » est hiçâr et parait contenir une allusion à un célèbre traité d'arithmétitjue, antérieur à Ibn Albannà et intitulé (f Al-hiçârou 'l-ça§hir »,

(3) Littéralement: (qui contînt) « 1* action d'écarter Je manteau » , qachfou 7 kinâ\ Ces mots renferment peut-être une allusion à uu traité du célèbre JNacôr Eddîn Althôuct, intitulé Qachfou 'l-kind et relatif à un sujet appartenant à la trigonométrie sphérique. Voir Hadji Khalfa, édition de Fhiegel, Tom. V, pag. 212 et 213, IS? 10788. Comparer ibidem N? 10742.

(4) Ce mot est employé quelquefois comme expression technique pour désigner 1* action de (( faire la preuve » d'une opération arithmétique.

(5) Ce mot sert en même temps comme terme technique pour désigner la (c vérification )) d' une opération arithmétique.

(6) Le mot traduit par (C diriger » sert , comme terme technique, à désigner l'action de (f transformer » une fraction donnée dans une autre dont le dénominateur est donné.

(7) Le mot traduit par (( cœur » se change, par une légère modification des points-voyelles , dans le terme technique qui signifie (( zéro ».

~ 4 de ma pensée en lui donnant du développement (i), et j'y ai mis ma confiaace dans le changement (2).

Dieu a eu égard a ma contrition (3); il m'a recompensé en me réconfortant (4), et il m'a aidé a composer, a écrire, et a rédiger cet ouvrage.

J'ai intitulé cet ouvrage <c Le recueil de la moelle et le commentaire de l'exposé des opérations du calcul. »

Dans sa rédaction je me suis fait une loi de commencer (constamment) par mentionner littéralement les paroles de l'auteur, telles qu'il les a consignées dans sa composition. Ensuite je les ai fait suivre d'une explication au moyen d'exemples, et enfin j'ai placé en dernier lieu la démonstration et l'indication des causes, afin que (chaque théorie) soit complète et absolue dans son chapitre et présentée d'une manière claire et spéciale en faveur de ceux qui désirent s'en instruire. J'ai indiqué les paroles de l'auteur au moyen des mots « l'auleur dit telle chose » et au moyen de l'encre rouge, de manière a les distinguer du commentaire et de les mettre a part. Quelque fois aussi j'ai cité des passages de ce que l'auteur a exposé dans (l'ouvrage intitulé) « Le soulèvement du rideau. » Dans ces cas je dirai « il a dit )), de sorte qu'il n'y a lieu a aucune arabiguité. findcf. !•'. Cependant je n'ai pas violé la virginité de sa méthode j et je ne me suis pas

frauduleusement approprié les choses admirables qui lui appartiennent (s), comme on abuse d'un homme simple, mais j'ai étudié ce que les anciens ont mentionné en fait des principes de cette branche de la science, et ce qu'ils ont expliqué.

..... Il est connu que si l'on ajoute un nombre quelconque au nombre qui le suit, le résultat est le double du premier nombre plus un. Il est connu aussi que l'unité est égale a trois fois un tiers | et que le double d'un nombre quelconque est égal a trois fois deux tiers de ce nombre. Par conséquent la somme d'un nombre quelconque et de celui qui le suit est égale a trois fois deux tiers de ce nombre plus un tiers de l'unité (6). Donc, si nous multiplions le double de la somme (7) par le dénominateur des deux nombres, on a multiplié par le triple de ce qu*îl fallait. Il est connu aussi, que si l'on

(1) Le mot traduit par « développement )) signifie en même temps le (( numérateur total » que 1' on obtient on réduisant un nombre mixte, ou certaines autres espèces compliquées de fractions, en usage chez les Arabes, à une fraction ordinaire.

(2) C'est à dire : au milieu des vicissitudes des choses humaines. Ce mot parait contenir une allusion à un terme technique formé de la même racine et qui désigne la (( transformation )) des équations algébriques.

(3) Ce mot signifie, comme terme technique, (( fraction )).

(4) Les deux roots traduits par « récompenser » et (( réconforter » désignent en même temps les deux opérations algébriqiies de V «opposition » et de la (( restauration » dont la réunion forme le nom arabe de l'algèbre.

(5) Ces mots signifient en même temps : je n'ai rien dérobé à son hôte.

(7) Cest à dire 2[i -I- 2 + 3 +. . . + n] ou »(fi + I).

ranlliplie le double d'un nombre par le triple d'un autre nombre, le résultat est égal a six fois le résultat de la multiplication de l'un des deux nombres par l'autre.

L'auleur dit: et Vélevation au cube {se fait) par l'élésfation au carré de r. Ui^.iig.s. la somme (i). C'est a dire que la somme des cubes des nombres suivant leur ordre résulte de la multiplication de la somme des côtes par elle— même.

La raison de cela, c'est que, si un nombre quelconque est partage' en deux parties, la somme du produit de la multiplication du nombre par l'une de ses deux parties, plus le rectangle des deux parties et le carre' de l'autre partie est c'gale au carre de ce nombre (2).

Eu eflFet, le principe de la multiplication d'un nombre par un autre nombre consiste en ce que nous multipliions le tout de l'un des deux nombres par le tout de l'autre. Donc, si l'on divise l'un des deux nombres, ou tous les deux, dans un nombre quelconfjue de parties, il est nécessaire de multiplier chaque partie de l'un des deux nombres par toutes les parties de l'autre, et d'additionner les résultats. C'est par la aussi que l'on reconnaît la raison de la multiplication suivant les rangs (des chiffres des nombres), parce que chacun des deux nombres multiplie's l'un par l'autre peut âlre de'composë dans ses rangs (3), ainsi que vous le lirez certainement, si Dieu le Très-Haut le peimet, dans le chapitre de la multiplication.

Cela e'tant établi, nous disons que, si un nombre quelconque est divisé en deux parties de quelque manière que ce soit, son carré est égal aux deux carrés de ses deux parties et a leur rectangle pris deux fois.

Soit donc le nombre A divisé en deux parties d'une manière quelconque, et que ce soient B, C. Je dis que le carré de A est égal a la somme des deux carrés de B et C et de leur rectangle pris deux fois.

En effet, A étant divisé en B et C il faut que nous multipliions chacune de ces deux parties par chacune des deux parties de A. Donc posez-les deux fois sur deux rangs, comme il suit:

(1) C'est à dire l^ + 2» + S^ ^ . . . + «3 = [ 1 + 2 + 3+ . . . + /l]^

On trouve ici sur la marge du ms. une glose <^videinment destinée à remplacer l'alinéa suivant, et dont voici la traduction.

J'ai trouvé dans un auti-c exemplaire, portant l'écriture de l'auteur, une autre explication à savoir la

suivante. Exemple, Soit le nombre AB divisé en deux parties au point C, et soit la surface AH le carré de AB. Menons du point C bne droite parallèlement à AT, ce sera la droite CZ, et prenons sur AT un segment équivalent à AC, à savoir AD ; enfin menons la droite DE parallèlement à AB. Alors, puisque la surface AK résulte de la multiplication de AB par AD, c'est à dire par AC; puisque la surface DZ ré-

j^ ^ u suite de la multiplication de DE, c'est à dire de AC, par EZ,

c'est à dire par EK, c'est à dire par CB; et puisque la surface EH résulte de la multiplication de EZ par lui-même, c* est à dire de BC par lui-même; il s'en suit ce que nous nous étions proposé de démontrer. Cela étant établi, nous disons.

(3) Par exemple 3856 = 3000 -f- 800 -f 50 + 6.

Sous maUiplioas D par B, et easaite par C; pnis C par B, et ensuite par C, et nous addicionnoas les quatre résultats. Mais le prodoit de B par B est le carré de B; et pareillement C fols C est le carré de C; et le produit de B fois C et de C foLS B est le rectangle B fols B pris deux fois. Par conséquent le carré de A est égal k la somme des carrés de ses deux parties et de leur rectangle pris deux fols.

Il est^ par la, évident que le produit de A tout entier par B est égsd au carré de B plus le rectangle de B fois C, et que le produit de A tout entier par C est égal au carré de C plus le rectangle de C fois B.

Donc, si Ton multiplie un nombre par l'une de ses deux parties, et que Ton joint au résultat le carré de la partie qui n'a fias servi a la multiplication, et le rectangle des deux jiarties, cela est égal au carré du nombre.

Cela étant établi, nous disons qu'il est connu que le cube d'un nombre est le résultat de la multiplication du nombre par son carré. Donc étant donna des nombres suivant leur ordre et dont le premier soit l'unité , si nous ilésiroas trouver la si^mme de leurs cubes^ vtius multiplierez chacun de ces nombres par mu carré et vous additionnerez les résultats. 11 résultera la quantité cherchée (i).

Mais le carré d'un nomi^re quelconque est la somme de son triangle et du triangle du nomlire précédent (2) 9 ainsi que nous expliquerons cela certainement^ ci— après. ¥a le triangle d'un nombre quelconque est égal a la somme de ce nombre plus le triangle du nombre précédent (3), ainsi qu'il sera pareillement expliqué.

D'après cela, si nous désirons trouver la somme des cubes des nombres suivant leur ordre, et dont le premier soit, par exemple, l'unité, vous multiplierez chacun de ces nombres par son triangle du nombre précédent et vous additionnerez les résultats. 11 résullera la quantité cherchée (a).

Sciient, par exemple, quatre nombres, dont le premier soit l'unité et le dernier quatre. Nous désirons trouver la somme de leurs cubes. Nous les posons donc dans une ligne, cupome ci-aprës, et au dessous leurs triangles dans une autre ligne, comme vous le voyez:

11 faut alors que nous multipliions le quatre par le dix que se trouve au-dessous, et par le six qui est au-dessous du nombre précédent. Puis vous multipliez le trois

+ 4. 4* + . . . + (n— Ij. (n^lp + n. n^.

par le six, et ensuite par le trois; et pareillement le deux par le trois et ensuite par le un. Puis le un par le un. Vous additionnerez les résultats et il résultera la somme des cubes de ces nombres.

Mais le re'sultat de l'addition de ces produits est précisément égal au résultat de la multiplication du triangle du plus grand de ces nombres par lui-même, c'est a dire de la somme de ces nombres par elle même (i).

La raison de cela c'est que le triangle du plus grand de ces nombres, a savoir dix, se partage en deux parties, quatre et six, c'est a dire son côté et le triangle précédent. Donc, si vous multipliez le dix | par le quatre et le quatre f. i» par le six cela revient a former le produit d'un nombre par une de ses deux parties et le rectangle des deux parties. Si donc on ajoute a cela le carré de l'autre partie, il résulte le carré de ce nombre. Mais l'autre partie, c'est six. Et il a été déjà démontré que le carré du six est égal au pi^uit du six par l'une de ses deux parties plus le rectangle de ses deux parties et plus l'autre partie, c'est a dire égal au produit du six par le côté trois, plus le produit du côté trois par le triangle trois qui est le triangle précédent, et en joigns^nt cela encore au carré de l'autre partie, a savoir de trois, parce que le six a été divisé en trois et trois. Mais le carré du trois est égal au produit du trois par le côté deux qui est l'une de ses deux parties, plus le rectangle des deux parties, c'est a dire du côté deux multiplié par le triangle un, et plus le carré de l'un. Mais le carré de l'un c'est un.

Il est donc rendu évident, par la, que si l'on multiplie chacun de ces nombres par son triangle et par le triangle du nombre précédent, la somme des résultats est égale au produit de la somme de ces nombres par elle— même et c'est ce que nous nous étions proposé de démontrer (2).

(2) Cette démonstration d'Ibn Âlmadjdt s'exprime de la manière suivante en language algébrique moderne:

is ^. 2» + 8« + 48 + ... + (n— 1)S + «S = 1. la + 2. 2^ + 8. 8» + 4. 4^+ ... + (n— 1) (n— 2)^ + n . n^= = 1. (0+1) + 2. (1 + 8) + 3 (8+6) + 4 (6 + 10) + . . . +

, , ,, .(n— 2)(/i— 1) (n—i)n^ . An—i)n , n(/2 + l), + in^i)\ 2 + —2-\ + ''\—r'+—l—\ =

Mais on a

L'auteur dit: Quant à Vaddition des nombres impairs suisfant tordre^ elle consiste à élever au carré la moitié du {nombre) jusqu auquel (la suite) s* étend joint à r unité.

Il a élé dit prëcëderaraent , parmi les propriétés des nombres (naturels) range's suivant leur ordre, que les unités du plus grand, c'est a dire de celui jusqu' auquel (la suite) s'ëlend, sont égales au nombre (des termes de la suite). Or, il en serait de mâme pour le plus grand des nombres impairs ranges suivant leur ordre, si les nombres pairs étaient intercalés parmi les impairs. Il est connu aussi que le nombre des nombres pairs qui tombent entre ces nombres impairs, est plus petit d'une unité que le nombre des impairs; et si de deux nombres quelconques l'un dépasse l'autre d'une unité, leur somme est le double du plus grand moins l'unité, ou le double du plus petit plus l'unité. D'après cela le (nombre) jusqu'auquel (la suite) des impairs s'étend, est le double du nombre de ces impairs moins l'unité.

Il a été déjà montré, dans la détermination de la somme de la proportion arithmétique, qu'il fallait additionner les deux termes extrêmes et multiplier cela par la moitié du nombre (des termes). Mais (le terme) le plus petit est (ici) l'unité. Lors donc qu'il est ajouté au plus grand, il résulte le double du nombre des nombres. Et il faut que nous multipliions par la moitié du nombre des nombres impairs, c'est a dire par un quart de la somme des deux termes extrêmes. Nous multiplierons donc la somme des deux termes extrêmes par son quart. Mais le produit d'un nombre par son quart est égal au produit de sa moitié par sa moitié, ainsi que nous expliquerons cela certainement.

L'auteur dit: Et Célés^ation au carré (se fait) par la multiplication d'un sixième du (nombre) jusqu auquel (la suite) s'étend^ par le rectangle compris sous les deux nombres qui Va^msinent par aprè?.

11 faut faire précéder ce problème de deux principes.

L'un deux c'est qu'il faut que vous sachiez que la somme des nombres suivant leur ordre depuis l'unité jusqu'au (nombre) jusq'auquel (la suite) s'étend, s'appelle le triangle de ce nombre.

15+ 2-+ 3»+ 4»+ ... +(«-!)» + n» = [îilî^'] = [1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1. + n]\

Donc

Soient pris, par exemple, les nombres suivant Tordre depuis Funitë jusq'au six, et soient (ëcrits^ au-dessous leurs triangles depuis un jusqa vingt et un, et leurs carre's depuis un jusqu'à trente six, ainsi que le montre la figure suivante

Il a été de'ja explique, dans ce qui pre'cëde, que le carre d'un nombre quelconque est e'gal a son triangle plus le triangle du nombre prece'dent.

En vertu de cela (i) on peut dire que les triangles des nombres pris suivant leur ordre jusqu'à un nombre impair sont e'gaux aux carre's des nombres impairs suivant l'ordre pris jusqu'au même nombre impair; et que les triangles des nombres suivant l'ordre pris jusqu'à un nombre pair, sont e'gaux aux carre's des nombres pairs suivant l'ordre pris jusqu'au même nombre pair. Et certainement l'explication de la signification du triangle se pre'sentera lorsqu'il sera question des nombres figures, si Dieu le ïrcs-IIaut le permet.

Le second (principe) c' est que tout rectangle forme de deux nombres est égal à ce qui résulte de leur produit lorsque l'un d'eux a e'të augmente' d'une quantité' quelconque tandis que l'autre a e'te' diminué proportionnellement.

Pour effectuer l'objet que ce principe a en vue il y a deux méthodes. L'une consiste à diviser l'un des deux facteurs par un certain nombre, et à multiplier l'autre facteur par ce même nombre (2).

(i) On trouve ici sur la marge du ms, une glose dont voici la traduction.

Dans un autre exemplaire (on lit:) En vertu de cela la somme des carrés des nombres impairs suivant leur ordre ou des nombres pairs suivant leur ordre est la somme des triangles des nombres suivant leur ordre pris jusqu'à ce nombre déterminé; car le carré de l'unité est égal à son triangle, parce qu'il n'est précédé de rien ; et le carré du trois est égal à son triangle plus le triangle du nombre pair précédent ; et pareillement le carré de deux est égal à son triangle plus le triangle du nombre impair précédent. Et ainsi de suite d'après le même ordre. Et certainement la signification du triangle sera expliquée lorsqu* il sera question des nombres figurés , si Dieu Je Très-Haut le permet.

Le second (principe) c'est que tout rectangle formé de deux nombres est égal à ce qui résulte de leur produit, lorsque l'un d'eux a été augmenté d'une quantité quelconque, tandis que l'autre a été diminué proportionnellement.

Z B A Exemple, Soit le rectangle AD fotmé par le produit de

AB fois AC , et soit ensuite AC divisé au point E. Que l'on prolonge AB de BZ-, et soit CE à EA comme BZ à AB, c'est à dire la partie retranchée à ce qui reste come la partie ajoutée à la ligne à laquelle elle est ajoutée ; enfin complétons le rectangle AT. Jeudis que les deux rectangles AD, AT sont égaux. La raison de cela c'est que CE est à EA, c'est à dire DH à HB, comme BZ à AB, c' est à dire comme HT à HE. Or , le recUngle ED est formé du produit du premier par le quatrième (terme), qui sont DH , HE ; et le rectangle BT est formé du produit du second par le troisième (terme) qui sont HB, HT. Par conséquent les deux rectangles ED, BT sont égaux, d'après ce qui a été dit précédemment. Ensuite ajoutons le rectangle AH comme partie commune à chacun des deux AT seront égaux. Et c' est ce que nous nous étions proposé de

rectangles. Alors les deux rectangles AD démontrer.

L'autre méthode consiste a retrancher de l'un des deux facteurs une quantité' arbitraire, a prendre le rapport de la partie retranchée a la partie restante et k ajouter a l'autre facteur une quantité proportionnelle a ce rapport (fl).

Exemple soit l'un des deux facteurs six et l'autre huit. Ce qui résulte de

la multiplication de l'un par l'autre est quarante huit. Or, si vous divisez le

six, par exemple par deux , il resuite trois ; et si vous multipliez le huit par

f-*8*- le deux, il resuite seize. Alors ce qui re'sulte | de (la multiplication) de trois

par seize est quarante huit.

Et si vous retranchez du six par exemple trois, le rapport de cela au reste, a savoir a trois, est celui de l'e'galite'; ajoutant par conséquent au huit son équivalent il résulte seize. Alors le résultat de la multiplication de trois par seize est quarante huit, comme d'abord.

Et si vous retranchez du six deux , le rapport de cela au reste, a savoir au quatre, est la moitié; ajoutant donc au huit l'équivalent de sa moitié, il ré-, suite douze. Alors le résultat de la multiplication de quatre par douze est pareillement quarante huit.

La cause de cela etc.

Mais il a été déjà expliqué, dans le second principe, que tout rectangle formé de deux nombres est égal a ce qui résulte dé (la multiplication de) ces deux nombres lorsque l'un d' eux a été augmente d' une certaine quantité, tandis qu'elle a été retranchée de l'autre proportionnellement , non suivant sa grandeur absolue. Par conséquent un tiers du troisième ( nombre ) k partir de celui jusqu'auquel (la suite) s'étend, et la moitié du (nombre) jusqu'auquel (la suite) s'étend étant les deux côtés d'un rectangle, si Ton augmente le premier de deux fois sa propre valeur, de sorte que l'on obtient le troisième (nombre) | f 19»' a partir de celui jusqu'auquel (la suite) s'étend, exactement, et si l'on diminue l'autre suivant la même proportion, de sorte qu' il est réduit k un sixième du (nombre) jusqu'auquel (la suite) s'étend, pai-ce que le tiers est au tout comme le sixième k la moitié; alors on est ramené a trois côtés dont l'un est le troisième (nombre) a partir de celui jusqu'auquel (la suite) s'étend , l'autre le second (nombre) a partir de celui jusqii' auquel (la suite) s'étend, et le dernier un sixième du (nombre) jusqu' auquel la suite s' étend. On multiplie donc le premier par le second, et ce qui résulte par le troisième. f. 19 V. lig. s. L' auteur dit : Et V élévation au cube (se fait) par la multiplication de la somme par son double moins un (2). L'explication de ce problème est conforme k l'explication de l'addition dos cubes des nombres pairs suivant leur ordre. Nous la différerons . donc jusque la; et par Ik sera expliqué ce qui vient f. !9 .'. lîg. 5. d'être mentionné.

(1) bi 1 on tait = -7- , on aura a , b == {a — m) {b-j-n).

(2) C est à dire l3 -j. 38 -f. 58 ^ . |. (24—1)5 = n^ (2/i2— 1).

1/aulçur iHl : Quant a tnddilion des nombres pairs suwinl iordrej elle consiste ei ajouter au (nombre) /usrfu auquel (ia suite) s' étende constamment deuao , et à muitipHer la moitié de la somme par la moitié du {nombre} /u~ squauquel (la suite) s'étend.

Attendu tpic le nombre des nombres (naturels) suivant l'ordre est égal au (uombre) jiisqu'îiiKjiu'l (h suite) s'étend, mais que, entre les nambres pairs pris suivant Tordre^ manquent les impairs pris suivant Tordre» durit le nombre est ëf^al au nombre des {tairs, parce que le premier des pairs est deux qui est prëcëde' par Tunile'; il s'ensuit que, dans les nombres pairs, le (noinbre) jusrprauîjucl (la suite) s*étend est égal au double du nombre (des nombres), l/addition des deux termes extrêmes consiste donc a ajouter au (nomljre) jusqu' auquel (la suite) s'étend deux, parce que c'est le premier des pairs. Par conséquent «m multiplie deux plus le (nombre) jusqti'atrquel (la suite) s'étend, a savoir la somme des deux termes extrêmes par la moitié du nombre des pairs, cest a dire par tuî quart du douI)lc de ce nombre, ou jjar un cpiart du {noml)re) jusqu 'auquel (ta suite) s' étend. Mais le produit des deux termes extrêmes par un tjuart du (nombre) jusf|u'auf[uel (la suite) s*ëteïul est égal au pioduit de la Uïoitië de la somme des deux termes extrêmes par la moitié ihi (nombre) jusfju' auquel (Ja suite) sVlend, en vertu de ce qui a cté ex[diquc dans le second principe. Dieu seul connaît la vëritë.

L'auteur dit: J\t /' élévation nu carré (se fait) par la multiplication de deux tiers du (nombre) jusepi auquel (la suite) s' étend, plus deux tiers de tunitéj par la somme (des nombres pairs simples) ; ou par la multiplication d'un si:cième du (nombre) /usqu auquel (la snlfe) s'étend, par le rectangle compris sous les deux nombres qui favoisinent par après.

L*auteur mentionne ici deux metliodes pour trouver (la suurme) des carrés des nombres pairs. La seconde est celle qui a ëtë donnée déjà prëcëdemuient pour trouver (la Fomme) des carrés des nombres impaire. En effet, il a ëtc expliî|ue, a rt)ccasioît du premier principe^ rjuc les carres des nombres impairs ou des nombres pair^ (additionnas) sui\ant leur ordre sont égaux aux triangles des nombres (naturels additionnes) suivant leur ordre jusqu'au même nombre impair ou (jusqu'au même nombre) pair; et que, si ces triangles sont divisés par la somme de leurs côtés , il résulte des (quotients) qui se dépassent mutuellement d*un tiers (i). L'opération revient donc a ceci, que la quantité chercbée soit décomposée en trois côtés^ a savoir la moitié du (nombre) jusqu'auquel (la suite) s'étend, le secotid (nombre) a partir de ce (nombre) et un tiers du troisième (nombre) a partir de ce (même nombre) , ainsi que tout cela a élé expliqué a

il} Cm à ilire

jn — i }n n{n-\ -li -f S— + — ^^-

in — 1 JH

1 H- 2 + 3 -h , . . + fr,— 1)

l'occasion des carres des nombres impairs. Il ny a, a cet e'gard, aucune différence entre la sommation des impairs et des pairs. Enfin le produit de la moitié' du (nombre) jusqu'auquel (la suite) s'c'tend par un tiers du troisième (nombre) a partir de celui jusqu' auquel (la suite) s* ëtend, est égal au produit du troisième (nombre) a partir de celui jusqu'auquel (la suite) s'étend, tout entier, par un sixième du (nombre) jusqu'auquel (la suite) s'elcnd. Or cela, c'est exactement la méthode pour l'addition des carrés des nombres impairs.

Quant a la première méthode, elle consiste a multiplier un tiers du (nombre) jusqu'auquel (la suite) s'étend plus deux tiers de l'unité par la somme, c'est a dire par la somme des nombres pairs pris suivant l'ordre. 11 a été déjà expliqué, dans ce qui précède, que, si on multiplie les uns par les autres les trois côtés, a savoir la moitié du (nombre) jusqu'auquel ^la suite) s'étend, le second (nombre) a partir de ce (nombre) et un tiers du troisième (nombre) a partir de ce (même nombre), il résulte la quantité chei«chée ainsi qu'il a été dit. Mais le produit du second (nombre) a partir de celui jusqu'auquel (la suite) s'étend par un tiers du troisième (nombre) a partir de celui jusqu'auquel (la suite) s'étend, est égal au produit du troisième (nombre) a partir de celui jusqu' auquel ( la suite) s' étend, tout entier, par un tiers du second (nombre) k partir de celui jusqu'auquel (la suite) s'étend, en vertu de ce que vous savez. Si ensuite ce qui résulte (est multiplié) par la moitié du (nombre) jusqu'auquel (la suitç) s'étend, il résulte la même chose que d'abord. Mais si vous multipliez le troisième (nombre) a partir de celui jusqu'auquel (la suite) s'étend par deux tiers du second (nombre) a partir de celui jusqu'auquel (la suite) s'étend, alors il faudra multiplier le résultat par un quart du nombre (l). (Le produit qu'il s'agit de former) est donc décomposé dans le produit du troisième (nombre) a partir de celui jusqu'auquel (la suite) s'étend, fois deux tiers du second (nombre) à partir de celui jusqu'auquel (la suite) s'étend, ce qui résulte (devant être multiplié) par un quart du nombre. Mais un quart du nombre des nombres (naturels) suivant leur ordre est égal a la moitié du nombre des nombres pairs suivant leur ordre; car il manque au nombre (des nombres naturels) des nombres impairs en quantité égale a ces nombres pairs, ainsi qu'il a été dit. La quantité cherchée est donc un rectangle (2) (formé) de trois côtés dont l'un est le troisième (nombre) a partir de celui jusqu'auquel (la suite) s'étend, l'autre deux tiers du second (nombre) a partir de celui jusqu'auquel (la suite) s'étend, et le dernier la moitié du nombre des nombres pairs pris suivant l' ordre. Or , par quelque de ces (trois f. 20r. côtés) I que vous commenciez, c'est permis. Multipliez donc, par exemple le troisième (nombre) k partir de celui jusqu' au(|uel (la suite) s' étend par la moitié du nombre des nombres pairs ; et que ce qui résulte soit multiplié par deux

(2) Sic. On se serait attendu à ce que l'auteur dît : « un solide )>.

tiers du second (nombre) a partir de celui jusqu' auquel ( la suite ) s' étend (i). Mais le troisième (nombre) a partir de celui jusqu' auquel (la suite) s'étend dépasse celui jusqu'auquel (la suite) s'étend constamment de deux. Lors donc que nous multiplions ce nombre par la moitié du nombre (des nombres paii^), c'est comme si nous avions additionné les deux termes extrêmes et que nous eussions multiplié la somme par la moitié du nombre (des nombres pairs). Mais il a été déjà expliqué que le résultat de la multiplication de la somme des deux termes extrêmes par la moitié du nombre (des nombres) est la somme de ces nombres. D' après cela le résultat de la multiplication du troisième (nombre) a partir de celui jusqu'auquel (la suite) s'étend par la moitié du nombre (des nombres) sera la somme des nombres pairs suivant Tordre. On est donc ramené a la multiplication de cette somme par deux tiers du second (nombre) a partir de celui jusqu' auquel (la suite) s' étend (2). Mais deux tiers du second (nombre) a partir de celui jusqu'auquel (la suite) s'étend sont deux tiers du (nombre) jusqu'auquel (la suite) s'étend plus deux tiers de l'unité, attendu que les nombres (naturels) suivant leur ordre se dépassent mutuellement d' une unité, et que, par conséquent, leurs parties se dépassent mutuellement des parties (correspondantes) de r (unité) ; ce qui est évident. L' opération revient donc k la multiplication de deux tiers du nombre jusqu'auquel (la suite) s'étend plus deux tiers de l'unité par la somme (des nombres pairs simples) (3), ainsi qu'il a été mentionné. Dieu seul connaît la vérité.

L'auteur dit : Et réles^ation au cube {se fait) par la jnultiplication de la ^- ^^ '*• **8- »• somme {des nombres pairs simples) par son double (4).

Pour la démonstration de ce ( théorème ) établissons préalablement deux propositions.

L' une d' elles c'est que la somme des nombres (naturels), depuis 1' unité, suivant leur ordre , est la moitié de la somme des nombres pairs pris a partir du deux suivant leur ordre , et égaux en nombre aux ( nombres naturels ) (5). Soient, par exemple, quatre nombres (naturels) suivant Tordre, dont le premier soit T unité et le dernier quatre; leur somme sera dix. Et soient quatre autres nombres pairs, dont le premier soit deux et le dernier huit; leur somme sera vingt. Or, chacun des nombres p^irs étant le double de celui qui lui correspond

(4) 2«+ 48 If 6» + ... + (2/1)8 = 2[2+4-h6+... + 2/ip.

parmi les iinmliics (naturels, pris) suivant leur oi'die, uu des iionalirçs (imUii'els) est au (nombre pair ) correspondant comme la somme des uns a la somme des autres suivant Tortlrep Cela est cVitlent, en vertu de ce qui a ctc établi prëce'demmeiit.

La seconde (proposition), c est que le cube d'un nombre quelconque est égal a huit fois le cu]>c de la moitié de ce même nombre (i).

Exemple. Soit A un tiombre donne (2); qu'il soit divise en deux parties égales j que Tune des deux parties soit B, et qu'il s'agisse d*cléver A au carre > c'est a dire de le mulliplier par lui-même. Or, par sa division, chacun des deux facteurs a cte partage en deux segments, et tous ces segments sont égaux entre eux et égaux a la quantité B* Par conséquent la muhiplicatiun de A tout entier par lui-même est égale à la multiplication de chaque segment de 1 un des deux facteurs par les deux segments de l'autre^ accompagnée de l'addiûon deit quatre résultats qui sont tous des carres égaux, et dont chacun est éf^al au carré de B* Mais ces quatre carrés forment le carré de A; d'où il suit que le carré d'un nombre quelconque est égal a quatre fois le carré de sa moitié. En même temps il est coniiu que le cube d' un nombre quelconque* est ce qui résulte de la multiplication de ce nombre par sun carré- Mais la multiplication de A tout entier par son carré tout entier, est égale a la midtiplication de chacune de ses deux moitiés par les quatre parties de son carré; et de la innllipHcation d*unc de ses moitiés par les quatre parties de son carré, dont chactuie est égale an carré de D, il résulte quatre culies; de sorte que rensemble de ces cubes est égal a huit fois le cube de la moitié de (A), et que chacun de ces cubes est égal au huitième du cube de ce nombre (A)< Par conséquent le cube de la moitié dun nombre quelconque est égale au huitième du cube de ce nombj*e* C'est ce que nous nous étions proposé d^etablir préalablement-

D'aprës cela , si nous voulons additionner les cubes des nombres pairs suivant Tordre, et dont le premier soit deux, et si nous considérons ces nombres pairs comme s*ils étaient des nombres (naturels) suivant Pordrc, et dont le premier soit l'unité^ alois la somme des cubes de ces derniers seia un huitième (de la somme) des cubes qu*il s'agit de tjouver. Mais il a été cxjiliqué, dans ce qui précède sur la sommation des cubes des nombres (naturels) suivant leur ordre, que, si Ton multiplie la somme de ces nombres par elle— même, il résulte la quantité cherchée. Donc vous multiplierez la somme des nombres (naturels) suivant leur ordre par elle-même et le résultat par huit, afin qu'il résulte la quantité (actuellement) cherchée. Mais le produit d*un nombre par lui^iiéme et

aï

(î) Dans Cl- qui stut le trxto du ni;iiiu5rrit arabe pr*"seiitc* un certain nombre d* erreurs p qui provKnneitt ^vidcmmoiit de ce- que le copiste ne enniprenait pâs bieu ce qu' il écrirait Mais II tist trop facile île recotiriiittre ces mèpriséji et de les corriger, pour <]ii' il vaillr la peine de les signaler et de les relever tine

du résultat par huit est égal au produit du même nombre par son double et du résultat par quatre, ou égal au produit du double de ce même nombre par lui-même et du résultat | par deux. En même temps il a e'të déjà explique' que r. 20*.. la somme des nombres pairs k partir du deux suivant Tordre est le double de la somme des nombres (naturels correspondants) a partir de l'unité suivant Tordre. En outre le produit de la somme des nombres pairs par elle même et du résultat par deux est égal au produit du même nombre par son double. Par conse'quent le résultat de la multiplication de la somme des nombres pairs par son double est la somme de leurs cubes, et c'est ce que nous nous étions propose' de démontrer.

Ayant ainsi expliqué la raison de la sommation des cubes des nombres pairs, mentionnons maintenant l'explication de la raison de la sommation des cubes des nombres impairs.

Cela s'expliquera au moyen de ce qui précède, quand nous aurons établi encore deux autres principes , dont T un est que le produit du plus grand de deux nombres différents quelconques par son double est égal au produit de ce (nombre) par leur somme plus le produit du même par leur différence; et que le produit du plus petit par. son double est' égal au produit de ce (nombre) par leur somme moins son produit par leur différence (i). Car il est évident que le plus grand des deux nombres est exactement égal au plus petit plus leur différence, et que le plus petit des deux nombres est égal au plus grand moins leur différence. Il suit donc nécessairement que le double du plus grand est égal a leur somme plus leur différence, et que le double du plus petit est égal a leur somme moins leur différence.

Le second (principe) est que, si dans (une suite) de nombres (naturels) quelconques (pris) suivant Tordre a partir de l'unité, le (nombre) jusqu'auquel (la suite) s'étend est pair, la somme des nombres pairs compris dans (cette suite) dépasse la somme des nombres impairs y compris de la quantité du nombre des . impairs; et si le (nombre) jusqu'auquel (la suite) s* étend est impair, la somme des nombres pairs est inférieure a la somme des nombres impairs de la quantité des nombres des impairs.

En effet , si le (nombre) jusqu'auquel (la suite) s'étend est pair , le nombre des nombres (naturels) suivant leur ordre se partage en deux nombres égaux dont Tun est le nombre des nombres pairs compris dans (la suite) et l'autre celui des nombres impairs y compris. Mais le premier des nombres pairs, k savoir deux, dépasse le premier des nombres impairs d'une unité; et pareillement le second (nombre pair) , a savoir quatre , dépasse le second des nombres impairs d'une unité ; et ainsi de suite jusqu'au dernier. La somme des nombres pairs dépasse donc la somme des nombres impairs d'une quantité égale a leur nombre. Si le (nombre) jusqu' auquel (la suite) s' étend est impair , le nombre des

(1) « . 2a = fl (a+b) + a (a—*) , * . 25 = 6 {a+b) — b (a— 5).

nombres (naturels) suivant leur ordre se partage en deux nombres différents dont Tun, qui est le nombre des nombres impairs, dépasse l'autre d'une unitë. Mais le premier des nombres impairs, k savoir l'unité n'est précédé de rien; le second des nombres impairs dépasse le premier des nombres pairs de 1' unité; et ainsi de suite jusqu' a ce que le dernier des nombres impairs , k savoir le (nombre) jusqu'auquel (la suite) s'étend, dépasse le dernier des nombres pairs d'une unité. La somme des nombres impairs dépasse donc la somme des nombres pairs d'une quantité égale au nombre des nombres impairs.

Ceci étant établi^ nous disons qu' il est évident que, si de la somme des cubes des nombres (naturels) suivant leur ordre , pris a partir de 1' unité , on retranche la somme des cubes des nombres pairs y compris, il reste la somme des cubes des nombres impairs y compris. Or , il a été déjà expliqué que la somme des cubes des nombres (naturels) suivant leur ordre résulte de l'élévation au carré de la somme de ces nombres (i). Mais la somme de ces nomhres est composée de deux sommes, c' est a dire de la somme des nombres pairs et de la somme des nombres impairs. Par conséquent son carré s'obtient par la mul-

(1) Pour faire mieux voir Ja suite et l'enchaînement des raisonnements qui forment la démonstration d' Ibn Âlmadjdi , désignons par Su la somme d' une suite de nombres naturels , par Si la somme et par Vt le nombre des nombres impairs compris dans la suite , par S» la somme des nombres pairs compris dans la suite , de sorte que Si -|- o « = S,j ; désignons en outre par Sc,n la somme des cubes des mêmes nombres naturels, par Sc,i la somme des cubes des mêmes nombres impairs, et par Sc,p la somme des cubes des mêmes nombres pairs, de sorte que Sc,i + ^c,p = Se,».

Cela posé , soit premièrement le dernier terme de la suite un nombre pair, de sorte que S^ ^ S/ , r on aura

Se,. = s* = (S, + S,r= S,(S, + s,) + S,(S, + s,), Sr.p = S^ . aSp = Sp{Sp t Si) + Sp{Sp - S,) ;

donc

Sc.i = Sc.„ - S^^p = Si(Sp + s,) - Sp{Sp - Si) =

= s, . 2S,- - (Sp - s,)' = s, . 2S, - v,"= s,. . 2S,-S< =

Secondement, soit le dernier terme de la suite un nombre pair, de sorte que S« > Sp , l'on aura :

S,,„ = S: = Sp(S, + S,) + S,(S, + S,)

Se.,, = Sp . ^p = Sp(Si + Sp) - Sp(^i - Sp)

s,., = S,(S, + Sp) + S^(S, - s,) =

tiplicaliun de cliaciiiic des deux somnies par leur somme. MaiitieuariL, si la somme des cubes des oombrcs pairs resuUait de la mulliplirâtiun de la somme dc8 immhres pairs par la somme des deux sommes , la somme de^ cubes des nombres impairs résulterait neccssaircmetjt de b multiplication de la somme des nombres imjïains par la somme des deux symmes. Mais il a cLe explitpie que la somme des cubes des nombres pairs résulte de la multiplication de la somme des nombres pairs par son double. En outre si le (nombre) jusr|u'auquel {la suite) s'étend est pair, il est évident que le jH'oduit de la somme des nombres pairs, qui est le plus grand des deux nombres^ par son double est égal à sou juttduit par la somme des deux sommes plus son produit par leur diilerence. Diaprés cela la somme des cubes des nurabres impairs résulte du produit de la sottime des nombres impairs par la somme des deux sommes mnius le produit de la somme des nombres puirs ^ par leur dinérencc. En môme Eenips il a été eAj)liqné que le plus grand de deux nombres se divise dans le plus petit et la diilércnce- Le produit de la diflé renée par le plus grand est donc égal a son produit par le plus petit plus son produit par elle-même, c'est a dire plus son carré* Par suite de cela la somme des cubes des nombres impairs résulte du produit de la somme des nombres impairs par la somme des deux sommes moins son produit par leur diflerence et moins le carre de la diflerence. Mais il a été cxpliipié que le produit du plus petit de deux nombres par leur somme moins son produit par leur diirérence est exactement égal a son produit par son dou* ble. D'après cela la somme des cubes des nombres impairs résulte du produit de la somme des nombres impairs par son double moins le carré de la difléretice- Mais il a été déjà explique que la différence est égale au nombre des nombres impairs; et il a été expliqué en même temps, daus ce qui précède, que la somme des nombres impairs résulte de V élévation au carié de leur nombre, j Il suit donc nécessairement f[ue le carré de la dillerencc est la somme des nombres im]>airs. Mais le produit de la siïmnu^ des nombres impairs par son dou- J>le , si Ton retrancbc ensuite du résultat la somme des nombres impairs, est exactement égal au produit de la stmime de?> nombres impairs par sou doulile moins un, attendu que le principe de la multiplit atiuu consiste à prendre l'un des deux nombres autant de fois qu'il est eonteun d'unités dans Tautrc,

Si le (nombre) jusqu'autjuel (la suite) s'éteinl est impair, le plus petit des deux nombres est la somme des nombres pairs et le {dus grand la somme des nombres impairs^ ainsi qu'il a été expliqué; et le produit du plus petit des den?k nomlnes par son double est égal a sou produit |*ar la somme des deux nombres moins son produit par leur diflerence. Par suite de cela la somme des culies des nombres impairs résulte abus du jirodnit de la somme des nombres impairs par la somme des deux sommes plus le produit de la somme des nombres pairs par leur diflerence, ce qui est le produit du jdus grand des deux nombres par leur somme plus le produit du plus [letit par leur diirérence. Or, il a été déjà expliqué que le produit de plus grand de deux nombres par son dou-

■ mgiMÉn

ig^

blc est égal a son produit par leur somme plus son produit par leur différence. Mais il a e'té déjà explique, (en outre,) que le produit du plus grand par la diffe'rence est égal au produit du plus petit par la différence plus le carre' de la diffierence. D'après cela le produit du plus grand par son double est égal a son produit par leur somme plus le produit du .plus petit par la différence et plus le carré de la différence. En même temps il a été expliqué que la somme des cubes des nombres impairs résulte du produit du plus grand par la somme plus le produit du plus petit par la différence. Il s'ensuit donc nécessairement que le j^roduit de la somme des nombres impairs par son double dépasse la somme de leurs cubes du carré de la différence. Mais il a été expliqué que le carré (le la différence est exactement égal a la somme des nombres impairs. Par conséquent il résulte du produit de la somme des nombres impaii*s par son double diminué constamment de l'unité, la somme de leurs cubes. Et c'est ce que nous nous étions proposé de démontrer, f. 21 r. lig. 13. 11 ^ di^ (*)• i'Orsque le commencement se fait a partir (d'un nombre) dif-

férent de l'unité, vous déterminerez le nombre des nombres, ainsi qu'il a été exposé précédemment, puis la somme ou (le résultat de) 1' addition a partir de l'unité jusqu'au (nombre) jusqu'auquel (la suite) s'étend, et ensuite a partir de l'unité jusqu'au nombre qui précède le commencement, et vous retrancherez le plus petit du plus grand. Le deux tient, pour les nombres pairs , la place de l'unité. On opère d'après cette seconde manière dans la sommation des carrés et des cubes se suivant d'après l'ordre a partir (d'un nombre) différent de l'unité. Sachez-le donc.

Attendu que les méthodes produites et mentionnées (dans ce qui précède) pour r addition des nombres (naturels) suivant leur ordre , et pareillement des nombres impairs et des nombres pairs , sont fondées sur la condition de commencer par l'unité dans les deux premiers cas, et j^ar le deux dans le troisième, ainsi qu'il a été dit dans ce qui précède, elles ne s'appliquent pas aux cas où le commencement se fait à partir (d'un nombre) différent de celui exigé par la dite condition. A cause de cela on opère alors d'après la méthode ordinaire, a savoir celle qui a été déjà expliquée a 1' occasion de la neuvième des questions composées, c'est a dire du cas ou l'on ignore le nombre (dés tenues de la suite) en même temps que la somme. Cette méthode consiste , pour trouver le nombre (des termes), en ce que vous divisez la différence des deux termes extrêmes par la quantité dont (les termes) se dépassent mutuellement, d'où il résultera le nombre (des termes) moins un. Ensuite vous multiplierez la somme des deux termes extrêmes par la moitié du nombre (des termes) d'où il i-ésultera la somme. Ou bien (on opère alors) d'après la seconde manière, ainsi qu'il vient d'être dit > parce que, si quelqu'un dit: additionnez les nombi-es impairs

(l) Ces mots indiquent que ce qui suit est extrait du « Soulèvement du rideau» d'Ibn 'Albannà, ainsi qii*lbn Almadjdl en a prévenu le lecteur dans sa preCace. Voir ci-dessus, pag. 4, lig. 15 à 17.

suivant leur ordic, par exemple depuis sept jusqu'à quinze, c est roinnie s'il avait (lit: additionnez les nombres impairs suivant leur ordre depuis T unité jusqu'à quinze moins la somme des nombres impairs depuis T miitë jusqua six Par là est explique aussi le reste des cas, parce que le principe est le même.

On comprend^ d'après ce qui précède, (|oc la première manière est plus particulière que la seconde, attendu qu'elle a jKiur condition Texlstcnre de la proportion arilbnietique , de sorte qu'elle ne comprend pas les (cas des) carres et des cubes.

La pbrase de TauLeur ; Le deiïK tient , pour les nombres pairs , la place de runitë *», signifie que, si les nombres pairs (pris) suivant leur ordre, et leurs carres et leurs cubes , commencent par le deux , on opère d' après la mëtbode particulière précédemment mentionnée; que, si (la suite ne commence) pas (par le deux), on opère d'après les deux manières qui viennent d'être raentionnëes, pourvu que la chose demandée soit seulenient d' additionner les nombres pairs (simples); sinon, on emploie, pour leurs carres et leurs cubes, la seconde manière exclusivement.

I^hiant a la manière de trouver les côtés rationnels des cubes, et les cotes d'autres (puissances), et a ce fjui s'y rattache, nous mentionnerons cela certai* oement dans le chapitre des racines, si Dieu, le Très-Haut, le permet*

II a dit: 1/ expose (des propriétés) des carrés est fondé sur (celles) des triangles, et pareillement (la théorie) des pentagones et des autres nombres figures. Expliquons donc cela , et expliquons la manière de les trouver , ainsi que l'opération (dont on se sert) dans ce (but) et dans leur addition. | Tout cela est comjjris dans l'opération mentionnée dans le Traité. Je dis donc que les Aritbme'ticiens placent les nombres suivant leur ordre dans une ligne, et les appellent « colés >ï , en les assimilant aux bgnes ; qu'ils considèrent l'unité comme contenant virtuellement toutes les ligures, de sorte qu'elle est côte"» triangle, carré, et chacune des autres figures virtuellement; qu'ils additionnent Tunité, comme triangle, au deux comme coté, d'où résulte le second triangle, et qu'ils additionnent ensuite celui-ci au trois, comme côté, d'où résulte le troisième triangle, etc.

(l) Puisque donc nous avons obtenu comme résultat ces quantités composées, multiplions le cubo-cubc par un. Il en résultera (le cubocube) lui-même, et nous le posons dans une première ligne. Knsuile nous mnltiplions le quadra lu-cube par dix, et nous posons le résultat dans une seconde

( ! ) Pour rititelligenct! de ce qui suit je ftrai observct- qu'il s'Agit ici de ifériCer réqu;itioti ■

x« -h lùj!^ + 64SO0O jpS j^ 1866Ï40Û x^ = ifil jr« + S400 x^ + iSiBÛ jr*, 2 *ït que Ton îi

f. îl r. h|, 29

L ti

x*= e.'isse

x5^ 1(UB576

^' = jn)&6

^= i67T7îl6

ligne. Après cela nous multiplions le côte, c'est k dire le seize, par le coeffiicient des cubes, et nous posons cela dans une troisième ligne. Enfin nous plaçons le coefficient du carre dans une quatrième ligne. Nous additionnons les quatre lignes, d'où il provient ce qui se trouve au-dessus du trait, et cela est le. résultat du premier membre de l'équation.

Ensuite nous multiplions le carré-carre par le coefficient du cubo-cube, et nous posons cela dans une première ligne. | Nous multiplions le cube par le coefficient du quadrato-cube et nous posons cela dans une seconde ligne. Puis nous multiplions le carré par le coefficient du carré-carré, et nous posons cela dans une troisième ligne. Nous additionnons ces trois lignes, et il résulte ce qui se trouve au-dessus du trait. Cela est le résultat du second membre de l'équation, et est confonne au premier

premier second troisième quatrième

en <^

premier

second

troisième

11 est évident par la que la diflférence entre les deux parties est deux carrés moins dix, et non dix moins deux carrés, si par hasard vous aviez d'abord supposé cette différence égale a dix moins deux carrés.

Vous êtes arrivé, dans cet exemple, a ce qui a été expliqué précédemment, a savoir que l'on ne doit pas affirmer qu'une solution ne peut pas être juste, a moins d' avoir passé, pour les deux résultats opposés qui résultent de 1' augmentation après la diminution, d'un nombre au nombre immédiatement suivant. Alors la justesse sera déterminée dans cette dernière forme. Conduisez donc l'opération dans ce cas conformément a ses conditions, et vous opérerez juste, si Dieu, le Très-Haut, le permet.

J'ai proposé tous les problèmes de cette section comme des (cas particuliers) dérivés d' un seul (problème) fondamental , afin de rendre évident par la que de tous les problèmes précédemment mentionnés il peut être déduit une infinité (de cas particuliers).

Que ceci soit la fin de ce que nous avons présenté dans cette composition bénie. Dieu seul connaît la vérité.

L'achèvement de cet (ouvrage) eut lieu a l'aube du jour béni de mercredi, le sixième (jour) du mois sacré de Dzoûl-hidjdjah de V année huit cent trente quatre (i), par la main de celui qui a besoin du Dieu Très-Haut, qui l'a écrit et composé, Ahmed Ibn Almadjdi le châféite, puisse Dieu pardonner a lui, k ses père et mère, et a tous les musulmans, amen, amen. Que la bénédiction et

(1) Cette date correspond au mercredi, 15 août 14SI de J.-C.

le salut de Dieu soient sur ta plus noble de ses créatures, Mohammed, et sur sa famille.

Ceci est la fin de ce que j' ai trouve dans l'exemplaire de mon seigneur, qui fut écrit de sa main , puisse Dieu le Très-Haut prolonger sa vie ; sur lequel (exemplaire) j'ai copié le présent exemplaire. L'achèvement de la copie du présent exemplaire eut lieu vers midi, le lundi, dix-septième (jour) du mois de Rabia second de 1' année huit cent quarante (i). Et cette cojwe fut faite pour son propre usage, et pour 1' usage de qui il plaira a Dieu après lui, par l'esclave qui a besoin de la miséricorde de son maître le riche et l'étemel, Aboûl Baraqât Mohammed Ben Mohammed Ben Mohammed Al'irâki , puisse Dieu pardonner a lui, a ses père et mère, aux docteurs (qui 1' ont instruit) , et a chacun de tous les musulmans, amen. Que la bénédiction et le salut de Dieu soient sur notre seigneur Mohammed, sa famille et ses compagnons. Dieu nous suffit, c'est le meilleur des protecteurs.

(1) Le Catalogue des Mss. orientaux du British-Museum donne ici, comme date du mois, dans le texte qu'il reproduit, le vingt septième, et dans la traduction latine dont il accompagne ce texte, le vingt-sixième. L' un et r autre est erroné. Le Ms. porte en réalité le dix-septième ; et ce qui prouve en outre que cette leçon est la bonne, c'est que le jour dont il s'agit doit être en Lundi (feria secunda), ce qui a lieu en effet pour le 17 Rabla II de l'année 840 de l'hégire qui correspond au lundi 29 octobre 1436 de J.-C. , tandis que le 27 Rabta II de l'année 840 de Thégire est un Jeudi.

Maouscpit coté GGGGXIX des manuscrits opientaux du British Muséum (7&70 des manuscrits additionnels)

(Volume in 4? de 114 feuillets en papier, dont les deux premiers, et les deux derniers sont des feuillets de garde non numérotés. Les 110 autres feuillets sont numérotés aux rectos avec les numéros 1 à 110 écrits au crayon en chiffres modernes, et aux versos avec les numéros 1 à 100 et 1 à 10 écrits à l'encre en chiffres arabes orientaux.

Ce manuscrit est occupé depuis lig. 1 du verso du feuillet numéroté 3, jusqu'à lig. 11 du recto du feuillet numéroté 110, par la copie d'un Traité intitulé (( La clé du calcul » par Djamchld Ben Mas'oûd Ben Mahmoud, le médecin, surnommé Ghiyàth (Eddln) Alqàchànl. La copie est datée du lundi , (2 ?) Chawwàl de Tannée 997 de Thégire, ou (probablement) 14 août (l), 1589 de J.-C.

Le verso du feuillet numéroté 1, et le recto et verso du feuillet numéroté 2 , sont occupés par un premier projet de la préface qui se distingue de la rédaction qui occupe le verso du feuillet numéroté J, particulièrement en ceci qu'il renferme une dédicace adressée au célèbre Sultan de Samarkand, Ouloug Beg Goûrgàn, et une table très étendue des contenus des chapitres de ^ouvrage entier.

L'auteur fut un des astronomes qui prirent part à la rédaction i\es Tables d'OuIoug Beg, mais mourut avant l'achèvement de cette œuvre. Comparer Thomas Hjrde^ Tabulae long, ac lat. stcllarum fixarura , ex observatione Ulugh Beighi ; Oxonii, 1665, in-4.°, douzième page (non numérotée) de la (( Praefalio ad )) lectorem », lignes 3 à 4 et 18 à 21. La préface de la (( Clé du calcul » dont je fais suivre ici la traduction, contient des indications nombreuses et intéressantes sur les autres ouvrages de Djamchld Ben Mas'oûd.

Les numéros des feuillets marqués en marge des pages 22 à 25 de la traduction ci-après se rapportent à la numération écrite au crayon et mentionnée ci-dessus ).

jljLu nom de Dieu clément et misencordieux. Louange a Dieu qui est unique pour la création des unités, et qui est seul cause de la composition des nombres (2). Que sa béne'diction soit sur la meilleure de ses créatures, Mohammed, le plus puissant des intercesseurs au jour temble de la résurrection, sur sa famille, et sur ses enfants qui guident dans les chemins du salut et de la bonne direction.

Pour en venir au fait. Celui qui, panni les créatures de Dieu, le Très— Haut, a la plus besoin de son pardon, Dyamchîd Ben Mas'oûd Ben Mahmoud, le médecin, surnommé Ghiyâth Alqâchânî, que Dieu fasse prospérer sa situation, dit:

J'ai fait des opérations du calcul et des règles géométriques l'objet d'une étude approfondie, de sorte que j'en ai saisi les vrais procédés et que je suis parvenu an plus haut point dans leurs finesse. J'en ai éclairci les parties obscures et difficiles, et j'en ai résolu les questions douteuses et compliquées. J'ai découvert des règles et des théorèmes nomI)rcux concernant ces sciences, et j'ai obtenu la solution de problèmes qui avaient paru tellement aï^dus a beaucoup d'autres savants qu'ils avaient renoncé a f^'cn occuper. C'est ainsi que j'ai refait le calcul

(1) Le mois de Chawwàl de l'année 997 do l'hégire comprend 4 lundis qui correspondent respectivement aux 14, 21, 28 août et 4 septembre de l'année 1689 du J.-C. La date numérique du jour du mois manque dans le manuscrit,

(2) Dieu est le représentant p«r excellence de l'unité, et l'unité est, pcr le moyen de la composition^ le principe de la formation des nombres, a fon» ot origo numerorum )).

de loiitcs les colonnes des tables Ilkhâniennes (i) d'après les melhocles Icîv plus exarteSj, et quv. j'ai roniposë les tal>les appelées Khàkâjncinies en vue de coinpie 1er les tables Ilkhâniennes (2)* J'y ai réuni tout ce que j'ai invente en fait d'opérations astnniomirfues, et qui ne se trouvait point dans d'antres taliles, en y ajoutant iles tlemoiistratinns geoinëtri((ue. J'ai cotnposc aussi les Tables servant a faciliter les upéralion'î!, et divers autres tableaux.

J'ai compose, en outre, des mémoires, (tels qiie le mémoire intitule) le Parfait , f^ur les (a^ doutes qui se sont présentes aux anciens au sujet des dislunces et des volumes; le mémoire (intitule) le Contenant, sur le rapport du diamètre à la circonférence, et le mémoire (intitulii) la Coide et le Sinus, sur la manière de déterminer ces deux (lignes) pour le tiers d'un aie dont on connaît la corde et le sinus. Ce dernier (problème) est encore un de ceux qui ont offert des difficultés aux anciens, ainsi que V a dît V auteur de V Almageslc en sVxprimant il ce sujet en des termes qui signifient ce (jui suit. Il n'existe pas de métliode en aucune façon^ pour connaître linéairement la coide du tiers d'un arc dont on connaît la corde. Or, puisfju' il en est ainsi, nous avons imagine un artifice pour trouver la corde d*un dcgrc avec une approximation tiès-exacte (4). Kt pareillement il a dît au|)aravant, au sujet de la manière de trouver la corde d' un dcmi-degre , qu* il n' existe pas de métbodc pour la déterminer (d'une manière absolue).

J'ai aussi invente l'instrument appelé le Disque des zones, et j'ai écrit sur la manière de le constiuire et d'(en) connaître (rusage) un me'moire intitulé les Délices des jardins. C'est un instrument qtd sert à détemiincr les longitudes vraies des planètes, leurs latitudes, Icui-s distances de la terre, leurs rétrogradations, les occultations et les éclipses, et tout ce qui s*y rattache.

J*ai trouvé des ré|mnses a des questions nombreuses que m'avaient proposé les plus distingués des calculateurs , soit pour me mettre à l'épreuve, soit jïour s'instruire; et fiuoif|ue ces questions n'aient pas été toutes réduisiblcs aux six cas algébri^pies (5), je suis parvenu, a l'occasion de ces opérations^ a des théorèmes nombreux , k V aide desquels les opérations du calcul peuvent être

(i) Les Tabtps Ukliànicnnrs furent composiV'^ par le célrW astronome W.idi' EdtUu AlUioûd i né en ltt)l 4,*t mort ï-n 1214 de J. C.} en honneur du KJiàii mongol Houîagou qui mit fin au Khalifal de Biis;dàiî par la conquête de dcltc ville fin 1Î58 de J.-C , et qui Jtl construire pour Nacîr E<tdln i*oh5er valoir*' ûe Mrrîighah.

(f ) Ces îTîol-s à partir dp k impchk*5 » sont laisses rn bl.nuc d^ïns le texte mn« Je les ai réLablis an moyen du passait" conp^pondaiit, foL 1 v. du ma., dans le premier projet di* la préface,

iZ\ Au lieu dt's mots k le Parfait, sur IfS », le passage correspondant du foL 1 v! portei <( par C3LCinpie le mémoire inlituk- L'échelle du ciel, sur h ^ndutum des )k

{A) Comparer ; Composition inatht^iTiatir|OC diî Claude Ptolémiee , tradnite etc. Prir M. Halm;i , T. ï , Paris, I8ia, îu-l" Pag. 34, Itf, 5 rt suiv. tlu rnite ^ree. Il me semble quVn eet endroit lii tnulnction fran- ^^aise ne srrre pas d*as*eï près les répressions de l'original.

(5) C*rst il dire à di'S équations du premier ou du secoml dcifré. Lps six cas dont il s*agil sont représentée par le* équations

=r ff, î:^= 17 j .

i-|- ar = /^ , ;^'-|- a ^ Ù3.

; ai + ti.

traitées de la manière la plus aisée, d'après la métliode la plus facile, avec le moindre travail, avec la plus grande utilité', et en présentant l'exposé le plus clair.

J'ai donc jugé convenable de les ressembler dans un recueil, et j'ai formé l'intention de les développer avec clarté, de manière que ce soit un manuel pour les amateurs , et un moyen d' augmenter encore la perspicacité des personnes douées d'intelligence.

f. 76 r. Exemple. Nous désirons ( connaître ) la somme des résultats des produits

(formés) pour chacun des nombres jusqu'à six, (en multipliant d'abord chaque nombre) par le (nombre) suivant, puis le résultat par le (nombre) suivant. Nous additionnons (les nombres) depuis l'unité jusqu'au cinq. Ce sera quinze. Nous multiplions cela par quatorze. Il résulte deux cent dix, ce qui est la quantité cherchée (i).

Douzième règle. Si nous désirons (connaître) la somme des carrés des nombres suivant l'ordre depuis l'unité jusqu'à combien nous en voulons, nous additionnons une unité^ au double du dernier nombre et nous multiplions un tiers de la somme par la somme des dits nombres (2).

Exemple. Nous désirons additionner les carrés des nombres suivant l'ordre depuis l'unité jusqu'à six. Nous ajoutons au double de ce (dernier nombre) une unité. Il résulte treize, ce dont le tiers est quatre et un tiers. Nous multiplions cela par la somme des dits nombres, laquelle est vingt et un. Il résulte quatrevingt onze.

Treizième règle. Si nous désirons additionner les cubes des (nombres) suivant l'ordre depuis l'unité (jusqu'à) combien nous en voulons, nous multiplions la somme de ces nombres par elle-même; il résultera la quantité cherchée (3).

Exemple. Nous désirons (connaître) la somme des cubes des nombres suivant l'ordre depuis l'unité jusqu'à six. Nous additionnons ces nombres. Ce sera vingt et un. Nous multiplions cela par lui-même. Il résulte quatre cent quarante et un, ce qui est la quantité cherchée.

Quatorzième règle. Si nous désirons (connaître) la somme des carré-carrés des nombres suivant l'ordre a partir de l'unité, nous retranchons de la somme de ces nombres une unité et nous prenons constamment un cinquième (4) du reste. Nous l'ajoutons a la somme des dits nombres, et nous multiplions ce qui

de copiste

(4) Le texte ms. porte ici (( un tiers ». Mais Y exemple qui suit prouve que ce n* est qu* une erreur piste.

en provient par la somme des carrés des mêmes nombres. Il résultera la quantité cherchée (i).

Exemple. Nous désirons additionner les carré-carrés des nombres suivant Tordre depuis l'unité jusqu'à six. Nous prenons la somme de ces nombres, ce qui est vingt et un. Nous en retranchons une unité ; il reste vingt. Nous en prenons le cinquième, ce qui est quatre. Nous l'ajoutons a vingt et un; il provient vingt cinq. Nous multiplions cela | par quatre-vingt onze, ce qui est la f- ^^^ somme des carrés des mêmes nombres. Il résulte deux mille deux cent soixante quinze.

Quinzième règle. Si nous désirons (connaître) la somme des puissances suivant Tordre pour un nombre quelconque a partir de la première puissance, ce qui fait encore partie de ce que nous avons découvert {2), nous retranchons de la dernière puissance constamment une unité , et nous multiplions le reste par la première puissance. Nous divisons ( ensuite ) le résultat par un nombre moindre d'une unité que la première puissance. Ce qui résulte est ce que nous avions désiré.

Autre manière. Nous retranchons de la dernière puissance la première puissance, et nous divisons ce qui reste par un nombre moindre d'une unité que la première puissance. A ce qui en résulte nous ajoutons la dernière puissance, afin qu'il résulte la quantité cherchée (3).

Exemple de la première manière. Etc.

(!) l*+2* + 3*+.. .-fn* = [y|l-f-2+S-f....-Kn-l) + /i-l|+|l+2+8+...+n^^].

(2) Le texte ms. fait suivre ici le passage que voici : (( nous multiplions la première puissance par la » dernière puissance et nous retranchons une unité de la première puissance; ce qui résulte est la quantité » cherchée. Exemple. )) Après ce dernier mot le texte continue avec « Nous retranchons etc. » Il est évident que ce passage ne se trouve intercalé à cette place que par la méprise d'un copiste très négligent. En général cette partie du ms. est copiée avec peu de soin.

(») a+«. + «.+ ... + „„ = !fi=f]f = ?:i=? + „„.

IMPRIMATUR - Fr. Hier. Gigli Ord. Praed. S. P. Â. Mag. IMPRIMATUR — P. De Villanova Castellacci Archiep. Petrae Vicesg.

i DES SOMMATIONS DE SERIES DE ODES