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notion de ce qu’on entend par exposant. Arrivé à ce degré d'avancement, il sera en état de comprendre la théorie des équations du deuxième degré à une inconnue, et de l’extraction des racines; il a besoin de la notion de l’exposant, le temps est donc venu de la lui faire trouver. Lorsqu'on procède de cette manière, l’élève, tout en travaillant à la solution d'équations diverses, acquiert, petit à petit, ia connaissance des définitions et du calcul algébrique et il acquiert cette connaissance au moment où il en a besoin et non auparax ant(1).

QUESTIONS

1. he 7 exige-t-on la connaissance de l'algèbre des aspirants à l’étude des différentes professions? 2. De quelle manière eg doit-elle être enseignée pour affermir le jugement? 3. Si l’enseignement de cette manière est mécanique, quel fruit les élèves en retirent-ils? 4. Indiquez brièvement ce à cp n’est pas à propos de faire en commençant l’enseignement

e cette matière? 5. Quel doit être le point de départ en enseignant cette science? 6. Que faut-il faire pour que les élèves s'intéressent à cette étude? 7. Quand faut-il passer aux opérations générales de l’algèbre ?

(1) Voir Notes pédagogiques page 254.

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NOTES PÉDAGOGIQUES

Ape: Dans l’enseignement de l'algèbre, on se servira de l’arithmétique comme fondement et comme moyen.

Cette méthode offre plus d’un avantage.

En premier lieu, la ressemblance des procédés dans ces deux spécialités fera comprendre l’une par l’autre; et puis l’identité du but qu’elles se proposent, c’est-à-dire la résolution des problèmes, permettra au maître de donner une base concrète et positive aux notions indispemsables de la théorie algèbrique.

En application de cette méthode, on ne devra pas commencer l'algèbre par les quatre premières opérations. Sans doute, c’est la marche suivie dans plusieurs livres. Mais ces traités sont composés en vue d’enchaîner les démonstrations de certains théorèmes et d'éviter les redites. Avec les élèves des écoles primaires, on peut se proposer un but tout différent: vouloir enseigner d'abord la pratique; mettre ensuite les règles dans un ordre tel qu'elles intéressent davantage et que leur utilité éclate plus vite aux yeux. Voilà l’ordre naturel vraiment pour des enfants. S'il y a des redites, ce serait peut-être un incanvénient dans un livre, mais non dans un cours, oral. Au contraire, il faut, À maintes reprises, appliquer les élèves sur un même objet, afin que l'impression soit durable dans leur cerveau. Si le maître ne revient Pas souvent sur ses pas pour s'assurer qu'il a été compris et que ses explications ont été retenues, il constatera bientôt des méprises ou des oublis incroyables chez la grande majorité des écoliers.

Cela posé, il semble préférable de débvter par des équations numériques, provenant de problèmes très simples d’arithmétique, et même d’arithmétique mentale.

Prenons un exemple: Louis a trois fois autant de pommes que Joseph, et ensemble ils en ont 24 ; combien chacun en a-i-il ?

Par l’arithmétique, nous raisonnerons ainsi; le nombre de Joseph, plus trois fois ce même nombre, égale 24. Donc quatre ee le nombre de Joseph égale 24, et une fois ce nombre égale

4+4=6: etc.

Maintenant, si pour abréger le langage, nous représentons par x le nombre de Joseph, nous dirons simplement: x, plus 3 fois x (ou 3x), égale 24; donc 4z=24, d'où r2=6 et 3r=18.

Nous avons ainsi passé sans difficulté du langage des choses

ou de l’arithmétique au langage des symboles ou de l'algèbre.

Ces petits exercices peuvent être multipliés à volonté, ils serviront grandement à montrer comment les lettres peuvent entrer dans le calcul.

L'élève sera charmé de voir que maintenant il arrive plus vite aux solutions, et d’une manière mécanique beaucoup plus commode que par les lourds raisonnements. Le voilà gagné à l’étude de l'algèbre ce qui est un résultat immense, Au lieu de se plaindre sans cesse que cette étude ne mène à rien, il veut s'y perse: On profite de ces dispositions pour introduire quelques lettres dans les équations et donner la notion du coefficient et de l’exposant.

L'élève reconnaît qu’il a un nouvel art à aprendre, celui de manier ces expressions littérales. Et le plus souvent, il demandera de lui-même à étudier les quatre opérations fondamentales.

Le maître se hâtera de céder À ces aspirations. Toutefois, afin de familiariser quelque peu la classe avec les symboles algébriques, il sera bon de faire précéder ces opérations d’exercices assez faciles sur les valeurs numériques données aux lettres.

Puis, dans une première exposition, on se bornera à faire justifier simplement les règles de chacune, par des considérations tirées toujours de la coanaissaa= de | arithmétique. Mais en vue de rompre les élèves aux notions algébriques, il importe de donner ici beaucoup d’appl-ations bien graduées et bien en rapport avec les exemples expliqués préalablement au tableau noir. :

On pourra alors continuer par la décomposition d'expressions simples, par les simplifications de fractions, et par la résolution d'équations et de problèmes du premier degré.

Arrivé à ce point, le maître reprendra les notions acquises pour les expliquer plus complètement avant de poursuivre ses eçons, qui pourront dans la suite revêtir un caractère plus scientifique.

S'il paraissait difficile de suivre ce plan rationnel, il faudrait tâcher du moins de s’en approcher le plus possible, en glissant sur les quatre premières règles, pour aborder le plus vite possible les équations numériques et littérales, sauf à revenir plus tard sur les premières pages du manuel.

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