CHAPITRE I. — LOIS DE KEPLER

3** L^s carrés des temps de révolution des diverses planètes sont proportionnels aux cubes des grands axes de leurs orbites.

Lois de rattraction. — Soient 0 {fig. 28) le centre du Soleil et A celui

d'une planète à un moment déterminé.

Pendant un temps très-court, elle décrit l'arc AB, et si aucune cause n'agissait sur elle, elle décrirait, dans le temps suivant et égal au premier, un arc BC égal à AB et situé sur son prolongement. Mais il n'en est pas ainsi, elle décrit BD; elle est donc soumise à une force qui agit à chaque instant sur elle pour la dévier : il s'agit d'en trouver la direction. Or,

d'après la première loi de Kepler, on doit avoir

OBD = OAB = OBC ;

les deux triangles OBD, QBC étant équivalents, ont leurs sommets D et C sur une ligne DC parallèle à OB, et si nous achevons le parallélogramme EBCD, nous voyons que, pour parcourir l'espace BD, la planète a été soumise à sa vitesse initiale qui l'aurait transportée de B en C, et à une force qui lui aurait fait franchir la ligne BE ; donc cette force est dirigée vers le centre du Soleil : Newton la nomme attraction.

L'excentricité des orbites planétaires étant toujours très-petite, nous pouvons, dans une première approximation, admettre qu'elle est nulle et supposer que les courbes décrites sont des cercles dont le Soleil occupe le centre. Les secteurs décrits dans des temps égaux devant être égaux, les arcs parcourus le seront aussi,' et la vitesse sera constante pendant toute la révofution. Nous tombons dans le cas du mouvement circulaire uniforme étudié précédemment, et l'attraction est sa force centripète. Alors

l'accélération sera G = -7p- î R représentant la distance de la planète

au Soleil et T le temps d'une révolution. .

En vertu de la troisième loi de Kepler, le rapport de T* à R* est une quantité constante pour toutes les planètes; en appelant K cette constante,

on a K= 55) et en multipliant cette équation par la précédente, on

trouve

ce qui montre que Y accélération de la force attractive du Soleil est la même pour toutes les planètes, et en raison inverse du carré de la distance.

Si nous voulons avoir la force motrice A, il faut multiplier G par la masse m de la planète, ce qui donne A = wG; et comme G, est la somme des attractions de tous les éléments du Soleil, elle est proportionnelle à la masse tout entière M de cet astre ; on peut donc poser

/ est l'attraction exercée par l'unité de masse sur l'unité de masse à l'unité de distance. En résumé, l'attraction est proportionnelle au produit des masses en présence, et en raison inverse du carré des distances.

Une fois que l'on a montré l'existence et trouvé les lois de la variation de cette force, on peut se demander comment les planètes en sont venues à décrire autour du Soleil les courbes que Kepler a étudiées. Si, à l'origine des temps, la Terre, par exemple, avait été placée sans vitesse initiale en présence du Soleil également immobile, les deux astres en s'attirant auraient marché l'un vers l'autre jusqu'à se rencontrer. Mais si la Terre avait reçu une impulsion initiale dans upe autre direction que la ligne des centres, elle aurait décrit une courbe sous la double influence de sa vitesse première et de l'attraction solaire. Le calcul montre que cette courbe est toujours une section conique, et le Soleil un des foyers de cette courbe; et, suivant les valeurs de la vitesse initiale; la section conique peut être un cercle, une ellipse, une hyperbole ou une parabole. Une fois placé sur cette courbe, l'astre la suit indéfiniment, revenant sans cesse dans le môme chemin, si la courbe est fermée, comme c'est le cas des planètes, et s'éloignant pour ne jamais revenir, si c'est ùhe parabole ou une hyperbole ; il y a des comètes qui sont dans ce cas.

Identité de la pesanteur et de l'attraction universelle. — Newton a démontré, comme il suit, que la cause qui fait tomber les corps sur le globe est la môme que \ attraction.

La distance R des centres de la Lune et de la Terre est égale à 60 fois le rayon moyen r de la Terre. Astronomiquement parlant, cette distance est fort petite, ce qui fait que l'attraction de la Terre sur la Lune est beaucoup plus grande que celle du Soleil et que l'on peut la considérer comme l'action unique à laquelle la Lune soit soumise. Il en résulte que la Lune doit décrire et décrit, en effet, une ellipse autour de la Terre considérée comme immobile. Admettons que cette ellipse soit un cercle et que la Terre