SDR LE NOMBRE, L'UNITÉ ET LA TOTALITÉ

L'idée de nombre est une idée première , et par conséqueût on n'en peut donner une définition proprement dite; mais on peut énoncer, sur le nombre en général, quelques propositions vraies, qui permettent de le distinguer de ce qui n'est pas lui. Ainsi, d'abord, le nombre est une quantité discontinue , qui ne peut décroître ou s accroître que par des degrés marqués , bien qu'aussi petits et audsi rapprochés qu'on voydra , et non par un décroissement ou un progrès continus. Cette quantité discontinue est constituée , dans un être collectif réel ou idéal, par la collection même de ses parties, abstraction faite de la quantité et des qualités distinctives de chacune d'elles ^ , et soit que la distinction de ces parties soit

1 M. Whewell (Philosophy of the inductive sciences , bookll, chap. th, art. 3, chap. yiii» art. 8 et 9 , et chap. x , 2' éd., vol. 1 , p. 127 , p. i'32 et p. 135-139), considère l*idée do nombre comme dérivée de l'idée de temps. Il est bien vrai que, pour nombrer, il faut une succession de pensées , et qu'ainsi le temps est la condition subjective de la notion de nombre. II est donc possible que la notion de temps soit Vantécédent psychologique de la notion de nombre , et cela même est contestable. Mais il est certain que la notion de temps n'est pas Vantécédent logique de la notion de nombre. Car, supposez plusieurs êtres simultanés existant dans un instant indivisible : il y aura nombre , indépendamment de toute durée de ces êtres. Ainsi» le nombre est logiquement antérieur au temps et à l'espace , auxquels il s'applique, il ne suppose que la distinction des êtres possibles ou réels. Sur l'antécédent logique et Vantécédent psychoUtgique, voyez plus loin, chap. 12.

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réelle ou idéale, naturelle ou arbitraire. Ainsi, le nombre tingt existe dans la collection de vingt. propriétés d'une même substance , ou dans la collection de vingt objets quelconques, pon seulement inégaux^ maïs entièrement différents par leur nature» aussi bien que dans la collection de vingt parties égales d'un même tout. Le nombre n'est donc pas toujours un rapport entre une quantité et une partie connue de cette même quantité. Il j|e faut pas appliquer au nombre en général un caractère qui n'appartient qu'au nombre considéré dans un cas partie Ëulier, très-important peut-être. 11 faut, comme bous venons de le faire, énoncer d'abord les caractères principaux du nombre en général, sauf à donner ensuite à ce cas particulier lattention* qu'il mérite.

Quand les parties considérées dans l'être coHectif sont .égales entre elles, la somme de leurs quantités est proportionnelle à leur nombre. C'est alors seulement que le nombre exprime un rapport de quantité entre un tout et une de ses parties supposée connue. Mais ce cas particulier est souvent facile à obtenir, et on y trouve la plus grande utilité pratique des nombres. En effet, un tout continu ou considéré comme tel peut toujours se diviser idéalement en parties égales. C'est ainsi que le nombre, quantité discontinue, devient la mesure, non seulement des quantités discontinues divisées d'avance en un nombre déterminé de parties , mais aussi des quantités continues indéfiniment divisibles ^ Chacune des parties

' 1 Le rapport entre fa science des nombres et ceUe de l'étendue peut donner lieu à des considérations philosophiques d'un haut intérêt. Nous ne pouvons avoir la prétention de les présenter ici. On les trouvera dans Texcellent ouvrage de M. Cournot, De l'origine et des limites de la conéspondançe entre Valgibre et la géométrie. Paris, 1847, iQ*8*.

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égales coQsidéréee dans une quantité qw Ton mesure en nombrant ces parties se nomme tmité de mesure.

Vunité peut être envisagée de deux manières. En tant que type des quantités égales» ou considérées comme telles , abstraction faite de leur valeur , l'unité n'est pas un nombre^ maia elle est Texpression de la réalité indw viduelle, que tout nombre suppose : indéfinie, elle oblige cependafit à comprendre que le nombre, pour être ap** plicable aux objets réels, doit s'appuyer sur la notion d'une individualité quelconque, réelle ou hypothétique, naturelle oi|^ factice; définie, l'unité établit le rapport du nombre abstrait à la réalité. En tant qu'exprimant légalité avec le type , l'unité est un nombre additionna» ble et divisible : elle est un nombre intermédiaire entre les multiples et les sous-multiples de l'unité.

Le nombre n'est pas le principe de la distinction * ; mais il en est la conséquence : on ne peut nombrer que des objets distincts soit par nature , soit par une con* ception de Fesprit. Le nombre n'est pas le principe de la limitation , et il ne la suppose même pas nécessairement; car les attributs de Dieu sont distincts, et ils font nombre; mais chacun d'eux est illimité , puisqu'il est infini. Une substance finie est limitée indépendamment de toute autre substance finie; elle n'est nombre qu'en vertu d'une comparaison avec d'autres substances.

Entre le nombre et la totalité , il n'y a aucun rapport nécessaire de grandeur; car oe rapport dépend de l'unité que l'on choisit , et ce choix est arbitraire , lors même

i .Comme le pf^tend M. F. Laroeonais, Esquisse d'une philotophie, i'* part.» liv. 2 , cbaD. 3 . t. 1 » p. 12t *i24. Cf. U?. 1 , chap. 12 , p. 75-78 , oi liv. 5 , c^ap. n, p, 307-313,

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que le nombre des individus compris dans la totalité est déterminé et que celle-ci n'est pas une quantité continue indèâniment divisible. L'unité choisie peut elle-même être une collection : une s(rmée se compose d'un certain nombre de régiments; un régiment se compose d'un certain nombre de bataillons. II peut donc y avoir, en un même calcul , des unités de différents ordres^ Dans les quantités continues , pour ne pas trop multiplier le nombre des divers ordres d'unités, dont il faut fixer les rapports mutuels, on établit une unité fondamentale, qui ne peut être connue qu'empiriquementf et il est important que le type stable de cette unité reste toujours accessible à l'observation. Les quantités inférieures s'expriment en fractions de l'unité fondamentale.

Puisque le nombre est une quantité , tout ce que nous avons dit de la quantité en général et de ses deux limites lui est applicable. Ainsi , il n'y a pas de fraction numérique qui soit infiniment petite , ni de nombre qui soit infiniment grand , à proprement parler. L'infini en nombre , comme l'infini en toute quantité divisible , est l'expression d'une impossibilité : l'infini est ce que le nombre ne peut jamais être , bien qu'il puisse en approcher indéfiniment. Par exemple, le nombre infini n'est ni réalisé, ni réalisable, dans l'étendue indéfiniment divisible; car la division, soii réelle, soit idéale, quelque loin quon la pousse, ne sera jamais poussée que jusqu'à un certain point, au-delà duquel une* division ultérieure sera toujours possible. Le nombre des parties idéalement ou réellement divisées ne sera jamais infini , bien qu'il puisse être immense. #

L'objet propre de l'arithmétique théorique , c'est le nombre possible et abstrait. Les vérités arithmétiques,