CHAP. XXIII. — LES POINTS INÉTENDIS

division, le même fait se reproduit sans cesse. Donc, pour obtenir un point sans étendue, il nous faut passer par une infinité de divisions ; ce qui veut dire, en d'autres termes, que nous ne l'atteindrons jamais. Pour continuer la division jusqu'à l'infini, nous sommes forcés de supposer un nombre infini de parties et par conséquent l'existence actuelle de ce nombre infini -, mais du moment que nous réalisons le nombre infini, il semble qu'il devient fini, car nous apercevons un terme à la division; nous concevons des nombres plus grands que lui. Que ce nombre infini de parties se trouve en un pouce cube , je dis qu'il existe des nombres plus grands que lui ; l'infini, par exemple, d'un pied cube, lequel contiendra dix-sept cent vingt-huit fois l'infini contenu dans le pouce. Ainsi les partisans des points inétendus retombent dans la division infinie, qu'ils voulaient éviter, de même que leurs adversaires semblent ne pouvoir échapper aux points inétendus dont ils niaient l'existence. L'imagination se perd, l'intelligence reste confondue.

168. La seconde difficulté n'est pas moins inextricable. Supposez que l'on parvienne aux points inétendus : comment reconstituer l'étendue? (]e qui n'est pas étendu est sans dimensions -, donc un nombre de points inétendus, quelque grand qu'il soit, ne saurait former une étendue. Exemple : nous unissons deux points sans étendue, supposition gratuite assurément, ni fun ni Vautre n'occupant aucun lieu^ croyez-vous que leur union change leur nature? On

VIA LIVRE HT. — l'étendue et l'espace. ne peut dire qu'ils se pénètrent l'un l'autre^ se pénétrer implique l'étendue. Tous ces points étant zéro par rapport à l'étendue, leur somme, quel qu'en soit le nombre, ne donnera jamais que zéro.

169. Il est certain qu'une addition de zéros donne zéro pour résultat et ne peut donner autre chose. Toutefois, en mathématiques on admet que certaines expressions égales à zéro donnent comme produit une quantité finie , quand on les multiplie par une quantité infinie.

0+0+0+0+NxO=0; mais de :«=. 0 multiphe par ^ = 00 , il résultera g >^ q=5î^^ =

pr-, nombre égal à une quantité finie quelconque, que

nous exprimons par A. Cette démonstration ne sort pas des principes de l'algèbre élémentaire. Que si nous passons à l'algèbre transcendantale, nous avons

|^ = ^=^B-, B exprimant le quotient différentiel

qui peut être une valeur infinie. Ces doctrines mathématiques peuvent-elles expliquer la génération de rétendue par le point inétendu? Je ne le pense pas. Il est évident, en effet, que si l'addition d'une infinité de zéros ne peut donner que zéro, la multiplication, n'étant qu'une addition abrégée, ne saurait donner autre chose , bien que l'un des facteurs soit infini. Mais pourquoi les résultats mathématiques disent- ils le contraire? — La contradiction n'est

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qu'apparente. En multipliant une quantité infinitésimale par un infini, on peut obtenir une quantité finie, parce que l'infiniment petit n'est point considéré comme zéro, mais seulement comme une quantité moindre que toutes les quantités imaginables, laquelle toutefois est quelque chose. S'il n'en était ainsi, l'on opérerait sur un pur néant.

Dirons-nous pour cela que les expressions — =

^ ne sont qu'approximatives ? non , parce quelles

expriment le rapport de la hmite de décroissance, lequel n'est égal à B que si les différencicilles sont égales à zéro ; mais le géomètre, ne consid(3rant que la limite en soi, franchit les degrés successifs de décroissance et se place dès le début au point exact. Pourquoi donc opérer sur ces quantités? Parce que les opérations sont une sorte de langue algébrique ^ elles marquent le chemin que l'on a suivi dans les calculs, et rappellent l'enchaînement de la Hmite avec la quantité à laquelle elle se rapporte.

470. L'unité, qui n'est pas la plurahté, produit la plurahté. Pourquoi le point inétendu ne poifTrait-il produire l'étendue?— Je ne vois point de parité. L'inétendu, en tant qu'inétendu, n'est autre chose que l'idée négative de l'étendu ; l'unité exclut la multiplicité, mais la négation ne constitue point l'unité. On ne dira point de l'unité : «C'est la négation de la multiplicité. » Et nous définissons le non étendu ; «Ce qui n'a pas d'étendue. »

126 LIVRE m. — l'étendî E ET l'espace.

Un être quelconque, pris en général, que l'on suppose indivisible, voilà l'unité. Le nombre est un composé d'unités. Donc l'idée d'unité, l'idée d'un être non divisé^ est comprise dans le nombre, qui n'est autre chose que la répétition de Tunité. Tout nombre se résout dans Tunité et la contient, par cela même qu'il est nombre d'une manière déterminée. L'étendu ne peut se résoudre dans Tinétendu, à moins qu'on ne le divise jusqu'à l'infini ou qu'on ne le décompose d'une manière qu'il nous est impossible de comprendre.