CHAPITRE IV

SUR LA QOAMTITi, L'INFINI ET L^IRIMÉFIIffT.

La quantité est ce qui est suaccptible de plus et de moins , et de division réelle ou idéale. Teste quantité oe peut être qu'une substance une oa multiple , continue ou discontinue, une manière d'^e d'une substance, ou bien un rapport entre des substances réelles ou possibles. Il est évident que la (piantité substantielle suj^se la divisibilité absolue de la subsUnce, et que, par çonséqu^t, les substances simples ne sont pas des quantités. Il y a des rapports qui ne sont pas des quantités , par esLemple Tégalité ou la similitude géométrique. Ceux qui sont des quantités , par exemple les distances de temps ou de lieu, peuvent exister entre dt3s êtres qui n'ont point une substance divisible, par exemple la distance de temps entre deux événements, la distance de lieu entre deux points mathématiques. De même, parmi les manières d'être, tant parmi celles qui constituent les attributs et les propriétés essentielles, que parmi celles qui constituent les phénomènes passagers , il y en a qui sont susceptibles de plus et de moins ; il y en a d'autres qui ne le sont pas. La simplicité des âmes est absolue; l'impénétrabilité des parties les plus simples des corps ^t absolue; tel corps en tel instant est absolument à l'état gazeux. Au contraire , un corps est lancé en tel instant avec plus ou moins de vitesse; il possède essentiellement plus ou moins de pesanteur spécifique ou de force attractive.

DEUXlàm PAETIE. — tf APITRS IV . 4 9f

Pour une intelligence infinie» tout ce qui est suscepble de plus ou de moins est comparable et mesurable, lais ne Test pas toujours pour nous ^ Nous constatons )u vent le plus ou le moins, sans pouvoir préciser le apport. Ainsi, parmi les facultés des substances actives, DUS ne pouvons apprécier en nombres que celles qui se *aduisent par des résultats mesurables pour nous. Nous ouvons déterminer exactement et numériquement le apport des forces motrices^ mais non celui des puisances intellectueQes. D'ailleurs certaines facultés ont un xercice entièrement déterminé par des lois invariables : elles sont les facultés physiques auxquelles on donne )Ius ordinairement le nom de farces et qui sont mesurables. D'autres ont un exercice qui dépend en partie de a liberté : nous ne pouvons trou ver. des formules fixes pour exprimer l'énergie de ces dernières , lors même que leurs résultats seraient mesurables , puisque ces résultats varient suivant la volonté libre de Tagent. Ainsi, la force motrice de Tâme ne peut être exprimée en nombres, quoique telle exertion de cette force puisse l'être. L'intensité des sensations ne peut pas non plus être exprimée en nombres , parce que , dans la variété infinie des sensations , la difierence de leucs qualités indéfinissables se confond toujours plus ou moins avec la différence de leurs intensités : ainsi deux sensations ,* en tant que sensations , ne sont jamais mathématiquement comparables entre elles , parce que, lors même qu'elles sont de même nature, elles ne sont jamais parfaitement semblables, abstraction feite de leur intensité, et qu'ainsi il n'y a

i Voyez Malebranche^ ummiwM cMtkfmes, A' méditation, S 7 et 8.

jamais pour deux d'entre elles une unité eonnue qui puisse leur servir de commune mesure.

Les substances simples, de même que la substance infinie, qui est simple aussi, ne sont point des quantités, comme les substances étendues. Mais les facultés des substances tant simples qu'étemlues sont des quantités, lors même qu'elles ne sont pas mesurables pour nous. Les attributs de la substance infinie sont au dessus Aï toute quantité par leur infinité même. La perfection des substances finies , résultant de l'ensemble de leurs facultés,^ doit être une quantité absolument appréciable, quoiqu'elle ne le soit pas exactement pour nous , et elle est évidemment comparable pour nous-mêmes ; car nous n'hésitons pas à dire, par exemple, que l'homme est de beaucoup plus parfait que tout autre animal, sans pouvoir préciser le rapport , et la raison dit que la perfection de l'âme humaine n'est rien en comparaison de celle de la substance infinie.

Vinliniment grand et Vinfiniment petit ne sont pas des quantités. L'infiniment petit est un être idéal , sans emtence réelle. L'infiniment grand existe réellement; mais il

ne peut être conçu que comme indivisible et immuable. Ainsi , les seuls objets qui puissent être conçus comme infiniment grands sont ceux auxquels la divisibilité et la mutabilité ne sont pas essentielles. Vinfmi absolu et substantiel , c'est Dieu , dont chaque attribut , considéré abstractivement , est infini. Mais l'infiniment grand et l'infiniment petit, considérés par rapport aux quantités divisibles, sont les deux limites idéales qu'elles ne peuvent atteindre , bien qu'elles puissent en approcher indéfiniment. L'infini , ainsi conçu , n'a plus aucune réalité objective : il n'est que l'etpression d'une impossibilité. P^r

DEUXIÈME PARTIS. — G&APITRE IV. f93

otemple, une ^gne droite infinie, c'est la distance recliigned'un point réel à un point qui, s'il existait, serait Dfinimeiit éloigné du premier, mais qui , par cela même , lepeut pas exister: c'est la longueur de l'asymptote, demis son point le plus rapproché de l'origine des coordonlées jusqu'à sa rencontre avec l'hyperbole. De même, mfiniment petit n'a aucune réalité objective : c'est l'ex- )ression de ce qui, à force de décroître, s'est réduit à rien. Une ligne droite infiniment petite, c'est la distance de leux points ijui, à force de se rapprocher , se sont super- )osés : c'est la distance imaginaire de deux points qui ne mi plus qu'un seul et même point. L'indéfini est ce qui peut croître et décroître entre ces deux limites idéales pi on nomme l'infinimml grand et Vinfiniment petit. Toute quantité réellement existante en un momentdonné est nécessairement finie et déterminée, du moins en elle-même, sinon quant à la connaissance que nous en avons. Mais ies quantités idéales ou réelles peuvent croître ou décroître indéfiniment, suivant des lois déte rminées. Dans une série de quantités croissantes ou décroissantes suivant des lois connues, quelques-unes peuvent être comme infi- Qiment petites et négligeables par rapport à telles autres, qui elles-mêmes sont comme infiniment petites par rapport à d'autres. 11 y a donc lieu de distinguer des infiniwmi petits mathématiques de diflerents ordres , et l'usage qu'on en fait dans le calcul difierentiel et intégral est (Oâttaquable, soit pour la vérité des résultats, soit pour la rigueiir des démonstrations. Tout ce qu on peut contester, c'est l'exactitude rigoureuse des expressions, dont pourtant l'emploi est sans inconvénient, quand elles ont été bien expnquées. Il suffit donc d'avertir que ces infii^iment petits de différents ordres ne sont pas l'infini-

ment petit absolu , qui serait le néant « où il ne peut ; avoir ni ordres , ni degrés ^ .

1 Par la considération géométrique des ftuxûnu et des fiuentes , Newto échappe à la nécessité de considérer abstractivement des infiniment petit de différents ordres . et Montucla préfère cette manière de concavoir le choses. Mais il vaut mieux aborder résolument la difficulté , et c'est le part qui a prévalu parmi les analystes. Du reste» cela ne change rien aux procédé ODathémaliqaes.