CHAPITRE XXVII

SUITE

269. Prétendre, d'une manière absolue, que les connaissances les plus hautes en mathématiques se réduisent à cette équation : A est A, c'est se jouer de la vérité, c'est blesser le sens commun. Mais que ".es connaissances soient des perceptions d'une même dentité qui, fécondée par l'entendement, présentée

dOus divers points de vue, revêt une infinité de formes et constitue la science, je crois pouvoir l'établir. Prenons une idée mathématique et suivons-la dans ses transformations.

270. Cette équation, cercle == cercle (1), est incontestable, mais elle ne mène à rien. En effet, tout dans les deux termes est identique, idées, conception, expressions. Pour qu'il y ait progrès, il ne suffira pas de changer l'expression ; le point de vue sous lequel la chose identique est présentée dqvra changer pa-

* Voyez la note XXVII, à la fin du volume.

CHAPITRB ZXYU. — PnCKFnOH s'iDENTITÉ. 911

reniement. Abréger la formule et dire : C = cercle (2), c'est remplacer on mot par une lettre , voilà tout. Simple abréviation, progrés parement matériel. La différence entre les denx termes est dans l'expression, non dans le point de vue. Mais établissons le rapport entre la valeur da cercle et celle de la circonférence ; C = circonférence X 1/2 R (3) , c'est-à-dire, la valeur du cercle est égale à la circonférence multipliée par la moitié du rayon. Il y a ici identité, comme dans les équations (1) et (2) ; car la valeur désignée par C est égale à la valeur de circonférence X 1/2 R. Toutefois^ celle-ci diffère essentiellement des deux précédentes. L'identité, dans les premières, est conçue sous un môme point de vue ; dans la troisième, si le second membre de l'équation exprime, comme le premier, un cercle et le même cercle, il l'exprime dans ses rapports avec la circonférence et le rayon; en même temps qu'il contient une sorte d'analyse de ridée du cercle, il rappelle une analyse antérieure. Donc, la différence entre les deux termes de l'équation n'est point seulement dans l'expression matérielle, mais dans les points de vue sous lesquels une même chose est présentée.

En désignant par N la valeur du rapport de la circonférence avec le diamètre, et par G le cercle, nous obtenons cette équation : G =NR^ (4). Ici encore, identité dans les valeurs , mais progrès notable dans l'expression du second membre de l'équation, lequel nous montre la valeur du cercle débarrassée de sçs rapports avec celle de la circonférence, et ne dépen-

dant que d'une valeur numérique N et d'une droite, ie rayon. Donc, en conservant l'identité, par une suite de perceptions d'identité, nous nous sommes avancés dans la science. Partis de cette proposition : cercle = cercle, nous avons atteint une proposition à l'aide de laquelle il nous est facile de calculer la valeur d'un cercle quelconque, pourvu que le rayon nous soit connu.

Considérons le cercle comme une courbe en rapport avec deux axes, courbe dont les points sont déterminés relativement à ces deux [axes; nous aurons Z = 2 Bâ: — aï* (5). Z exprimant la valeur de l'ordonnée^ B celle d'une partie de l'axe des abscisses, X l'abscisse qui correspond à Z. Nouveau progrès d'idées, plus notable encore; les deux membres de l'équation n'expriment plus la valeur du cercle, mais celle de certaines lignes à l'aide desquelles tous les points de la courbe sont déterminés. On comprend dès lors que la courbe dans laquelle se trouvait circonscrite la figure dont la géométrie élémentaire déterminait les propriétés, puisse être conçue sous une autre forme, qu'elle puisse appartenir à un autre genre de courbes , et même constituer une espèce particulière en vertu du rapport des quantités 2 xy^ \ de sorte qu'en modifiant la formule, par l'adjonction d'une quantité nouvelle combinée de telle ou telle manière, on obtient une courbe d'une espèce différente. Ainsi, pour déterminer la valeur de la superficie enfermée dans cette courbe , nous pourrons considérer la superficie, non dans ses rapports avec