COTÉS N.«* 951, 951 ET 952 DU SUPPLÉMENT ARABE

EXTRAIT DU TOME V. N.» s.

BES AHHAII ÙI MÀTKMÀTiCA PVMA MD APPlICAT.t.

S'il est important d'emaminer et de décrire le développement de l'ensemble des sciences mathématiques chez une nation déterminée^ ou à une époque panicuUèref une tâche non moins intéressante^ ni moins utile pour l'histoire des mathématiques^ wnsisie à suiwe à travers les temps et les peuples certains problèmes qui reparaissentf pour ainsi dire^ partout oit V esprit humain s*est occupé de mathématiques.

Ces questions et ces théories se reproduisent et se continuent comme un fil non interrompu^ fil d'Arimie quit retrouvé et renoué par des investigations persévérant tes p permet de découvrir le chemin que les sciences exactes ont suivi depuis les temps les plus reculés jusqu'à nos joiirs^ et qui révèle la marche de ces communications par lesquelles plusieurs fois la sdencCf mewiçant de s'éteindre entre les mains d'une race épuisée , a été transmise à d'autres parties du genre humain destinées à conserver les connaissances acquises et à les augmenter par de nouveaux progrès.

L'ingénieuse idée que j^ai tâché de formuler dans les lignes qui précèdent , appartient à M. le Prince Boncompagni que ses importants travaux sur Vhistoire des mathématiques p et les recherches vraiment immenses servant de base à ces travaux, ont admirablement préparé à choisir avec sûreté les sujets les plus propres de ce nouveau genre d'études historiques.

M, le Prince Boncompagni m'a fait l'honneur de me faire part de ces pv* jetSj et de m'inviter à rechercher pour quelques uns des problèmes dont il s'agit^ les traces que je pourrais en découvrir dans des manuscrits orientaux inexplorés jusqu'à présent.

Les pages qui suivent présentent les résultats de l'examen auquel j*ai soumis, relativement à un de ces problèmes y une partie des manuscrits orientaux de la Bibliothèque impériale de Paris.

J'ai traduit la première et la dernière page de chacun des traités dans lesquels j'ai remarqué des passages relatifs à ce problème j ainsi que toutes les pages contetiant ces passages*

Manuscrit coté^^i du Supplément arabe de la Bibliothèque

impériale de Paris.

(Totnm* ia-i,o de 13^ fealllets en p^ipter dont le premier et It» dtan demlen aonl des feuUlet» d« §uût dôd nu* mérotéip tandis que ka J30 aatrca sont Dumérotés avec deux nmnératioaâ ÊmuéeuUves dont Ja première va de t à 71, et lA seconde ds i à &a.

Feuillet I tf. llg. t à eg 1^. Il g. I4 de la première numéntion: Commentaire dn Taikhu ou » Eiposé des opérAllons » dtt ealcaî •», traité dWithm^ique pritltitie d^ibn AJbanoâ, raathématlden et astrouonie qui ilorisaiJt au Ifaroe dans la première moitié du XJII. filède, par ÂlkâlaçAdt , mËlhémnticien arabe-espa^ol , tnûTi en um de 3,^€L La copie est datét du 39 ramBdb&n Î2^9 de Fhégire, ou H !iepti^mbr« tBti de l.-C.

feaillet 69 v. U$. n à 71 v. llg. 7 de ]a première oumératioQ: ftforctau relatif à quelques qoestloos clironologlqtiei par àhoù laid A^bdolrahmàQ Cba Omar Arokallt Alçoùoeel.

Feuillet t r, Ug, i k ^ v. Hg> ^i de la leconde numération; Autre commentaire, sana nom d'auteur, du Taikts d^lbs AlMuiiâ.

Comparer sur oe ManuMrlt le J^wPfial atiaU^uê^ caliief de Février— Hara : ii«i, pag, 106^ lig. 18 à p^fp 1U7, llg. dernière.

Lea naméros àtA feuntels marqués en marge dea page» 5 k 13 de la traduction d-aprà te raptiortent à la premiéEr do» deui; oumèratiODa du manuacrit).

s\u mm de Dieu clémenl el miséricordieux* Que ta bénédiclîon el te salai divins soient sur noire Seigneur Moliammed !

Le serviteur du Dieu très-haul, celui qui a besoin de son pardon^ AJî Ben Mohammed Ibn Mohammed Ben AIî le Koraïchile Alandaloucî AlbasUiî, connu sous le nom d'AIkalaçàdî, que Dieu très-haut soit miséricordieux envers lui, amen, amen, amen, amen^ dit:

Louange à Dieu qui a créé t'honmie par sa grâce , et qui Fa fait exister pour ce qu'il a résolu el décrété par la volonté de ses jugements et de sa puissance. Que la bénédiction et le salut divins soient sur noire seigneur Mohammed, sa famille et îes compagnons.

Pour en venir au fait. Le but que se propose (te présent ouvrage) est rexplicalion de «f Uexposé des opérations du calcul » du chaïkh, du très-savant imam, Ahmed y surnommé le ûls de l'architecte (Ibn Albannà), Thabitant de Maroc^ puisset-il être agréable à Dieu, et puisse Dieu le rendre contenL L'intention de (rauteur) est que celle introduction forme le commencement du travail qu'il se propose d'entreprendre dans cet ouvrage^ el qu'il indique dans le cou tenu de cette (introduction) ce qu'ont mentionné les anciens retativemenl à celui qui écrit un ouvrage sur une science, à savoir qu'il faut qu'il y fasse attention aux huit points capitaux suivants^ le but, l'utilité, te caractère, la méthode de renseignement, Tordre, te nom de l'auteur, la justesse, el la division.

f.lr.

IM

L'auleuiv que Dieu soil miséricordieux envers lui, a réuni implicitement ces bail points dans eeUe introduction, ainsi quUI Ta exprimé dans certains vers que YOici:

Je me suis appliqué à être concis dans mon exposé, Parce que je connais les différentes parties de la science

et parce que je sais abréger.

Je ne crains pas qu'on m^entendc ma! en prêtant a ce que

je dis des sens différents de celm que j*ai voulu exprimer» El je ne cherche rien au delà de ce qui est suffisant pour moi. Cependant je crains le blâme des grands hommes, Et certainement les savants accomplis sont en droit

de suivre une autre voie»

Mais le devoir de la chamelle est d'enseigner les

petits {*).

Uauteur dit: Le but (**), cesi à dire Tobjet , dans cet ouvrage ^ cest à dire cet écrit, est de donner un expo&é fait avec choix y c'est à dire un exposé élégant et concis, des opérations du calcul de faire comprendre promptenient ses règles , c'est à dire de rendre les règles de Touvrage facilement accessibles » aimi que k sens des théories ^ au moyen des problèmes placés chacun dans le chapitre de la règle qui le concerne et qui lui convient, et de pré&enter dans un ordre sévère les bases et le système de cet art. Il comprend deux parties, cVst à dire cet ouvrage (comprend deux parties), dont la première traite des opéations du nombre coîinu^ en fait d^entiers, de fractions et de racines, tandis que la seconde traite des règles au moyen desquelles il est possible d'arrivei^ à la connaissance de la grandetir de Vinconnue qui est cherchée y en partant des quantités connues et données ^ c^esl à dire au moyen desquelles il est possible de déterminer Tinconnue, ainsi qu'il sera expliqué plus lard, si Dieu le permet , dans la seconde partie de Touvrage. (Celte seconde partie traite) de la manière d'opérer avec les proportions et avec les plateaux de balance (***} , de l'algèbre , cl de ce qui se rattache à cela* Comme si l'on vous

(*)L€ texte de ces vers que présente ici le monuacrit, me paraît très*corrompu; en outre la pretnièie

partie du maDUScrit {fol. i a 71 de la première numérEtiOD) est d'une fort ma Evaisê écriture. Les mt} m es veri sont reproduit£ avec rertnines variantes, et sous uoe forme plus correcte, au fol. i r."" de h secoodc numération,

{") Les motâ imprimés eu italique forment la traducUon des parties du texte de Fouv rage commeaté, intercalées au milieu du conmien taire et écrites, dans le manuscrit arabe» à Tencre rouge. J'ai aussi mis en italique quelques passages qui ne sont pas écrits à Te ocre rouge dans le manuscrit, mais qui font cependant partie du texte commenté , oîusi que je Tai recouDU par un examen du second commentaire du Talhhîs^ contenu dans ce mauuserit, et d'un troisième commenta ira contenu dons le manuscrit tu du Supplément arabe de la Bibliothèque impériale de Paris,

(***) Ce nom désigne la règle des deux fpusses positions.

dit: on addîlionne le tiers el le quart d*unc quantité^ et celu fait tant} ou Ton additionne le tiers et le quart et te cinquième d'une quantité^ et cela fait tanlj combien est cette quantité ? L^auteur dit (que cette détermination de rineonnue par les connues est possible) lor&qu^U existe entre l'une et les autres une relation qui détermine cette (dépendance). Cette relation i est le rapport qui existe entre les nombres etc*

Si Ton vous dit; combien est ta somme de huit nombres dont les plus petit est deux, et qui se dépassent mutuellemenL de quatre ? ) Alors moltiplicz Texcès par le nombre des nombres (termes) moins un^ ce qui donne Tingt buit. Ajoutez-y le deux; ce sera trente , ce qui est le plus grand (des nombres). Ensuite ajoutez au trente le premier nombre, ce qui fait trente deux. Multipliez cela par quatre, la moitié du nombre des nombres. Vous aurez pour résultat la quantité cberchée , à savoir cent vingt huit* En voici la figure, el Dieu seul connaît la vérité.

un de

L'auteur dit; Quant à la sommation des nombres suivant l'ordre* elle consiste à multiplia la moitié du {nombre) jusqu* auquel {la suite) s* étend par le (nombre) jusqu* auquel (la suite) s'étend plus limité. Ceci est la troisième espèce de l'addition, el d*après ce que Tauleur dit, l'opération est ctaire. Par exemple, si l'on vous dit: additionnez depuis un jusqu'à dix suivant Tordre naturel des nombres, alors ajoutez un au dix; ce sera onze. Multipliez cela par la moitié du dix; vous aurez pour résultat cinquante cinq, ce qui est la quantité cherchée. Et si Ton vous dit: addi^ tionnez depuis un jusqu*â dix-buil, alors ajoutez un au dix-huit; ce sera dix-neuf. Multipliez cela par la moi lié du (nombre) jusqu'auquel (la suite) s'étend , à savoir par neuf. Vous aurez pour résultat cent soixante onze, ce qui est la quantité cherchée.

L'auteur dit : et V élévation au carré (se fait) par la multiplication de deux tiers du (nombre) jusqu' auquel {ta suite) s'étend plus un tiers d'une unité , par la somme {des nombres simples). Cela veut dire rétévalion au earrë de Taddilion des nombres suivant Tordre, ce qui deviendra plus clair par notre exemple* Si Ton vous dit; additionnez k partir tlu carré de Tunité jusqu'au carré de dix, alors l^opération dans ce (problème) consiste à prendre deux tiers du dix, ce qui fait six et deux tiers , et à ajouter à cela un tiers d'une unité , de sorte que la somme sera sept. Multipliez cela par la somme (des nombres simples) à savoir par cinquante cinq; vous aurez pour résultat la quantité cherchée, a savoir trois cent quatre- vingt cinq.

L'auteur dit (*); et l'élévation au cube {se f^it) par ^élévation au carré de la f ^'*'-

(*) Je rappelle que ^i Fauteur » de Touvrage commenté est IbnAlbaDiiâ, La règle pour la sommation des cubes qui suit ici, appartient donc h Ebo AlbanDâ, contemporaïil de lâQUMÛ de PIse

( 8 > somme (*). Celte somme veui dire celle qaî résulle de Taddilion des nombres (simples) suivanl Tordre. Et le cube signifie, d*sprès ce qai a été expliqué, le produit de la multiplication d'un nombre par lui-même et puis du résultat par sa racine. Par exemple, si Ton vous dit: additionnez à partir du cube de l'unité jusqu'au cube de dix , alors élevez au carré la somme (des nombres simples) à savoir cinquante cinq. Vous aurez pour résultat la quantité cherchée, à savoir trois mille vingt cinq,

•;.^«J: ainsi: 3025.

L'auteur dit: Quant à Vaddition des nombres impairs suivant l'ordre, elle consiste à élever au carré la moitié du {nombre) jusqu*auquel {la suite) s'étend joint à l'unité. Ceci est la quatrième espèce (de l'addition), et c'est la plus facile de ces espèces. La manière de l'effectuer est claire , d'après ce que l'auteur a expliqué. Par exemple, si l'on vous dit: additionnez depuis Tunité jusqu'à neuf, (en prenant) |

t. 8 r. les nombres impairs suivant Tordre, alors ajoutez l'unité au neuf , ce qui fait dix. Élevez-en la moitié, à savoir cinq, au carré. Il résultera vingt cinq, ce qui est la quantité cherchée. Et si Ton vous dit: additionnez depuis Tunité jusqu'à vingt trois, alors additionnez l'unité au vingt trois» ce qui fait vingt quatre. Élevez au carré la moitié de cela, à savoir douze. Vous aurez pour résultat cent quarante quatre , ce qui est la quantité cherchée.

' L*autear dit: Et l'élévation au carré {se fait) par la multiplication d'un sixième du {nombre) jusqu'auquel {la suite) s'étend, par le rectangle compris sous les deux nombres qui l'avoisinent par après. C'est à dire l'élévation au carré de tous les nombres impairs. Et « le rectangle » est le produit d'un nombre par un (autre) nombre. L'auteur dit « par après » par précaution, afin qu'on ne s'imagine pas qu'il s'agit du produit des deux nombres qui précèdent le (nombre) jusqu'auquel (la suite) s'étend. L'éclaircissement de cela se trouvera dans notre exemple. Si Ton vous dit: additionnez à partir du carré de Tunité jusqu'au carré de neuf, alors prenez un sixième du neuf, ce qui est un et demi. Formez le rectangle des deux nombres qui suivent le neuf, à savoir du dix et du onze. Leur rectangle est cent dix. Multipliez cela par le un et demi. Il résultera cent soixante cinq, ce qui «si la quantité cherchée.

\.tr. L*auteur dit: Et l'élévation au cube {se fait) par la multiplication de la somme

mr stm double moins un {**). Celle élévation au cube (doit s'entendre de) l'addition des nimibres impairs* Par exemple, si Ton vous dit: additionnez depuis le cube de Tunité iviqtt'au cube de neuf, alors vous savez déjà que la sonune (des impairs simples) est vingt <iM nt ^ double de cela moins un est quarante neuf. Par conséquent multipliez le vingt «iM P^i* '^ quarante neuf. Vous aurez pour résultat mille deux cent vingt cinq,

nC6ità«rel3 + a3+5^+...4-(2it-l)^=iiM2ii^-l)-

ainsi: 1225* | Règle foiidamcnlale* Si 1 on vous tliu additionnez depuis le cube dt* Tunilé» soi va ni Tordre des nombres impairs^ jusqu'à un nombre incooou, el le résullât sera Uni; alors multipliez ce résultat par huit, et addilioimez au produit une tinité. Prenez ta racine de la somme^ et ajoutez à la racine de nouveau une unité* Prenez la racine de ce résultat et rclrancbez^n une unité. Ce qui provient est le (aonibre) jnsqu'auquci (la siiitt^) s'étend (*), Par exemple, si Ton vous dit: on a additiomié depuis le cube de rwiiité jusqu'au cube d'un certain nombre suivant Tordre des nombres impairs, et le résultat a été mille neuf cent quatre-vingt dix {**)* Alors multipliez cette ^mme par huit, et ajoutez au produit une unités Vous aurez en somme cent cinquante neuf mille deux cent et un. Prenez-en la racine> qui est trois œnt quatre-vingt dix-neuf. Ajoutez à eela une unilCj ce sera quatre cents. Prenezen la racine , qui est vingt ^ et retranchez-en Tunité. Vous aurez pour reste ] dixneuf, ec qui est le (nombre) inconnu jusquauquel (la suite) s^élend, La manière d'exécuter eelte opération se présentera encore, si Dieu le permet, dans le problème du château (*"**), traitée au moyen de Talgebrc. |

L* auteur dit: Quant à l'addition des nombres pairs suivant V ordre ^ elle cmisiste à ajouter au {nombre} jusqu'auquel (ia suite) s'étend* constamment deux, ei à multiplier h moitié de la somme par la moitié du {nombre) jusqti^ auquel {la suite) s^étend. Ceci est la cinquième espèce de Taddition. Et Topération, d'après ce que Tauteur a dit, est claire. Par exemple, si l'on vous dit: additionnez depuis deux jusqu'à dix» alors ajoutez au dix deux, ce qui fait douze* La moitié de cela, à savoir six, multipliée par la moitié du dix, donne trente, ce qui est la quantité cherchée. Et si l*on vous dit: additionnez depuis deux jusqu'à vingt deux, alors ajoutez au (nombre) jusqu'auquel (la suite) s'étend, deux, ce qui fait vingt quatre. Multipliez cela (****) par la moitié du vingt deux. Vous aurez pour résultat cent trente deux, ce qui est ta quantité cherchée.

L'auteur dit : Et r élévation au carré (se fait) par la multiplicaiion de deux tiers du {nombre) jusqu' auquel {la suite) s' étende pbts deux tiers de l'unité ^ par la somme {des nombres pairs simples). C'est à dire Télé va lion au carré des nombres pairs. Par exemple, si Ton vous dit: additionnez depuis le carré de deux jusqu'au

ïig. n.

n Cest à dire, si l^ + 3^H-5''-f-.--ha;^ = fr, on aura /\/fr,8 + lH-l — \=m.

(") Cesi aitisi que porte le ras. Mais celte leçoo est fausse ; il faut lire: dix-aeuf mUte neuf cents , e*e£t à dire imm au lieu de vm).

('") Le mot que je traduis ici par » château » signifie aussi *^ seHe m. Or, TouvraBe dMbu Al-bauuâ. fommeoté ici pur Alkaia^^adî, était un abrogé d*un ouvrage appelé » La petite seUe *^ {Voir Jouraal asiatique cahier d*oc toi) re- novembre 185A, [jag. 371, lig, ï a 7). Il est donc frossible que Alkalaçâdi fasse ici aUysîoQ à un problème enDteriu dans ce dernier ouvrage, de sorte qu il faudrait tpduire: »d,ias le pro- ^ blême proposé dans (fouvrage intitulé) ia petite selle «

(*•**! Cest aiosi que pt>rte le njs. Il faut lire: multipliez la moitié de cela.

{ 10 ) carré de douze. Alors vous savez en variu de ce qui précède, que la somme (des p^rs simples) mk qufMTMta d^ux. Réaeryea q^. fimsuiAe ppenei deu?^ tiers de douze, ce qui mk huit^ ei ajoulez-y deux tiers , ce qui fait Ikpt et deux tiers. Multipliez cela par le quarante deux. Vous aurez pour résultat la quantité cherchée, à savoir trois cent soixante quatre.

L'auteur dît: ou muliipUez un dixième du (nombre) jmqu' auquel (2a 9iuiÈf^) s'étend, par le rectangle compris sous les deux nombres quifavoisinerU par après. Ceci est une seconde manière de l'élévation au carré des n(Miibres pairs. Son éclair- Qtssemeal % aui moyen de notre exemple , consiste en ce que vous multipliez le sixième du (nombre) jtisqu auquel (la suite) s*étend, à savoir de douze, par le rectangle .coBApris. sous treize et quatorze , à savoir par cent quatre-viugt deux. Ce (produit) sera la quanliîté cherchée.

r^2o L'auteur dit: Et V élévation au cube {se faii) par la multiplication de la somme

(déss nombres pairsi simples) par son dmbU (*). Ceci est 1 élévation au^ cidie en additionnant les nombres pairs. La somme est dans notre exemple quarante deux , etv aon^ dQu^le e^t quairo-yin^ quaiirQ. Si l'on ea fiiilt le rectangle , le produljl, est

[: ^ **- tffOi «^Q €ÂX¥|. ^eiMt vingt iàuit, œ qu» est la quantité cherebée. ii

HejvWHfPQ additiame^elte» nQlatixe au qaa où IW vous dit : additioniiesi à pwtir d)U^ «ombre qui u'eâit pas un , ou qui a'est paa deux, d'une manière aenMabfe k ces addi^oo3 (qui précèdent). L'opération en ce cas consiste à faire d'abord Taddà* tioa à partir de l'unité ou à partir du deux, et à retrancher ensuite de la somme ce qui. résulte de (l'addition faite jusqu'au nombre) proposé dans le problème (comme corni^enoemeut de la suite). L'auteur n'a pas signalé ce (cas) dans le présent ouvrage,

f. %v mw il l'a signalé dans les discours C^*). Par exemple si | Ton vous dit: additionnez depuis cinq jusqu'à seize suivant Tordre naturel des nombres, alors additionnez d'abord depuis l'unité jusqu'au seize , d'après ce qui précède. Vous aurez pour résultai cent trente six. Réservez cela. Ensuite retranches^ du cinq une unité. Il reste quatre* Additiounez depuis, ua jusqu'à quatre, vous aurez pour somoke dix. R^tran^ chw cela du (nombre) réservé, vous aurez pour reste ceut vingt, six, et telle eat la quantité cherchée. Et si Ton vous dit : additionnez depuis six jusqu'à quatorze en prenant les nombres pairs suivant l'ordre , alor& additionnez d'abord depuia deux, jusqu'à quatorze. Ce sera, cinquante six. Réservez cela. Ensuite retranchez du six deux; il vous restera quatre. Additionnez depuis deux jusqu'à quatre, ce sera six. Retranchez cela du (nombre) réservé. Vous aurez pour reste cinquante, ce qui est

n C'est à dire 23-+.4^H-6^+...-t-(2n)3=2[fi(n-^l)]\

{**) Ceh peat signifier que Tantear, Ibn Albaunâ, a exposé ces règles verbalement, oa qo*il lesaezposées dans un ouvrage intitulé « les discours, » on dans un ouvrage divisé en « discours, « c'est à dire en « livres. »

k qiranUté therchée. Et m Von vous tlil : addiii orniez tleptiis sept JHsqifi m\m tn fircTimii Im hornbres impairs suivant Tordre , alors addilioïiîiez d'alnml depuis tiw jysqu'à o«ifte, ce qui f^it trente i^ix* Ënsnile mtoiichei deux dé mph lifm\)tnxi%. Additionnée liepuis un jusqu'à DiiKf» te sera tieuf* Retranchiez i^etn du (nonilm) i^ serve. Il reste vingt sept, ce qui est la quantité cherchée. Et vous réglerez d'une minière analogue lopéralion pour félévalion au carre et pour rclévuiidn atj eube (*)*