PREMIÈRE PARTIE, DES OPÉRATIONS DU NOMBRE CONNU

Cette partie est divisée en trois divisions. La première division traite des opérations du nombre entier. La seconde division traite des opérations des fractions. La troisième division traite des opérations des racines.

Première division. Des opérations du nombre entier-

Cette division se partage, convenablement à son but, en six chapitres , dont le* (ircmier traite des divisions du norabre, et de ses ordres.

jLJ.

PHEHIER CHAPÎTEE

Le nombre est ce qui e$i eomposé d*uiiîtcs. Par conséquent Tud n'est pas irppelé nombre , parce qu'il n est pas composé d'unités. On dit eiissi: le nombre est une réunion de monades {"*).

Tel est tout nombre, comme le cinq, le dix, le cent, le mille.

L^ nombre est divisé en pair et impair,

Pj Le pair est celui qui se laisse diviser en deux parties égales. Tels sool tous es nombres dans la première plate desquels il se trouve un nombre pair ^ comme doux, quatre» six, huit, ou dans la première place desquels il n*y a point d'nniléSp Le nopibre impair ne jouit point de ces propriétés.

On, diii aussi; le nonibre pgir est celui qui se laisse diviser en deux parties égales^ ou en deux parties inégales, l\me étant plus grande et l'autre plus petite, pourvu qu'il soit plus grand que deux (*^).

Si le nombre pair est divisé en deux parties égales , et que Tune d'elles est paire, Fautre partie est (pareillement) paire; et si (Tune des parties) est impaire^ l'autre partie est (aussi) iujpaire, El s*il est divisé en deux parties inégales , chacune de ces detix parties est (ou bien) impaire (ou paire). Par exemple le buil se divise en deux nombres pairs, quatre et quatre, qui sont égaux; et se divise (aussi) en cinq et trois qui sont inégaux f et cliacune de ces deux (dernières parties) est ipaire.

Si le nombre pair est divisé en deux parties inégales, cbacune de-ces deux parties se laisse diviser (**'*) en deux parties inégales. Ainsi le cinq et le trois sont inégaux, et pareillement les parties de ebaeun de ces deux nombres sont inégales.

Quant au (nombre) impair { c'est celui dont les parties etc.

vous ajoutez | constamment un demi, et vous multipliez la somme par la quantité réservée. Alors ce qui résulte est la réponse. Par exemple, si Ton dit: additionnez depuis cinq jusqu'à dix-neuf suivant Tordre des nombres (naturels), alors vous joignes le cinq au dix-ncuf » ce qui fait vingt quatre , et vous réservez cela. Ensuite retranchez le premier des nombres, à savoir cinq, du plus grand des nombres , à savoir dix-neuf. II reste quatorze. Prenez-en la moitié » qui est sept- Ajoutei-y la moitié d'une unité;' ce sera sept et demi. Multipliez cela par le nombre réservé , à savoir par vingt quatre. Le résultat sera cent quatre-vingt , ce qui est la réponse,

(*) Le mot employé ici esl différent du terme ordinaire pour ^ unUé «^^ employé par exetuptelig. 1, 3 ^ 9 de la présente pa<ïe. Le dictîouoaire le Iraduit par » unitas, singularitas ■>. l*') Le deux se divise seiilemerU en deuï parties égales t et l,

(*••) Le texte ajoute « seulemeot, « ce qui est faux. Car, par exemple, 12^ a + i, etS djvkibtle en 4 4 qui SOQI ég9UE.

( 16 ) El si l'on dit (*): additionnez, depuis Tunilé jusqu'à dix snivanl l'ordre des nombres élevés au carré , ce qui signifie que vous mullipiiez chacun des dix nombres par lui-même, el que vous additionnez les résultats; alors la méthode pour cela consiste à additionner les nombres suivant leur ordre , d'après la méthode précédente » et à réserver la (somme). Ensuite vous prenez deux tiers du dernier nombre , ce qui est six et deux tiers, et vous y ajoutez un tiers de l'unité. Il résulte sept, ce que vous multipliez par le (nombre) réservé , à savoir cinquante cinq. Le résultat

f; 7 u, sera 385, et telle est la réponse.

Et si Ton dit: additionnez depuis l'unité jusqu'à dix suivant [l'ordre des cubes, ce qui signifie' que vous multipliez chacun des dix nombres par lui-même» que vous multipliez le résultat par son côté , et que vous additionnez les résultats ; alors la méthode pour cela consiste à additionner depuis un jusqu'à dix suivant Tordre des nombres , d'après la méthode qui précède. La somme sera cinquante cinq. Ensuite vous élevez au carré ces cinquante cinq en les multipliant par eux-mêmes. Le ré-

t. 7 V. sultat sera 3025, ce qui est la réponse.

'^* *^' La quatrième espèce (de l'addition) (**) est Taddition suivant l'ordre des nom-

bres impairs ; cela signifie que vous additionnez les impairs tels qu'ils se suivent dans Tordre naturel. La méthode pour cela consiste à ajouter au dernier nombre, qui est le plus grand des (nombres) , constamment une unité , à prendre la moitié de la somme, et à l'élever au carré en la multipliant par elle-même. Alors ce qui résulte est la réponse.

(*) Oq trouve ici sur la marge du ms. une glose dont roici la traduction:

Quant à Taddition suivant Tordre des nombres élevés au carré, l'opération consiste à additionner les nombres suivant leur ordre d'après ce qui précède, et à multiplier le résultat par deux tiers du dernier (nombre), augmentés constamment d'un tiers. Le résultat sera la réponse. Comme (si vous avez) quatre nombres carrés à partir de l'unité, alors multipliez 10 par 3 , ce qui est deux tiers du quatre augmentés de j. Et (pour) les cubes (l'opération consiste) à additionner les (nombres simples) suivant l'ordre de la même manière, et à élever le résultat au carré. Ce sera la réponse.

{**) -On trouve ici sur la marge du ms. une glose dont voici la traduction:

Quant à l'addition suivant l'ordre des impairs, l'opération consiste à ajouter au dernier (nombre) constamment un, et à élever au carré la moitié du résultat. Ce sera la réponse. Comme (si vous avez) quatre nombres à partir de l'unité, le résultat sera 16. Et (pour trouver la somme des impairs) suivant, leur ordre en les élevant au carré, (l'opération consiste) à multiplier les deux nombres qui viennent aprê^le dernier (nombre) dans, l'ordre naturel , et à multiplier le résultat par Un sixième du dernier (nombre). Comme (si l'on additionne) depuis i jusqu'à 7 en, élevant au carré, le résultat est S4. Et(pouradditi<mr oer les impairs) en les élevant au cube (la méthode consiste) à additionner suivant Tordre des impairs» à doubler le résultat, à retrancher du double un, et à multiplier le résultat par le (nombre qu'on avait) doublé (a). Et si Ton dit: additionnez quatre cases à partir de I, suivant Tordre des impairs, alors devez au carré le nombre des cases , ce sera la réponse. Vous apprenez par là que la racine (carrée) du résultat est le nombre des cases.

(a) Cest à dire

= [2(lH-3+5H-7-|-....H-{2n-l})-l].(l-+-3-t-5-h7-i-....-h{2n— 1|).

( 17 ) ^ Par exemple, si Ton diu additionnez depuis l'un île jusqti*îi neuf, suivant Tordre des impairs, c^est à dire Tu ni té, le troiSf le cinq, le sept, et le neuf; alors la méthode pour cela consiste à ajouter au dernier nombre une unités à prendre un quarl de la somme^ et à le multiplier par la somme; ou h prendre le nombre des ordres des impairs que vous avez, et à multiplier ce nombre par lui-même. Donc, si vous voulez, ajoutez au neuf une unit€; ce sera dix. Prenez-en la moitié, qui est cinq, et multipliez cela par lui-même. Ce sera vingt cinq, et telle est la réponse.

Et si Von dit: additionnez depuis Tunité jusqu'à neuf, suivant l'ordre des impairs, en les élevant au carré, ce qui signifie que | chacun de ces impairs doit être multiplié par lui-même ; alors la méthode pour cela consiste à former le rectangle des deux nombres qui avoisinent le plus grand des impairs par après , donc à en multiplier Tun par Tautre. Ensuite multipliez ce qui résulte, par un sixième du plus ^H grand impair. Le résultat sera la réponse.

^Ê Par exemple, si Ton dit; additionnez depuis Tunité jusqu'à neuf suivant Tordre ^ des impairs, en les élevant au carré; alors multipliez les deux nombres qui avoisi- I »nenl le neuf par après , à savoir le dix et le onze , l'un par Tautre; ce sera cent l dix. Ensuite multipliez ce cent dix par un sixième du neuf, à savoir par un et demi* Hf II résultera cent soixante cinq, ce qui est la réponse.

^b Et si Ton dit: additionnez depuis un jusqu'à neuf suivant Tordre des impairs ^ ^^Bn les élevant au cube, alors faites la somme suivant Tordre des impairs, sans les élever au cube, ainsi qu'il précède. Ce sera vingt cinq. Réservez cela. Ensuite dou* blez-!e, ce sera cinquante. Retranchez une unité du cinquante^ il reste quarante neuf. Multipliez cela par le (nombre) réservé, qui est vingt einq. Il résulte 1225, ce qui est la réponse.

Et si Ton dit: additionnez jusqu'à la dixième case suivant Tordre des impairs, en soos-eiUcndanl que dans la première case soit Tunité, dans la seconde trois, el ainsi de suite suivant Tordre des nombres impairs jusqu'à la dixième case; alors la méthode pour cela consiste à multiplier le nombre des cases par lui-même. Ce qui en résulte sera la réponse. Dans le cas actuel cela est cent-

Vous apprenez par là que, si \ous avez un nombre, et que vous désirez savoir combien il contient d'impairs séparément, vous devez en prendre la racine. Ce qui résulte est le nombre des impairs contenus dans le (nombre proposé) > si le commencement des (nombres impairs) est un.

Section- Si Ton vous dit : (étant proposé) le nombre cent , (combien) y est-il contenu de nombres impairs se succédant suivant Tordre en commençant par Tu ni lé; alors la méthode pour cela consiste à prendre la racine du nombre , à savoir de cent, qui est dix; et ce nombre (indique) combien il y a dans cent de nombres impairs suivant Tordre en commençant par Tunité, Ce sont 1.3.5-7-9-11.13.15.17.19, el ce sont dix impairs, (dix) étant le nombre de la racine du cent qui est leur somme.

La dnquième espèce (de raddition) (*) esi raddîtion suivanl Tordre des (nombres) pairs, ee qui signifie que vous addî lion nez tes pairs lels qu'ils se suivent daûs Tordre nalurel, a savoir dpu\, quatre, sis^ huit, dix, el ainsi de suite jusqu'à l'inlitii. La mélhode pour cela consiste à ajouler au (nombre) pair jusqu*auquel (la suite) s'élend [deux], cl a multiplier un quart du (nombre) jusqu'auquei (la suite) s^étendi par le (nombre) jusqti'auquel (la suite) s^etend augmenté de deux. Ce qui résulle est la réponse.

Par exeuifiJe, aï Ton vous dit: additionnez depuis deux jusqu'à dix suivant Tordre des pairs, alors ajoutez deux au (nombre) jusqu* auquel (la suite) s*étend, à sa*i; s t\ voir au dix: Ce sera douze, | Pretiez*en la moitié, à savoir six^ et multipliez-la par la moitié du dix, à savoir par cinq. Il résultera trente, ce qui est la réponse.

Et si Ton dit : additionnez depuis deux jusqu*à dix suivant Tordre des (nombres) pairs , en les élevant au carré , alors la méthode pour cela consiste en deux manières,

La première (manière est) que vous additionnez les (nombres) pairs suivant Tordre , ainsi quil précède* Ce sera irente. Réservez cela. Ensuite prenez deux tiers du (nombre) jusqu'auquel (la suite) s'étend, ce qui est six et deux tiers. Ajoutez-y constamment deux liers de Tunité. Ensuite multipliez la somme» à savoir sept et un tiers, par le (nombre) réservé. Le résultat sera deux cent vingt, et telle est la réponse.

Et si Ton vous dit: nous avons le (nombre) cent dixj combien y est-il contenu de nombres pairs ; alors la méthode pour cela consiste ii ajouter au nombre donné constamment un quart de Tu ni té, a prendre la racine de la somme, et à en retraii^ cher constamment la moitié d'une unité; le double (**) de ce qui reste sera le nombre des (nombres) pairs. Donc ajoutez au cent dix un quart de Tunité, ce sera cent dix et un quart. Prenez-en la racine, à savoir dix el demi. Retrancbez-en un demi.

n On trouve ici sur la marge du m%. uae gtose dont voici la traduction:

Et (pour additiotmer tes nombres) pairs smvaot l'ordre naturel (la mélhode couiisle) à ajouier au dt rnier (nombre} 2^ et à multiplier la moitié du résultat par la moitié du même dernier (nombre). Comme (si ToQ veut additionner) depuis 2 jusqu'à È , ce dont le résultat est to, £t (pour addition uer les nombres pairs, en les élevant au carré (la méthode consiste) è les additionner suivant Tordre, à n jouter ensuite aux deux tiers du dernier {nombre} constamment deux tiers de Tunité. et à multiplier le résut tel par ee qui provenait de Taddition (des nombres pairs simples); ou à former le rectangle des deux nombreâ qui viennent suivant Tordre après le dernier (nombre pair) et à multiplier le résultat par un sixième du dernier (nombre). Et si Ton dit: (le nombre} cent dix, combien contient -il de nombres patr>, alors ajoutez-y constamment un quart de Tunité , et retranchez de la radne du résultat constammeol la moitié d*une unités le double (a) du reste sera la réponse.

p] Le mots ■ le double de » sont de trop; Il faut dire: ce qui reste sera le nombre des nombrei psirs contenus dans le nombre proposé.

(a) Les mots « double du » sont de trop; tl faut dire: le reste sert la réponse. Car, puisque 2 -j- 1 -h6+ .... +2n = «(n-f l)i si Too pose ï»(n + l) = a, on aura

•7TT-i=V^«'H-»H-î-î=v'(n-Hi)*-f=(B+|)-i = >i.

Il resio dix* Le double de t^ela sera vingl^ et lui esl le nombre des (nombres) pairs contenus dans cent dix (*), , , •

La seconde manière (de sommer les carrés des nombres paîrs suivant l'ordre , consiste) à former tu rectangle des deux nombres (|ui a voisinent le dix par après , à savoir du orne et du douze. Donc muilipliez-en l'un par Taulrc , el réservez le résultai. C'est cent Ironie deux. Ensuite prenez un sixième dii (nombre) jusqu'auquet (la suite) s'étend ^ à savoir du dix. Vous trouvez que c'est un el deux lier». Multipliez cda par le (nombre) rcservéj à savoir par le cent ireiile deux* Le résidtat sera deux cent vingts ce qui est la réponse, comme prcccdemmenl*

Et si Ton dit: (**) addilionnez depuis deux jusqu'à dix sui\anl Tordre des pairs en les élevanl au cube, alors la méthode pour cela consiste à addiliontier les nonn bres pairs suivant Tordre t ai'isi qu'il précède , et à réserver le résultat , a savoir Irenle. Ensuile doublez-le* Ce sera soixante. Multipliez cela par le (nombre) réservé, à savoir par trente. Le résultat sera mille huit cenl^ el telle est la réponse,

El si Ton dit: addilionnez ce qui est conlenu dans dix cases suivant Tordre des nombres pairs , ce qui signifie que dans la première case se trouve deux , dans la seconde quatre, et ainsi de suite, suivant Tordre des nombres pairs, jusqu'à la dixième case ; alors la méthode pour cela consiste à muUiplier le nombre des cases « à savoir dix, par lui-même augmenté d'une unité. Ce sera cent dix; et lelle est la réponse.

Ceci {est Topera lion) si le commôncemeni des nombres pairs esl le deux. Maïs si le commencement est un nombre pair difFérent du deux ; alors faites-en Tadditîon en supposant (d'abord) que le eommeneemenl soit deux, cl Réservez ce qui en résulte- Ensuite addilionnez ce qui est compris entre le deux et le nombre donné comme premier. Reiranebez cela du nombre réservé. Ce qui reste est la réponse.

Sachez atfssi que , si le eommeneemenl est fait à partir d'un nombre difTérent

r) On a 110 ^ 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + J4 + lu -h rs + 30 ce qui soDldist et nott vingt nombres pairs. Je viens déjà d'indiquer la source de cette erreur du U\Xé arabe.

(■*) On trouve ici sur la marge du ms. une jslose doot voici h traduction: 1/additioîî suivant l'ordre des (nombres) pairs en les élevant au cube, ronsisle h additionner les (nombres) pairs suivant Tordre, à doubler le résultat, et à multiplier le résultat parle {nombre qu*oo avait) doublé. ¥A si ToD ditr addilionnez ce qui se trouve dans 10 cases suivant Tordre des (nombres) pairs à partir de 2, alors Topération consiste a multiplier le noiubre des cases par lui-même augmenté de l'unité. Le résultat sera la réponse. Ced a lieu si (la suite) commence par 3. Si non ^ faites la somme (comme d'habitude) eu supposant que le eommencement soit 2, et réservez le résultat ; rerrancheï-en la somme de ce qui se trouve entre le deuï et le nombre donné comme premier. Le reste sera la réponse. Et si dans oes trois divisions (de radditlon) (a) le commencement ne se fait pas par Tunité, alors additionne/, (d'abord) depuis Tunité jusqu'au (nombre) jusqu'auquel (la suit*) s'étend, el ensuite depuis Tunitéjusqu* au (nombre) qui précède le (nombre donné comme) commencement (de la suite) , et retranebeï le plus petit du plus ^Tand. Dans Tadditloa des (nombres) pairs le deux tient la place que tient Tunité dans Taddltion des autres.

f. a ih lig. 16.

lig. 1».

( 22 ) qoiètne el un dirhem. II viendra soixante douze parties et un dirfaem. Vonsrelnieberez de cela son tiers el son quart, à savoir quarante deux parties el un liend un quart d*un dirhem. Il reste trente parties et un quart et un sixièoie. d*un dirhes. Gela est égal a-deux dirhems.

Donc vous poserez les trente parties comme la partie réservée. Ensuite vous reu» . eberez le quart el le sixième des deux dirhems , parce que cela était ajouté an parties. Il reste un dirhem et un tiers et un quart. Vous multiplierez cela par k dénominateur qui est soixante. Ce sera quatre-vingt quinze. Divisez cela par la partir, à savoir par trente. Il résulte trois dirhems et un sixième d'un dirhem (*), ceqii est la quantité (cherchée).

Ici nous nous arrêtons , et ce (qui précède) peut suffire à celui qui le médilt Dieu, qu'il soit loué et exalté, connaît mieux la vérité. Lui est le lied où tout revient el où tout retourne. Louange à Dieu, maître de TUnivers. Il nous suffit, c'est le meilleur des prolecteurs. Fin.

(') On trouve ici sur la marge du ms. une glose dont foîci la traduction: Quant aux mots du (text^ « trois dirhems et un sixième etc. » la preuve de cela (êoiinaaeoee)fff vous convertissez cela en des sixièmes. Ce seront dix-neuf sixièmes. Ajoutez-j son cinquième, à siiv trois et quatre cinquièmes. Ensuite ajoutez à cela le dirhem^ c*est à dire six. Il résultera TÎDgt hait ft quatre cinquièmes. Convertisses le tout en des cinquièmes. 11 résulte cetit quarante quatre. Re liau chaHi le quart, ce qui est trente six, et le tiers, ce qui est quarante liuU. La somme de oda est qoatro-vîBgl quatre. Ajoutez-y deux diriiems, c*est à dire soixante {a). Il résulte comme somme cent quarante qnlit Donc (vous avez à retrancher une quantité) d*(une quantité) égale , (et) il ne reste rien. Fin de TiAsffvation du (savant ci-dessu«) mentionné. Puisse Dieu pardonner à nous et à lui. Amea !.

{m* «loi domt le d^somiottrar ni , la

irr a 4irli«M, «'in « dirr dttw «litis.

( ai )

im d*nn dirhem » et vous ks réserverez- Ensuile vous re trancherez les deux licrs d'un dirhem du dirhem. Il resie un liers d'un dirhem. Vous multiplierez: cela p^r le dénominateur, lequel est neuf- Ce sera trois, Vous diviserez cela par la partie, à savoir par huit. Il résultera trois huitièmes d'un dirhem, ce qui est la quantité (cherchée), {*) Et si Ton dit : on ajoute à une quantité son cinquième et un dirhem , on r^ tranche ensuite de !a somme son tiers et son quart (**), et il reste deux dirhems, combien est la quantité ? (***) Alors la réponse est que la quantité est trois dirhems et un sixième. La méthode pour cela consiste à prendre un dénominateur qui ait un tiers et un quart et un cinquième. Tel est soixante. Vous y ajouterez son cin-

O On trouve ici sur la marge au ms, «ne glose dont voici la traducUon:

Quant aui mots du (texte): « trois liuitjèmes d'un dirhem etc. ^ » la preufe de cela (consiste en ce) que vous ajoutez au trois son Uers ^ ce quï fait quatre tiutttèmes. A ceci vous ajoutez ensuite huit, eo remplacement du drrliem: ce sera douze huitièmes. Après cela votis eu retranchez sou tiers » ce qui est quatre huitièmes. Il reste huit (huitièmes) ,t ee qui est réquivalent du dirhem , de sorte qull u*€St rien resté (de trop). £t, si vous voulez , posez le dirhem égal à vingt quatre , en multipliant trais par huit. Trois huitièmes de cela sont neuf. Ajoutez-y son tiers, ce qui ^t trois. Il résulte douze huitièmes. Ensuite ajoutez à ceci le dirhem, sous la forme de vingt quatre. La somme sera trente si%« Retranehez-en son tierSj c'est a dire douze. 11 reste vingt quatre^, ce qui est réquivalent du dirhem. £t si on retranche iiela, il lie reste rien. Fin de rohservatioii du (savant ci-dessus) men lionne (a).

(**} Le texte ms. ajoute ici encore « et deux dirhems; on retranche ensuite de la somme son tiers et ^n quart; » mars la suite prouve que c'est une méprise du copiste.

(*") L'équation proposée est:

ic + f + i x^-f-^l

La méthode de Tauteur consiste à poser âï = 60 g, ce quî lui donne

ou ny + l—(A2y-^~-h^=2, l 11 /l 1\ 1 1

mais y = x, donc -^ = 1 + ~ + -,

ou 30x = A-j-|-h|y60=95,

ou X

(d) ^ Ij £d d'une des glûSfi pr^ci^difqtei te troatc mcfiitioiiDtJ lu nam d« Hoçiin Almaliillt ; je cfoii q\it ceHneiïn AÎm*- ImUI Cit idc{iiti4|tie mu Hotitd Mta Mohunoted AtnuhjiUi Tt ^^hiriHt^ <|ui <vt l'iutiritr da iceûiid dct Iroit Lriiit^v eootenui dwa« It BitttuKnt d*âà «1 tirrf k morceio i« Induit. Toir «t-dtuiiii |m[^« II» Vi^* 7 et 8.

( 22 ) <|oième el un dirbeiki. U viendra soixante douze parties et un dirhem. Vous reIraneberez de cela son tiers et son quarts à savoir quarante deux parties et un tiers et un quan d*un dirhem. Il reste trente parties et un quart et un sixième d*un dirhem. Cela est égal à deux dirhems.

Donc vous poserez les trente parties comme la partie réservée. Ensuite vous retrancherez le quart et le sixième des deux dirhems , parce que cela était ajouté aux parties. U reste un dirhem et un tiers et un quart. Vous multiplierez cela par le dénominateur qui est soixante. Ce sera quatre-vingt quinze. Divisez cela par la partie, à savoir par trente. Il résulte trois dirhems et un sixième d'un dirhem (*), ce qui est la quantité (cherchée).

Ici nous nous arrêtons, et ce (qui précède) peut suffire à celui qui le médite. Dieu, qu'il soit loué et exalté, connaît mieux la vérité. Lui est le lieu où tout revient et où tout retourne. Louange à Dieu, maître de TUnivers. U nous suffit, c'est le meilleur des protecteurs. Fin.

(') On troaTS ici sur la mar^e du ms. une glose dont foici la traduction:

Quant aux mots du (text^ « trois dirhems et un sixième etc. » la preuve de cela (consiste en ce) que vous convertissez cela en des sixièmes. Ce seront dix-neuf sixièmes. Ajoutez-y son cinquiètfie , à savoir trois et quatre cinquièmes. EnMte adulez à cela le dirhem.. c*est à dire six. Il résultera vingt huit er quatre cinquièmes. Convertisses^ le tout en des cinquièmes. Il résulte cent quarante quatre. Retranchez-en le quart, ce qui est trente six, et le tiers, ce qui est quarante hu't. La somme de cela est quatre-vingt quatre. Ajoutez-y deux dhrhems, c*est à dire soixante (a). Il résulte comme somme cent quarante quatre. Donc (vous avez à retraneher une quantité) d^(une quantité) égale, (et) il ne reste rien. Fin de Vohservation du (savant ci-dessus) mentionné. Puisse Dieu pardonner à nous et à lui. Amen !.

(fl) Lt ytiemiir» tamtenioû doaat le d^MniMteurtit , It Mcottd« l« ééiÊomimkÊVi^ Mn^» àoXm «ItMiblt 1« ditotMaioÉlM» trtBl« ; r*' cons^ent deui dirhems, é'wfH « dire dtus «liidt, f'aioiHerit «•iii la IWbm 4m «•iunic t wU t a rt».

Manuscrit coté ^% du Supplément arabe de la Bibliothèque

impériale de Paris.

i Voyti U d«s<rifitioii d« ce miDa»crii i:i*d«»Dt , ptg* 14 , lig^ 3 ^ It* ^- l.«i puiigM ttmânûtê ci*ap#è« tpp!ir|t«Biiinl an iruli d'intlim^ltt^ae priiique A'kîkiUf^iét, înliltiMt f L« mtilcvemiïQt du TiE^mi^nt da h «rkiKc da ?atcuL Voj^c» ci* dtiius^ fuÇ. |i, lig, 9« if. — L«« oamirQt di» r«uîUcL9 nii[^U4é» eu rR«r|e d«i pi^ fS ^ ï€ de h pn^ientc Indwtioii fv nfjH^teotï U Mttia^rmLuia tmU iU crijoo ior ïci feuillet» du mjbuMrjt )

Au nom lie Dieu clément et miséricordieux ! Qu€ la bénédicUon el te satul de Dieu îaup, soient sur notre seigneur Mohammed et ses compagnons.

Le ehaïkh, le philosophe exacte rexcellent Je doetej'anthméticien, le savaut connaisseur des opérations du partage des successionSi celui qui réunît les qualités les plus diverses, le pénétrantj le précis ^ féminenlj le célèbre , Aboùl-haijan AU Ben Mohammed Ben Mohamoied Ben Ali (appelé) d'après son pays Alkalaçâdî , puisse Dieu lui élre favorable et nous Taire profiter de ses mérites, amen, dit:

Louange a Dieu qui est rapide dans son calcul , qui dirige les eoeurs, qui est la cause des causes, le créateur des hommes , qui les a fait entrer dans le champ de l'existence en conséquence de sa volonté, et qui les a conduits par son prophèle sur le chemin le plus parfait, dont la bonté et la générosité entourent tout ee qui eiiste, dont Tarrét prédéterminé et la justice s'exercent à Tégard de toutes ses créatures, qu'il a formées dans des états successifs, et soumises à la nécessité de la deî^truction et de la mort, et du retour pour lexamen des secrets el des eirconsUnces,

Grâces à Dieu pour les bienfaits nombreux dont U nous a gratifiés, et partieu- Itérenient pour ce quHl nous a placés dans la plus noble espèce des banimes , distinguée par l'excellence de la langue et de Téloquence.

Que la bénédiction et le salut (de Dieu) soient sur le seigneur des deux mondes , r( apôtre) envoyé aux hommes et aux génies , le possesseur de la bannière et du nectar, celui en qui nous plaçons notre espoir au jour de la résurrection, (Que ce soit une) bénédiction qui se continue éternellement , tant que luira et brillera l'aurore.

( 24 ) Pour en venir au fail. Après que j'eus composé (Fouvrage intitulé:) c Le moyen do fortifier la vue dans la science du calcul, » et qu*îl ne m'était pas venu â Tespril, pondant que j*en étais occupé j que rien dans cet ouvrage pût offrir de la difficulté au lecteur, (je m*aperçus) qu'il contenait des règles et des fondements des opérations exigés par fart de la composition, et auxquels je fus amené par la nécessité de ta rédaction , mais qui arrêtèrent, dans Tétude dudit ouvrage , les comf.îUr. riiencants pour lesquels il avait été composé. Cependant je ne pouvais plus changer Touvragc, parce qu'il s'était déjà répandu parmi les hommes, etc.

.... Troisième section. De l'addition suivant le rapport.

Quant & l'addilion suivant le rapport naturel des nombres, l'opération pour cela consiste & ajoulcr une unité au (nombre) jusqu'auquel (la suite) s'étend, et a multiplier la somme par la moitié du (nombre) jusqu'auquel (la suite) s'étend.

Par exemple, si l'on vous dit: additionnez depuis un jusqu'à dix; alors ajoutei f.iflOt^. au dix un, ce sera onze. | Multipliez cela par le cinq qui est la moitié du (nombre) jus<|U*auqucl (la suite) s*étend. Il résulte cinquante cinq , ce qui est le (nombre) clierché.

L'élévation au carré de cette espèce (se fait) par la multiplication de deax lien du (nombre) jusqu'auquel (la suite) s'étend, plus un tiers de l'unité, par le résolu do l'addition (des nombres simples).

Pur oxomplo , si l'on vous dit : additionnez depuis le carré de l'unité jusqu'au carré do dix, alors prenez deux tiers du dix plus un tiers de l'unité. Il en résidie comme somme sept. Multipliez cela par le cinquante cinq. D résulte trois cent quatre-vingt cinq, ce qui est le (nombre) cherché. r.MiOr. I/élévntion au cube de cette espèce (se fait) de nouveau par l'élévation an eané

^' ' de la somme, cVst à dire du cinquante cinq dans notre exemple. Ce qui résolle (si Ton additionne) depuis le cube de l'unité jusqu*au cube de dix, sera donc trois milie rmof». vingt cinq.

'^''^ Quant à l'addition suivant Tordre des nombres pairs, l'opération pour cela eoo-

•isto à ajouter deux au (nombre) jusqu*auquel (la suite) s'étend , et à multiplier la moitié do cola par la moitié du (nombre) jusqu'auquel (la suite) s'étend.

Par oxomplo , si l'on vous dit : additionnez depuis deux jusqu'à douze saivam Toniro dos nombres |uiirs, alors ajoutez au (nombre) jusc|u'auquer (la suite) s'élend doux. O sera quatorze, ce dont la moitié est Si'pL Mullipliez cela par la moitié du (nombre) jusqu^auquel (la suite) s étend. Vous aurez p«nir résultat quarante deux, ce q\ii OHt lo (nombre) cherché.

I.VIèvalion au earri' de tnnteespeln^ ;se faii.» jMr la multiplication de deux tiers

du (nombre) jusqu'aaqtw;! (la suite) s'éiend, plus deux liers de ruriilé , par le résultat de ratidilion (des nombres pairs simples).

Par exemple, si l'on vous dit; additionnez depuis le carré do deux jusqu'au carré de douze; alors prenez deux liers du (nombre) jusqu'auquel (la suite) s'étend et deux tiers de l'unité. Ce sera liuil et deux tiers. Multipliez eela par la somme, laquelle est quarante deux. Vous aurez pour résultat le (nomlire) cberehé qui esl trois cent soixante quatre,

L*élévatioii au cube de cette espèce (se fait) par la multiplication de la somme (des nombres pairs sim[iles) par son double.

Par exemple, si Ton vous dit: additionnez depuis le cube de deux jusqu'au cube de douze; alors mnlliplicz la somme, à savoir quarante deux, par son double, à savoir par quati'C-vîngt quatre. Vous aurez pour résultat trois mille cinq cent vingt huit*

Quant à Taddilion suivant Tordre des nombres impairs^ Topéiation pour eela consiste à ajouter au (nombre) jusqu'auquel (la suite) s'étend une unité, et à élever au carré la moitié de la somme.

Par exemple, si Ton vous dit: additionnez depuis Tunilé jusqu'à neuf, alors ajoutez au neuf une unité; ce sera dix- Élevez au carré la moitié de cela. Ce sera vingt cinq, et tel est le (nombre) cherché,

I L élévation au carré de cette espèce (se fait) par la multiplication d'un sixième du (nombre) jusqu'auquel (la suite) s'étend, par le rectangle compris sous les deux nombres qui le suivent immédiatement.

Par exemple , si Ton vous dit ; additionnez depuis le carré de Tunilé jusqu'au carré de neuf, alors multipliez un sixième du neuf, ce qui est un et demi^ par le résultât de la formation du rectangle compris sous le dix et le onze, ce qui est cent dix. Vous aurez pour résultat cent soixante cinq» ce qui est le (nombre) cherché.

L'élévation au cube de cette espèce (se fait) par la multiplication de la somme (des nombres impairs simples) par son double moins un.

Par exemple , si Ion vous dit : additionnez depuis le cube de l*unité jusqu'au cube de neuf, alors multipliez la somme, à savoir vingt cinq, par son double moins un , à savoir quarante neuf. Vous aurez pour résultat le (nombre) cherché , lequel est mille deux cent vingt cinq.

Avertissement. Si Ton vous dit: additionnez depuis le cube de Tunité jusqu^au cube d'un nombre ineonnnu (*)> et le résultat étant tant, combien est le (nombre) jusqu'auquel (la suite) s'étend ? Alors l'opération pour cela consiste à multiplier le résultat par le premier des cubes, à savoir huit ^ à ajouter au produit de la multiplication une unité, à prendre la racine de la somme, à ajouter ensuite à la ra-

(*) Il faut remarquer que rauteur £ous*€iiteud kU mah sans le dire, qui! ne prend duns cett€ addition que les cubes des nombres impain suivant rordre.

f. imv.

Ug. 18.

tïlùr.

tilOr.

lig. 5,

f. 17dr.

( 26 ) cine de noureau uae unité , à prendre la racine de la (somme) , çt à relrancber de ce qui est (la racine) Tunilé. Vous aurez pour resle le (nombre) inconnu jusqu* auquel (la suilé) s*élend (*).

Par exemple, si Ton vous dit: additionnez depqis le cube de l'unité jusqu'au cube d*un nombre inconnu, et le résultat sera quatre cent qualre-vingt seize. Alors multipliez ce résultat par huit, et ajoutez au produit une unité. La somme sera trois mille neuf cent soixante neuf. Prenez-en la racine. Ce sera soixante trois. Ajoutez*y une unité. Ce sera soixante quatre. Prenez-en la racine, à savoir huit. De ceci retranchez une unité. Vous aurez pour reste sept, ce qui est le (nombre) inconnu jus-

i.i70r. qu'auquel (la suite) s'étend.

^^* ' * Quant à l'addition à la manière des cases de l'échiquier, il faut nécessairement

que deux conditions aient lieu. L'une, c'est que le commencement soit fait par l'unité; et la seconde, que le (rapport) suivant lequel (les nombres) se dépassent mutuellement, soit le double. Il suit de là que les nombres (qui se trouvent dans les

tnov, cases , sont tous) pairement pairs. | L^ objet que l'on se propose est (de connaître) la quantité qui se trouvera dans la soixante quatrième case.

.... Vous aurez pour résultat deux cent quatre-vingt quatre , ce qui est k plus grand (des deux nombres amiables).

Ce nombre a en fait de parties: une moitié, un quart, un soixante-et-onaëme, la moitié de cela , et la moitié de la moitié de cela ; et la somme de ces ptrikt f.i7Sr. çsi I deux cent vingt, ce qui est le nombre excédant.

Celui-ci a en fait de parties: une moitié, un quart, un cinquième, un dixième, et la moitié du dixième; il a en outre, en fait de parties, un onzième, et la moitié et le quart (du onzième), et pareillement, le cinquième de la même partie, et la moitié de cela à savoir le dixième (du onzième) , et la moitié du dixième du (onzième). La somme de ces parties est deux cent quatre- vingt quatre, ce qui est le nombre déficient.

Ceci est la fin de ce quis nous nous sommes proposé dans cette composition. Louange à I)ieu , maître de l'univers. Que la bénédiction de Dieu et la plénitude de son salut soient sur notre seigneur Mohammed, sur sa famille et ses compagnons.

L'achèvement (**) de la copie de ce livre eut lieu dans la nuit du mercredi ,

(*) Ed efifet Fauteur avait trouvé précédemment

»'-33.53^ ,^=(-i)-j,(-iy.j.

et si Foo pose le second membre de cette équation égal a k, on obtient

X= v/y/ST+l -^1-1.

{**) Tandis que récriture de ce qui précède daus le manuscrit est fort régulière et lisible, elle de-

( 27 ) vingt irois nuits étant passées du mois de (cbawwâl) (*)j par la main de celui qui Ta écrit, Tesclave qui a besoin dç son Maître le riche 9 Tesciave de Celui qui soit loué, le kbâdjah (**) Cbebr, le médecin; puisse Dieu lui pardonner, ainsi qu*à ses père et mère (***).

Louange à Dieu, Maître de TunÎTers. Fin.

vient ici brusquement très-négligée et difficile à déchiffirer. La traduction des lignes suivantes, qui terminent cette page du manuscrit, est donc en grande partie conjecturale.

(*) Le texte ms. a ici seulement un làm , lettre finale du nom du mois de cbawwâl. Comme les Arabes remplacent quelquefois un mot par sa lettre finale, par manière d'abréviation, et comme le mois de cbawwâl est le seul dont le nom se termine par un Mm, je conjecture que c'est ce mois que le copiste a voulu indiquer. Ce qui me semble confirmer cette conjecture, c'est qu'on lit, à l'endroit indiqué dans la dernière note ci-après, la date de l'année 1143 (de l'bégire), et que le 24.* jour du mois de cbawwâl de l'année 1^3 de l'bégire, qui correspond au 2 mai 1781 de Père cbrétienne, est précisément un mercredi.

(**) Kbâdjab est un titre bonorifique donné par les Orientaux aux personnes ricbes et respectables.

(**^ Dans le prolongement de cette ligne, un peu vers la marge du manuscrit, on lit la date « année 1 143 ».

Manuscrit coté ^^i du Supplément arabe de la Bibliothèque impériale de Paris.

Voyes Ja description de ce œaniucrit ci deMOS, pag. 9|, I^. il k 15. — Les passages traduiu à -après apparticsamt ra second des deux eoœmenUires da Talkkts d'Ibn Albaani, contenus dans ce manoscrit. Tojes ci-dessaf» pag- 9, lig. Il «t i3. — Les nom^ros des fenilleU inar<|atfs en ouifB das pages 28 a )S de la présente tradacboB m r ap po rt— I à b seconde des deux nom^rations' du nunnscrit.)

fir. /xu nom de Dieu clément et miséricordieux. Que la bénédiction de Diea sAm notre seigneur Mohammed !

Ceci est (l'ouvrage intitulé) c Le rapprochement de celui qui est éloigné t sv Ibn Âlbannà (*) ».

Louons Dieu d'une louange qui puisse être une expression complète el snffismle de la reconnaissance due pour l'abondance de ses bienfaits. Que la bénédiction et le salut de Dieu les plus parfaits soient sur notre seigneur Mohammed, le dernier et le plus accompli des prophètes et le prince des apôtres.

Pour en venir au fait. Je me suis rendu au désir des grands» des ingénieux, des nobles, des illustres, des perspicaces, des intelligents, relativement à la rédactioo d'un abrégé de mon ouvrage qui a pour objet le Talkhis d'Ibn Albannâ. Et je me suis appliqué à suivre la trace de Tauteur dans cet objet, en lâchant d'atteindre son but , et en réalisant son intention et la signiGcation du jugement qu*il a émis en disant: (**)

{*) Les mots « Ceci est » jusqu'à « Ibn AUmnnâ » sont d'uoe écriture différeote de celle du reste 4e la page , et n'ont été ajoutés évidemment que plus tard. Le mot « sur » est probablement mis' per e^ reur, au lieu de « de », ainsi qu'on le voit par le titre tel que le donne l'auteur du oommentaiie lûméme, ci-après, pag. 29, lig. 10 et li.

{**) Je rappelle que ces vers sont à peu près les mêmes que ceux qui se trouvent cités au oommenee- , ment du commentaire d'Âlkalaçâd!, sans cependant être tout à fait identiques à ceux-ci. Voir ci-deisos, pag. 6.

Je me suis appliqué à élre bref dans nioii exposé, Parce que je sais trouver la juste mesure dans la concision. Je ne crains pas qu on m'entende mal en prelant à ce que je dis des sens différents de celui que j'ai voulu exprime r>

Mais je crains le blâme des grands hommes.

Or, la manière d'agir des savants distingués est la mienne,

Et le devoir de la science (*) est d'instruire les petits. (**)

Mais quelquefois j'ai laissé échapper le frein à cause de l'avantage d'un développe* ment additionnel, et afin de rendre plus complète Futilité (de mon ouvrage)»

Je Tai appelé w Le rapprochement de celui qui est éloigné des problèmes dlbn Albannâ, j>

Jinvoque le Seigneur en le priant d'en laisser profiter et moi> et vous, et tous ceux qui s'en occuperont , comme il nous a permis de profiter de (rouvrage qui sert de) base (à mon travail) Il est le bienfaiteur, le généreux. Que sa bénédiction el son salut soient sur notre seigneur Mohammed, sa famille et ses compagnons.

L'auteur dit : Le but (***) de cet ouvrage est de donnef^ un exposé fait avec choiw des opérations du caîcul , de rendre prompte et facile l'intelligence de ses règles et de ses théories, et de présenter dans un ordre sévère les bases et le système de cet art.

Commentaire, « Le but n est Tobjet qu'on se propose. Le (mot qui signifie)

<f exposé fait avec choix a est un infinitif dont le sens est : Taetion d'extraire la

moelle d'une chose, a Les opérations du calcul », ce sont ses diverses applications,

telles que Taddition, la multiplication, la division, rabaissement (^^^^), et les autres.

tf L*action de présenter dans un ordre sévère les bases >», c'est [ etc, fin de

L'auteur dit : | Et r élévation au carré (*****) {$e fait) par la multiplication f. B r. de deux tiers du {nombre) jusqu' auquel {la suite) s'étend , augmentés d'un tiers de Vuniiéf par la somme («*****).

« L'éîévatioii au carré a signifie la multiplication d'un nombre par luî-mcme. Cependant Tauteur s'est éloigné de celte signification primitive dans la présente rcglCi soit pour abréger, soit pour plus de facilité à Tégard de celui qui exécute Topera-

(*) Une variante placée sm la marée fie ruanuscHt porte * de la chamelle ►-.

(♦*) Ces vers paraissent être reproduits ici d'une lïianiére plus correcte que dans le commentaire d' A 1kalaçâdL Le mètre dans lequel ces vers sont composés, s'appelle IVâfir.

(***) Les passages imprimés en italique sont la traduction des passa j^es de Touvrapre commenté»

(♦***) Ccsi Fopéralion décrite dans le septième chapitre de la deuxième partie de TArithmétique d'Alkalaçâdî. Voir MU deH* Âccademia Pontiftda de'Numi Uncei, Anno XII (18$9)> Pag. 374.

l***^*) C'est à dire: U sommation des carrés des nombres naturels suivant Tordre.

(*♦♦♦**) Ce«l à dire: la somme des nombres oaiureh simples.

( 30 ) lion. En disant « la somme a , fauteur se sert de l'article pour rappeler ce dont il a été fait mention précédemment; comme cela a lieu aussi dans cette parole du Koran: a Et Pharaon n*obéit point à Fenvoyé. » Exemple de cette (règle). Si Ton vous dit: additionnez depuis le carré de Tunité jusqu'au carré de dix, alors l'opération dans ce cas consiste à multiplier deux tiers du dix plus un tiers de Tunité, ce qui est sept, par la somme (des nombres) depuis un jusqu'à dix, qui est cinquante cinq. Vous, aurez pour résultat trois cent quatre-vingt cinq , ce qui est la quantité cherchée.

f- s r- L'auteur dit: Et l'élévation au ,cube {se fait) par l'élévation au carré de la somme, « L'élévation au cube a signifie la multiplication d'un nombre par lai-méme et du produit par sa racine; comme le huit et le vingt sept relativement au deux et au trois. L*arlicle dans le mol « la somme x>, est de nouveau employé pour rappeler (ce qui précède). Donc si l'on vous dit: additionnez depuis le cube de Tanité jusqu'au cube de dix, alors élevez au carré la somme, à savoir cinquante cinq. Vous

f. s r. aurez pour résultat trois mille vingt cinq, ce qui est la quantité cherchée.

'^' L'auteur dit: Quant à l'addition des nombres impairs suivant l'ordre, elle coiih'

siste à élever au carré la moitié du (nombre) jusqu'auquel {la suite) s'étend joint à l'unité. Ceci est la quatrième espèce de l'addition, et l'opération est cltîn d'après ce que Fauteur a dit. Par exemple, si l'on vous dit: additionnez depuis IV nité jusqu'à neuf, alors ajoutez un au neuf; ce sera dix. Élevez la moitié de eda, à savoir cinq, au carré. Vous aurez pour résultat vingt cinq , ce qui est la quantité cherchée.

L'auteur dit : Et l'élévation au carré {se fait) par la multiplication d'un lîxième du {nombre) jusqu'auquel {la suite) s' étende par le rectangle compris wut les deux nombres qui l'avoisinent par après. «( La formation du rectangle » signifie la multiplication d'un nombre par un autre. L'auteur a dit <c par après » par précaution, pour empêcher qu'on ne s'imagine (que les deux nombres sont ceux) qui précèdent le (nombre) jusqu'auquel (la suite) s'étend. Exemple de cette (règle). Si f. s c. Ton vous dit: additionnez les impairs depuis le carré | de l'unilé jusqu'au carré de neuf, alors multipliez un sixième du neuf, ce qui est un et demi, par le rectangle compris sous les deux nombres qui suivent le neuf, à savoir par cent dix. Vous aurez pour résultat cent soixante cinq, ce qui est la quantité cherchée.

L^auteur dit: Et l'élévation au cube (se fait) par la multiplication de la somme par son double moins un. L'explication de cela (est cohtenuç) dans notre exemple. Si Ton vous dit: additionnez depuis le cube de l'unité jusqu'au cube de neuf, alors vous savez que la somme (des impairs simples) est vingt cinq, et son double moins un, quarante neuf. Multipliez cela par le vingt cinq, yous aurez pour résultat mille

^j.'^^' deux cent vingt cinq, ce qui est la quantité cherchée.

L'ail leur dît: Quant à V addition des nombres pairs suivant l'ordre , elle consiste à ajouter au {nombre) jusqu'auquel ((a suite) s^éiend^ constamment deux^ ei à multiplier la moitié de la somme par la moitié du {tiomhre} jusqu'auquel {la suite) s^étend. Ceci est la cinquirme espèce de l'addition, et la inaiiiére de faire IV péralion est évidcnle , d'après ce que l'ouleur a dit. Exemple de celle (règle). Si Ton vous dîl: additionnez depuis deux jusqu'à douze» alors ajoutez au douze deux; se sera quatorze. Multipliez la uuïilié de cela par la moitié du douze. Vous aurei pour résultat quarante deu\, ce qui est la quantité che reliée.

L'auteur dit : Et t' élévation au carré {se fait) par la multiplication de deux tiers du (nombre) jusqu'auquel {la suite) s'étend^ plus deux tieis de l'uniiéj par la somme {des nombres pairs simples). Cen'i est une manière d*exécuter réiévatioti au carré. Donc , si ran vous dit : additionnez depuis le carré de deux jusqu'au carré de douze, alors multipliez deux tiers du douze plus deux tiers de runilé» ce qui est huit et deux tiers, par la somme , laquelle est quarante deux Vous aurez pour résultat trois cent soixante quatre^ ec qui est la quantité cherchée. La manière de faire la seconde multiplication (*) sera donnée, si Dieu le Très-Haut le permet» dans le (chapitre des) fractions* Cependant j'ai pour cela une méthode abrégée qui consiste à multiplier le huit par le quarante deux. Vous aurez pour résultat trois cent trente six. Réservez cela. Ensuite multipliez [ le deux qui se trouve au-dessus du trois (**) par le quarante deux. Vous aurez pour résultat quatre-vingt quatre, Divisez cela par le dénominateur , a savoir par le trois. Vous aurez pour résultat vingt huit, Ajoutez cela au (nombre) réservé. Vous aurez en somme de tout cela trois cent soixante quatre, ce qui est la quantité cherchée*

L'auteur dît: ou mukipUez un sixième du {nombre) jusqu'auquel (la suite) s'étend, par le rectangle compris sous les deux nombres qui l'avoisinent par après. Ceci est une seconde manière de Télévatinn au carré des nombres pairs. Un sixième du (nombre) jusqu'auquel (la suite) s*étend, est dans notre exemple deux , (et doit être) multiplié par cent quatre-vingt deux , ce qui est le résultat de la multiplication du treize par le quatorze, La quantité cherchée résultera conforme à ce qui précède.

L*auteur dit: Et télévation au cube {se fait) par la multiplicaiion de la somme par son double. Ceci est plus clair ([ue (la règle) qui précède. Donc, si vous multipliez le quarante deux par son double, à savoir par quatre-vingt quatre, vous aurez pour résultat trois mille cinq cent vingt huit, ce qui est lu quantité cherchée-

fa r

tîg. !3.

(*) A savoir ta multipllcatjoD de la somme (quaraote deux) pr lei 4eui îitr». {**) Dans la fraetion » deux tien. »

WÊÙÊ

TROrSIÉHECHAPlTRE

De la Soustraction.

La soustraction (*) est la recherche de ce qui reste après qu'on a retranché l'un de deux nombres de Vautré. Ceci est la souslraciion par écrit. Et la déGnition plus exacte consiste à dire : La soustraction est la recherche de la différence entre deux nombres dont Tun est plus petit et Tautre plus grand.

L'auteur dit: Elle {se fait) de deux manières: Ceci est de nouveau une division et un classement de (ce qui est compris dans) la soustraction.

L'auteur dit: Dans la première manière il faut poser (etc.) Cette espèce est le

genre de soustraction le plus facile ; c*est le cas où, dans chaque rang du nombre

que Ton retranche, il se trouve un (chiffre) plus petit que le (chiffre correspondant)

dans chaque rang du (nombre) dont on retranche; et Topération est évidente d'après

ce que l'auteur a dit. En voici uti exemple. Si Ton vous dit: retranchez cinq cent

trente deux de neuf cent soixante quatorze, alors posez cela sur deux lignes de la

même manière comme dans Taddition. C'est à dire que les unités du (nombre) re>

tranché soient sous les unités du (nombre) dont on retranche , et pareillement les

fin de dizaines, les centaines, et ce | qui vient après celles-ci, etc. f. 9. r. ^ -

f. 58 f. L'opération, d'après | ce que Tauteur a dit, est évidente. Par exemple» si Ton

vous dit: divisez vingt quatre carrés moins huit choses par quatre choses, alors posez cela ainsi: (**)

24 moins 8 •4'

Ensuite divisez la quantité à laquelle le « moins » s'applique par le diviseur. Il résultera six choses. Réservez cela. Après cela divisez la quantité qui est régie par le «moins ». Il en résultera deux en nombre. Reliez cela par la particule «moins», aux choses. Le résultat de la division sera: six choses moins deux en nombre, ainsi:

6 moins 2

(*) Oo trouve ici sur la marge du ms. une glose dont voici la traduction:

Glose. Le plus couveuable est de dire que la soustraction est Faction de retrancher un nombre plus petit d*un nombre plus grand, et son utilité consiste à faire connaître le reste. AIghazzt et d* autres ont soulevé des objections contre l'auteur au sujet de sa définition.

(**) Voir, pour la manière dont la notation de Tauteur arabe est reproduite, la note au bas de la page 420 du Vol. XII (année iS59) des Atti dell* A ccademia Pontificiade^Nuovi LincH. T ajoute que dans le ms. sur lequel a été faite la présente traduction , le signe de la '^ chose „ a été réduit aux trois points de la lettre cM/i, et que les nombres simples y sont aussi pourvus d*un signe superposé. Ce signe est le ddl^ lettre initiale du mot dirhem dont les mathématiciens arabes se servent souvent dans le sens d'unité. Je rends ici ce dàl par uu N (initiale du mot nombre).

( 33 ) Et si Ton vous dit: divisez quarante huit cubes moins dix-huit carrés, par trois choses» alors posez cela ainsi: (*)

48 moins 18 Ensuite divisez la quantité à laquelle le « moins » s'applique. Vous aurez pour résultat seize carrés. Réservez cela. Après cela divisez la quantité qui est régie par le ff moins ». Il en résultera six choses. Reliez cela par la particule « moins » aux carrés. Le résultat sera seize carrés moins six choses, ainsi:

16 moins 6

Conformez- vous (pour d'autres cas semblables) au sens de cette (régie).

L'auteur dit: Une espèce inférieure ne peut pas se diviser par une espèce supérieure^ c'est à dire à cause de l'impossibilité d'assigner (un résultat). Comme, par exemple, si l'on vous dit: quatre en nombre (divisé) par deux choses, ou neuf cubes (**) (divisés) par trois carrés.

L'auteur dit: Et Von ne divise pas non plus par une expression qui renferme un « mmns ». C'est à dire : et pareillement on ne divise pas par une expression qui renferme uq « moins » à cause de l'impossibilité qui a lieu en ce (cas).

Ceci est la fin de ce que nous nous sommes proposé dans cet objet. Et nous prions notre Seigneur qu'il rende cela profitable, conune il a rendu profitable (l'ouvrage qui a servi de) base au (présent travail). Il est bienfaisant et généreux. Que la bénédiction de Dieu soit sur notre seigneur Mohammed , sa famille et ses compagnons; que le salut de Dieu soit répandu sur eux avec profusion. Louange à Dieu, maître de l'univers.

Ceci fut écrit par le pauvre qui a besoin de son Seigneur le riche, Abdallah Soûlât Almozâti, pour spn propre usage,. et pour l'usage de qui il plaira à Dieu, après lui. Cette copie fut faite sur un exemplaire difficile à lire.

(*) Je peDse que c'est par un oubli du copiste que le ms. omet de poser aussi les « trois choses >, en notation, au dessous des « quarante huit cubes moins dix huit carrés » figurés en notations, f*) Le mot « cubes » parait être une erreur du copiste, au lieu de « choses >.

Manuscrit coté 932 du Supplément arabe de la Bibliothèque impériale de Paris.

Y^hBK m i* dr 11S> Iranifts tm papin* àuaX les quatre pnmitn et les trois iniiUct! de nràe mb ■OBérotéf . taadif ^«e lo l&f aotics fieailletf «oh le BOMbe» 1 k li'$ , crrits â l'flKir aa motcb des dûflircs i^Aimm^ ^f^ Cl . m castre Mnf le premier traHlet avec les Mènes nombres écnts à 1' ocs duCrc evTOpëmf ^Kncsno.

Je pense qnr I .o p«vt attnboer a ces {puUets Bi^rniH'i, à en jaçrr é'wfn% U teïMte ^ P*P^ es df '.'fsxTt. im kçe de cinq a su cents an*, en eieeplant les fieniliets miMi'ii<ri !>. Wâ S<$ a llf. qsi ■:«: érideammeot été a7?«tês plu tard pour rcBplaoer d'an dz». La rripie parait aïoâr été £aite en £f?pte d' on le Banoscnt a été par M. IV&a^:«te. i:rs de l'ex p éd i tion d'Ecrptr.

Les Ifrf fcmîUrts aiui'i [»tês co ntienne n t le tevie é'^ txwinê d'alfclire, f f if pnri

kaBBod Bm Ai^an JLiqaribl , et dédié an Tiôr F^br Abnonlq qm imii le 1 tnmîee Klf de K^re cre.

Cne ^Mhrse tsey-êtendne de cr tnitê d'alçâne a été donnée dans l'onvnee AàM-*. par F. Woepcie. Pscts. If U.

Lef nnaër» d«- frafi^ft^ manfaës en marre des paçes SI et sniranles 6t la se nppoetent a la nnmératacm fente a Ttma^.'

t 1 r. Aja nom de Diea dêmeDt et miséricordieax !

Aboù Beqr Mohammed Ben Alhaçan AlqarUii, le calmlatear. que Dieiktil' HiQl soit, misêrirordieox envers loi, dit:

J'ai trouvé que le eakol a pour objet la détermination des ineomii des connues dans toutes ses espèces, et j*ai ohsenré que la plus claire et le plus évident des moyens pour cet effet est Fart de Falgèbre , â puissance et de runiversalité avec laquelle il s*étend sur tons les cuK suivant leur diversité.

J'ai vu que les ouvraicrs composés sur ret «1 ne rontenaient p« {i ce dont on a Liesoin en fait de la coonaissance de ses éléments; qulls fisants par rapport aux théories sur lesquelles on s'appuie dans Téiode de ses hnriies spéciales; et que leurs auteurs avaient né^i«é d'expliquer les théonrines de ut art qui sont le chemin du plus haut de^ré ;de savoir algébrique) et le par^-enir à la perfection.

Ensuite j^ai fait dans cet art de belles défourertes, dont je n*ai m d eux une mention, et j*ai cclairvi des dif&^ultés dont je n'ai trouvé dans vra^ ni Icxposé, ni lexplication.

Or, après avinr acquis cet avanta^^f, et après avoir éprouvé le besois de SÊfpléer a ce défaut, je ne pus pas m'empécfaer de composer un omTsge roBleoantet n^nfcnnant ces ii^erfectionncmenU). et dans lequel je donnisâf une expIîcaAign 6îte

avee choix des élémenls de (ralgèbre) , exempte de rimpurelé de la redonddûce et de la souillure de la verbosilé.

Maî^ je fus éloigné de l'exécution de) ce (projet) par les obstacles qu'y opposaient la corruption du temps, les calamités de périodes remplies de désastres et l'élaf général de crainle, de violence cl d'oppression où se Irouvaienl les hommes, jusi|U*à ce que Dieu, qu'il soil béni et exalté, les secourût par notre maître, le vizir, le seigneur illustre, le parfait dans le gouvernement, le vizir des vizirs, revêtu des deux autorités, Aboù Ghàlih, (*) l'affranchi du commandeur des croyants, dont Dieu pmloDge Texistenee ! Dieu rendit les hommes heureux par rexcelleiice de son administration, et leur accorda, pendant la durée bienheureuse de ses jours, au plus haut degré tout ce qu'ils désiraient en fait de justice, de sécurité, d'abondance «^t de bien. Il arracha le monde, par son gou\ernement, au vice et aux hommes vicieux, et le rendit resplendissant par la sérénité de son regard, et par la manière dont il fit revivre les traces effacées de la science* Dieu fit de lui un modèle de toutes les vertus, de sorte qu'on est guidé par sa direction et qu*on demande à être éclairé | par L 2 r. sa lumière.

, . . Nous faisons cela en vertu de ce que j'ai expliqué. Car , si vous multipliez

un nombre quelconque par le nombre suivant, et si vous multipliez ensuite l'un de

deux autres nombres se trouvant de pari et d'autre des deux (premiers) par celui

^ui lui correspond, le premier résultat dépasse le second de la quanUlé du produit

de la différence entre l'un des deux extrêmes et l'un des deux moyens I parladif- L22p.

férence entre le même extrême et Tauire moyen. (**) Comprenez cela.

Si Ton vous dit: prenez depuis Tunilé jusqu'à dix, à la condition de multiptier chaque nombre par le suivant, un par deux, deux par trois , trois par quatre « et ainsi de suite; alors prenez (la somme des nombres naturels) depuis un jusqu'à dix, ce qui est cinquante cinq. Prenez deux tiers du dix moins deux tiers d'un dirhem, «t multipliez cela par cinquante cinq. Ce sera trois cent trente, (***)

Si Ton dit: combien (obtenez vous en allant) depuis runité jusqu'à dix, a la con- L2£r. dition d'élever chacun des nombres au cube et d'additionner les résultats; alors pre- '^' * nez (la somme des nombres naturels) depuis un jusqu'à dix , ce qui est cinquante

(*) On lit dans les Ffes de^ htmtmts illusifref drjbn Khallican: Aboô GbÛIJb Mohammed Ben Kba* lûf, surnommé Folihr Almoulq, vj^i^ de Behâ Aldaoulah fils d'Adhad AJdaoufah Jbn Bouwaih . . . . Cest pour iuL que ALo^ Beqr Mohammed fien Alhaçan, le caiciilpteor, Alqnrkbî, com|iosa le livre (ÎDtiliîJé) Alfakhrt sur Takèbre , et le livre fintîrul^) Le (îrarté} sufïlsaîU sur le ealeuK fComparez la trâdutition anglaise de M. de Slane, T. tlT., p> 2H3; et Abulfedae Anttaffs muslemki, ed, Beislie et Adler, T. 111, p et 7}

r\ Cest a dire j (a4-l)H-îi J . (a—n) = (a'hi)a—n(n'-hl)^

( 36 ) cinq. Multipliez cela par lui-mcme. Ce sera trois mille YÎngl daty et ponse. (•)

Démonstration numérique de ce (théorème). Il a été dit déjà si vous divisez un nombre quelconque en deux parties , si Ton chacune des deux parties par elle-même, et si Ton multiplie Ti par Tauire (prise) deux fois, cela (fait ensemble) le carré de ce

Done« si \ous divisez cinquante cinq en deux parties, dix et produit du dix par lui-même, et le produit du dix par le quarante fois, ce dont la somme est mille, ensemble avec quarante cinq (oui même, est égal au produit de cinquante cinq par cinquante cinq. Si 4Mr m/mmjetons le mille, qui est le cube du dix, et qui provient de la mollîyiKMiaK et 6 par dix et de dix par quarante cinq (pris) deux fois, de Irois mille ri^ àa.i rpste quarante cinq (multiplié) par lui-même égal à deux mille viny:! daf. *^

Si maintenant vous divisez le (quarante cinq) en deux parties , mt^ tL six, alors neuf fois neuf et neuf (****) fois trente six (pris) deux fois ca« vingt neuf, ce qui est le cube du neuf. Donc, si vous rejetez cela et imt vingt cinq , il reste mille deux cent quatre-vingt seize , ce qui esl î.*3r. de trente six par i trente six. (••••*)

Si vous divisez ensuite ce (dernier nombre) en deux parties, huit et viiiglUkkpidnit du huit par lui-même et par vingt huit (pris) deux fois est cinq caakfls« ce qui est le cube du huit. Et si vous rejetez cela du mille deux eeM famt^à^ seize ^******), il reste sept cent quatre-\ingt quatre, ce qui est (le resiAtfrItli multiplication de vingt huit par lui-même. (**•••••)

\En continuant) d*nne manière semblable à ce procédé on retnncbe ém WKÈÊt tixHS mille Tin^ cinq suceesÂÎvement; \o cube de chaque nombre jiisq«*i TmlÊi^û là oo s*arrête.

Cela montre que . û vo!i» prenez la somme des nombres oatoreki écyài Ff* nitê jusqu'au ii<>mbre que voq^ vogdrez , et si vous la multipliez eftsviie pv <l^ même, {le pncduii' est ê^ aux cubes des nombres qui sont précîsnKal ks a» bn?$ additionnés.

•. 1^— 25—3^- .— lO-= l— 2— 3— ...-+-10»*=55»=3025

**'" Le trctf mu}iki.:rr. yjnt " vtcm^ixn 4a ,. ao liea de notf , éndcMBOit par mam iw^

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• — 36== i — i< '=:S' — 2% iS— 2S*=502— ■2S*=S^— 2SV

Démonstration de ce ithéorème) au moyen de la figure. La surface ABCD est (le résultat) de la multiplication de vingt un par vingt un; et vingt un est (le résultat) de (la sommation des nombres naturels ^21 A depuis) l'unité jusqu'à six. Nous disons donc que toute la surface ABCD est égale & l'ensemble des cubes des nombres dont Taddition ^ produit vingt un, à savoir (des nombres) depuis un jusqu'à six.

Démonstration. Nous posons la ligne DK (égale à) [six, et la ligne KL égale à] (*) cinq, LM (égale à) quatre, MX (égale à) trois, XO (égale à) deux, et OC (égale à) un. De la même manière nous divisons la ligne BC, de sorte que BF égal à DK, FS égal à KL, SN égal à LM; et d'une manière analogue nous déterminons les autres parties.

Cela posé, nous disons que les surfaces DE , EÂ et EB sont (égales au) cube de six, parce que la surface EÂ est six fois six, tandis que la ligne KE est quinze, et la ligne EF pareillement, de sorte qu*il résulte des deux surfaces EB et ËD cent quatre-vingt. Donc, si vous y ajoutez la surface EA, qui est trente six, ce sera deux cent seize, ce qui est le cube de six.

Il en est ainsi seulement, parce que, si d^un nombre quelconque vous retranchez Tunité , que vous multipliez le résultat par le carré du | premier nombre, et que f. 23.t^. vous ajoutez à cela le carré (de ce nombre) , il résulte le cube (du même nombre) (**). Cela est évident. Et si vous prenez le nombre que vous voudrez (de non)bres) à partir de l'unité, suivant Tordre naturel, et que vous divisez ensuite la somme par le nombre qui suit le (dernier des nombres additionnés), il résulte la moitié du nombre jusqu'auquel vous avez pris (la somme) (***). Par exemple, vous prenez (la somme) depuis un jusqu'à huit, c'est trente six; vous divisez cela par neuf; il résulte quatre, ce qui est la moitié du huit.

Donc , si vous prenez (la somme) jusqu'au nombre que vous voudrez , suivant Tordre naturel, que vous multipliez ce qui en provient par le (nombre) qui suit (****)

{*) Les mots renfermés entre crochets manquent dans le manuscrit , évidemment par suite d'une omission du copiste.

(*-) ^^^ = 2' ou 1+2 + 3+

-Hn = |(n + 1).

(«««#) i^ texte manuscrit porte '' par la moitié de celui qui suit „ ce qui est erroné. Cest probablement une faute de copie.

( 38 ) Iprin) âêM Mf, el qtus tous joiftnez à ee qui resnlte de eeUe opéntMokoR rioftilirn «uirarii que j« ^ierjs de menlionner, alors le résolut est le cabe à

Ki voufonu/maui it vMUt i^xplicatioo , les surfaces KZ, ZE et ZF Mal le fi iliî lu Untw KL; kf» HiirfzcMn LU, HZ el HS le cube de b ligne LU - les «fai MT, TU «1 TN /'nnkn au cuIk; de MX; cl les surfaces XI, IT et iWétéii niliiî il«î X(l; (««««) 1» surface IC est le cube de OC. Il est mainleiiaDiéTitafi lii uurfiir*! (ÎA «îst ^içaic aux cul>cs des nombres depuis un jusqu'à six* cl wk I sij I. ttinw^ iU: In (ij;urc (**),

"** ** Si Ion ilil: combifîii (oblcncz-vous en allant) depuis un jusqu'à dix à h»

ililiori diî miiliiplirr chaque (nombre) impair par Timpair suîyant, et cham (aibrv) pair par le pair Huivanl; alors la règle pour cela (esl) que vous prenez (h» inn iU'H nombres nalurcls) depuis un jusqu a dix, ce qui est cinquanle doa. M flm cria par (b*ux tiers du dix moins un et deux tiers (quantité qui doitéto» I Mf irandK^r) rHsiînliiîlIcmcînt et | invariablement. Ce sera deux cent soixante où. lin. trx y nHiNiammnit une unitc , ce qui fait deux cent soixante seixe* Hléktik ri^poiiMi (***).

|«u di^Monstration de ce (Ibéorcme) est évidente, parce que etc.

... Après (M*la il faut que vous divisiez le seize par le deux, afio nlnit le iiulio eberelié. Or, vous avez dvyx divisé le Irente deux par deux, pûiati^ pur deuxv nllu «pril n^suUe le eubo ; el de celte manière vous Tavez diTis(.<aB si vou.M Taviex divisé par le earri! de deux.

lui de rouvniRO (inlilulé) Le Fakhrî (****) qui comprend les éléments kTlgébiv el les éléments des problèmes.

Louanges sans bornes et sans (in à Celui qui donne Tintelligenee. QnesilK» duiion soit sur notre seigneur* Mohammed, le prophète, et sur sa famille et sestf pdgnons. les purs, les saints.

tavi (\it éerit el achevé par Sàliq.

t hVHr I Djins un «mtix' exemplaire (r^^uteurl a dit: J*ai exclu de mon présent otn?i

«V qui ne s\ rapi^rte p;is. J\i\ais désirt' y ajiMiter quelque chose en fait desii

IwuUrites des ligures* du ivr^*K\ et des testaments. Mais je ne Tai pas fait . p«

deu\ rdusous* dont Tune esl \mon^ a^ersion pour la prolixité; la seconde est» f

— l 5 ' .^ N -, ^ 7 9 - 3 4 — 4 6^ .— SIO»

(déjà) composé sur chacun de ces (objets) un ouvrage étendu , embrassant ses :»ents, leurs théories exactes, et la solution des problèmes les plus subtils avec * méthode. Je prie Dieu, le Très-Haut, qu'il m'assiste dans Taccomplissement des ^Ms de Tobéissance envers lui, et qu'il facilite à toutes ses créatures ce qui les "^rre de l'erreur. Je se supplie de répandre sa bénédiction sur le prophète, Mo- ^aned, son élu parmi ses créatures, et sur sa famille, les purs. Fin de Touvrage, à savoir du (livre) connu sous (le nom) du Fakhri. -Ceci fui écrit par Saliq, le pauvre. Fin.