CHAPITRE I. — MOUVEMENT DES PROJECTILES
Ceci nous montre que, si h est constant, le temps de la cliiite auf^mcnte quand « diminue, mais que la ritesse acquise par le mobile tombant de lu hauteur h est indépendante delà direction du plan incliné, et qu'elle est la m^me que s'il tombait suivant la verticale.
Mouvement des projectiles. — Supposons un projectile lancé obliquement dans la direction OT {fg, 9}, avec une vitesse initiale égale à a. 11 sera soumis à deux causes de mouvement qui agiront indépendamment : la vitesse a, et l'action de la pesanteur. Cette vitesse peut se décomposer en deux autres, Tune a cos y. qui est horizontale, l'autre a sina. Quant à la pesanteur, elle agit de haut en bas en sens inverse de «sina, et produit une vitesse gt. On a
v^=L a cos a, t^s = a sin a — gt
pour exprimer les vitesses horizontale et verticale du mobile. Les espaces parcourus se trouveront en repassant de l'expression des vitesses, qui sont des dérivées, aux fonctions dont elles dérivent, ce qui donne
X =. ae cos a, j z=. at sin a —
et si l'on élimine t entre ces deux expressions, on aura l'équation de la tnijectoire suivie par le mobile
jr =j:tanga —
a a' cos* y.
En remplaçant a* par 7gh^ h étant la hauteur à laquelle arriverait le mobile lancé verticalement avec la vitesse a, on obtient
^ = artanga
/| /( cos* oc
Ta» projectiles lancés obliquement dans le vide doivent donc décrire une portion de parabole, et le chemin qu'ils parcourent se compose de deux parties, Tune ascendante, l'autre descendante, symétriques par rapport à l'axe vertical de la parabole.
Faisant^ = o, on trouve x = a /i sin a a pour V amplitude du jet, c'est-à-dire pour la distance horizontale OM parcourue par le mobile. Elle devient maximum pour a =■ ^S**, et elle est proportionnelle à A, c'est-ii-dirc au carré de la vitesse initiale a,
La hauteur maximum à laquelle le mobile arrive correspondra au point N, milieu de OM; faisons donc j: = A sin 2a, et nous trouvons^ = h sin'œ.
Cette hauteur maximum croit avec a et devient égale à h pour a = 90<>. On retombe dans le cas du mobile lancé verticalement de bas en haut.
Comme x est proportionnel à /, le mobile arrivera en M au bout d'un temps double de celui qu'il emploie pour aller au plus haut point P, qui corresponil
au milieti de OM. I! s'ensuit que le temps qu'il emploie pour monter est ôjal à celui qu'il met pour descendre; ce temps est
- sina.
n. — KOUVEMERT DU PEIDULE ET HESUBE DE L'AGGÉLÉBATIOK g.
Pour résoudre les diverses questions relatives à la pesanteur, il faut connaître l'accélération de la pesanteur, ou la quantité g. On la détermine au moyen du pendule.
Concevons une sphère pesante B, soutenue à un obstacle 6xe par un fil pouvant se mouvoir autour d'un point d'attache : cet appareil {fig. lo) se
tient en équilibre dans la position verticale, et
^^' ^^' quand il est écarté jusqu'en C, il est soumis
f aux deux composantes P' et P* de son poids P,
Tune qui tend le fil, l'autre perpendiculaire à
sa direction et qui ramène la sphère vers sa
position d'équilibre B. Cette force varie à
chaque instant avec la valeur de l'angle d'é-
\ cartement A; elle diminue quand le mobile se
c>L--y; \--- -"-^^ rapproche de B, et devient nulle quand il
V^ B ""^ atteint ce point. Elle n'est donc constante ni
,r' p en grandeur ni en direction, elle mouvement
qu'elle imprime se fait suivant des lois complexes qui ne sont pas celles du mouvement uniformément varié. Arrivé en B, le pendule possède une vitesse acquise, et continue sa marche sur l'arc BC; mais le poids agissant toujours sur lui se décompose comme précédemment en deux forces, dont l'une P', tangente à la courbe, détruit pendant la course ascendante les impulsions reçues pendant le mouvement descendant, et la sphère n'a plus aucune vitesse quand elle a parcouru l'espace BC'= BC. Ensuite elle recommence à descendre pour remonter jusqu'en C, puis elle revient en C; elle a donc un mouvement oscillatoire qui ne devrait jamais s'arrêter. Cependant, comme l'appareil ne pourra pas être réalisé sans qu'il y ait des frottements produits au point de suspension et des résistances opposées par l'air déplacé, on verra les amplitudes diminuer progressivement, et le pendule revenir bientôt à son équilibre. On nomme pendule simple celui qui serait formé par un point matériel
