CHAP. XXVII.— PERCEPTION D'IDENTITÉ

reillement. Abréger la formule et dire : C = cerc le (2), c'est remplacer un mot par une lettre, voilà tout. Simple abréviation, progrès purement matériel. La différence entre les deux termes est dans l'expression, non dans le point de vue* Mais établissons le rapport entre la valeur du cercle et celle de la circonférence; G = circonférence X i/2 R (3), c'est-à-dire, la valeur du cercle est égale à la circonférence muliipliée par la moitié du rayon. Il y a ici identité, comme dans les équations (1) et (2) ; car la valeur déîâgnée par C est égale à la valeur de circonférence X 1/2 R. Toutefois, celle-ci diffère essentiellement des deux précédentes. L'identité, dans les premières, est conçue sous un même point de vue, dans la troisième, si le second membre de l'équation exprime, comme le premier, un cercle et le même cercle, il l'exprime dans ses rapports avec la circonférence et le rayon ; en même temps qu'il contient une sorte d'analyse de l'idée du cercle, il rappelle une analyse antérieure. Donc, la différence entre les deux termes de l'équation n'est point seulement dans l'expression matérielle, mais dans les points de vue sous lesquels une même chose est présentée.

En désignant par N la valeur du rapport de la circonférence avec le diamètre, et par C le cercle, nous obtenons cette équation : C = N R ^ (i). Ici encore identité dans les valeurs, mais progrès notable dans l'expression du second membre de l'équation, lequel nous montre la valeur du cercle débarrassée de ses rapports avec celle de la circonférence, et ne dépen-

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dant que d'une valeur numérique ÎS et d'une droite, le rayon. Donc, en conservant l'identité, par une suite de perceptions d'identité, nous nous sommes avancés dans la science. Partis de cette proposition : cercle = cercle, nous avons atteint une proposition à l'aide de laquelle il nous est facile de calculer la valeur d'un cercle quelconque, pourvu que le rayon nous soit

connu.

Considérons le cercle comme une courbe en rapport avec deux axes, courbe dont les points sont déterminés relativement à ces deux axes -, nous aurons Z = 2 B^ — a;^ (5). Z exprimant la valeur de l'ordonnée, B celle d'une partie de l'axe des abscisses, X l'abscisse qui correspond à Z. Nouveau progrès d'idées, plus notable encore -, les deux membres de réquation n'expriment plus la valeur du cercle, mais celle de certaines lignes à l'aide desquelles tous les points de la courbe sont déterminés. On comprend dès lors que la courbe dans laquelle se trouvait circonscrite la figure dont la géométrie élémentaire déterminait les propriétés, puisse être conçue sous une autre forme, qu'elle puisse appartenir à un autre genre de courbes, et même constituer une espèce particulière en vertu du rapport des quantités ^xyB; de sorte qu'en modifiant la formule, par l'adjonction d'une quantité nouvelle combinée de telle ou telle manière, on obtient une courbe d'une espèce différente. Ainsi, pour déterminer la valeur de la superficie enfermée dans cette courbe , nous pourrons considérer la superficie, non dans ses rapports avec

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les rayons, mais dans ses rapports avec les aires comprises entre les diverses perpendiculaires dont les extrémités déteraiinent les points de la courbe et que l'on nomme ordonnées-, d'où il résulte que la valeur du cercle se peut déterminer sous des aspects différents, nonobstant que cette valeur soit toujours identique. La transition d'un point de vue à l'autre est la succession des perceptions de l'identité, présentée sous des formes nouvelles.

Supposons maintenant que la valeur du cercle dépend du rayon, ce qui donne C =la quantité composée ou fonction x (6) ^ cette équation nous amène à concevoir le cercle sous l'idée générale d'une fonction de son rayon ou de X, et par conséquent nous autorise à le soumettre aux lois qui régissent toute (juantité composée. Nous voilà aux propriétés des différences, aux propriétés des limites et de leurs rapports, c'est-à-dire dans le calcul infinitésimal, dont les termes nous présentent l'identité sous une forme qui nous rappelle un long encbaînement d'idées et d'analyses profondes. Ainsi, en exprimant la différentielle du cercle par g?c, son intégrale par Srfc, nous aurons c = Se? c (7), équation dans laquelle on exprime la même valeur que dans celle-ci : cercle = cercle, mais avec cette différence que la dernière équation rappelle d'immenses travaux analytiques, qu'elle est le résultat d'une longue succession d'idées, le résultat du calcul intégral et du calcul différentiel, de l'application de l'algèbre à la géométrie, enfin d'une infinité de notions élémentaires, de règle;s, de

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214 LIVKE I. — DE LA CEKTliUDE.

combinaisons. Lorsqu'on arrive, au moyen des calculs les plus abstraits et les plus délicats, à trouver la valeur du cercle, il serait extravagant de prétendre que réquation trouvée n'est autre que celle-ci : cercle ^cercle. Toutefois on peut affirmer qu'il y a au fond identité, et que la différence d'expression à laquelle nous sommes parvenus est le fruit d'une série de perceptions de la même identité, présentée sous des aspects différents. Si nous exprimons par les lettres ABCDEM les idées successives que nous avons été forcés de parcourir, la loi de leur encbaînement pourra se formuler de cette manière : A = B, B :== C, C = D, D = E, E=:M-, doncA^M.

271. Ne cherchons que dans la constitution de notre intelligence la loi de ces anomalies. La plupart de nos connaissances se composent de perceptions successives. L'esprit humain ne parvient que par le travail à voir dans les idées ce que ces idées contiennent. De là, pour lui, la nécessité de concevoir sous des formes non-seulement distinctes, mais différentes, les choses même les plus simples-, et, par une correspondance merveilleuse, la faculté de décomposer ce qu'elle conçoit, et de multipher, dans Tordre des idées, ce qui en réalité est un : faculté stérile, toutefois, si l'inteUigence, en passant d'une idée à l'aut!^^ n' avait le moyen d' enchaîner ces idées et de se souvenir Ce moyen, l'entendement le possède dans lessignés écrits, parlés ou pensés^ signes mystérieux, qui nonseulement expriment une idée, mais sont quelquefois le résumé d'une longue suite d'idées et de l'expé-

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rience des siècles. Au moment où le signe s'offre à nous, certes, nous ne voyons point avec une en'tière clarté ce qu'il exprime, nous ne saisissons point d'un premier regard le pourquoi de la légitimité de l'expression ^ mais nous en connaissons le sens d'une manière confuse 5 nous savons qu'il nous est facile de renouer le fd des perceptions par lesquelles nous avons passé, de remonter, en revenant sur nos pas, jusqu'aux éléments les plus simples de la science. Le mathématicien qui calcule ne connaît la valeui* des expressions dont il se sert qu'en tant qu'elkis se rapportent d'une manière immédiate à l'objet qui l'occupe -, mais il est assuré que ces expressions ne le trompent point, que les règles qui le guident reposent sur des principes solidement établis. Les développements d'une science se peuvent comparer aune suite de colonnes milliaires : l'ingénieur relèvcî les chiffres gravés sur ces colonnes, sans avoir besoin de revenir au travail antérieur par lequel il a mesuré les distances partielles. Il lui suffit de savoir que les opérations ont été bien faites, que les résultats ont été fidèlement inscrits.

272. Aux preuves nombreuses que nous avons données de cette nécessité de décomposition, nous pouvons ajouter l'exemple de l'enseignement en général. Veut-on faire comprendre à des commençants ce problème géométrique : tous les diamètres d'un même cercle sont égaux -, il faut exposer sous forme de démonstration, ce qui n'est qu'un souvenir, qu'une explication du cercle. Pour tracer une circonfére^nce,

Kitmm^MiMimMf,

on établit un point autour duquel tourne une ligne nommée rayon. Or, le diamètre n'étant autre chose que r ensemble de deux rayons continués en une même ligne, il semble qu il devait suffire d'énoncer le théorème, c'est-à-dire de définir le cercle pour donner Vidée du diamètre. Il n'en est pas ainsi cependant. Afin d'étabhr cette vérité que les mathématiciens exercés perçoivent par une seule intuition et dans une seule idée, le maître est forcé d'employer un long enchaînement d'idées.

273. Nous pouvons maintenant apprécier à sa valeur l'opinion de Dugald Stewart (Éléments de la Philosophie de r esprit humain). « U est permis de douter que même l'équation arithmétique 2x2 = 4 se puisse représenter d'une manière exacte par la formule A = A. Cette opération énonce r équivalence de deux expressions différentes, équivalence dont la découverte peut avoir une importance décisive en un grand nombre de cas, tandis que la formule A=A, entièrement insignifiante, est pratiquement sans application. Que sera-ce donc si l'on prétend la comparer au binôme de Newton? La comparer à l'équation 2x2 = ^ (équation qui, par son extrême simpUcité, peut passer pour un axiome), c'est, à mon avis, un paradoxe. Toutefois ce paradoxe ne nous révolte pas outre mesure, mais, dans le second cas, il est impossible de lui donner un sens (2«part., ch. 2, sect. 3, §2). » N'en déplaise au philosophe, l'absurdité du paradoxe tient à l'erreur dans laquelle il est tombé luimême. Nul n'a prétendu nier l'importance de la dé-