CHAPITRE XII
De la chute libre des Corps pesans , et en général des lois du mouvement
uniformément accéléré .
§ 1. La Mécanique, c’est-à-dire, la connaissance du mouvement des corps, est devenue peu à peu une science tres-étendue et assez difficile en de certaines parties. Nous allons, par cette raison, expliquer seulement quelques-uns des mouvemens les plus remarquables.
Chute des Corps pesans .
5 2. Lorsqu’un corps tombe librement par la seule action de la pesanteur terrestre, sa vitesse croît à chaque instant, parce que la pesanteur agit continuellement sur lui durant la chute ; mais comme la pesanteur dans chaque point de la terre, et pour de petites hauteurs de chute, peut ctre considérée comme une force invariable ( pag. 22, $ 9 ), la vitesse d’un corps tombant, doit s’accroître pre'ci-
(1) 11 est clans la cavité dn bassin , au (levant de la dernière vertèbre lombaire.
DES CORPS SOLIDES
sèment autant dans un instant que dans un autre. C’est pour cela qu’on dit que la chute du corps a un mouvement uniformément accéléré .
(J 3. La chute d’un corps est beaucoup trop rapide pour que les lois de son mouvement puissent être étudiées par une observation immédiate. Mais la machine inventée par AUvood , donne un moyeu commode pour retarder la chute 5 de sorte que, sans changer les lois essentielles du mouvement, on peut en observer les circonstances de jeconde en seconde (i).
§ 4. Au moyen de cette machine, on remarque .*
1°. Que dans chaque mouvement uniformément accéléré , V espace croît comme le carré du temps . Si donc l’on nomme g l’espace que parcourt le corps dans la première seconde, quelque grand ou petit qu’il puisse être, et qu’on désigne par E le chemin qu’il parcourt en T secondes, on a E=o- T1 2 3.
2°. Que les vitesses suivent le rapport des temps , et qu on trouve la vitesse du corps à la fin de chaque seconde , en multipliant par le temps le double du chemin fait durant la première seconde . Si i on nomme donc Y la vitesse que le corps acquiert en T secondes, on a
3°. De ces principes se déduit naturellement cette conséquence , que les espaces parcourus croissent comme les carrés des vitesses (2).
(1) On trouve une description de l’appareil d 'Atwood dans les Annales de Physique de Gilbert } 180 3, 5.e n.°, pag. 1.
Voyez aussi la Mécanique de M. Poisson , tom. II, pag. 47, ou le Précis de Physique de Biot , tom. I, pag. 58.
(2) Les lois du mouvement uniformément accéléré, sont d‘une utilité trop générale en Physique , pour que nous ne cherchions pas à les établir par la théorie.
Soit E l’espace parcouru par un corps grave , pendant le temps T , en vertu de l’action de la pesanteur ; concevons le temps T partagé en un nombre quelconque n d’intervalles égaux entre eux, dont chacun soit désigné par t; en sorte que l’on ait T = nt. Nous pouvons assimiler le mouvement cherché à celui d’un corps sans pesanteur, qui recevrait, à la fin de chacun des instans/, 2 f, 3/, etc. une impulsion capable de lui faire décrire uniformément l’espace v dans l’unité de temps : cette comparaison sera d’autant plus approchée de la vérité , que les intervalles t qui séparent les impulsions successives de la force, deviendront moindres j et enfin l’erreur disparaîtra tout-à-fait dans les résultats qui seront indépendans d« la valeur absolus de ces instans. Suivons donc bs conséquences d« notre sup-
DU
$ 5. Pour pouvoir indiquer en nombre toutes les circonstances d’un mouvement uniformément accéléré, il faut seulement connaître g.
position , et analysons les effets que ces chocs successifs auront produits sur le mobile , à la fin du temps t .
L’instant o est celui du départ. Le mobile reçoit alors une impulsion capable de lui faire décrire l’espace u dans l’unité de temps. Cette première impulsion agit sur lui, pendantle temps T; elle lui fera donc décrire dans cet intervalle l’espace uT.
A l’instant suivant t, le mobile reçoit encore une nouvelle impulsion égale à la précédente j mais elle n’agit que pendant le temps T — t ; elle lui fait donc décrire l’espase (T — t) u.
En examinant ainsi les espaces que lui font décrire les impulsions successives jusqu’à la fin du temps T, on voit que ces espaces forment la progression arithmétique décroissante.
Tu; (T — t)u; (T — 2 t)u tu,
dont le nombre des termes est égal à celui des instans t , c'est-à-dire, égal a u. En mettant pour T sa valeur nt , cette progression devient
nlu ; (n — i ) tu ; ( a — 2 ) tu ; tu,
La somme de ces espaces partiels est l’espace total réellement parcouru par le
n ( 11 1 ) tv
mobile. Or, cette somme est . Nous avons
E j on a donc
n. [n -}- i .) tv E= i
ou, en remettant pour n sa valeur —,
représenté cet espace par
Désignons par g l’espace parcouru de cette manière par le mobile dans l’unité de temps, et supposons que T soit commensurable avec cette unité. On pourra de meme diviser l’unité de temps en un nombre n' d’intervalles égaux entre eux et à t ; et en reprenant le raisonnement de la meme manière, pour cc second cas , on trouvera
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d’où l’on tire
DES COP. PS SOLIDES
c’est-à-dire, l’espace que parcourt le corps dans la première seconde. On voit, au moyen delà machine ÜAtwoodj citée précédemment ,
ou, ce qui revient au même,
E T fT — i)t
Plus t sera petit, plus le facteur — - diminuera, et par conséquent plus le
rapport — approchera d’être égal à T3. Or , par supposition, t est l’intervalle de
temps qui s’écoule entre les impulsions successives de la force ; et cet intervalle est tout-à-fait imperceptible à nos sens , dans le cas de la pesanteur. Ainsi, pour nous plier à ce cas , il faut supposer t — o , ce qui donne
