OU — = 2 T

Plus t diminue, plus le rapport — s’approche d’être égal à 2X ; dans le cas

de la pesanteur, il faut faire t nul, et l’on a rigoureusement

Y = igT ,

c est-à-dirc que la vitesse est proportionnelle au temps.

que, pour la latitude de Paris, cet espace est de i5 pieds ^ ou4m59044 dans une chute libre , et qui ne rencontre aucun obstacle ; ce qui donne, en meme temps, la vitesse du corps à la fin de la première seconde, = 3o pieds , ou gw,8i (§ 4>2°*) Avec cette donne'e, on peut aisément calculer l’espace parcouru et la vitesse acquise après un temps quelconque déterminé; et généralement, connaissant une de ces trois choses, le temps, l’espace ou la vitesse, on peut déduire les deux autres par le calcul.

On peut, de meme, déterminer toutes les circonstances de tout autre mouvement uniformément accéléré , dès qu’on connaît la valeur de g qui s’y rapporte. Cette valeur est donc, pour ainsi dire, la mesure de tous les mouvemens.de ce genre, et on la nomme mesura d’ accélération , ou force accélératrice (i).

Nous avons supposé que le temps T était commensurable avec l’unité de temps. Si cette condition n'était pas remplie, on la rendrait exacte en ajoutant au temps T une portion de l'intervalle t ; et alors on commettrait une erreur dont l’étendue dépendrait de l’espace décrit par le mobile dans ce petit intervalle. Mais comme ensuite on fait t nul, il est clair que l’erreur dont il s’agit, devient pareillement nulle aussi. Ce qui montre que les résultats précédens sont indépendans de l’hypothëse de la commensurabilité , qui nous a servi pour les découvrir.

(i) Les deux formules développées dans le précédent article , Y = 2gT, et E = g-T3, sont les formules fondamentales par lesquelles se résolvent toutes les questions sur le mouvement uniformément accéléré. En supposant que g soit donné, on voit facilement que, par son moyen, lorsqu’une des trois quantités T, E, Y est donnée , les deux autres peuvent s’en conclure ; car si c’est T qui est donné , les deux équations précédentes donnent immédiatement V et E ; si Y est donné, on en déduit

T = — , et ensuite E = gT2 == ;

enfin si l’on se donne E, on tire de l’équation E =rgT%

et par suite , Y =

|/gE.

S’il s’agit de la chute libre des corps produite par Faction de la pesanteur, il ne faut substituer pour g que iO-P^yL ou 4m>904 4* S’il est question de quelque mouvement uniformément accéléré , il faut seulement mettre pour g la valeur qui lui appartient.

DES CORPS SOLIDES

§ 6. Lorsqu’un corps est lancé vers le haut, en direction verticale, il est clair que la pesanteur diminue uniformément sa vitesse , précisément comme elle Faccroîtrait dans sa chute , et dans un rapport exactement égal. Le corps s’élève donc jusqu’à ce que toute sa vitesse primitive d’impulsion , soit détruite par l’action continuée de la pesanteur; ensuite il retombe, et l’on conçoit qu’il reprend , à chaque point de son chemin, la même vitesse qu’il avait à ce point en s’élevant. Cette remarque fournit un moyen de trouver la hauteur ou parviendra le corps , si Fon connaît la vitesse de projection avec laquelle il s’élève (i).

(J 7. Les propositions qu’on vient d’exposer ne peuvent avoir rigoureusement leur effet que pour la chute des corps dans un espace vide d’air. Dans l’air, au contraire, il ne peut y avoir aucun mouvement tout-à-fait uniformément accéléré, puisque le corps tombant doit mettre à chaque instant une certaine quantité d’air en mouvement, et qu’autant il communique de mouvement à l’air, autant il en perd lui-même (pag. 19 58). Si donc le corps tombant a peu de masse, mais beaucoup de volume, on conçoit que son mouvement doit être fort retardé par la résistance de l’air ; et c’est aussi ce que confirme l’expérience. Réciproquement, la résistance de l’air est d’autant moins sensible, que la surface du corps tombant est plus petite et sa masse plus grande.

Chute sur un plan incliné .

§ 8, Si un corps pesant D, (flg. 6) se trouve sur un plan incliné

(1) Soit U la vitesse de projection imprimée au corps , au moment où on le lance de bas en haut, et comptons les temps T, à partir de cette époque. Lorsque le corps cessera de monter , ce sera parce que les impulsions réitérées de la gravité, pour le faire descendre, lui auront imprimé une somme de vitesse, ou une vitesse totale V égale à U. Or , en désignant par T le temps apres lequel cela arrive , on aura alors V = 2gT , d’après les lois de la pesanteur ; il faudra donc que ce

produit 2gT soit égal à U, ce qui donne T = — : c’est le temps après lequel le

mobile s’arrête, pour redescendre ensuite. Quant à l’espace E qu’il aura décrit

alors, il se trouvera égal à gT1 2, ou — ; expression qu’il sera facile de réduire en

nombre, quand la vitesse initiale XJ sera donnée.

4 O DEUXIÈME SECTION j

AB, il roule ou glisse vers le bas, mais avec une force moindre que dans une chute libre et verticale. La grandeur de cette force peut être déterminée de la manière suivante : que D soit le centre de gravité du corps; qu’on mène de ce centre, au plan incliné, la verticale DE qui représente la pesanteur absolue, ou le poids du corps, c’està-dire, la force qui pousserait le corps dans une chute libre; qu’on mène ensuite les deux lignes DF et DG, dont la première soit perpendiculaire à AB et la seconde lui soit parallèle : la force DE pourra être censée décomposée en deux forces (pag. 3o, $ 4) > dont l’une, DF, est perpendiculaire à AB, et l’autre, DG, est parallèle à AB» La première ne peut produire aucun mouvement, puisqu’elle est détruite par la résistance du plan; la seconde, DG, agit, au contraire , dans la seule direction oîi le corps peut se mouvoir, et elle produit ainsi tout le mouvement à elle seule. La force qui produisait la chute verticale, c’est-à-dire, le poids du corps, est donc à la force qui produit réellement la chute oblique sur le plan incliné, comme DE est à DG. Si des points A et B, pris à volonté sur la surface inclinée, on tire la ligne verticale AG et la ligne horizontale BG , on a le triangle ABC semblable au triangle DEG; et DE ’ DG=rAB * AG. Le poids du corps est donc à la force oblique qui le pousse sur le plan incliné, comme la longueur AB de ce plan est à sa hauteur AG. Il y a un instrument particulier destiné à rendre sensible l’exactitude de cette évaluation; il se nomme plan incliné.

§ <j. A quelque endroit que soit le corps sur le plan incliné, la force accélératrice savoir: DG dans l’exemple précédent, qui le pousse en chute oblique, est toujours la même; ainsi, la chute oblique doit produire, comme la chute verticale , un mouvement uniformément accéléré, mais d’une accélération moindre; et l’accélération delà chute libre, que jusqu’ici nous avons nommée g, sera, à l’accélération de la chute oblique, comme AB est à AG. Maintenant, puisque I on connaît g~ i5 -~o ou 4W>9°44> ^ suffira d’avoir le rapport AB : AC, pour trouver toutes les circonstances de la chute oblique (i).

§ io. Une remarque importante et très-utile par ses conséquences, c’est que le corps, lorsqu’il descend de A jusqu’à B, acquiert

(i) Galilée qui développa le premier avec exactitude la loi de la chute, employa le plan incliné pour la rendre sensible.

DES CORPS SOLIDES

îa meme vitesse que s’il était tombé librement cle A en C; car les -vitesses en chaque point sont entre elles comme AB à AC, c’est-à-dire ? comme les longueurs des plans (i).

§ ii. Si l’on suppose deux corps, dont l’un tombe verticalement de A à C (Jig* 6), et l’autre obliquement de A à B, mais de sorte que tous deux aient déjà en A une vitesse déterminée et égale ; il est clair qu’ils parviendront encore en C et en B avec d’égales vitesses. Soit donc ABCD (> fig . 7), un plan interrompu par les angles B, C, etc., pris à volonté; qu’on mène par A ou par D les lignes verticales AK et DE, et par A, B , C, D , les lignes horizontales AE , FG, HI, KD; il est clair qu’un corps qui glisse sur le plan interrompu, de A en BCD, aura la même vitesse qu’aurait un corps tombant de A en FHK, ou de E en G1D.

§ 12. Comme le nombre, la grandeur et la position des Interrupt lions du plan, sont absolument arbitraires, cette proposition s’applique aussi à une ligne courbe AB {fig. 8). Qu’on mène Fhorizontale AC, et d’un point à volonté la verticale CB; on peut ensuite déterminer la vitesse d’un corps glissant de A aux points arbitrairement choisis D et F, en menant de ces points les horizontales DE et FG. La vitesse dans les points donnés, est précisément la même que si le corps était tombé librement de C en E, ou de C en G.

De là se déduit cette proposition remarquable, que lort iqu’un corps as se cVune surface inclinée à une autre , il a la meme vitesse par quel chemin qu il y parvienne. ' — Cependant, la résistance de l’air peut occasionner quelque différence dans la réalité.

(i) Si Ton représente par g- la force accélératrice due à la pesanteur verticale, et par g' celle qui a lieu sur le plan incliné, on obtiendra g1 par la proportion

* a , AC

AB * AC=g ’ g; d’où g'= X g- Soient maintenant Y la vitesse due à la chute

libre de A en C, et Yr la vitesse de la chute oblique de A en B: on a, d’après la note du n.° '5 ,

V=2l/gÖTetV'=2l/?:ÄB = 2 J/ é5.Âr.AB = 2|/£.AC;

c’est-à-dire qu’elle est exactement égale à la précédente.

DKITX IEME SECTION.