CHAPITRE Vin

ON APî»LiQUE A l'Étendue la définition de l'infini. — - confirmation de cette définition.

59. Nous avons exphqué l'idée de l'infini en général, au moyen des concepts indéterminés d'être et

94 LIVRE vni. — l'infini.

de négation de limite. Pour nous assurer que l'explication est fondée, et que les caractères essentiels et vrais du concept ont été saisis et constatés, voyons si l'application de ces caractères à des objets déterminés correspond à ce qui a été établi en général.

Si ridée de l'infini est ce que nous avons dit, nous pourrons l'appliquer à tous les objets de l'intuition sensible ou de l'entendement pur, et nous obtiendrons les résultats qui se doivent obtenir, y compris les anomalies signalées au cbapitre V.

60. Les anomalies ou plutôt les contradictions que semblent offrir les applications de l'idée de l'infini (la réalité dément l'idée) tiennent aux applications différentes que Von fait de cette idée-, diversité impossible, si l'idée représentait un objet déterminé -, mais, comme elle n'implique autre chose que la négation de limite, en général, unie à un être pareillement en général, il suit que dans chaque cas particulier cette négation se trouve soumise à des conditions particulières-, c'est pourquoi, lorsque nous passons à d'autres conditions, l'idée générale ne peut nous donner le même résultat.

61. Une hgne prolongée à l'infini vers le nord, du point où nous sommes, nous a donné un infini et un non infini (chap. Vj; contradiction, mais contradiction purement apparente. Je ne vois ici qu'une différence de résultat, laquelle tient à la condition particuhère sous laquelle on applique l'idée générale.

Lorsqu'il s'agit dune hgne prolongée à l'infini dans la direction du nord, l'idée infinité n'est point appli^

CHAP. VIII. — APPLICATION A L*ÉTENDl]E. 95

quée à une valeur linéaire abstraite, mais à une droite qui part d'un point et qui se prolonge dans une seule direction : le résultat est ce qu'il doit être ^ on affirme la négation de la limite sous une condition : l'infini qui en résulte est soumis à la même condition. Que si l'on vous dit : point de milieu entre le oui et le non, et, partant, entre l'infini et le non infini, répondez que, pour être contradictoires, le oui et le non se doivent rapporter à une même chose, ce qui n'a point lieu lorsqu'on change les conditions de l'objet.

62. Que si, au heu de supposer une ligne partant d'un point donné, nous avions appliqué la négation de limite à une droite, en général, il est évident que nous aurions dû prolonger cette droite dans les deux sens opposés : ce qui nous eût donné un infini différent par rapport à la nouvelle condition.

Or, nous avons vu (chap. V) que, même dans cette hypothèse, nous n'aurions pas une valeur hnéaire infinie, dans la vérité rigoureuse du mot, puisque nous pouvons supposer un ensemble de hgnes dont celle-ci ne serait qu'une partie. Mais alors est-elle infinie ou finie? l'une et l'autre, moyennemt la distinction voulue. Elle est infinie, c'est-à-dire nous avons l'idée d'infini ou de négation de limite appliquée à une ligne droite unique; mais si, au lieu d'une ligne droite unique, il s'agit d'une valeur linéaire sans condition, la ligne supposée cesse d'être infinie^ ce n'est point sous cette condition que la néga»tion de limite est appliquée-, le résultat est et doit ^tre différent.

96 uvRE viii.— l'infini.

63. Que s'il s'agit de deux lignes seules, même anomalie. Soit une droite prolongée à Tinfini dans les deux sens, à côté de laquelle nous traçons une courbe se prolongeant à l'infini, parallèlement à la droite, en des ondulations continues. A ne consulter que leur direction, et abstraction faite de leur valeur linéaire, ces deux lignes sont infinies ^ mais si vous considérez leur valeur linéaire, la ligne courbe est plus longue que la droite. En effet, rectifiez une partie de la courbe correspondant à une partie de la ligne droite, elle demeurera plus longue que la droite-, or, comme cela se peut faire dans toute la longueur des deux lignes, il suit que la valeur linéaire de la courbe est supérieure à celle de la droite, proportionnellement à la loi de ses ondulations.

64. Nous voyons par cet exemple comment l'idée de l'infini se peut appliquer en des conditions différentes, et produire, sans contradiction aucune, des résultats différents. Ce qui est infini sous un rapport ne l'est point sous un autre ^ de là vient ce que l'on appelle ordres d'infinis, lesquels jouent un si grand rôle dans les mathématiques^ mais, je le répète, ces contradictions deviennent inexplicables si Ton attribue à l'idée d'infini une valeur absolue -, si l'on y voit autre chose que la représentation abstraite de négation de limite.

65. Est-il possible de concevoir une longueur infinie absolue, c'est-à-dire une valeur linéaire à laquelle s'applique d'une manière absolue la négation de limite ? Je crois pouvoir répondre négativement. Quelle

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que soit, en effet, cette ligne, on en pourra toujours imaginer d'autres dont la somme, ajoutée à la valeur de la première, donnera une valeur supérieure; contradiction évidente entre la négation de limite et la condition à laquelle on veut soumettre cette négation. Vous exigez une valeur linéaire impliquant d'une manière absolue la négation de limite, et d'autre part, vous exigez que cette valeur linéaire se trouve dans une ligne déterminée, laquelle, par cela même qu'elle est déterminée, exclut la négation absolue d<; limite : des données contradictoires sont posées dans le problème; le résultat doit être une contradiction.

66. Que faut-il donc pour concevoir une valeur linéaire absolument infinie? n'admettre aucune condition qui exclut la négation absolue de limite. Il s'agit ici de distinguer entre le concept pur et l'intuition sensible qui le doit exprimer. Le concept d'une valeur linéaire infinie existe du moment que nous unissons les deux idées générales : valeur linéaire et négation de limite. Il n'est pas aussi facile d'impginer, même en général, l'intuition sensible représentative de ce concept. Pour y parvenir au moins d'une certaine manière, supposons un espace sans Ihnites; et considérant en général toutes les lignes droites ou courbes que l'on peut y tracer, sous toutes les conditions ou directions, faisons la somme de ces valeurs linéaires; le résultat sera une valeur linéaire absolument infinie, parce que nous lui aurons appliqué la négation de limite sans aucune restriction.