CHAPITRE XXyn. -* PERCEPTION d'iDENTITÉ

les rayons, mais dans ses rapports avec les aires comprises entre les diverses perpendiculaires dont les extrémités détenninent les points de la courbe et que Ton nomme ordonnées ; d'où il résulte que la valeur du cercle se peut déterminer sous des aspects différents, nonobstant que cette valeur soit toujours identique. La transition d'un point de vue à l'autre est la succession des perceptions de l'identité, présentée sous des formes nouvelles.

Supposons maintenant que la valeur du cercle dépend du rayon , ce qui donne C = la quantité composée ou fonction x (6) ; cette équation nous amène à concevoir le cercle sous l'idée gr^.nérale d'une fonction de son rayon ou de X, et par conséquent nous autorise à le soumettre aux lois qui régissent toute quantité composée. Nous voilà aux propriétés des différences, aux propriétés des limites et de leurs rapports, c'est-à-dire dans le calcul infinitésimal, dont les termes nous présentent l'identité sous une forme qui nous rappelle un long enchaînement d'idées et d'analyses profondes. Ainsi , en exprimant la différentielle du cercle par rfc, son intégrale par Srfc, nous aurons c= Srfc (7), équation dans laquelle on exprime la môme valeur que dans celle-ci : cercle =? cercle, mais avec celte différence que la dernière équation rappelle d'immenses travaux analytiques, qu'elle est le résultat d'une longue succession d'idées, le résultat du calcul intégral et du calcul différentiel, de l'application de l'algèbre à la géométrie, enfin d'une infinité de notions élémentaires, de règles, de

t14 UVRE I. — DS LA CRKTITUDB.

combinaisons. Lorsqu'on arrive , au moyen des calculs les plus abstraits et les plus délicats, à trouver la valeur du cercle, il serait extravagant de prétendre que Téquation trouvée n'est autre que celle-ci : cercle =CÉircle. Toutefois on peut affirmer qu'il y a au fond identité^ et que la différence d'expression ^ laquelle nous sommes parvenus est le fruit d'une série de perceptions de la môme identité, présentée sous des aspects différents. Si nous exprimons par les lettres ABCDEM les idées successives que nous avons été forcés de parcourir, la loi de )eur enchaînement pourra se formuler de cette manière : A = B, B=C, G = D, D=E, E = M; donc A=M.

271. Ne cherchons que dans la constitution de notre intelligence la loi de ces anomalies. La plupart de nos connaissances se composent de perceptions successives. L'esprit humain ne parvient que par le travail à voir dans les idées ce que ces idées contiennent. De là , pour lui , la nécessité de concevoir sous des formes non-seulement distinctes, mais différentes, les .choses même les plus simples ; et, par une correspondance merveilleuse, la faculté de décomposer ce qu'elle conçoit, et de multiplier, dans l'ordre des idées, ce qui en réalité est un : faculté stérile, toutefois, si l'intelligepce, en passant d'une idée à l'autre, n'avait le moyen d'enchaîner ces idées et de se souvenir.

Ce moyen, l'entendement le possède dans les signes écrits, parlés ou pensés; signes mystérieux, qui nonseulement expriment une idée, mais sont quelquefois le résumé d'une longue suite d'idées et de l'expé-

CHAPXTRS XXTII* — PERCEPTION D^IDENTITÉ. SItt

rience des siècles. An moment où le signe s'offre à nons, certes, nous ne voyons point avec une entière clarté ce qu*il exprime, nous ne saisissons point d'un premier regard le pourquoi de la légitimité de Texpression ; mais nons en connaissons le sens d'une manière confuse; nous savons qu'il nous est facile de renouer le fil des perceptions par lesquelles nous avons passé, de remonter, en revenant sur nos pas, jusqu'aux éléments les plus simples de la science* Le mathématicien qui calcule ne connaît la valeur des expressions dont il se sert qu'en tant qu'elles se rapportent d'une manière immédiate à l'objet qui l'occupe ; mais il est assuré que ces expressions ne le trompent point, que les règles qui le guident reposent sur des principes solidement établis. Les développements d'une science se peuvent comparer à une suite de colonnes milliaires : l'ingénieur relève les chiffres gravés sur ces colonnes , sans avoir besoin de revenir au travail antérieur par lequel il a mesuré les distances partielles. Il lui suffit de savoir que les opérations ont été bien faites, que les résultats ont été fidèlement inscrits.

272. Aux preuves nombreuses que nous avons données de cette nécessité de décomposition, nous pouvons ajouter l'exemple de renseignement en général. Veut-on faire comprendre à des commerçants ce problème géométrique : tous les diamètres d'un même cercle sont égaux; il faut exposer sous forme de démonstration , ce qui n'est qu'un souvenir, qu'une explication du cercle. Pour tracer une circonférence,

2i6 LITRE 1. <— DE LA CBBTITUDB.

on établit un point autour duquel tourne une ligne nommée rayon. Or, le diamètre n*étant autre chose que Tensemble de deux rayons continués en une même ligne, il semble qu'il devait suffire d'énoncer le théorème, c'est-à-dire de définir le cercle, pour donner Tidée du diamètre. Il n'en est pas ainsi cependant. Afin d'établir cette vérité que les mathématiciens exercés perçoivent par une seule intuition et dans une seule idée, le mattre est forcé d'employer un long enchaînement, d'idées.

273. Nous pouvons maintenant apprécier à sa valeur l'opinion de Dugald Stewart {Éléments de la Philosophie de l'esprit humain) : « Il est permis de douter que même l'équation arithmétique 2X2=4 se puisse représenter d'une manière exacte par la formule A=A. Cette opération énonce réquivalence de deux expressions différentes^ équivalence dont la découverte peut avoir une importance décisive en un grand nombre de cas, tandis que la formule A=Âf entièrement insignifiante, est pratiquement sans ap* plication. Que sera-ce donc si l'on prétend la comparer au binôme de Newton? La comparer à l'équation 2x2=4 (équation qui, par son extrême simplicité, peut passer pour un axiome) , c'est, à mon avis, un paradoxe. Toutefois ce paradoxe ne nous révolte pas outre mesure ; mais, dans le second cas, il est impossible de lui donner un sens (2'^ part., ch. 2, sect. 3, S 2). »

N'en déplaise au philosophe, l'absurdité du paradoxe tient à l'erreur dans laquelle il est tombé luimôme. Nul n'a prétendu nier l'importance de la dé-