TOME ic

P. 60. Sur la question de la contingence des lois de la nature, il y a un malentendu à éviter. Les lois de la nature sont contingentes, d'abord parce que la nature elle-même est contingente ; puis, parce que Dieu lui eût pu imposer

d'autres lois, et qu'à celles qui existent il en peut superposer d'autres quand il le veut. Mais s'il s'agit de la loi, prise en elle-même, si par exemple on a trouvé que la loi de tel phénomène est un cercle, une ellipse, une forme géométrique quelconque, il est clair que cette idée géométrique, prise en elle-même, n'est pas contingente, mais d'une éternelle vérité. De plus, il est nécessaire qu'il y ait des lois, et que ces lois soient des idées de Dieu, et que Dieu, comme le dit Leibniz, gouverne tout conformément à lui-même.

P. 130. « Pour tout mouvement, il faudrait un temps infini. » Nous sommes bien loin de vouloir accepter comme bon ce raisonnement contre la réalité du mouvement. Nous disons seulement qu'on y répond par cette vérité générale et ancienne, que Dieu est cause première de tout mouvement, comme de toute existence, et que tout mouveïnent est impossible sans l'action de la cause première.

P. 243. Quand nous disons : «L'objet même de la foi, le « seul objet de la foi, c'est Dieu, » nous voulons parler de V objet formel de la foi, ou motif formel de la foi, comme s'exprime la théologie. 11 est trop clair qu'il ne s'agit pas ici des objets divers auxquels la foi peut s'appliquer.

P. 253. a ... Suivis de toutes les Écoles tbéologiques, « moins quelques particuliers. » Nous avons peut-être ici trop facilement compté les Écoles. Mais, dans notre Traité de la connaissance de Dieu (voir la note placée à la fin du second volume), nous avons cité les noms et les textes des grands auteurs qui soutiennent la proposition dont il s'agit : Inesse naturaliter creaturx rationali appetitum innatum ad visionem Dei intuitivam. Cette proposition, du reste, ayant étonné quelques personnes, qui n'en connaissaient pas l'his-

toire, nous saisissons cette occasion de dire que, quant à nous, nous n'y tenons par aucun intérêt de système. Nous n'en avons aucun besoin pour appuyer ce que nous soutenons dans la Logique, comme dans le' livre de la Connaissance de Dieu. On y effacerait le moinaturaliter, on supprimerait même le mot intuiUvam, que tous nos raisonnements subsisteraient.

P. 281. Nous avons assez défini, dans notre Traité de la connaissance de DieUy la nature du désir inné dont il est question dans cette page.

P. 343. « Pensez- vous que le Fils de l'homme, lorsqu'il « viendra, trouve encore de la foi sur la terre? » Ce texte, nous le savons, est considéré, par la plupart des commentateurs, comme une pure négation. Néanmoins, nous avons cru pouvoir le présenter comme une simple question, un simple doute, en nous appuyant sur ce qu'en dit saint Augustin en deux endroits de ses ouvrages : « Ce doute de « celui qui sait tout, dit-il, est la figure de notre doute. » {Dubitatio enim cuncta scientis nostram dubitationem prœfi'guravit. II, 366, G., et IX, 574, G.)

P. 414. Nous louons avec raison l'Index de saint Augustin; mais nous devons prévenir le lecteur que Fénelon trouvait « ce merveilleux travail des Bénédictins » quelque peu entaché de Jansénisme.

On appelle, trop souvent et depuis trop longtemps, Philosophie un certain genre littéraire, fâcheux et faux, qui, je le crois, va disparaître; genre étrange, qui, sous prétexte de précision et d'abstraction, se passe de style et de clarté, et qui, dispensé de clarté, se passe de tout; genre orgueilleux et dangereux, dont la prétention essentielle est de représenter la vérité, tandis que son obscur et vague domaine, quand il n'est pas le désert même, est le repaire principal de l'erreur. La nullité, Uignorance, l'audace de l'affirmation absolue, fortuite et arbitraire, le mensonge même et la haine de la vérité, peuvent se cacher dans ses dissertations insaisissables, qui ne relèvent d'aucune langue connue. De ce terne foyer, à certains moments, le venin de l'absurde s'efforce de gagner, pour prendre corps, la littérature générale et toutes les directions de la pensée. Mais, il faut Tespérer, tout ce genre est près de sa fin. Il ne se soutient plus qu'à force de scandale logique, en affirmant, pour saisir l'attention, que le oui c'est le non, et puis en déduisant de cette formule générale de l'absurde les prodiges lo=

giques qu'elle renferme. Mais ce criant effet de dissonance, connu depuis Gorgias, sifflé avec mépris par Aristote, qui en donne le grossier procédé, ne peut étonner qu'un instant, et le genre tout entier \a périr, aussi bien dans sa forme absurde, la sophistique, que dans sa forme vide, la philosophie séparée *.

Au lieu de ces stérilités ou bien de ces indignités, l'esprit humain demande la science, et la vérité claire.

Or, nous avons sous les yeux l'admirable et vivant exemple de la grande science de la nature. Voilà le commencement de ce que veut l'esprit humain. Il veut la science réelle , la science non pas parfaite et achevée , mais constituée, progressive, portant sur ce qui est, et s'étendant à tout ; au monde que nous voyons, à cet autre monde que nous sommes, et au monde infini qui est Dieu, monde infini vers lequel tendent les mondes finis.

Nous croyons que le prochain effort de la raison moderne constituera la science totale, et cela d'après la méthode qui vit et règne dans la partie déjà constituée, la science du monde visible.

* J'appelle philosophe abi traite ou séparée celle qui repousse Tua des éléments essentiels de la philosophie. Les éléments essentiels de la philosophie complète sont : les trois essences dont parle Aristote, deux naturelles, l'autre immuable. Ce sont les trois mondes dont parle Pascal, monde des corps, monde des esprits et monde surnaturel ; ce sont les trois vies qu'a retrouvées et constatées Maine de Biran, vie physiologique, vie psychologique et vie divine. Lisez Pascal, lisez Maine de Biran (Journal intime) pour bien comprendre la solidité absolue et la portée de cette grande distinction.

Nous avons essayé de travailler à ce progrès par nos ouvrages, et surtout par notre Logique. Dans cette Introduction, nous voulons expliquer, plus clairement encore, l'un des points de la théorie générale de la méthode, savoir : comment celui des deux procédés nécessaires de la raison que j'ai nommé Tacte ou le procédé fondamental de la vie raisonnable, et qui est TInduction, se trouve, aussi bien que Tautre, organisé dans les mathématiques, où Ton peut en saisir les lois et en constater la nature et la fécondité.

Nous prions le lecteur de nous prêter son attention et de nous juger par lui-même.

Yoici d'abord, sur l'ensemble de la logique, des propositions textuelles d'Âristote : (c Tout ce que nous tt apprenons, nous l'apprenons par déduction ou par « induction S — L'une des sources de la science, c'est « l'induction ; l'autre est le syllogisme. — L'induction a est le passage régulier du partlbulier à l'universel. — « L'induction donne le principe et l'universel. — Les « majeures sont les points de départ du syllogisme. Le (( syllogisme ne les donne pas ; c'est donc l'induction a qui les fournit. — Lorsqu'il y a «n intermédiaire par

^ Voyez tome 11^ p. 16 et suivantes^ où nous citons toutes ces formules, et d'autres^ avec le texte grec.

« lequel une proposition se peut déduire d'une autre, « c'est le syllogisme qui nous y mène ; mais lorsqu'il « n'y a point d'intermédiaire, c'est l'induction. »

Telle est la doctrine d'Aristote, qui est aussi celle de Platon et celle du moyen âge, et au fond celle de tous les temps.

En effet, qui voudra contredire ces simples énoncés? Leur vérité n'est-elle pas manifeste ? La raison n'a-t-elle pas en effet ces deux mouvements ? Ne sont-ils pas à la fois nécessaires et suffisants? Ou la raison cherche ce qu'elle n'a pas, ou elle développe ce qu'elle a ; ou elle trouve un principe, ou elle déduit des conséquences ; ou elle s'élève des faits particuliers aux affirmations générales, ou elle déduit, et va du général au particulier. L'un des deux procédés commence, invente ; et Tautrg suit, explique et développe.

Mais ce qui caractérise ces deux mouvements de la raison, l'induction et la déduction, c'est que la déduction procède par voie d'identité ; elle marche par moyens termes, comme le dit Aristote; elle marche par voie d'équation, d'identités en identités^ ou, comme s'exprime Platon, « elle ne sort pas de son point de départ. »

L'induction au contraire, pour trouver les majeures, les principes, pour atteindre ce qu'on n'avait pas, ne peut aller par voie d'identité, ne peut rester dans son point de départ : elle doit, comme le dit Aristote, procéder sans moyen terme, et, comme le dit Platon, « s'élever au- « dessus de son point de départ. r> D'un fait conclure une loi, ou du particulier l'universel^ c'est aller sans intermédiaire syllogistique ; c'est sortir de l'identité^ en

INTRODUCnOM. Sf

d'autres termes ^ c'est procéder par voie de transcendance.

Or, nous avons affirmé et montré amplement dans cette Logique, que si l'un des deux procédés, la déduction ou le syllogisme , est parfaitement connu, l'autre , l'induction^ le procédé de transcendance, est ordinairement méconnu. Nous avons dit comment l'un des plus. grands fléaux de la philosophie et la cause des erreurs les plus énormes, c'est cette prétention au raisonnement déduc* tif continu par voie d'identité , qui règne encore parmi la plupart des penseurs*.

Chacun admet que le procédé qui déduit^ qui déve^ loppe ce que ton tient, qui va par voie (Tidentité, qui ne sort pas de son point de départ, est évidemment rigoureux. Mais on ne comprend pas ce qu'est cet autre procédé, qui cherche ce qu'on n'a pas, qui va plus haut que le point de départ, qui procède sans intermédiaire, par transcendance et fion plus par identité. Presque tous nous considérons l'induction comme synonyme de tàton* nement, de conjecture; comme un vague procédé qui ne produit que vraisemblance et probabilité.

* Le lecteur est prié de lire avec attention le chapitre iv du livre I de cette Logique, où se trouve le développement de cette assertion : « La prétention à la démonstration déductive continue con- « siste à applique!* à tout Tun des deux procédés de la raison, le « syllogisme ou le principe dMdentité; on prétend établir, de tout a point à tout autre, un passage continu du même au même; ce « qui prouve qu'on ignore Fexistence de l'autre procédé de la tt raison, et qu'on suppose la possibilité de tout voir dans Tiden- « tité absolue, n C'est là un des plus grands travers de Tesprit humain; c'est la source du panthéisme Contemporain.

40 INTRODUCnON.

Tous ceux qui se sout occupés de rinductioQ dans ces derniers temps, Hamilton, Whewell, Apelt, avouent que. la théorie de rinduction est encore à créer, a C'est en- « core un pieux désir, dit M. Apelt*. » — « La logique « de rinduction, dit M. Whewell, n'est pas env/ore faite, » {The logik of induction has not y et beeii constructed\)

Hamilton , de son côté, s'exprime ainsi : « Nous ne « connaissons pas de logicien qui ait clairement déâni le « caractère propre de l'induction dialectique, et il y en a a peu qui ne soient tombés sur ce point dans les plus a graves erreurs. La doctrine d'Aristote , quoique assez « maigre, est exacte en substance. Mais les logiciens poste térieurs, en essayant de perfectionner la doctrine du « maître, n'ont fait que la corrompre au lieu de la comte pléter. — Les procédés, déductif et inductif, sont des a éléments également essentiels de la logique : ils se sup- (( portent réciproquement. Le premier n'est possible qu'à « travers le second.,.. La proposition majeure dont il a fait sortir la conclusion est nécessairement elie«même « la conclusion d'une induction antérieure.... Non-seu- « lement la possibilité du syllogisme déductif dépend, « sous un point de vue général , de Tinductif ; mais il « faut remarquer en outre, ce qui n'a pas été fait encore, « que le premier est, dans l'ensemble et les détails, dans « le tout et les parties, dans le but et les moyens, en per- « fection et en imperfection, précisément la contre-par- « tie du dernier. Les tentatives de presque tous les lo^

« Théorie de Vinduction. Préface.

> Philosophie dés sciences induciives. Vol. 11^ p. 616,

« giciens, sauf peut-être Aristote^ pour assimiler et iden- « tifier les deux procédés^ ea réduisant le syllogisme in* « ductif aux propriétés du déductif , ayant toutes pour « origine une notion complètement erronée sur leur anaet logie et leur différence, ont contribué à envelopper la « doctrine de Tinduction logique d'un nuage d'erreur et « de confusion. L'argument inductif est aussi indépena dant et aussi susceptible d'analyse que le déductif, « quoiqu'il soit beaucoup moins compliqué ; il est gou- « verné par ses propres lois, et doit être apprécié dans sa « nature propre.... Mais l'inductif, apprécié comme on « l'a toujours fait, d'après le type du déductif , ne peut « paraître qu'un véritable monstre*. »

Rien de mieux dit sur cette grande lacune de la logique de l'induction.

Or, c'est précisément ce procédé que j'ai prétendu faire connaître plus clairement qu'il ne l'était. J'affirme que c'est le procédé scientifique par excellence ; c'est le procédé d'invention dans toutes les directions de l'esprit humain, c'est le principal et le plus fécond des deux procédés de la raison.

L'induction, dis-je^ loin de n'être qu'une sorte de conjecture ou de tâtonnement qui ne mène qu'à la vraisemblaïice, l'induction est un procédé scientifique, et qui mène régulièrement à la vérité.

J'entends par induction celui des procédés de la raison qui ne va pas par voie d'identité, mais qui procède

' Hamilton, Fragments de philosophie, trad. de L. Peisse^ p. 249 et suivantes.

par transcendance entre deux points que ne lie pas ridentité \

Or, pour montrer que Tinductiori est un procédé scientifique légitime, je vais prouver que Tinduction est l'un des deux procédés fondamentaux de la géométrie, et même le principal et le plus fécond . Dès lors l'induction est un procédé scientifique, un raisonnement valable, comme tout ce qui est géométrique.

Mais je n'oublie jamais qu'aujourd'hui, en matière scientifique, personne ne croit au raisonnement On ne se rend qu'à l'autorité.

C'est pourquoi, avant d'en venir à ma démonstration, j'exposerai mes autorités.

Sans doute je n'ai rencontré ces autorités qu'après

' J'appelle voie de transcendance tout ce qui n'est pas la voie ^identité. Je ne donne pas au mot transcendance d'autre sens. Le caractère de l'induction c'est la transcendance, comme le caractère de la déduction c'est l'identité. C'est, en d'antres termes, l'idée d'Aristote : « La raison va par induction, dit Aristote, quand « il n'y a pas de moyen terme entre les deux idées ; elle va par syl- « logisme ou déduction, lorsqu'il y a un moyen terme. » Cela répond encore à cette profonde distinction de Leibniz (Cf. Connaissance de l'âme, tome I, page 301), entre «t les vérités réductibles « entre elles à l'identité, et les vérités non réductibles à l'iden- « tité; » ce que Leibniz compare « aux deux espèces de rapports « entre grandeurs géométriques ; grandeurs commensurables et « grandeurs incommensurables, c'est-à-dire qu'aucune analyse « ne ramène à l'identité. »

coup, longtemps après avoir trouvé la vérité elle-même par la raison. Mais la raison et Fautorité se soutiendront ici d'autant mieux qu'elles se rencontrent librement.

Je veux démontrer que l'induction, l'un des deux procédés nécessaires de la raison, celui qui va par transcendance, non par identité, est l'un des procédés foqdamentaux de la géométrie. J'ajoute en particulier que le procédé infinitésimal de la géométrie, c'est Tinduetion même sous forme mathématique.

Mais comme cette asserti(m peut sembler étrange à ceux qui n'y auraient pas réfléchi, je commence par montrer que je ne suis pas le premier qui ai dit tout cela.

Voici une première autorité qui éveillera sur ma thèse l'attention du lecteur. C'est celle de Laplace. Laplace dit, en parlant de l'analyse géométrique : « V analyse et «c la philosophie naturelle doivent leurs plus importantes a découvertes à ce moyen fécond que fon nomme indueu tion. Newton lui est redevable de son théorème du bi- « nôme et du principe de la gravitation universelle^. »

> Théorie analytique des probabilités. Introd.^ p. cliii (Paris, 4847). Laplace développe ailleurs son assertion relattye au binôme de Newton ; « En comparant par la yoie de rindaction, dont « WalUs avait fait un si bel usage^ les exposants des puissances « da binôme avec les coefficients des termes de son dévelop- «( pement, dans le cas oii ces exposants sont des nombres entiers , « il détermina la loi de ses coefficients^ et il retendit par analogie « aux puissances fractionnaires et aux puissances négatives, n Ibid., p. 4. Ailleurs encore Laplace parle ainsi de l'induction : a La méthode la plus sûre qui puisse nous guider dans la recber- « che de la vérité, consiste à s'élever par induction des pbéno- « mènes aux lois, et des lois aux forces. )» Ibid., Introd., p. cr.vni.

Laplace affirme donc ceci : que Tinduction est un moyen fécond, c'est-à-dire une méthode, et la méthode la plus féconde en géométrie aussi bien qu'en physique.

Je passe à d'autres autorités qui s'expriment plus explicitement. Voici un grand géomètre classique, Wallis*, contemporain de Fermât , de Leibniz, de Newton. Wallis est en quelque sorte le père de Leibniz et de Newton dans Tinvention du calcul infinitésimal. Or Wallis, traitant ex professa de la méthode infinitésimale, soutient et démontre que cette méthode est l'induction.

Nous avons sous les yeux les œuvres de Wallis. Son Arithmétique des infinis a pour second titre : Nouvelle méthode pour rechercher la quadrature des courbes^.

Or, quelle est cette méthode ? C'est, selon Wallis, l'in-

' Il est historiquement connu que Y Arithmétique des infinis^ de Wallis, fut le point de départ et le livre excitateur des travaux de Newton et de ceux de Leibniz sur Tanalyse infinitésimale : « L'époque de Y Arithmétique des infinis àe Wallis, ditMontucla, « est celle à laquelle on doit fixer le commencement des progrès « remarquables de cette partie de la géométrie moderne. ATaide « d'une induction habilement ménagée, il soumet à k géométrie « une multitude d'objets qui lui avaient échappé jusqu'alors. » [Histoire des mathématiques^ part, rv, L 6).

Voici sur Wallis l'opinion de Leibniz : a Wallisius praeter arith- « meticam inftnitorum, divinationibus quidem, sed ingeniosisa simis et felicissimisnixam, alias superficies conoïdes Hgurasque « planas et solidas mensuravit. » Maclaurin dit de Y Arithmétique des infinis : « Wallis aima mieux décrire simplement la méthode « qu'il avait trouvée pour découvrir de nouveaux théorèmes, et « Ton doit avouer que cet excellent traité contribua beaucoup (( aux grands progrès que Ton fit peu après. » Introd., p. 49.

> Arithmetica infinitorum seu nova methodus inquirendi in Gurvilineorum quadraturam. Oxford, 4655.

IKTRODUGTiaN. 46

ductioD. « Ceux, dit-il, qui seront satis&its de notre « méthode par induction pourront en prendre connaistt sance dans notre arithmétique des infinis \ » £t, en effet, je lis, à la première page de cette arithmétique des infinis , cette description de la méthode : a Le moyen 0 d'investigation le plus simple, en ce problème et quel- « ques autres qui vont suivre, c'est d'abord d'opérer plu- « sieurs fois le calcul, d'observer les rapports qui surgis* a sent, puis de poser enfin une loi générale par induc^ a iion\ »

Mais voyons de plus près ce que Wallis entend par induction*

Wallis entend par là, comme nous , le raisonnement qui conduit du fini à l'infini, ou d'une série à sa limite. Yoici en effet le principe fondamental de son arithméti* que des infinis tel qu'il l'énonce : « Nous passons à l'aria thmétique des infinis dont voici le fondement : Lors^ « que dans le fini detix quantités convergent d'une a manière continue, en sorte que leur différence de- « vienne moindre que toute grandeur donnée^ ces deux

' Algèbre^ p. 330 : Qui contenti erunt mea per inductionem methodo^ et deductioDibus inde factis^ eam videant in arithmetica infinitorum. Pages i, 2, 19, 20, 39, 40, 180, etc. Dans l'édition de 1655, voyez pages 365, 366, 382, 383, etc.

* Simplicissimus investigandi modus, in boc et sequentibus aliqaot problematibus, est : !<* rem ipsam aliquousque praestare; 2*» et rationes prodeuntes observare; 3° ut^inductione tamdem uni- Tersalispropositioinnotescat. Ailleurs, p. 383: Facto experimeuto patebit rationes inductione repertas ad hoc continue propius accedere ita ut diiïerentia tandem évadât omni assignabili minor; adeoque in inûnitum continuàta evanescet.

46 INTROBUGTIOff.

« quantités doivent être considérées comme égales dans « rinfini. Nous défendons ici cette méthode, et nous la c< soutenons contre les objections de quelques écri- « vains*. »

En effet, déjà l'on commençait sur la méthode infini-^ tésimale cette longue polémique qui n'est point encore terminée, mais qui sera finie quand on voudra com*^ prendre ce qui me semble manifeste et ce que je démontre, savoir : que le procédé géométrique infinitésimal, qui va par transcendance, n'est autre chose que l'un des deux procédés nécessaires de la raison.

Fermât donc objecte à Wallis que sa méthode par induction n'est pas une méthode rigoureuse.

Mais Wallis se défend, et soutient que l'induction considérée comme procédé infinitésimal, c'est-à-dire comme concluant d'une série à sa limite, ou du fini à l'infini, c'est-à-dire d'une convergence dans le fini à une égalité dans l'infini, est en mathématique la méthode d'invention par excellence, et une méthode de démonstration suffisante.

« Le procédé par induction, dit Wallis*, est admis a par Fermât comme méthode d'investigation ; mais, se- (( Ion lui, on peut douter de sa rigueur démonstrative. ..•

» Préface deVMgèbre, Oxford, 1693 : Hinc in arithmeticam infinitorum transUur, quae et ipsa nititur exhaustionum metbodo. Quippe qux ita continua convergunt ut citra infinitatemdistent dat^o mi7ius, ea in infinitum continuata censenda sunt œqualia. Demonstrandi methodus inibi usitata defenditur et a quorumdam exceptionibns vindicatur.

» .algèbre, p. 334 . Voyez encore les chapitres 78, 79 et 80, consacrés surtout à cette polémique.

<f Mais rillustre géomètre, qui met en doute la solidité « de mes démonstratious par induction, et qui cherche à « faire mieux, ne s'est pas aperçu que la méthode qu'il c( veut substituer à la mienne n'est autre chose aussi « qu'une induction, mais qui est loin de valoir mieux « que ce que j'ai donné., . . Au fond je regarde Vinduc- « tion comme méthode d'investigation par excellence : « elle nous conduit souvent comme par la main à la dé- « couverte des lois ; sinon elle nous met sur la voie. Or, « dans le cas où sa recherche arrive à nous moAtrer la « loi, il n'est pas nécessaire de chercher une autre dé- « monstration *• »

Cette réponse est fort remarquable. On voit d'abord que Fermât ne nie point l'induction comme procédé infinitésimal ou fondement de l'arithmétique des infinis. Il l'accepte comme procédé d'investigation. Il met seulement en doute sa rigueur démonstrative. Wallis répond fort heureusement que Fermât lui-même, qui cherche à faire mieux, n'évite nullement l'induction, mais l'enveloppe seulement sous une plus mauvaise forme. C'est ce qu'ont fait tous les géomètres qui ont voulu, comme Lagrange, éviter ce procédé inductif par transcendance, dont ils ne comprenaient pas la valeur logique, et qui prétendent tout démontrer, comme l'a dit fort bien

* Rem ipsam quodspectat^ ego certe inductionem existimo egregiam investigandi methodum: ut quaB multoties nos manuducit ad generalis regulœ detectionem, aut eo saltem proxime condocit. Et quoties ejusmodi inquisitionis exitus rem observatu fa* cilempatefacit, non est necesse ulteriorem demonstrationeminquîrere. (Algèbre, p. 335.)

48 INTRODUCnON.

M. Cournot, en restant dans le principe d'identité. Quoi qu'il en soit, Laplace, en parlant de cette polémique, donne raison à Waliis contre Fermât qui, dit-il, « fait « des objections peu dignes de lui contre cette méthode a qu'il n'avait pas suffisamment approfondie ^ »

Waliis d'ailleurs devient ici bien fort, lorsqu'il affirme que le fond et le principe de sa méthode, dont il main--

« Après avoir reproduit à sa manière « l'expression du rapport « de la circonférence au rayon^ en produits infinis^ » donnée par WaUis, Laplace ajoute « Waliis publia^ en 1657, dans son ^Hth^ « meiica infinitorum, ce beau théorème^ l'un des plus curieux de « l'analyse, par lui-même et par la manière dont l'inventeur y est « parvenu.... Cette manière de procéder par la voie d'induction « dut paraître en effet extraordinaire aux géomètres accoutumés a à la rigueur des anciens. Aussi voyons-nous que de grands géo- « mètres, «contemporains de Waliis, en furent peu satisfaits; et « Fermât, dans sa correspondance avec Digby, fit des objections « peu dignes de lui , contre celte méthode, qu'il n'avait pas suf- « fisamment approfondie. Elle doit être sans doute employée avec K une circonspection extrême; Waliis dit lui-même, en répondant a à Fermât, que c'est ainsi qu'il s'en est servi. Waliis observe que « les anciens avaient sans doute de semblables moyens d'invention ic qu'ils n'ont pas fait connaître, se contentant de donner les ré- « sultats appuyés de démonstrations synthétiques. 11 regrette avec « raison qu'ils nous aient celé leurs moyens d'y parvenir; et il « dit à Fermât qu'on doit lui savoir gré de ne les avoir pas imités « et de n'avoir pas détruit le pont après avoir passé le fleuve. Il « est digne de remarque que Newton qui avait profité de cette « méthode d'induction de Waliis et de ses résultats pour découa vrir son théorème du binôme, ait mérité les reproches que « Waliis fait aux anciens géomètres, en cachant les moyens qui a l'avaient conduit à ses découvertes. » Théorie analytique des probabilités, p. 506 et suivantes. Nous verrons plus bas que Newton appelle son moyen de découvertes tantôt Yinduction, et tantôt son analyse cachée.

INTRODUCrnON. 49

tient d'ailleurs partout la nouTeauté quant à la forme et à Tapplication, repose sur le même principe que celle de Cavallieri et que celle d'Ârchimède. <k J'explique ici, a dit-il dans la PréfaceS la vraie notion de la géométrie €c des indivisibles de Gavallieri. Elle n'est autre, quant 4K au fond, que l'antique méthode à'exhaustion sous une a forme plus simple. C'est le même principe ; elle est « aussi démonstrative ; je ne vois pas pourquoi , bien « comprise , on voudrait la tenir pour suspecte et peu « géométrique. De là, je passe à mon arithmétique des a infinis, qui elle-même s'appuie sur la méthode d'exce haustion, c'est-à-dire sur ce principe : Ce qui converge « dans le fini, doit être considéré comme é^ dans l'in- « fini. »

Ce principe de Wallis n'est autre chose que le principe d'Archimède lui-même.

De sorte que ce principe, le plus fécond de la gé ométrie, comme Laplace le déclare en propres termes, apparaît dans la science dès l'origine. En pouvait-il être au« trement? L'un des deux procédés essentiels et nécessaires du raisonnement humain pouvait-il ne jouer aucun rôle dans une science comme les mathématiques? Leibniz,

< Indeque de (GaTallierii) geometria iadivisibilium; cujus genuina notio explicatar; nec aliam esse (rem ipsam quod spectat) ostenditur^ quam illam veterum exhausUonU metfaodum breviori forma adhibitam; eodem cum illa fundamento nixam^ indeque demonstrabilem : ut non sit car suspecta habeatur (recte intel* lecta) aut geometriae adversa. Hinc in arithmeticam infinitorum transitur^ quae et ipsa nititur exhaustionum methodo. Quippe qosB ita convergunt ut citra infinitatem distent dato minus^ ea io infinitom continuata censenda sant œqualia. Algèbre: Préface.

5a INTRODUCTION.

aidé de Descartes , et en même temps Newton , lui ont donné ses formes les plus puissantes, du point de vue des infiniment petits et du point de vue des limites. Mais, dès l'origine , il vivait dans la science comme son plus fécond instrument.

Rien de mieux dit et de plus vrai à ce sujet que ce» paroles d'un géomètre fort compétent ' : « La notion des « infiniment petits remonte à Archimède... Déjà d'ailtf leurs on avait été amené à la conception fondamen^ « taie des limites. Ainsi les deux idées générales les plus

« fécondes des sciences mathématiques intimement

«liées Tune à l'autre remontent presque jusqu'à

« leur berceau *. »

* Duhamel^ Éléments de calcul infinitésimal. Préface. ' Montuôla traite fort heureusement ce point d'histoire de la géométrie [Histoire des mathématique^ tome I, p. 239) : « Les « écrits d'Archimède et des géomètres anciens, dit-il, nous pré- « sentent une foule d'exemples de ce tour de démonstration, « mais les précédents nous suffisent pour en dévoiler Tesprit. On « Toit qu'il consiste à examiner les propriétés des grandeurs rec- <ic tilignes qui enferment les curvilignes, et qui s'approchent d'elles (( continuellement comme de leur limite... Ce qui détermine qu'une « grandeur est la limite de deux autres, c'est lorsqu'elles peuvent « s'en approcher de manière qu'elles n'en diffèrent que de moins (( qu'aucune quantité donnée. On démontre ensuite facilement « que la propriété qui convient à ces grandeurs, convient aussi « à leur limite; c'est pour cela que quelques modernes ont appelé « cette méthode des limites; quelques autres lui ont donné le « nom de méthode d'exhaustion , parce qu'il semble qu'on « épuise les grandeurs rectilignes dans lesquelles se résout la « figure curviligne qu'on mesure. La démonstration ad absur- « dum, c'est-à-dire par laquelle on montre qu'il y aurait de « l'absurdité si la proposition était autrement qu'on ne l'énonce, .«est foft remarquable, j'oserai même dire fort ingénieuse;

ira'RODiH:;TiaN. st

Quoi qu'il en soit, voici donc , au moment où parait dans la science le calcul infinitésimal, sous sa forme moderne, Yoici entre deux géomètres, aussi considérables que Fermât et Wallis, une polémique où Tun des deux, celui auquel Laplace donne raison , soutient ce que j'ai moi-même soutenu avant de me savoir si solidement appuyé. Wallis affirme que le procédé qui conclut des polygones aux courbes, ou du fini, k Tinfini, ou d'une série à sa limite, c'est V induction; et que cette induction, qui est surtout un procédé d'investigation, est un procédé suffisant de démonstration. Telle est la vérité. Mais pour* quoi un aussi éminent esprit que Fermât, qui d'ailleurs admet l'induction en géométrie comme procédé d'investigation, déclare-t-il ce même procédé insuffisant comme procédé de démonstration? C'est justement parce que Fermât lui-même oublie, avec la plupart des modernes, que Tinduction, ainsi que le montre Aristote, est l'un des deux procédés essentiels de la raison. Fermât partage ce préjugé qu'on ne raisonne que par voie d'équation ou d'identité, et que le raisonnement n'a qu'une forme , un procédé, le syllogisme. Mais, comme le dit Aristote , s'il en était ainsi, la science serait impossible, puisque évite c'était le seul moyen de ne laisser rien à répliquer, mais ce « n'est cependant pas ce qui constitue le fond de la méthode. a Pour satisfaire ceux qui désireraient de plus grands détails sur «c ceci, nous indiquerons l'introduction au traité des fluxions de. «Maclaurin. Ce savant géomètre y développe avec beaucoup « d'étendue la nature de cette méthode ancienne \ celle que « Newton a appliquée dans ses principes^ et qu'on trouve expli- « quée dans le livre I, sect. i, en est une imitation heureuse et « n'est pas sujette aux mêmes longueurs. »

demment le syllogisme ne peut faire autre chose que déduire. L'esprit n'aurait pas de majeures , pas de principes, pas de commencement.

Toujours est-il que Wallis dit comme nous , en propres termes, que le principe du calcul infinitésimal, c'est l'induction.

Cette autorité, appuyée de celle de Laplace, doit suffire , si je ne me trompe , pour que les géomètres et les logiciens aient à prendre en considération notre travail sur ce sujets travail qui constitue une grande partie de notre Logique et même de notre Connaissance de Dieu^

Mais nous avons en notre faveur une autorité plus grande encore que celle de Wallis, c'est celle de Newton.

Voici d'abord la logique de Newton tout entière. On va voir, peut-être avec étonnement, que cette logique est justement celle d'ÀristotCt et c'est aussi la nôtre.

Newton nomme analyse l'induction '• Il nomme synthèse la déduction.

Pour lui la même méthode, c'est-à-dire l'induction et la déduction, c'est-à-dire la raison dans ses deux mouvements nécessaires, s'applique, et eu mathématiques, et en physique.

^ Voyez M. de Rémusat. Philosophie de Bacon, p. 429 . « Si, « par l'application de la méthode, analytique ou inductive^ etc. » M. de Rémusat suppose ces deux mots, analyse ou induction, synonymes dans le langage de Newton.

« En physique aussi bien qu'en mathématiques, dit-il, « l'investigation des problèmes par l'analyse doit toua jours précéder la synthèse *.

« L'analyse, ajoute-t-il , consiste à s'appuyer d'abord (( sur l'expérience, à observer les phénomènes;, puis, par a le raisonnement , elle va du composé au simple , et c( conclut dès mouvements aux forces et des effets aux « causes ; et puis des causes particulières aux causes plus If générales. La synthèse, au contraire, prend pour prin- « cipes les causes trouvées et prouvées, explique par elle « les phénomènes qui en dérivent, et démontre ces expli- « cations ^. »

C'est bien là en effet le résumé de la logique entière. Il n'y a que deux mouvements, deux procédés de la raison. Ces deux sont nécessaires, mais ils suffisent. Induire ou déduire, trouver les principes, ou bien tirer les conséquences ; chercher ce qu'on n'a pas, ou développer ce qu'on tient; avancer par identité, ou bien par transcendance ; s'élever inductivement des effets aux causes, ou expliquer déductivement les effets par les causes ; con-

< Optique, p. 347 : Quemadmodum in mathematica, ita etiam in physica investigalio rerum difficillum ea methodo^ qaœ vocatur analytica^ semper antecedere débet eam quœ appellatur syntbetica.

* Methodus analytica est^ expérimenta capere, phaenomena observare ; indeque ex rébus compositis, ratiocinatione coUigere simplices; ex causisque particularibus générales; donec ad genèralissimas tandem sit deventum. Methodus synthetica est, causas investigatas et comprobatas assumere pro principiis , eoramque ope explicare phaenomena ex iisdem orta istasque explicationes comprobare. Optique, fin.

54 INTROPUGTION.

dure inductivement du particulier à l'universel, ou bien conclure déductivement de l'universel au particulier : il y a ces deux mouvements, il n'y en a pas d'autres.

Et ces deux mouvements ou procédés suffisent à toutes les œuvres de l'esprit humain.

Or, celui des deux qui commence, qui trouve et qui invente, Newton l'appelle indifféremment analyse ou mduction. Partout il donne Vi7iducti(m, ainsi nommée par lui, comme le procédé d'invention. Quelle est en effet, d'après lui, la méthode qui a créé le livre des Principes^ ce monceau des découvertes les plus considérables de la physique, de la mécanique , de la géométrie et de l'astronomie? C'est l'induction. «Dans cette philosophie, a dit Newton à la fin de ce même livre des Principes^ les (c propositions sont tirées des phénomènes et générali- « sées par I'induction. C'est ainsi que nous ayons trouvé « les lois du mouvement et de la gravité ^ »

Telle est donc la méthode du livre des Principes : c'est l'induction. Mais ne serait-ce point l'induction sous forme géométrique? Nou$ l'affirmons, et voici nos raisons. De quoi s'agit-il en effet dans ce livre? Il s'agit des principes mathématiques de la philosophie naturelle. C'est le

* Principia mathematica, fin, Londres, 1726, p. 530. In hac philosophia propositiones deducuntur ex phaenomenis et redduntur générales per inductionem. Sic leges motuum et gravitatis innotuerunt.

Et dans sa quatrième règle, il nomme les résultats de la science: « Propositions tirées des phénomènes par l'induction. » Et il ajoute : <c que Thypothèse ne renverse jamais cet argument de « l'induction. (Propositiones ex phaenomenis per inductionem col- <( lectse... Ne argumentum inductionis toUatur per hypothèses.) )>

titre de tout l'ouvrage, dont voici les pretnières paroles : « Les modernes ayant entrepris de ramener tous les phé- « nomènes naturels à des lois mathématiques, il nous « semble à propos, dans cet ouvrage , de traiter les ma- « thématiques dans leur rapport à cette philosophie de a la nature \ » Philosophie de la nature, lois mathématiques, principes mathématiques, voilà dès le début, d'après Newton, le livre des Principes; et ces principes mathématiques. Newton af&rme d'ailleurs les avoir trouvés par induction : « Dans cette philosophie les proposi- <K tîons sont tirées des phénomènes par induction. »

Or, l'induction, pour Newton, c'est la même chose que l 'analyse, et l'analyse a été mise par lui sous forme géométrique. Cette analyse mathématique. Newton la nomme son analyse nouvelle, son analyse cachée, son calcul des fluxions. Et c'est pourquoi ces mêmes principes qu'il affirme avoir trouvés jt>«r induction , il dit ailleurs qu'il en doit la plus grande partie à son analyse nouvelle, à son analyse géométrique. Voici ses paroles : « C'est par a le secours de cette nouvelle analyse, celle des fluxions, a que Newton a découvert la plus grande partie des proa positions contenues dans le livre des Principes... Ceux ce qui ne sont pas très-exercés en ces matières compren- « draient difficilement cette analyse cachée, par laquelle a ont été découvertes ces propositions *. »

* Princtpia maihematica, p. 389 : Cumrecentiores... phaenomena naturae ad leges mathematicas revocare aggiessi sint, visum est in hoc Iractata mathesim excolere quatenus ea ad philosophiam spectat. Préface.

* Gf» Journal des savants (octobre d855), p. 602 : et Ceci a

Donc, pour Newton , cette analyse ou cette induction qui trouve les théorèmes ou propositions mathématiques

« donné lieu de croire, dit M. Biot, que Newton avait trouvé la a plupart de ses théorèmes par le secours de Tanalyse dont il a « tant agrandi la puissance^ et quMI les a ensuite traduits sous les a formes austères de la synthèse, soit pour les rendre complète- « ment inattaquables, soit pour dérober aux regards de la foule <c la voie qui Ty avait conduit. G*est ainsi que j'exprimais dans ce « journal Topinion de beaucoup de géomètres et la mienne proc pre, lorsque je rendis compte de ia correspondance de Newton « avec Cotes. Or, nous avons maintenant la même pensée, expri- « moe dans des termes presque identiques, par Newton lui-même; « car, à la page 39 du Commercium epistolicumy 2"*^ édition, ft nous trouvons de lui ce passage : Ope novœ illius analysées « (scilicet fluxionum)majorem illarum propositionumpartem,qu8e « in principiis philosophiae habentur, invenît Newtonus. At cum « antiqui geometrsB quo certiora omnia fierint, nihil in geome- « triam admiserint priusquam synthetice demonstratum esset ; « idcirco propositiones suas synthetice demonstravit Newtonus, ut « cœlorum systema super certa geometrîa constitueretur. Atque « ea causa est, cur hommes harum rerum imperiti, analysim la- « teutem, cujus ope propositiones illae inventse sunt, difficulter « admodum percipiant. » Si Newton eût dévoilé à tous les yeux « cette analyse, au lieu de la cacher, l'honneur de l'avoir décou- (( verte lui aurait été incontestablement assuré par les applica- <K tiens qu'en en aurait faites, et la science y aurait gagné autant « que lui-même. Mais, pour employer ici une image que j*em- « prunte à Wallis, il a rompu le pont après avoir passé le fleuve, « voulant être admiré plutôt que suivi ; et d'autres ont trouvé un « gué ailleurs.

« Dans les notes additionnelles à ces articles du Journal des c savants, j'ai montré que tous ces théorèmes fondamentaux « établis synthétiquement par Newton, dans les sections i et m du <c {^ livre des Principes, sont renfermés dans une expression « analytique très-simple de la force centrale, de laquelle tous les « cas d'application qu'il a considérés se déduisent immédiate- « ment dans le même ordre bizarre qu'il a suivi en les exposant.

du livre des Principes, est la même chose que Tanalyse géométrique qui trouve la plus grande partie de ces propositions. Le calcul des fluxions ou calcul infinitésimal, sous Tune de ses deux formes, celle des limites, est donc réellement, aux yeux de Newton comme aux nôtres, Tinduction sous forme géométrique.

Du reste cette importante remarque avait été faite avant nous. (( D. Stewart remarque , dit M. de Rémusat , que « Newton identifie Tanalyse en physique ( l'induction ) a avec l'analyse mathématique ^ . »

<c Newton lui-même, dit en effet D. Stewart, a, dans a une de ses questions, mis directement en parallèle l'a* <c nalyse mathématique et l'analyse physique, comme si a ce mot exprimait, dans les deux cas, la même idée. »

a En physique, dit Newton, la recherche des choses a difficiles par la méthode analytique devrait toujours, « comme dans les mathématiques, précéder la méthode « de composition.

tt Un des plus illustres disciples de Newton, M. Mail daurin, a non-seulement sanctionné cette observation « en la rapportant dans les termes mêmes de l'auteur, « mais a cherché en outre à l'éclaircir et à la fortifier par a des considérations nouvelles, a II est évident , dit-il, « qu'en physique , comme en mathématiques, l'investi- 0 gation des choses difficiles par la méthode d'analyse

« De sorte qu^il semble impossible qu*il ne les ait pas tirés de t cette formols même. Ceci offre un exemple frappant de cette « analysin latentem, dont il parle dans le passage que je cite de « lui. »

* Bacon, sa vie^ sa philosophie^ page 422. (En note.)

« devrait toujours précéder la méthode de composition a ou la synthèse. »

M. Apelt de son côté ne met pas même en doute que Newton, décrivant Tinduction sous le nom d'analyse, n'entende parla son analyse mathématique*.

Donc, pour Newton, comme pour Maclaurin, cette analyse géométrique infinitésimale n'est autre chose que l'induction sous forme géométrique.

C'est la thèse que nous avons émise en 18S2 , et que d'autres ont soutenue depuis.

Remarquons aussi que Newton ne borne pas la portée de sa méthode, c'est-à-dire de l'induction et de la déduction, de l'analyse et de la synthèse, c'est-à-dire de la raison humaine douée de ses deux mouvements essentiels, à créer la physique et les mathématiques.

Newton voit, dans ces deux mouvements généraux de la raison, la méthode même, et la logique universelle qui s'étend à tout , à la métaphysique et à la morale j tout aussi bien qu'à la physique et à la géométrie. Voyez la fin du livre de Y Optique "". Après la description si nette des deux mouvements de la raison, après avoir posé que c'est l'analyse ou induction qui s'élève aux causes de plus en plus générales, il ajoute ces belles paroles : « Que si « la philosophie naturelle , poursuivant cette méthode, « veut aller à son terme et devenir une science entière, « alors elle pourra servir même à reculer les bornes de « la philosophie morale. Car la philosophie naturelle nous

^ Théorie de l'induction, p; 153 et 154; * Optiquei Loîidres, p. 347 et 348.

« élevant jusqu'à Tidée de la cause première, de sa puis « sance, de son pouvoir et de ses bienfaits , nous aidera, « par cette lumière que la nature nous donne ^ à mieux « connaître nos devoirs envers l'auteur de la nature et «envers nos semblables*,» Sur quoi lord Brougham, dans son bel ouvrage sur les Principes ^ remarque fort à propos que ce n'était pas là pour Newton une vague péroraison, mais une prétention scientifique sérieuse, raisonnée , opiniâtrement poursuivie comme but suprême de. ses travaux.

Voilà bien, dans ces dernières pages de Y Optique^ la logique entière, universelle, résumée parla simplicité du génie. Aussi nous ne sommes pas loin de souscrire à ce prodigieux éloge de Newton : « L'immortel ouvrage de « Newton donne pour la première fois le vrai lien théoce rique des trois degrés de la connaissance > déjà distinc< gués par Platon : le degré empirique, le degré mathéa matique (dianoétique) et le degré philosophique (noéa tique). Le livre des Principes est un modèle qu'on n'a « point surpassé , qu'on ne peut surpasser, et dont on a peut abstraire, en toute sécurité , la forme logique de « la science '. »

^ Optique, Londres^ 1706^ p. 347 et 348 : Quod si phiiosophia naturalisa hanc methodum persequendo tandem aliquando ab omni parte absoluta erit facta atque perfecta scientia; utique futurum erit, ut et philosophiae moralis fines itidem proferantur. Nam quatenus ex phiiosophia naturali intelligere possimus, quaenam sit prima rerum causa, et quam potestatem, et jus ea in noshabeat, et quae beoeficia ei accepta sint referenda; eatenus ofiicium nostrum erga eam^ a^que ac erga nosmetipsos iuYicem, quid sit, per lumen naturai innotesceti

« Apelt> p. 155i

C'est ce lien des trois degrés de la connaissance) expérimentale, mathématique et métaphysique, que nous avons nous-mème essayé de mettre en lumière dans cette Logique et dans notre Connaissance de Dieu. Ce lien, c'est la raison , avec ses deux mouvements nécessaires. C'est fort simple, mais plusieurs paraissaient l'ignorer.

En résumé, Newton décrit les deux mouvements essentiels et nécessaires de la raison ; celui qui commence, qui découvre , qui s'élève aux causes , il le nomme tantôt analyse et tantôt induction. Il affirme avoir découvert ses principes mathématiques par induction ou par son analyse géométrique. Le calcul des fluxions est pour lui l'induction sous forme géométrique. L'induction est pour lui la méthode d'invention, soit en physique, soit en mathématiques, soit en métaphysique ou théologie naturelle.

Encore une fois, c'est cela même que nous soutenons.

Mais, que nous dira sur ce sujet l'inventeur de la plus puissante des formes de l'analyse géométrique, celui qui a introduit dans la science la forme infinitésimale pro-. prement dite? Que nous dira Leibniz? Leibniz a écrit plusieurs pages publiées sous ce titre ; Histoire de la découverte du calcul différentiel *.

' HisL et origo cale, diff, à Leibnitio conscripta, Hanovre,

INTRODUCTION. 6t

Souvent on avait demandé à Leibniz quelle était la nature logique de sa méthode, dont la rigueur paraissait contestable ^

Leibniz répond : « Ma méthode est la même pour le « calcul mathématique infinitésimal et pour la physique.

« L'un et l'autre reposent sur la loi de continuité,

« Voici cette loi ou postulatum : Étant donnée une « convergence continue vers une limite, on peut conr^ t< dure de la série à la limite *. »

Tel est renoncé du principe. Et Leibniz le commente en montrant comment on conclut d'une série à sa limite, des polygones aux courbes, et du fini à l'infini. Par exemple, dit^il, on conclut de l'ellipse à la parabole, quand l'un des foyers de l'ellipse marche vers rinûni. La parabole est alors la limite vers laquelle converge la série des ellipses ^ C'est conclure en même temps et du fini à l'infini et d'une série à sa limite.

Mais qu'est-ce que ce principe de Leibniz? N'est-ce pas le principe de l'induction tel que le pose Wallis? Wallis dit : Lorsque dans le fini deux quantités con-vergent indéfiniment j on peut conclure qu'elles sont égales dans l'infini,

< Ibid,^ p. 40 : Aliquoties propositum fuit demonstrationibus muniri calculi nôstri fandamenta... ut scrupulis satisfiat.

* Jbid.9 p. 40 : Est autem mihi pra&ter calculum infînitesimalem usurpata etiam in physica methodus... utrumque complector lege continuitatis. Assumo autem hoc postulatum : Proposito quocumque transitu continua in aliquem terminum desinente, Uceat ratiodnationem communem instituerez qua tdtimus terminus comprekendatur»

^ Ibid,, p. 4i .

tô INTRODUCTION.

Et Leibniz dit : Étant donnée une convergence con^ tinue vers une limite, on peut conclure de la série à la limite.

C'est le même principe énoncé sous deux formes peu différentes; c'est, comme Fa dit Wallis, l'induction, c'est-à-dire celui des deux procédés de la raison qui ne va pas par yoie d'identité. Et c'est pourquoi Leibniz parle de postulatum. Ce mot est à l'adresse de ceux qui ne connaissent que la déduction.

Il faut bien remarquer aussi que Leibniz reconnaît, comme Wallis^ que ce principe se trouve déjà dans Archimède et dans Gonon ; que c'était là probablement le principe caché des belles découvertes des anciens; que Cavsdlieri a ressuscité cette méthode ; que Descartes fait le même raisonnement en concluant des polygones aux courbes ; qu'Huyghens et Lahire suivent la même voie *.

Mais ce qui est intéressant et décisif, c'est que Wallis de son côté affirme^ comme nous le soutenons nousmême, qu'en effet son principe inductif est bien, en géométrie, et celui de Leibniz, et aussi celui de Newton. Car, après avoir posé, dans sa Préface, l'énoncé qu'il dit être le fondement de son arithmétique des infinis {quœ ita continua convergunt...\ et qu'il nonmie l'induction, il ajoute immédiatement : « C'est sur ce même principe a qu'est fondée la doctrine de ce qu'on nomme les « séries infinies, ou convergentes, ou continûment apte prochantes ; principe qu'ont introduit depuis long-

^ HUt et origo cale, diff.y p. 42.

INTRODUCTtON. eS

« temps Newton, Mercator et Leibniz *. » Or ce principe, encore une fois, comme le montré et le soutient Wallis, c'est rinduction. Ainsi Leibniz, aussi bien que Wallis et Newton, appuie notre assertion fondamentale, savoir, que le principe du calcul infinitésimal, c'est Tinduction.

Wallis et Newton sont ici d'accord avec nous, et pour le fond des choses, et pour le nom du procédé. Ils le nomment induction. Quant à Leibniz, nous nous accordons avec lui pour le fond des choses, mais non pas pour le nom du procédé. Leibniz a exclu le mot induction, par cela même qu'il appelle induction, bien à tort, selon nous, la collection ou l'énumération des faits particuliers [collectionem singutarium seu inductionem) *.

Leibniz, d'ailleurs, déclare qu'il n'a pas deux procédés divers, l'un pour la géométrie, l'autre pour là physique. Sa méthode est une, et repose sur ce principe unique, applicable en physique, en géométrie, et partout où va la raison : Etant donnée une convergence continue vers une limite,, on peut conclure de la série à la limite. Leibniz affirme d'ailleurs, ce que nous savons être vrai, qu'il a puisé l'idée de son analyse géométrique infinitésimale c( à la source philosophique la plus profonde ' )> . n affirme comme nous « que cette nouvelle découverte c( mathématique tire sa lumière de la philosophie, et doit c( donner à la philosophie une nouvelle force * » . Par

' Algèbre. Préface.

* Dissert, de stylo phil., n^ xxxii. Erdmann, p. 70.

* De noslra hac analysi infinitif ex intimo philosophiae fonte derivata. Nouvelles lettres et opuscules inédits de Leibniz, p. 328, édit. Foacher de Careil.

* Ibid, Et haec nova inventa mathematica partim lucem acci-

exemple 9 dans son Essai sur la recherche des causes^ il montre que « l'analyse des lois de la nature et la re- <( cherche des causes nous mènent à Dieu, et comment « dans la voie des causes finales, comme dans le calcul (( des différences, on ne regarde pas seulement au plus c< grand ou au plus petit, mais généralement au plus « déterminé ou au plus simple ^ »

C'est-à-dire qu'aux yeux de Leibniz, comme aux yeux de Newton, comme aux nôtres, le procédé qui, en métaphysique, cherche Dieu, en physique les lois et les causes, est le même que celui qui analyse, en géométrie, l'indivisible et l'infini {analysis indivisibilium seu infir^ nitorum). C'est-à-dire, en d'autres termes, que la raison humaine a les mêmes lois logiques et les mêmes procédés fondamentaux partout où elle s'exerce, ce qui d'ail* leurs n'a jamais pu être nié que par irréflexion.

Telles sont nos principales autorités pour affirmer que l'analyse infinitésimale, c'est l'induction sous forme géométrique.

pient a nostris philosophematibus, partim ipsis auctoritatem dabunt.

' Nous devons à robligeance de M. le comte Foucher de Careil la communication de ce manuscrit inédit, intitulé : Tentamen anagogicum ou Essais anagogiques dans la recherche des causes. C'est une comparaison entre l'analyse géométrique infinitésimale et l'analyse des lois de la nature, et la recherche des

Nous avions déjà publié et démontré cette thèse de logique lorsqu'à paru le remarquable ouvrage de M. Apelt siur la théorie de l'induction. Cet auteur développe et démontre à son tour notre thèse.

Voici d'abord son assertion sur ce sujet : « La cona clusion de l'effet à la cause, quant à la nature logique, a n'est autre chose que l'induction,

a L'analyse infinitésimale révèle le mystère de la relaa tion entre les causes et les effets. Ceci réside dans l'es- «i sence même du calcul infinitésimal. »

Telle est l'assertion. Comment l'auteur la démontre-t-il?

Précisément, en montrant en détail ce qu*avait dit Newton, savoir, que son analyse nouvelle, son calcul des fluxions, était sa méthode d'invention, cette même méthode qui, d'un autre côté, toujours selon Nevi^ton, est aussi en même temps l'induction. M. Apelt démontre donc que a le problème inductif que se posait Newton, a savoir : Étant donnée la figure de l'orbite, trouver la « loi de la force qui produit cette figure, est un proii blême de calcul différentiel ^ La figure de l'orbite est « l'effet, dit notre auteur ; la loi de la force est la cause a qui produit comme effet cette forme de l'orbite. Or, a étant donnée l'équation de l'orbite, trouver le quotient «t différentiel, c'est trouver la loi de la force. » Voici le texte de ce raisonnement.

causes natarelles et surtout de la cause première. Remarquez le mol anagogique, comparé aximoiépagogique d'Aristote. Épagogigve signifie inductif ou transcenddTU, Anagogique ^eut dire Inductif ou transcend'ant de bas en kaut^ par exemple de Teffet à la cause^ du monde à Dieu.

» Apelt. Théorie der InducUoii, p. 26. Leipzig, 1854.

T. L ft.

Après aToir exposé de ce point de vue comment NewtoQ a découvert la loi de l'attraction générale^ il ajoute : « On voit, par cet exemple, que cette conclusion « de l'effet à la cause n'est autre chose, quant à sa nature ce logique, qu'une induetion. C'est ce que Ton voit surtout « par la manière dont, à partir de la forme elliptique des c( orbites, on affirme que la force qui produit cet effet « agit en raison inverse du carré des distances : la figure « de l'orbite est l'effet, mais la loi par laquelle la force « centrale ramène continuellement l'astre de sa tangente (c sur son orbite, est la cause qui produit comme effet la c( figure de l'orbite. Ici se découvre la remarquable liaison « du procédé qui va de l'effet à la cause, et du calcul a infinitésimal. L'analyse infinitésimale met à nu la «loi de la force, cause de l'orbite, loi cacliée dans a la figure de l'oAite qui est l'effet. L'analyse infinice tésimale révèle donc le mystère de la relation entre « la cause et l'effet ; ceci réside dans l'essence même du « calcul infinitésimal. Il est visible que, dans l'exemple « cité, la forme de Torbite est l'effet, et le mode d'action « de la force est la cause. Or, de fait, l'analyse infinitéce simale a deux procédés inverses, appelés calcul diffé- « rentiel et calcul intégral, dont l'un monte de l'effet à Qc la cause, et l'autre descend de la cause à l'effet. Étant « donné l'orbite, on trouve la loi de la force par le calcul « différentiel : étant donnée la force, on trouve l'orbite c( par le calcul intégral. L'analyse infinitésimale, dans « l'exemple cité et les autres cas analogues, met donc « en évidence le rapport de la cause à l'effet, ou celui de « l'effet à la cause. En général, en physique ou en méca-

ce oique, si Fon cherche la cause, étant donné Feffet, ce c'est un problème de calcul différentiel ; si l'on cherche a l'effet, étant donnée la cause, c'est un problème de a calcul intégral.

a Si l'on pose ce problème : Trouver l'équation de la a courbe, d'après la loi des changements de direction de «c la force, ou bien d'après la loi des directions de la a tangente ; en d'autres termes, étant donné l'angle que a la tangente en un point quelconque (a:, y) fait avec a Taxe des a?, en conclure le rapport entre ar et y , c'est « un problème de calcul intégral. Veut-on au contraire, « à partir de Téquation de la courbe, trouver la loi des (( changements de direction qui la produisent^ il suffit a d'une différenciation : car le quotient différentiel n'est « autre chose que la tangente trigonométrique de l'angle ccque fait avec l'axe des x une droite qui touche la « courbe au point donné : ce quotient donne donc rince tensité actuelle de la force qui engendre la courbe

« Ainsi, le problème inductif de Newton : Étant donnée c< la forme de l'orbite, trouver la force, est un problème « de calcul différentiel. Et le problème déductif inverse : a Etant donnée la loi de la force, trouver l'orbite^ est un a problème de calcul intégral. »

Cela posé, je passe] à la démonstration directe de ma

6» IPfrRODUCTION.

thèse, qui, d'ailleurs^ par ce qui précède, est déjà presque démontrée.

Si quelque géomètre, faisant autorité dans la science, lisait ces lignes et n'était pas d'abord de mon avis, je lui demanderais la permission de soutenir, même à son égard , une discussion respectueuse , mais franche. Je lui dirais ce que j'ai dit souvent à notre illustre mattre et ami, M. Cauchy : « En mathématiques, lui disais-je, je suis tout au plus en état de vous comprendre, et cela, quand vous voulez bien vous mettre à ma portée ; mais, en logique, je suis votre égal. Je me suis occupé de logique toute ma vie, comme vous de mathématiques ; mais je me suis occupé de mathématiques, plus peutêtre que vous ne vous êtes occupé de logique. Or, en géométrie, j'accepte sans discuter tout ce que vous affirmez. Je ne vous demande pas, en logique, d'accepter tout ce que j'affirme. Je vous prie seulement de vouloir bien admettre que, sur ce terrain, vous pouvez vous tromper comme moi, et moi soutenir le vrai contre vous. Donc, s'il s'agit d'un résultat géométrique, je m'incline devant vous sans discuter ; mais s'il s'agit, non pas du résultat, non pas même du procédé, mais seulement de la nature logique du procédé, alors, je raisonne avec vous.»

Et d'abord nous pensons qu'aucun géomètre ne nous contestera les propositions suivantes : L'induction et la déduction sont detcx procédés géométriques. L'induction et la déduction sont les deux procédés logiques fonda-mentaux de la géométrie, comme de toutes les sciences. En géométrie, coînme dans toutes les sciences, l'indue-^ tion est le procédé d'invention par excellence.

INTRODWTION. 69

Voilà, je crois, ce qui m'est accordé. Or, au besoin^ je m'en contente. Mes thèses principales de logique sont établies si les propositions précédentes sont vraies.

Mais peut-être plusieurs diront que l'induction ne peut rien démontrer^ et que la déduction seule démontre.

Si, par démonstration, l'on entend démonstration apodictique , syllogistique, par voie d'identité , je nie moi-même qu'en ce sens l'induction démontre. Mais si, par démons^tion, l'on entend en général un mouvement ou une opération de la raison qui, appliquée comme il faut^ là où il faut^ donne et montre la vérité, je dis que l'induction démontre.

Je dX^è appliquée comme il faut^ là oit il faut. N'en est-il pas de même pour la déduction ? La déduction ne démontre la vérité que si elle est appliquée comme il faut, c'est-à-dire selon les règles, là oii il faut^ c'est-àdire à une majeure vraie. Faute de quoi l'esprit se trompe par déduction, aussi bien que par induction.

J'entends donc ici le mot démonstration comme Kepler, lorsque, parlant de sa méthode infinitésimale, il dit : « Si je ne démontre pas mes théorèmes apodicti- « quement/]^ les démontre en les montrant. »

En ce sens, j'affirme avec Wallis, qui soutient la même thèse contre Fermât,/ et que Laplace approuve hautement, j'affirme qu'en géométrie, comme partout, l'induction, qui est le procédé d'invention par excellence, est aussi un procédé de démonstration suffisant, simple et rapide, de même que la déduction, procédé de démonstration souvent très-lent, mais rigoureux par excellence, est aussi un procédé de découvertes, en ce

TO WTRWUCTÏON.

sens que, d'une vérité générale donnée, il peut tirer des conséquences qu'on n'apercevait pas.

Il est d'ailleurs bien manifeste que d'ordinaire l'esprit, arrivé à la vérité par induction, vérifie, étend et démontre aussitôt par déduction ce qu'il vient de trouver. Les deux mouvements de la raison se soutiennent et se croisent perpétuellement comme les mouvements des deux mains.

Je reprends donc ma thèse, et je dis : L'induction, celui des procédés de la raison qui va par transcendance et non pas par identité , est un procédé scientifique légi-^ time, puisque c'est un procédé géométrique. L'induction est un procédé géométrique, puisque le procédé des limites et le procédé infinitésimal, ces deux idées les plus fécondes de la géométrie, sont précisément l'induction sous deux formes peu différentes S

En effet, la méthode infinitésimale conclut du fini à l'infini, par exemple du polygone d'un nombre fini de côtés, à la courbe considérée comme polygone d'une infinité de côtés. La méthode des limites conclut de la série à sa limite, par exemple de la série des polygones elle conclut à la courbe, limite des polygones.

Or, entre le fini et l'infini, comme entre la série et la limite, comme entre le polygone et la courbe, il y a un abîme. x

< On nous a prêté, au sujet du calcul lufinitésimal^ les idées les plus extraordinaires et les plus insensées^ comme^ par exemple, lorsque M. Saisset suppose qu'à nos yeux V infini géométrique c*est Vinfini concret et Dieu même! J'avais eu pourtant la précaution^ presque étrange, de prévenir, par une page entière, cette invraisemblable objection.

Le polygone se rapproche de la courbe sans Tatteindre jamais. Le fini marche vers l'infini sans l'atteindre Jamais , et la série converge vers sa limite , mais ne peut pas l'atteindre. J'appelle abîme l'impossibilité d'atteindre, qui est géométrique et absolue.

Donc, s'il y a un abîme entre ces notions ou objets géométriques, s'ils sont, comme s'exprime Leibniz, irréductibles à l'identité, je dis que l'on ne conclut pas de l'un à l'autre par voie d'identité ; je dis que l'on conclut de l'un à l'autre par voie de transcendance , en d'autres termes, par induction ^

Je reprends ma démonstration pour Texpliquer.

En géométrie , la méthode infinitésimale et celle des limites, consistent l'une et l'autre en ce que, par exemple, dans l'étude des courbes, on conclut des polygones aux courbes.

Dans le point de vue infinitésimal , à partir du polygone d'un nombre fini de côtés, on conclut au polygone

' Je ne dis pas, notez-le bien^ qu'on ne peut jamais s'appuyer^ d'une certaiije manière^ sur Tune de ces notions pour rien conclure de l'autre par déduction. La démonstration de la mesure du cercle, par la réduction à Fabsurde, me donnerait tort. Mais e dis que> si Ton procède par la voie des limites ou par celle des infiniment pelits> si Ton transporte les propriétés du polygone d'un nombre fini de côtés aux courbes considérées comme polygones d'une infinité de côtés^ si l'on conclut de la série à la limite> alors ce ne peut être que par transcendance ou induction.

72 INTROElUCnON.

d'une infinité de côtés. Dans le point de vue des limites, étant donnée la série des polygones inscrits qui convergent vers leur limite, qui est la courbe, on conclut de la série à sa limite.

Or, entre le fini et l'infini, entre une série et sa limite, entre le polygone* et la courbe, il y a un abîme, abîme que l'approximation^ poussée aussi loin qu'on voudra, ne peut jamais combler. A partir d'un nombre fini de côtés, on n'atteint pas un nombre infini de côtés. A partir du polygone de six côtés, on peut multiplier tant qu'on voudra le nombre des côtés, on n^'atteindra jamais qu'un nombre aussi fini que le nombre six. Le polygone, sans doute, se rapproche de la courbe tant qu'on voudra, mais n'y arrive jamais. La courbe est la limite des polygones inscrits. Or, on définit la limite, d'une manière évidemment exacte, en disant que c'est un terme constemt « dont la variable s'approche indéfiniment sans jamais «Tatteindre. » S'approcher indéfiniment sans jamais atteindre, c'est être séparé par un abîme, je dis par un abtme géométrique , métaphysique, absolu. C'est-à-dire que polygone et courbe sont des notions radicalement distinctes, irréductibles à l'identité. La courbe n'est en aucune sorte un cas particulier des polygones qui convergent vers elle. De l'un à l'autre , il n'y a pas de moyen terme, pas de passage possible par voie d'identité.

Donc, lorsque l'on conclut des polygones aux courbes, par la voie des limites ou par. celle des infiniment petits, on ne conclut pas par voie d'identité, mais bien par voie de transcendance, c'est-à-dire par induction.

Et c'est justement pour cela jque, de tout temps, on a

contesté la valeur logique de cette conclusion. Tous ceux qui sont dans ce préjugé séculaire que la raison n'a qu'un seul procédé de raisonnement, la déduction, la voie d'identité, ont toujours soutenu qu'on ne pouvait conclure des polygones aux courbes, considérées comme polygones, ni des séries à leurs limites, ni du fini à Finfini.

De là les interminables disputes qui durent encore sur la logique du calcul infinitésimal. Ces difficultés tombent si l'on admet la légitimité logique du procédé de transcendance.

Tel est notre raisonnement ; mais il en faut encore développer quelques parties.

Si Ton étudie l'histoire de cette polémique^ qui remonte à l'origine de la géométrie, deux vérités en ressortent clairement : la première, c'est que cette conclusion des polygones aux courbes, des séries aux limites et du fini à l'infini est légitime, féconde et nécessaire à la géométrie ; la seconde, c'est que cette conclusion n'est pas par voie d'identité. J'en conclus donc qu'elle est par voie de transcendance.

Pourquoi les anciens cachaient-ils leur méthode d'invention, qui était la méthode des limites ou celle des infiniment petits, et pourquoi cherchaient-ils une autre forme de démonstration? Parce qulls sentaient bien qu'il n'y avait pas déductio7i rigoureuse des polygones

aux courbes^ des séries aux limites, ni du fini à Tinfini^ et parce que^ d'autre part, la logique n'avait pas établi la théorie du procédé de transcendance.

Maclaurin, à ce sujets loue Archimède de ce <x qu'il ne (( suppose pas que les cordes d'un arc soient divisées à « l'infini^ en sorte qu'après une infinité de bissections, fi on puisse dire que le polygone inscrit se confond avec i( la courbe. Ces suppositions auraient paru nouvelles « aux géomètres de son temps ^ » Maclaurin a raison : ces suppositions ne sont pas seulement nouvelles, elles sont absurdes. Pourquoi? parce qu'elles supposent qu'on a opéré une infinité de bissections , ce qui est absurde et impossible. Elles supposent que le polygone devient courbe^ ce qui implique contradiction, comme l'identité du fini et de l'infini qu'elles supposent encore implicitement.

Dès que l'idée des infiniment petits fut réveillée au xvii* siècle par Kepler, l'objection reparut, et Kepler répondit : « Que d'autres cherchent les démonstrations ric( goureuses : quant à moi, si je ne le puis démontrer par « une démonstration apodictique , je le démontre en le <c montrant *• » Mais Kepler avoue aussitôt, comme il le faut, « qu'entre le minimum absolu (l'infiniment petit) « et le voisin du minimum (l'indéfiniment décroissant), « la conclusion n'est pas toujours sûre '• j>

» Préface du Traité des fluxions.

^ Demonstrationem legitimam quœran alii ; ego quod non pos- ^um apodictice, comprobabo dictice. {Stereometria^ Ârchimed.^ supplem. Thèse xxv.)

> Ëtsi fateor, ab eo quod est absolute minimum ad id quod minime proiimam non ubique tatam esse coUectionemi (Ibid.)

INTROMJCTION. 7&

C'est-à-dire qu'D faut procéder selon les véritables règles, encore peu connues, du procédé de transcendance. C'est aussi ce que déclare WaUis. H ayoue que cette voie demande de très-grandes précautions. Nous avons cité ci-dessus la discussion entre Wallis et Fermât. Nous avons vu Leibniz nommer postulatum le principe sur lequel il fonde son calcul infinitésimal, tant il y avait de doute sur cette méthode de transcendance, dont on ne savait pas la nature logique.

Maclaurin a écrit son Traité des fluxions^ méthode qui est la même, au fond, que celle des limites S et qui a été

I Selon nous, toutes ces méthodes, méthode d*exhaustion, méthode des indivisibles^ méthode des limites^ des fluxions^ des éyanouissants^ des infiniment petits^ tout cela repose sur le même fond. C'est ce que Ton comprend enfin aujourd'hui. Qu'on veuille bien lire la description que donne Newton de sa méthode (Prin-cipia mcUhematica^ Lemma xi, Scholium)^ on y verra presque toutes ces méthodes réunies.

La méthode de Newton est résumée par lui dans une phrase que voici : Après avoir dit que, lorsqu'il conclut des polygones aux courbes (si pro rectis usurpavero lineolas curvas)^ il ramène tout à la considération des limites, ou raisons dernières des évanouissants (Malui demonstrationes ad ultimas evanescentîum rationes et ad limites deducere)^ il dit : « Ces raisons der- « nières des évanouissants ne sont pas réellement les rapports « de ces quantités dernières, mais bien les limites dont s'appro- « chent toujours les rapports de ces quantités indéfiniment dé- « croissantes, limites dont elles peuvent s'approcher toujours, « qu*elles ne peuvent jamais dépasser, et qu'elles ne peuvent at- « teindre que si elles diminuent à l'infini. » Voilà bien les fluxions ou évanouissants, les limites, les infiniment petits, ramenés à la même conception.

C'est l'honneur d'un géomètre contemporain d'avoir introduit cette vérité dans l'enseignement élémentaire et d'avoir traité le

76 INTRODUGTU)N.

beaucoup moins attaquée que celle des infiniment petits, pour répondre a à un auteur qui a représenté la méthode ce des fluxions comme pleine de mystère et comme fondée ft sur de faux raisonnements *. La géométrie, dit Ma- (( claurin, a pris aujourd'hui de grands accroissements ; « on lui a cependant reproché en bien des occasions que c< les nouveaux progrès qu'elle fait sont établis sur des « maximes la plupart nouvelles et sujettes à contestation (c (ridée des infiniment petits et celle des limites) et l'on ce a été jusqu'à prétendre que les auteurs qui ont le plus « contribué aiix dernières découvertes se sont laissé sec( duire par des paralogismes '. »

D'où venaient ces difficultés? D'abord , de ce que les novateurs semblaient vouloir conclure^ par voie d'identité, des polygones aux courbes, des séries aux limites, et du fini à l'infini '. On montrait facilement que le moyen

Calcul infinitésimal par ces deux procédés à la fois^ montrant ainsi que les deux idées n'en font qu'une, a L'objet principal de «( cet ouvrage, » dit M. Duhamel dans la Préface de ses Eléments de calcul infinitésimal, « est le développement de ces deux concep- (( tions qui sont intimement liées Tune à Tautre... la notion des (( infiniment petits et la conception fondamentale des limites... « qui sont les deux idées générales les plus fécondes des sciences « mathématiques. )>

Quant à la méthode d'exhaustion, nous avons ce texte de Tabbé Bossut : « Je me suis convaincu, dit-il, que la métaphysique de « ranalyse infinitésimale est la même dans le fond que celle de « la méthode d'exhaustion des anciens géomètres. » {Histoire des mathématiques y tome II, p. 145.) ' Maclaurin, Préface du Traité desfltLxions. — > Ihid, ^ Newton lui-même ne prête-t-il pas au malentendu par quelques-unes de ses paroles^ quand> par exemple, il dit que la quantité décroissante ne peut pas dépasser la limite, et ne l'atteint

terme manquait, et qu'entre ces deux notions existait un abtme, que la déduction , la voie d'identité , ne pouvait traverser. En outre, les deux partis ignoraient l'existence ou n'admettaient pas la valeur de l'autre procédé de la raison y du procédé de transcendance. Cependant ce dernier procédé, malgré le soulèvement des pharisiens de là rigueur et de la déduction , prenait pied dans la science par droit de conquête, à force de services rendus, à force de lumières répandues et de prodigieuses découvertes f je dirai presque à force de merveilles. Écoutez Maclaurin, peu ami de la méthode des infiniment petits, et qui la critique vivement et souvent. Il ne peut néanmoins s'empêcher de conclure ainsi : « Nous ne préten- <( dons pas non plus donner à entendre que la méthode « des indivisibles et des infiniment petits, dont on s'est « servi pour découvrir tant de vérités incontestables, ne f( soit nullement fondée. Nous avouons même que cette a méthode des infinis a quelque chose de merveilleux qui a nous plaît et nous transporte, et que la méthode des If infiniment petits a été poussée, dans ces derniers temps, « avec une subtilité qui n'a point d'exemple dans les au- (( très sciences; mais la géométrie est mieux établie sur a des principes clairs et simples ; et ces sortes de spécua lations sont toujours exposées à quelques difficultés. « Néanmoins , les nouvelles méthodes ( des infiniment a petits) ont été généralement reçues et elles ont paru tf mériter une réception aussi favorable par le grand

qite lorsqu'elle est diminuée à Pinfinif Voilà une parole inexacte. La limite n'est jamais atteinte. Le polygone n'atteint jamais la courbe.

a avantage qu'on en retire pour la résolution des problé- « mes les plus difficiles^ et parce qu'elles ont servi a « démontrer les théories les plus générales d'une ma-

« NIÈRE courte et AISÉE. ))

Yoilà donc des méthodes dont on admire la grande et facile puissance d'invention et de démonstration. Mais on trouve cependant que la géométrie est mieux établie sur des principes clairs et simples. Pourquoi ce singulier scrupule? Parce qu'on ignore la vraie nature logique de ces méthodes nouvelles. Elles ne paraissent ni claires ni simples^ parce qu'on ne les comprend pas. On ignore gu'elles ne sont que l'application à la géométrie de l'un des deux procédés ou mouvements nécessaires de la raison.

Toutes ces difficultés montrent bien que Von a senti de tout temps ce que nous soutenons, savoir : que la conclusion de la série à la limite ou du fini à l'infini , n'est pas par voie d'identité. Donc, disons-nous, elle est par voie de transcendance , en d'autres termes ^ par induction, et non par déduction.

Quelqu'un voudra-t-il insister et soutenir que du polygone à la courbe il y a continuité, identité ; que le cercle est réellement un polygone d'une infinité de côtés infiniment petits, et que Ton conclut alors d'un polygone à un polygone, c'est-à-dire du genre polygone à un cas particulier du genre, conclusion qui serait purement déductive? Ce serait là une grande erreur. En voici la preuve :

c'est qu'on ne peut pas toujours conclure du polygone aux courbes. Pour trouver certaines propriétés des courbes, la longueur des arcs, les surfaces, les tangentes, on peut conclure des polygones aux courbes; mais pour trouver d'autres propriétés de la courbe, notamment la courbure ou rayon du cercle osculateur, pour trouver les caustiques ou bien les développées, et, en général , pour toutes les cpiestions qui dépendent des infiniment petits du deuxième ordre, on ne peut plus conclure du polygone à la courbe. Donc, la courbe demeure en dehors de la série des polygones.

D'ailleurs , pour prendre un autre point de vue plus clair, il y a en tous cas, entre la courbe et le polygone, l'abîme du fini h l'infini. D'une part un nombre fini de cAtés, d'autre part une infinité de côtés^ si côtés l'on peut dire.

Quelqu'un voudrait-il soutenir que l'infini (l'infiniment grand et l'infiniment petit) n'est qu'un cas particulier de la quantité finie ? Ce serait absolument faux.

Bien des faits géométriques nous démontrent la radi* cale différence du fini et de l'infini ; et comment il y a un abîme de l'un à l'autre, et comment on ne peut con« dure de Tun à l'autre qu'à certaines conditions scientifiquement déterminées.

Kepler avoue qu'on ne peut pas toujours conclure de l'un à l'autre {non ubique tutam esse collectionen% ). Wallis et Laplace disent que ce procédé demande le plus grand tact et d'extrêmes précautions. C'est qu'il faut, dit bien simplement Wallis, procéder selon les vraies règles du procédé.

80 INTRODV€TION.

Voici un exemple qui fera comprendre ce que j'appelle Tablme qui sépare TinGni du fini, et comment on ne peut pas toujours conclure de l'un à l'autre.

C'est l'exemple des séries semi-convergentes, où l'infini introduit des propriétés singulières et contraires à celles du fini.

Prenez dans ces séries un nombre fini de termes si grand que yous voudrez. Leur somme, évidemment, sera toujours la même dans quelque ordre que Ton fasse Taddition. Mais qui croirait que la même série , supposée infinie, prend cet inexplicable caractère, que la somme de ses termes est différente quand on les additionne dans un ordre différent? Soit, par exemple, la

série 1 — i + i — 4+ 6 — i + y«-« Supposez cette série infinie. La somme de ses termes tels qu'ils sont rangés est égale à /. 2. Mais rangez-les ainsi qu'il suit : 1 +^ — 2 + 5 + y — 4--- Alors la somme de ces termes change et devient égale à f /. 2.

Donc, si l'on voulait conclure ici du fini à l'infini ; si, après avoir démontré, ce qui est d'avance évident , que les termes de la série prolongée tant que l'on voudra , mais finie, ont toujours la même somme dans quelque ordre qu'on en fasse l'addition, si l'on voulait soutenir alors qu'il en doit être de même dans la série supposée infinie, ce serait une erreur.

Voici, je croîs, le fond de cette question : c'est qu'on ne peut conclure que là où il y a convergence continue et indéfinie, et qu'au fond la conclusion légitime par voie de transcendance est cellequi a lieu d'une série convergente à sa limite, en précisant rigoureusement ce qui

converge, et ce qui est limite. Ainsi, quand le polygone inscrit s'approche de la courbe, quels sont les éléments du polygone analogues aux propriétés de la courbe qui s'approchent continûment et indéfiniment? C'est, par exemple, la longueur des arcs, c'est l'étendue de la surface. Ici Tun est vraiment limite de l'autre. On peut conclure de l'un à l'autre ^ Mais la courbure est-elle limite

* Et ceci même, à la rigueur, est peut-être trop général, et demanderait encore à être mieux déterminé. En effet, voici un exemple où Tune des propriétés de la série ne se trouve pas à la

limite. C'est la série A. + — + ij + etc Si l'on fait la somme

d'une portion quelconque de la série, cette somme sera tovgours une fraction de numérateur impair et de dénominateur pair. Or, la somme de toute la série, supposée infinie, est 7. Ici donc, à la limite, le dénominateur n'est plus pair, mais impair, et la propriété de la série n'existe plus à la limite. C'est qu'en effet de la série à la limite, et du fini à l'infini, il doit y avoir et des analogies et des contrastes. Déterminer en général quelles sont les propriétés analogues et quelles sont les propriétés en contraste, ce serait peut-être achever la théorie de l'induction géométrique, et avancer beaucoup la théorie générale de l'induction. Bien probablement il existe, dans la science à venir, un théorème général qui déterminera ces conditions de Finduction, Je me représente ce théorème comme analogue au beau théorème de M. Cauchy qui, après avoir démontré que la série de Taylor, l'un des types des séries en équation avec leur limite, peut souvent conduire à l'erreur, établit par un seul énoncé les conditions de son exactitude. Je veux transcrire ici ce théorème pour montrer avec quelle précision, quelle subtilité scientifique et quels puissants efTorts travaillent les géomètres. Si les philosophes travaillaient de la même manière, et apprenaient à poursuivre scientifiquement et patiemment jusqu'au bout la vérité, ils trouveraient aussi. Voici ce théorème. Pour que le développement de l'expression /"(a^-hA) suivant la série de Taylor soit légitime, H faut et il suffit que la fonc^ tion 80U finie f continue, monodrome, monogène, dans toute

82 INTROBCCTION.

des angles successifs que foment les côtés du polygone? Nullement. Ici il n'y a plus limite ni analogie, il y a contraste. La courbure constitue justement la nature propre de la courbe, et ce qui la sépare du polygone. La courbe n'est pas polygone. Le polygone ne devient pas couii)e. Il y a de même, en métaphysique, certaines inductions possibles du fini à l'infini, et de la créature à Dieu, tandis que d'autres sont impossibles. C'est parce qu'il y a, de l'un à l'autre, des qualités communicables, et des propriétés incommunicables dépendant de la distinction radicale du fini et de l'infini.

C'est pourquoi Leibniz dit admirablement que l'infiniment grand et Tinfiniment petit sont « les deux extré-

V étendue â!un cercle ayant son centre au point dont Vaffixe est X, et son rayon égal au module de h.

J'ai sous les yeux une lettre de Abel (Œuvres, t. Il, p. 266), où il aunonce qu'il s'occupe du problème général dont je parle. Après s'être plaint de totts les malheurs et paradoxes qu'ont enfantés les séries divergentes^ il affirme a qu'il ne se trouve « dans les mathématiques presque aucune série infinie dont la <( somme soit déterminée d'une manière rigoureuse, c'est-à-dire « que la partie la plus essentielle des mathématiques est sans c< fondement; » (fondement logique connu?). Puis il ajoute : « La a théorie des séries infinies, en général, est jusqu'à présent trèsce mal fondée. On applique aux séries infinies toutes les opéra- « tions , comme si elles étaient finies. Mais cela est-il bien « permis? Je crois que non. » Puis il annonce qu'il s'occupe du problème général. « J'ai commencé à examiner les règles les plus «c importantes qui sont ordinairement approuvées à cet égard, et ce à montrer en quel cas elles sont justes ou non. Cela va assez « bien et m'intéresse infiniment. » Je désire fort que quelque géomètre grand logicien reprenne cette importante recherche.

INTRODUGTIÛN. ' 83

«mités de la quantité en dehors de la quantité*. » A moD avis, dit-il ailleurs^ « les infinis ne sont pas des totits (( (des sommes) et les infiniment petits ne sont pas des « grandeurs *. » Leibniz met à part et radicalement en dehors de la quantité finie ou indéfinie ces deux extrêmes, l'infiniment grand et Tinfiniment petit.

Pascal» si profond et si estimé sur cette matière, Pascal regarde comme évident que toute grandeur indéfiniment décroissante ou croissante est toujours infiniment éloignée des deux extrêmes qui sont l'infiniment grand et rinfininient petit. Il montre oc les deux infinités de « grandeur et de petitesse entre lesquelles se soutiennent «(toutes les grandeurs croissantes ou décroissantes. •• « comme étant toujours infiniment éloignées de ces eX" c( trémes*. » Je suis très-étonné, je l'avoue, qu'il y ait un seul esprit à qui cela ne paraisse pas manifestement évident. Cet éloignement infini entre l'indéflniment décroissant ou croissant, et Tinfiniment petit ou l'infiniment grand, est ce que j'appelle Tabtme.

De tout ceci je conclus de nouveau qu'il y a réellement un abtme entre le polygone et la courbe, entre la série et la limite, entre le fini et l'infini. Quand ou conclut de l'un à l'autre, c'est donc par transcendance et non pas par identité.

• Tome m, p. 501 (Dutens).

• Lettre de Leibniz à Fontenelle (1704).

• Pensées, l" partie, art. 11 .

S'ensuît-il qu'on ne puisse démontrer par simple déduction, par voie d'identité, des théorèmes trouvés par induction ? En aucune sorte. Nous savons au contraire que les anciens faisaient ainsi. Ils découvraient par induction, par la méthode des infiniment petits ou par celle des limites , puis ils démontraient par déduction, ordinairement par la réduction à l'absurde. Je dis donc seulement que, quand on emploie, pour découvrir ou démontrer, la méthode des limites ou celle des infiniment petits, alors c'est par transcendance ou par induction qu'on procède.

Qu'on veuille bien remarquer que, pour soutenir l'induction dans ses justes droits, nous ne sommes point l'ennemi de la déduction. Celle-ci n'a pas d'ennemis, à moins qu'on ne veuille donner ce titre à Bacon, qui rejetait le syllogisme. Mais l'induction, le procédé de transcendance, se voit malheureusement trop souvent repoussé avec cette sainte horreur de l'infini dont parle si spirituellement Fontenelle, à propos de ceux qui rejetaient la méthode infinitésimale de Leibniz. De là, par exemple, les grands efforts de Lagrange pour extirper de la géométrie le procédé de transcendance. Du reste, cette entreprise d'un si grand géomètre — on le reconnaît aujourd'hui — est fondée sur un paralogisme, et mène à des erreurs. Quant à nous, nous disons que les deux mouvements essentiels et nécessaires de la raison sont partout et continuellement mêlés et se soutiennent dans toutes

les sciences. Ainsi les démonstrations indirectes par Fabsurde soutiennent les démonstrations ou expositions directes de rinduction. Bien des vérités géométriques, trouvées et démontrées par l'idée de Tinôniment petit, et par celle des limites, se démontrent aussi par déduction ou voie d'identité. Mais, dans ce cas, on ne conclut ni du fini à l'infini, ni de la série à la limite, ce qui serait par transcendance.

De même , il peut y avoir des démonstrations purement déductives qui établissent la légitimité, dans certains cas, des conclusions par transcendance, soit du fini à l'infini, soit d'une série à sa limite.

Tel est donc, sur ce sujet, l'ensemble de nos raisonnements.

Sur quoi je ferai les remarques suivantes.

Le procédé de transcendance a existé dans la science dès l'origine. Les idées de limites et d'infiniment petits ont fait la vie primitive de la géométrie. Nous avons déjà cité les paroles de Téminent géomètre qui remarque que la notion des infiniment petits, et la conception fondamentale des limites, ces deux idées générales les plus fécondes des sciences mathématiques, remontent presque jusqu'à leur berceau *.

Il fallait bien que le procédé inductif ou transcendant

» Duhamel. Traité élémentaire de calcul infinitésimal. Préface.

fût dès rorigine dans la science, puisqu'à la rigueur c'est l'unique procédé d'invention, l'autre ne pouvant que déduire. Mais les deux mouvements nécessaires de la raison sont évidemment et nécessairement dès l'origine dans toute science.

Ce qui est particulier aux modernes, c'est qu'ils ont organisé dans le calcul le procédé de transcendance. Ce que M. Coumot appelle « le développement par l'algèa bre du principe d'identité, » c'est l'algèbre ordinaire. C'est le mouvement des équations allant par voie d'identité, transformant un principe donné en toutes ses conséquences. Mais les modernes, savoir Newton et Leibniz, ont incarné dans le calcul , comme méthode régulière, générale et habituelle, le procédé de transcendance.

De sorte que nous n'avons plus seulement dans la science... « le développement par V algèbre du principe « d'identité, » nous avons aussi « le développement par M l'algèbre du principe de transcendance. » Les deux procédés ou mouvements nécessaires de la raison sont inoculés dans l'algèbre. Il y a ce que Lagrange appelle « l'analyse algébrique des quantités finies , » et il y a <( l'analyse transcendante. )>

Quand Leibniz découvrit son calcul infinitésimal, il lui donna le nom de transcendant, et l'appela « supplément c< de l'algèbre ordinaire » • De sorte que ce qu'on appelle les hautes mathématiques, les mathématiques transcendantes, ou la haute analyse, c'est précisément cette partie des mathématiques qui repose sur le principe de transcendance. Ainsi du moins l'entendent plusieurs écrivains compétents.

c< Ce n'est que dans ces derniers temps, dit Gehrard*, « que les recherches théoriques ont amené à cette cona inction, que la conception des limites est Puniqve fon-^ « dément solide de tout F ensemble de la haute analyse ; « et pourtant il y a bien des voix qui disent encore que « c'est une conception trop obscure et trop difficile pour ce ceux qui entreprennent l'étude des hautes maihémati- « ques. TU

« L'un des fondements de la haute analyse, dit Whe- €( wel, c'est l'idée des limites. L'idée des limites ne peut ce être remplacée par aucune autre définition ou hypoa thèse. L'axiome, qui introduit cette idée dans le rai-* a sonnement, est celui-ci : Ce qui est vrai avant la Hc( mite, est vrai à la limite. Cette idée ou axiome est la «c base commune de toutes ces méthodes, dites des limites, ce des fluxions , des variations , des différentielles et le ce reste*. » Ainsi, selon ces deux auteurs, toute la haute analyse repose sur l'idée des limites, ou sur ce principe : a Ce qui est vrai en-deçà de la limite est vrai à la limite, d Cette formule ne diffère en rien pour le fond, et diffère très-peu pour la forme, des formules données par Wallis et Leibniz. C'est le principe de transcendance, ou principe d'induction, base de la méthode infinitésimale, comme le soutient et le montre Wallis. Seulement il reste à critiquer cette formule qui, nous l'avons vu ci-dessus, mène à l'erreur si elle n'est appliquée en son lieu et d'a-

> Découverte de la haute analyse, par Gehrard. Halle, 4855.

* Whewel, Philosophy of ihe inductive sciences, Aphorism 42. Nous ayons vu plus haut les réserres qu'il faut faire à propos de cet axiome*

près les règles. Il faut dire dans quels cas elle s'applique. En d'autres termes, il reste à établir la théorie précise et entière de l'induction.

L'induction donc, aussi bien que la déduction, c'està-dire les deux mouvements nécessaires et suffisants de la raison, sont aujourd'hui organisés dans le calcul et dans l'algèbre.

Et voici qui est admirable, c'est que cette puissance de la raison, méthodiquement organisée par le calcul dans ses deux mouvements essentiels , a été appliquée par les modernes à l'étude même de la nature, et s'appuie sur les phénomènes contingents pour arriver aux lois. L'analyse transcendante de Leibniz et de Newton est réellement l'induction sous forme mathématique, applicable et appliquée à la physique. Déjà Leibniz avait remarqué que son (( calcul est surtout utile pour appliquer les matfaé- <( matiques à l'étude de la nature ^ » Quant à Newton, il a donné le plus admirable modèle de cette application dans son livré des Principes mathématiques de la philosophie naturelle.

Enfin il est fort important de remarquer que l'induction ou procédé de transcendance se trouve aujourd'hui dans la science à deux états très-différents : à l'état libre et àl'état organisé. L'induction est organisée dans le calcul infinitésimal. Elle opère par des règles prévues, lesquelles se ramènent toutes au principe de Wedlis et de Leibniz. Le résultat s'obtient méthodiquement, immédiatement, à

^ Magnum cumprimis usum hahet calculus Ule in transferenda mathesi ad naturam. Lettres à Fardella. Septembre 1696.

coup sûr. Passer de la fonction primitive à la fonction dérivée, par la différenciation, c'est un acte de cette induction. M. Apelt le démontre amplement. J'ai cité cette démonstration. De mon côté , j'avais déjà démontré la même vérité dans la première édition de ma Logique (livre IV, au commencement). L'autre état où se trouve rinduction, l'état libre et non organisé, est celui où l'emploient tous les chercheurs et inventeurs, ceux qui font avancer la science, qui cherchent les lois, non encore connues, de certaines suites de faits géométriques et algébriques. Là on ne procède plus à coup sûr : on cherche. C'est ainsi que Newton a trouvé la loi du binôme, en concluant de quelques faits à tous. Mais lorsqu'on trouve, c'est qu'en ce cas on a suivi, au fond et en substance, la méthode telle qu'elle est incamée dans le calcul, et telle que je l'ai décrite dans ma Logique et dans la Connaissance de Dieu.

M. Apelt distingue ces deux états de Tinduction qu'il nomme les deux formes de l'induction, sa forme hypothétique et sa forme catégorique. L'une, dit-il, est l'induction de Kepler, et l'autre celle de Newton. Kepler, étant donnés plusieurs points de la courbe que parcourt la planète, a trouvé la nature de la courbe. C'est l'induction à l'état libre, affaire de tact et de génie, dont Kepler dit lui-même : «(Mon bon génie me souffle le résultat, d Le bon génie procède selon la loi de l'induction, et l'inventeur aussi, mais l'inventeur a suivi, sans le savoir, la loi que le bon génie connaît bien. L'autre forme, dit toujours M. Apelt, est celle par laquelle Newton, étant donnée l'équation de l'orbite, a trouvé la loi de la cause qui

produit cette fonne de l'orbite. Or, la loi de cette cause, dit M. Apelt, est donnée justement par la fonction dérivée de l'équation de Tellipse.

Wallis distingue aussi très-bien ces deux formes de l'induction, l'une à l'état méthodique et l'autre à l'état libre.

La première est celle qu'il pose comme principe de son arithmétique des infinis ; c'est à la fois le principe des limites et des infiniment petits, sayoir : « Lorsque <K dans le fini deux quantités conyergent de manière « à s'approcher toujours, elles sont égales dans l'in* a fini *. »

La seconde, qui, lorsqu'elle va droit et quand elle trouve, n'a pu que procéder , au fond , comme la première, cette seconde, Wallis la décrit au commencement de son arithmétique des infinis. L'induction , là où elle n'ept pas organisée dans le calcul, consiste, selon Wallis, en ceci : l"" Opérer le calcul dans un certain nombre de cas particuliers. 2^ Observer les rapports qui apparaissent entre ces cas particuliers. S'' Puis^ par l'acte Induetif proprement dit, formuler la loi générale.

Donc enfin, puisque l'induction est l'un des deux procédés fondamentaux de la géométrie , puisque c'est à l'induction, comme s'exprime Laplace, que l'analyse mathématique doit ses plus brillantes découvertes, je conclus que l'induction , ou procédé de transcendance ,

* Wallis exprime son axiome de plusieurs manières, identiques au fond. Dans le chapitre ix de l'Algèbre, il dit : «c Quae ita continuo convergunt ut futura sit differentia minor quayis data, ea, si in infinitum continuantur, coïncident. »

n'est point un procédé de tâtonnement, de conjecture qui ne mène qu'à la vraisemblance ou à la probabilité , mais au contraire, c'est un procédé scientifique, légitime, fécond, exact, le plus puissant des deux mouvements de la raison pour trouver et montrer la vérité dans toutes les directions de la pensée.