CHAI'. I. — DU MODE DE LA PRODUCTION DES PLANETES

§ 4 71. Mode de la production des orbites elliptiques par les deux poussées. Dans le parallélogramme

AODO' (fig. 23) AD2— ÂO' + OD* =Â?-+- 2AiX«D + iD*, toutes ces surfaces sont les bases des prismes d’égale hauteur h, et c’est ainsi qu’il y est indiqué la somme u-t-v* des

volumes ÂÔ* X h 4- ÔD* Xh — ÂD* X /». C’est le point i qui indique que le volume v= AO X h est égal à celui

Ai x AD X h , et v' = ÔÏ3*X h = iD X AD X h. Dans la construction graphique de l’ellipse, après avoir placé les extrémités A, D en E, E', on fait varier les distances entre i et les deux foyers qui ne peuvent jamais être atteintes à la fois par la pointe i de l’aiguille. Il y a donc toujours affluence des deux volumes ii + v' = V de barogène dans les deux parties de la diagonale ; cependant, en ce cas, les déplacements de la pointe i de l’aiguille résultent de la différence des poussées v — v' indiquée par les deux volumes.

De même que la masse m en A (fig. 21) parcourt la diagonale AB, et que celle en A (fig. 23) parcourt la diagonale AI), de même cette masse, se trouvant en n, décrit l’arc n en séparant la longueur AD = 2 a en deux parties , l’une nE = q, et l’autre AD — nE = 2a — q. En ce cas , le point n ou le déplacement de la masse correspond à la différence v — v' entre les deux volumes des expansions de barogène ; car c’est en cette différence v — v1 entre les deux poussées p, it que consiste la production de la forme elliptique des orbites.

§ 172. Rapport entre les angles T et y. Le sommet « de l’angle y indique, par la différence v — v' de ses deux côtés, la différence v — v' entre les volumes v et v' des deux expansions de barogène : l’angle r résulte du croisement des directions des deux expansions du bagène.

1° Au sommet A (fig. 21) de l’ellipse, 4* r r=90°est en

un sens, et 2“ en L est r= 90° en sens contraire; on a donc y — 0 = r — 90°.

2* En g, le milieu de l’hémieilipse, r = 90” — J y, parce qu’en ce point l’expansion tangentielle du barogène est en direction parallèle au grand axe.

3° Aux foyers correspond r = 90° — y, t>siny = 2e.

4° Les tangentes de chaque point de l’ellipse forment l’angle r avec le rayon vecteur et l’angle F avec la ligne qui va au foyer vide , nous nommons ici cette ligne paravecteur; on a donc y = 1 80° — T — F.

5° En L, est r = — 90°, F = 90” et y = 0.

2° De la cause de Cégalité des aires parcourues par le rayon vecteur en une unité de temps.

§ 173. Les aires sont limitées du côté de l’espace : 1° par l’arc parcouru en une unité de temps dont la longueur X est variable, et 2° par le rayon vecteur r dont la longueur est également variable; il n’y a de constant que la somme » + »' des volumes indiquant l’espace constant occupé en chaque unité par l’expansion de la quantité Q=q + q' de barogène. Dans les parallélogrammes, de même que dans les orbites, les masses parcourent des diagonales dont les carrés sont la somme des carrés des deux poussées nommées deux forces composantes. La poussée centripète e9t

p = -, , et la poussée tangentielle en A (fig. 21 ) est jr = p

Le carré Xa de la longueur AB est un espace X* X* ayant pour base la surface carrée X* et pour hauteur h. Cette sur-

face X* est égale à la somme des surfaces aa -4- aB =

4 + 3 = XS, dont on obtient r* r*

(P) r*X* = 1 + r* ou r‘X» —r*= 1 et r‘X* = i ; r’X = 1. ■

Erreur de cette loi. Le produit rXrX constant est un espace de forme prismatique dont la base varie ainsi i. i ù

210 CHAP. I. - DU MODE DE LA PRODUCTION DES PLANÈTES que la hauteur sans que change en rien le volume v = d + cependant pour obtenir ce produit constant,

admis dans la deuxième loi de Kepler, il faut nécessairement introduire une erreur en négligeant la quantité r*. Les effets de celte erreur sont insignifiants dans les calculs astronomiques où la valeur du rayon r est considérable, mais il n’en est plus de môme pour les calculs où la valeur de r

est petite.

Pour Saturne et Jupiter r est 27A, 2e A et la différence est r*(r*l) = 2,*As(2,,A4 — l)ou 2,4A4(2,4A — 1); pour la Terre, Vénus, Mercure, celle différence est 28A*(2#A* I),

2* Aa(2*A* — 1 ), 24A4(24 A4 — 1 ). En admettant 23A = 1, il devient 2*A\2«A4 - 1) = 0 et 2*A4(2* A4 - !) = -«. Eu appliquant les mômes formules aux calculs des mouvements des planètes, Laplâce obtint pour Jupiter et Saturne des résultats correspondant à ceux obtenus par les observations, tandis que tes différences sont énormes entre les résultats des calculs et des observations lorsque les formules sont appliquées aux calculs des mouvements de la Terre on des planètes inférieures-, Laplace en ignorait la cause.

5* De l'origine du rapport entre les coi-rés des temps de révolution et les cubes des distances.

§ 174. Il entre, 1° dans la périphérie 2jrr, uu nombre n égal de fois la loùgiïeuf X de l’arc parcouru en une unité de temps par la planète, et 2" dans la surface rtr4 l’aire a parcourue en môme temps par le rayon vecteur; il en résulte

(•j) nX=2i:r et na=itr*; n'X' = 2*R et na' — ^R1.

En remplaçant les longueurs X, X' par la valeur X

et X'= sï ou obtient

si W

— = 2rr, — = 2nR et n = 2itr*, «'£=2^*; n : n' = >* : lR‘,

W* nR* , r* R* , > yL

n= — , n = — — , n:n'=— =— , n:n=ar*:«R,J

(S) r»:R» = aV*:aR*.

En admettant comme unité l’aire a .parcourue par le rayon vecteur r de la planète p, de même que l’aire inégale a' parcourue par le rayon vecteur R d’une autre planète p, les produits a 'r® et aRa expriment des espaces de formes prismatiques ayant pour bases les surfaces ra', aR et pour hauteurs r et R. Ces mêmes hauteurs r, R sont dans les espaces cubiques r3, R3; il en résulte que les surfaces a 'r et aR sont égales aux carrés r*, R*; de sorte que les volumes v, Y ont les doubles mesures r3, R3 de forme cubique, etraXa, RaXa' de forme prismatique où entrent les carres des rayons vecteurs et les aires a', a. Les produits a'Xr* et axRa sont invariables lorsqu’on emploie les rayons r, R comme hauteur ou lorsque les bases sont carrées ra et R3, tandis que les hauteurs sont indiquées par les quantités*', a proportionnelles aux dorées des révolutions.

Erreur de cette loi. Dans le calcul entre la valeur constante raX =1 et non pas la valeor véritable r*?.= 1 l’erreur est petite lorsqu’est grande la distance entre les planètes et le Soleil, et elle est considérable lorsqu’est petite ladite distance. Dans un cas les résultats des calculs correspondent à ceux des observations, et dans l’autre ils en diffèrent, et d’aotant plus que la distance est moindre.

D. De la correspondance entre les résultats des calculs