Diviser le numérateur d’une fraction divise la fraction
4. Diviser le dénominateur d’une fraction multiplie la fraction.
ConsEQuENCE. Si l’on divise à la fois les deux termes d’une fraction par le même nombre, on ne change pas la valeur de cette fraction. (Donnez des exemples).
Une connaissance exacte de ces éléments est indispensable pour celui qui veut comprendre la suite du chapitre.
En enseignant l’addition ou la soustraction, donnez d’abord à additionner ou à soustraire des -fractions ayant le même dénominateur, puis des fractions qui n’ont pas le même dénominateur. Faites trouver le plus petit multiple commun des dénominateurs, au moyen de ce multiple commun, faites transformer ces fractions en d’autres ayant le même dénominateur. Jusqu'à ce que les élèves comprennent parfaitement, exigez que les deux termes des fractions transformées soient écrits.
Soit à transformer et à additionner;, 5+3+5+1%
Transformées et additionnées vous aurez pytriotistis= 3215 = 26
En transformant, faites expliquer de la manière suivante: Je veux transformer % en douzièmes:—en 1 entier il y a !5;—en % il y a -;—en À il y a 2 fois ;4,=;%.—Je veux transformer À en douzièmes;—en 1 entier il y a 18:—en } il y a 57;—en 4 i y a 3 fois
= Je veux transformer > en douziè-
Ten & 13 r> est déjà en douzièmes.
Plus tard, que les élèves n’écrivent le dénominateur qu’une fois:
Soit à transformer et à additionner: ?+1+ 5.
Transformées et additionnées, 18+21+10 49 1 ee Er
vous aurez: 24 24 24
En dernier lieu, vous pouvez indiquer l’arrangement suivant:
Soit à transformer et à additionner: + Star tiv.
Transformées et additionnées, vous aurez:
Pour ADDITIONNER des entiers joints à des fractions, on additionne SEPAREMENT les fractions
Hi et SEPAREMENT les entiers. On ne do't JAMAIS à: enseigner aux élèves de réduire les entiers et les !: fractions en nombres fractionnaires, avant de Le faire l’addition ou la soustraction.
Pour SOUSTRAIRE un entier joint à une fraction, d’un entier joint à une fraction, on retranche la FRACTION de la FRACTION et l'ENTIER de l’EN- TIER.
Exemple.—Soit à faire la soustraction suivante: |
Transformées, vous aurez:
La soustraction faite vous aurez 12 ;',
Exemple où les entiers étant joints aux fractions, la fraction à soustraire est plus : rande que l’autre fraction: 24 :—55.
(24 Transformées, vous aurez: | 5 ;",
Soustraction impossible puisque la fraction à soustraire, ;”,, est plus grande que l’autre fraction.
Vous prenez une unité au nombre 24, pour l'ajouter à ;..
L'unité vaut 15; 12+,6, =?
Vous aurez maintenant
Reste
Les élèves ont compris et appris l'addition et la soustraction des fractions, la multiplication et la division d’une fraction par un nombre entier: avant d’aller plus loin, il est bon de revoir la multiplication et la division d’une fraction par un nombre entier; cette revue terminée, il sera temps de leur faire trouver les PRINCIPES sur lesquels reposent les règles pour multiplier ou diviser un entier ou une fraction par une fraction.
L’explication de tous les problèmes qui se sont présentés jusqu'à présent a été basée sur la définition élémentaire: qu’une fraction est une ou plusieurs parties de l’unité divisée en un nombre quelconque de partie égales. Pour expliquer la multiplication ou la division d’un entier ou d’une fraction, par une fraction, une définition plus abstraite, il est vrai, mais en même temps plus féconde que la première, est nécessaire. Il faut amener les élèves par des questions habiles, à formuler cette définition eux-mêmes.
MARCHE A SUIVRE.—Demandez la définition de la division: La division est une opération qui a pour but de chercher combien de fois un nombre appelé dividende contient un autre nombre appelé diviseur. Le résultat de la division se nomme quotient.
Expliquez qu’il y a donc trois termes à considérer dans la division: le dividende, le diviseur et le quotient.
Donnez des exemples et par des questions faites découvrir les principes suivants:
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1. Que multiplier le dividende sans changer le diviseur multiple le quotient.
2. Que diviser le dividende par un nombre autre que le diviseur divise le quotient par le même nombre.
3. Que multiplier le diviseur par un nombre quelconque divise la quotient par le même nombre.
4. Que diviser le diviseur par un nombre quelconque multiplie le quotient par le même nombre
5. Que la multiplication du diviseur et du dividende par le même nombre ne produit aucun effet sur le quotient.
6. Que la division du diviseur et du dividende par le même nombre ne produit aucun effet sur le quotient.
Exemple: Divisez 72 par i2—j’exprimerai cette division des deux manières suivantes: 72+ 12= 756.
1. Multipliant le dividende 72 par un nombre quelconque 3 on a: 216+12=18 ou °° =18.
On constate alors que le quotient aussi a été multiplié par 3. Faites trouver la raison de ce résultat.
2. Divisant le dividende 72 par un nombre quelconque 3 on a 24.
24+12=2 ou ?$=2. On constate alors que le quotient aussi a été divisé par 3. Faites trouver la raison de ce résuitat.
Pour les principes 3, 4, 5, 6 procédez de la même manière.
Lorsque les élèves sont parfaitement familier
avec ces principes, donnez des exercices et problèmes qui auront pour objet de leur faire comprendre que toute fraction indique le QUOTIENT du NUME- RATEUR par le DENOMINATEUR.
Q. Pour une table qui n’a qu’un pied de largeur, un ouvrier fait un tiroir de trois pieds de largeur, la table contiendra-t-elle le tiroir? Beaucoup d'élèves répondront non. Q. La table contiendra-t-elle le tiroir en partie? R. Oui. Q. Quelle partie du tiroir sera contenue dans la table ? R. 3%. Q. La table contiendra le tiroir combien de fois? R. } de fois. Q. Ainsi 1 pied contiendra 3 pds combien de fois? R. 1 de fois.
Q. 1 contient 3, combien de fois? R. 1 de fois. Q. Qu'indique la fraction !? R. La fraction x indique le quotient du numérateur 1 divisé par le dénominateur 3. Une table de 2 pieds de largeur contiendrait ce tiroir combien de fois ? R. ÿ de fois Q. Ainsi, 2 pieds contiendront 3 pieds combien de fois? R. 3 de fois. Q.
2 contient 3 combien de fois? R. 3 de fois. Q. Qu'indique la fraction ?? LR. La fraction 3 indique le quotient du numérateur 2 divisé par le dénominateur 3,—en d’autres termes, c’est le } de 2.—La fraction ; s’analyse de deux manières différentes, on peut dire que à sont deux fois le 4 de 1, ou le ! de 2. Ainsi 3 est une quantité 3 FOIS PLUS PETITE QUE2. Q. Une table de 3 pieds contiendra ce tiroir combien de fois? R. ÿ; de fois, ete. Q. Analysez ;. R.
da 4 +:
4 sont 3 fois le ! de 1 ou le ! de 3.—La fraction 4 est une quantité 4 fois plus petite que 3.
Q. Comment divise-t-on deux gâteaux entre trois garçons, Antoine, Bernard, Charles? D’ahi bord, on divise un des gâteaux en trois parties | égales et on donne une de ces parties ou un tiers d’un gâteau, à chaque garçon, ensuite on fait de même avec l’autre gâteau; ainsi chaque garçon reçoit un tiers du premier gâteau et un tiers du deuxième gâteau.
Premier gâteau | Deuxième gâteau |
CE l'A BE) Ci
On peut procéder de la manière suivante: on divise chacun des deux gâteaux en tiers, on a alors 6 tiers de gâteau; au ler garçon on donne ? du ler gâteau; au 2ème garçon on donne le 4 qui reste du ler gâteau, et un tiers du second gâteau ; au 3ème garçon on donne ce qui reste du second gâteau, c’est-à-dire les 2,
Premier gâteau
D] Ai
Deuxième gâteau |
Il est évident que le garçon qui a eu les 3 du ler gâteau n’a eu ni plus ni moins que celui qui a eu ; du ler et } du second. Il est évident aussi que le garçon qui a eu le: ©: du second gâteau n’a eu ni plus ni moins que celui qui a eu le ; du second et le : du premier.
{ ï d'un gât. |
| | | [ | ler gât.
Le ! de 2 gût. 2me gt.
LS Res eme a
Donc le 1-3 de 2 est égal aux 2-3 de 1.
Donc la fraction 2-3 est une quantité 3 fois plus petite que la quantité 2.
Q. Analysez 5? R,. 3 Cest ! de 5, c'est une quantité 8 fois plus petite que 5. Exigez la démonstration avec des lignes, etc., etc.
RÉSUMÉ.- Toute ‘-action indique le quotient du numérateur par le aénominateur. Le numérateur correspond au dividende, le dénominateur, au diviseur, et la fraction entière correspond au quotient. —Exemple: % indique la divison du numérateur ou dividende 3 par le dénominateur ou diviseur 4, 4 est contenu en 3, 4 de fois; ? c’est le quotient.
Une fraction étant une division terminée, il s’ensuit que les principes relatifs à la division sont applicables aussi aux fractions, et servent à
expliquer toute la théorie de la multiplication et de la division des fractions.
Applications des principes de la division aux divers cas de multiplication et de division des fractions.
PREMIER CAs.— Multiplication d'une fraction par unentier. {Ce cas a déjà été expliqué d'une autre manière.)
A multiplier ? par 2 Le numérateur 3, c'est le dividende: le dénominateur 8, c'est le diviseur; la fraction entière ?, le quotient. Multiplier le numérateur 3 par 2, c’est multiplier le dividende par 2 et conséquemment c'est multiplier par le même nombre le quotient, qui, dans ce cas, est la fraction :
Je
Solution $*X%=6—53,
AUTREMENT. Diviser le dénominateur S par 2, c'est diviser le diviseur par 2 et conséquemment c’est multiplier le quotient, c’est-à-dire la fraction }, par 2.
Solution 3 +,=° Rép.
DEUXIEME Cas.—Multiplication d’ur entier
par une fraction. La règle qu’on vient de donner suffit pour résoudre ce cas, car, on peut intervertir l'ordre et prendre le multiplicande pour multiplicateur sans que le résultat final en soit moditié ; il est cependant très à propos de l'expliquer autrement avant d'expliquer le troisième cas. Soit à multiplier 8 par ?. ? tant le } de 2: il s’agit done de trouver le 1 de 2 fois 8; le ! de 16, c’est-à-dire, 1-51, Ou autrement, étant une quantité © fois plus petite que deux, en multipliant 8 par 2, on multiplie par un nombre 3 fois trop grand: donc le prouuit 16 est 3 fois trop grand; en le divisant par 3 on trouve !", le produit demandé.
Multiplier 8 par 2-3 c'est prendre les 2-3 de 8. Soit à multiplier 20 par ?. Il faut prendre | de 3 fois 20, ou, ce qui revient à la même chose, ! de 20 fois 3. Mais ! de 20=5. Et 5 fois 3= 15. * Règle: pour multiplier un entier par une fraction, on multiplie l’entier par le numérateur. Au lieu de multiplier l’entier par le numérateur, on peut aussi, quand cela est possible, diviser l’entier par le dénominateur, puis multiplier le quotient par le numérateur.
TROISIEME Cas.— Multiplication d’une fraction par une fraction. Soit à multiplier ? par!. il s’agit de multiplier ; par ! de 4, c’està-dire par une quantité 5 fois plus petite que 4. En multipliant le numérateur 2 par 4, on a ÿ, un produit 5 fois trop grand; en multipliant le déno-
ep germe D ter ue nee
PE re ag mr nn a # . $ partant: * ù
minateur 3 par 5, on divise le produit ; par 5 et on a ;",, la réponse demandée,
REGLE: Pour multiplier une fraction par une fraction on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux: en d'autres termes, on multiplie le multiplieande par le numérateur du multiplicateur et on divise le produit par le dénominateur du multiplicateur.
Autre exemple. Soit à multiplier y par 2.
[M s'agit de multiplier 5, par : de 3, par un nombre 5 fois plus petit que 3. En divisant le dénominateur 12 par 3, on multiplie , par 3 et on à j, un produit 5 fois trop grand: en multipliant le dénominateur 4 par 5, on divise le produit par 5; on a , la réponse demandée.
X 3 équivaut à prendre les ? de ro
QUATRIEME cas.—Division d’une fraction par ün entier, (ce cas a déjà été expliqué d'une autre manière). Soit à diviser ! par 2 Le numérateur est le divideude; la fraction, le quotient. Diviser le numérateur 4 par 2, divise le dividende et par conséquent divise le quotient, c’est-à-dire la fraction. KR. ?, AUTREMENT. —Mhultiplier le dénominateur 5 par 2, c’est multiplier le diviseur et conséquemment, c'est diviser le quotient, c’està-dire la fraction !,, =, = ? Rép.
CINQUIEME cas.—Division d’un entier par
une fraction. Soit à diviser 2 par 4. Le diviseur
1 est une quantité 4 fois plus petite que 3. Sion divise 2 par 3 on aura 4: Puisque en divisant par 3, on divise par une quantité 4 fois trop grande, le quotient © sera 4 fois trop petil: il faudra done le multiplier par 4 pour avoir } le quotient cherché. Ainsi diviser 2 par ÿ équivaut à multiplier 2 par !.
REGLE:- Pour diviser un entier par une fraction on multiplie l'entier par la fraction RENVERSEE,
SIXIEME CAS.- Division d’une fraction par une fraction. Soit à diviser =. pét 2: 1% diviseur ? est 5 fois plus petit que 2. Je divise la fraction # par 2, en multipliant le dénominateur par ce nombre, ce qui me donne , quotient 9 fois trop petit, parce que j'ai divisé par un nombre 5 fois trop grand: multipliant cette fraction 2
par 5 je trouve !? le quotient cherché. Ainsi
diviser # par ? équivaut à multiplier : par 5
REGLE:— Pour diviser une fraction par une fraction, on multiplie la fraction dividende, par la fraction diviseur RENVERSEE.
Dans cet exposé rapide des fractions ct des opérations auxquelles elles donnent lieu, nous avons insisté sur un point de première importance, qui est très généralement négligé,— la théorie de la multiplication et de la division des fractions. Trop souvent on se contente de faire appliquer les différentes règles qui ont trait à ces opérations, sans un mot d'explication. Ou perd ainsi une exce 'ente occasion de cultiver l'intelligence en
même temps qu'on instruit l'élève dans l'art 0 l'arithmétique,
En résumé, l'arithmétique au cours élémentaire comprend deux parties: (4) In numération, les quatre règles simples, les nombres premiers et les nombres divisibles: (b: los fractions.
Avee les commençants l'enseignement doit être intuitif avant d'être abstrait. Il faut aller du connu À l'inconnu, du concret À labstrait, du particulier au général. I faut que l'élève découvre la rûgle avant de l'apprendre; qu'il soit capable non seulement de l'appliquer, mais aussi de l'expliquer.
FRACTIONS DECIMALES
Les décimales peuvent être exposées: a, intuitivement, comme les fractions ordinaires: b. d'une manière abstraite en les faisant découler de notre système de numération.
DEMONSTRATIONS INTUITIVES, — Faites sur le tableau noir ou mieux encore sur une grande feuille de papier à envelopper, un carré de 30 où, si ce est possible, de 40 pouces de côté, divisé en cent petits carrés.
Vote. Si vous employez des couleurs différentes pour les verticales et les horizo: ales, vous a rez un tableau plus voyant.
COMMENT SE SERVIR pe TABLEAU,. Montrant la première bande verticnle et en même temps le grand carré; dites: cette bande est quelle partie du carré? HR, do. Dites 1, s'écrit aussi | Puis écrivez 1,1
Montrant deux bandes et tout Le carré:
Q. Ces deux bandes sont quelle partie du carré? R. . Dites: do N'écrivent aussi 2 Puis écrivez = ,2,- Ainni € Suite pour 3, 4, D, .6, A Pr Me À
Q. Toutes les fractions que nous venons d'étudier ont pour dénominateur quel nombre ? R. Dix. Dites: Une fraction dont le DENCMINATEUR est DIX est appelée frction bécIMALE.
Le mot décimal vient du mot latin decimus qui veut dire dixième,
Q. Comment représente-t-on une fraction dont le dénominateur est dix sans écrire le dénominateur ? KR, En n'écrivant que le numérateur précédé d'un point. Dites: écrivez sur vos ardoises les fractions ordinaires, ,, or ro, etc. et les décimales qui Y correspondent,
Montrant le premier petit carré à gauche.
Q. Combien de esssts comme celui-ci dans le grand carré? R. 9, Q. Ce petit carré est quelle fraction du grend ? R. .!,. Dites: 135 s'écrit aussi O1. 1! écrivez ,!5=.01. Montrant deux petits ‘es deux petits carrés sont quelle fraction and? R. ,?,. Dit io S'écrivent auss 92. Alors écrivez 150 =.02. ainsi de suite 03% 04, 05, .06, .08, .09.
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Q. Quel est le dénominateur de 01, .02, .03, ‘04, etc.? R. 100 ou 10 fois 10, Dites: une fraction dont le dénomin: :eur est 10 fois 10, (100) est appelée fraction pEcIMALE.
Montrant tous les carrés d'une bande. Q.
Combien de centièmes? R. du ie OR no s’écrivent aussi .10.—Montrant la bande entière. Q. Quelle fraction du grand carré ? + 08 1 —Montrant la bande entière. Q. .1 égale donc combien de centièmes? KR, Dix. Donc .1 et.10 ont la même valeur. Ainsi de suite pour 2 bandes ou .2 et 20 petits carrés ou .20 ete., etc.
Q. En quoi t nsforme-t-on les dixièmes, si on les fait suivre d'un zéro? R. En centièmes. Q. Laquelle des fractions ,3, .30 a le plus de valeur? R. Les deux ont la même valeur. Exigez que les élèves le prouvent au moyen du tableau décimal.
Montrant la 1ère bande et un carré de la 2e.
Q. Combien de petits csrrés? R. 11. Q. Chaque petit carré est quelle fraction du tout ? "?. .01 Q. 11 petits carrés sont quelle fraction dr :. ut? R.—.11.—Montrant la lière bande. Q. . «elle
fraction du tout? R.—.1. Montrant le petit carré sur la 2e bande, Q. Quelle fraction du tout? R.—.01.—Montrant la bande et le petit carré. Q. Quelle fraction du tout? R.—.11.
Q. Ainsi dans .11 il y a combien de dixième ? R. Il yaun dixième (.1). Q. Ce .1 vaut combien de centièmes.? R. 10. Q. Dans .11 qu'y a-t-il
de plus que.1° R.II Y a .01. Q. Ainsi l1 somme de .l et .01 est de .11.
Si de site pour 1 bande et 2 petits carrés =,12, etc. ste —1 bande et 10 petits carrés = .2=auessi 20 petits carrés = 20. Q. Donc ,2= combien de centièmes ? |: A À
Questions analogues au sujet de 2 bandes et 1 petit carré. 21, c'est-à-dire ,2 et 01, etc., etc. — 2 bandes et 11 petits carrés, = ,30 = 3. ainsi jusqu'à 9 bandes et 9 petits carrés,
Lorsque les élèves ont analysé les dixières et les centièmes intuitivement, dérobez le taileau à leur vue et faites-leur les questions suivantes dont ils ne devront écrire que les réponses sur leurs ardoises :
Q. 7 bandes, quelle fraction du tout ? R.—,7,
Q. 1 petit carré quelle fraction au tout ? KR. O1.
Q. 18 petits carrés quelle fraction du tout ? R.— .l et .08 ou .18. etc., etc.
Faites lire par les élèves:
Q. .2 du tout sont ? R.—2 bandes, Q. 4 C1 € € € 4 LI
etc., etc.
RU es
Q. 01 du tout est? R.—1 petit carré.
Q. .07 “ ‘“ sont? R.—7 petits carrés.
Q. .18“ ‘“ ‘“ ? ‘1 bande et 8 petits carrés ou 18 petits carrés.
Q. .42 du tout sont? R.—4 bandes 2 petits carrés ou 42 petits carrés.
Les MiLiEMESs.—Divisez un des PETITS carrés en dix tranches par des verticales. Montrant le petit carré divisé en tranches. Q. Combien de ‘tranches? R.—10. Q. Combien y aura-t-il de tranches dans 2 petits carrés? R.—20. Q. Dans trois? R.—30. Q. Dans 10 ou dans une bande ?
R.—100 Q. Dans 10 bandes ou dans le grand carré? R.—1000. Q. Une tranche est donc quel le fraction du grand carré? R.—Un millième qui s'écrit 1909 où encore .001. Q. Un petit carré est quelle fraction du grand? R.—;53 ou .01.
Q. Une bande est quelle fraction du grand carré? R.— 0 ou 5
Q. 2 tranches, quelle fraction du tout?
R. :555 Ou .002,—ainsi pour 3, 4, etc., tranches.
Q. Quel est le dénominateur des fractions, 001, 002, .003, etc.? R.—1000 ou 10 fois 10 fois 10. Dites: Les fractions .001, .002, .003, sont appelées des décimales.
Définition.—Une fraction décimale est celle
dont le DENOMINATEUR est 10, 100, 1000, etc., ou dont le dénominateur est 1 suivi d’un ou de PLU- SIEURS ZEROS.
Q. Une tranche est quelle fraction du grand carré? R.—.001. Q. Deux tranches? R. .002, etc., etc. Dix tranches? R.—010. Montrant le petit carré. Q. Quelle fraction du tout ?
R. ;55 =.01. Dans le petit carré combien de tranches, combien de millièmes? R.—10 tranches, c’est-à-dire 1°, =,010. Dites: donc .01 =.010. .
Dites: écrivez sur vos ardoises, .010, .020, etc., avec le moins de chiffres possible? R. Ai: R -02, etc. Q. Si on ajoute zéro à la droite de 01, quel effet cela produit-il sur cette fraction? R. Si on ajoute zéro à la droite de O1, (réy) on transforme cette fraction en .010 (1590), mais on n’ajoute rien à sa valeur,car un petit carré .01 est l'équivalent de dix tranches c’est-à-dire de "010 (560).
Montrant un petit carré et une tranche. Q.
Le petit carré, combien de millièmes du grand carré? R..010,—et la tranche? R. .001,—et les deux ensemble? R. .011.—Ainsi de suite pour .012, .013. etc., jusqu’à 1 carré et 10 tranches ou 2 carrés, c’est-à-dire .020. Puis 2 carrés et une tranche, .020 et .001; ensemble .021. Ainsi jusqu’à 9 carrés et 9 tranches= ? R. 099. Puis 9 carrés et 10 tranches ou 10 carrés= ? R. .100 ou -10 ou .1. Car les 10 carrés forment une bande qui= ;5= 1, —chaque petit carré — 100 = O1,
les 10=.10,—chaque tranche= ; 555 =.001,—dans une bande il y a 100 tranches=,1%% =.100.
Donc il n’y a pas de différence entre les valeurs de + 510:.:100,
CoNSEQUENCE. On peut ajouter un ou plusieurs zéros à la droite d’une fraction décimale sans en changer la valeur.
Montrant une bande et une tranche, —la bande combien de milièmes du grand carré? R.
100,—et la tranche? LR. .001,—la bande et la tranche ensemble? KR. .101. Aïnsi de suite.
Les élèves ont une idée intuitive des décimales et de la manière de les écrire. Le moment est arrivé de généraliser, de leur faire trouver que ces fractions ne sont qu’une conséquence de notre système de numération.
LA CONVENTION FONDAMENTALE SUR laquelle repose toute la numération est: 1. qu’une unité d'un ordre quelconque vaut un DIXIEME de l'unité de l'ordre immédiatement supérieur. 2. qu’une unilé d’un ordre quelconque vaut bix unités de l’ordre immédiatement inférieur. C'est cette convention dont les élèves doivent avoir déjà une notion bien définie, acquise pendant leurs trois premières années d'école, qu’il s’agit de les amener à énoncer dans leurs propres termes.
Ecrivez au tableau les nombres suivants et faites constater que 1000000
ce nombre est ;} du nombre précédent 100000 € € 66 1 «€ 66 66 1
Trouvant la somme on à: 1111111
Faites lire ce nombre de la manière ordinaire.
Puis faites décomposer en faisant lire comme suit: 10 cent mille, 10 dix mille, 10 mille, 10 cents, 10 dix, 10 unités, 1.
Un instant de réflexion fera comprendre que cette décroissance des nombres en allant de gauche à droite, poussée au-delà des unités, produira successivement des dixièmes, des c- .clèmes, des millièmes, des dix millièmes comme la croissance de droite à gauche produit des dizaines, des centaines, des mille, des dizaines de miile, etc.
On aura donc:
1 dixième d’un
1 dixième d’un dixième d’un ow un centième d’un
1 dixième d’un dixième d’un dixième d’un ou un millième d’un etc., etc.
La somme de ces nombres est.
111 pourrait s’énoncer comme suit 1 dixième, 1 centième, un millième, mais dans la lecture de ces nombres comme dans celle des entiers on a trouvé commode de grouper les éléments. Dans ce groupement des éléments, la convention fondamentale qu’une unité d’un ordre quelconque vaut dix unités de l’ordre immédiatement inférieur, trouve son application.
Dans .111 le premier chiffre à droite vaut 1 millième, le 2e chiffre d’après la convention vaut dix unités de l’ordre immédiatement inférieur, c’est-à-dire dix fois un millième ou dix millièmes, ce qui avec 1 millième font 11 millièmes.—Les 2 chiffres du côté droit se liront 11 millièmes. — Le 3e chiffre à partir de la droite vaut dix unités de l’ordre immédiatement inférieur c’est-à-dire 10 fois un centième ou 10 centièmes,—mais un centième valant 1U millièmes comme on vient de le constater, il s’ensuit que 10 centièmes vaudront 10 fois 10 millièmes ou 100 millièmes, ces 100 millièmes avec 11 millièmes font 111 millièmes.
