CHAPITRE XLI

De la Réflexion de la lumière par les miroirs , ou premiers principes

de la Catop trique,

§ i. A proprement parler, toutes les surfaces polies réfléchissent à la manière de miroirs : même, lorsqu’on regarde obliquement une surface polie, on y voit quelques images semblables à celles qui se représentent dans un miroir; mais le plus souvent elles sont indistinctes : cependant, parmi les corps solides, il ne se trouve que quelques métaux simples et quelques amalgames de métaux qui soient susceptibles de prendre un poli parfait. Les glaces à miroir ne font pas même exception à ceci; car c’est proprement l’amalgame de mercure et de zinc dont la surface postérieure est revêtue, qui produit l’effet de miroir.

§ i . Les miroirs de glace rendent, à la 'vérité , les miroirs métalliques inutiles pour l’usage ordinaire; mais ils ne peuvent être employés pour les expériences exactes d’Optique, parque qu’ils font une double réflexion aux deux surfaces du verre, et aussi parce que la lumière qui parvient à la surface postérieure, est elle-même réfractée deux fois dans le verre, et que par conséquent les phénomènes qu’on observe, ncsont pas produits par la seule réflexion des rayons (*). Ces inconvéniens sont d’autant plus fâcheux, qu’il est difficile de préparer une bonne composition pour les miroirs métalliques.

§ 3. Parmi les formes infiniment variées qu’on peut donner aux surfaces des miroirs, il n’en est que deux dont il soit important de

(*) On doit concevoir que parmi des rayons partis du point lumineux , les uns sont réfléchis au contact de l’air et la surface antérieure du miroir , tandis que les autres, après avoir subi une première réfraction et pénétré jusqu’à la surface postérieure où ils rencontrent l’amalgame, y subissent une seconde reflexion, traversent de nouveau l’épaisseur du verre et repassent dans l’air après une seconde réfraction éprouvée à la surface antérieure. L’œil devrait ainsi recevoir deux images, mais qui se confondent à cause du peu d’épaisseur du miroir.

Il LA LUMIERE.

parier avec detail, ce sont celles des miroirs plans et des miroirs sphériques : socs la der mère dénomination . on comprend tous ceux qui sont des perlions d'au miroir sphérique , polies 3 l'extérieur ou à 1 intérieur. On a tenté en veîü plusieurs fois depuis Descartes . de polir des miroirs de courbures elliptique, paraboli rue, etc.; mais iodependamment des obi : a :îes presque insurmontables que présente leur fulu : a lion . il est démontré par la théorie que. relativement à 1 urs effets . ils seraient intérieurs aux miroirs sphériques. Les miroirs coniques e: cylindriques r.e >er veut absolument que pour les jeux d'optique.

Loi fondamentale delà Catopti loue.

'j d. Tous les phénomènes lumineux qui se produisent au moyen de: miroirs. quoiqu’ils soient très-variés , reposent tous sur une seule loi extrêmement simple: cette loi est la suivante:

S: un rayon .ri lumière HA fig. -3 , tombe sur une surface quel* conque E \C, ou DAT . : a FA ri, et ou' or. élève au point d i ncidence A, la ligote AI perpendiculaire an miroir ; si ensuite Von suppose par la pensée un p ion qui contiendrait cette ligne et le rayon incident ELI , U rayon refléc :: AK. se tr. avenu aussi dune ce plan, et de maniéré à faire aie la p erp ondicudaire AI . un angle lAK égal à F angle IAII ,fvnné par le rayon incident avez cette perpendiculaire .

En un mot . le rayon incident et le rayon réfléchi ont, par rapport à la perpendiculaire Al et au miroir, une position opposée, mais symétrique. On nomme AI la perpendiculaire inzidente, IAII V angle •à -.rxidence et JAK V angle de lefexicn. Si un rayon tombe perpendiculairement sur un miroir, l'angle d'incidence et par conséquent celui de re Lésion , sont nuis , c'est-à-dire que le rayon est réfléchi sur lui-même.

L'exactitude de cette loi peut être prouvée par Inexpérience , de •Averses manières: et en général il suffit, pour y parvenir . de rendre visible la direction du rayon incident et celle du rayon réfléchi. Lne des méthodes les plus simples pour parvenir à ce but , c'est de taire arriver la lumière du s îeil par une très-petite ouverture sur un miroir quelconque placé car.s une chambre sombre, eu 1 on peut ol server les srains de poussière répandus dans l’air et éclairés par la lumière incidente et parla lumière réfléchie .

L Ou trouve dirs les trairis ce physique, ces

procédés fl

s sim f les.

Du miroir plan .

§ 5. Les phénomènes connus du miroir plan, s’expliquent trèsfacilement par cette loi. Soient AB, (Jig. 74) Je profil d?un tel miroir, Cun point rayonnant situé devant sa surface ; qu’on mène la ligne CD perpendiculaire au miroir, et qu’on la prolonge au-delà d’une longueur DE = DC. Si maintenant un rayon quelconque CF venant de C, tombe sur le miroir, il n’est besoin que de tirer de E en F, la ligne EFG, pour trouver la position du rayon réfléchi; car Légalité des triangles FDC et FDE étant facile à démontrer , il s’ensuit que les angles DFC et DFE sont égaux ; mais DFE est opposé par le sommet à l’angle BFG; par conséquent DFC et BFG sont aussi égaux, c’est-à-dire que FG est, selon la loi de la Catoptrique, le rayon réfléchi.

On voit donc que tous les rayons venant de C, sont réfléchis par le miroir, de manière que leurs directions passent toutes par le même point E. Par conséquent un oeil placé devant le miroir, dans une position telle qu’il puisse recevoir un de ces rayons réfléchis , doit voir en E une représentation du point C (pag. 3i2 J 2); mais comme ce qui a été démontré pour le point C , est applicable à tous les autres points , 011 conçoit comment l’image d’un objet doit se présenter dans le miroir, et en apparence, derrière sa surface, à une distance égale à sa distance réelle (*).

(*) Soient un objet ab placé au-devant d’un miroir plan AB {fi g. 75), et un œil au point O ; parmi les rayons que les extrémités de cet objet , envoient sur tous les points de ce miroir , il s’en trouvera deux aR et bS qui , en se réfléchissant, pourront se réunir en O, et pénétreront dans l’œil qui, rapportant l’existence de ces objets dans la direction des rayons OR et OS, et jugeant de sa grandeur par l’angle ROS qu’ils font entre eux, le verra en a’ b' derrière le miroir. La réflexion de la lumière par les miroirs plans , présente quelques circonstances qu’il est important de remarquer. i.° Il s’en faut de beaucoup que la totalité de la lumière soit réfléchie par ces miroirs ; on peut penser que la lumière non réfléchie est absorbée par le miroir, ou du moins qu’elle est modifiée par la réflexion de manière à r.e plus affecter l’organe de l’œil : 2.0 la couleur des miroirs influe beaucoup sur la quantité de lumière réfléchie ; les noirs en réfléchissent le moins et les blancs le plus possible. 3.° L’incidence sous laquelle la lumière tombe sur un miroir, n’influe pas moins sur la quantité de lumière réfléchie; en sorte que,

Des miroirs sphériques.

§ G. Soit ADB, [fig . 76), le profil d’un miroir sphérique, el C le centre de la sphère dont ce miroir est un segment : on nomme ce point le centre géométrique-, et D qui est le point du milieu du segment lui-même, s’appelle le centre optique . Une ligne droite menée indéfiniment par C etD, représente Taxe; CD est le rayon du miroir, et DA ou DB sont les demi-largeurs ou ouvertures . Si la surface intérieure est polie, le miroir est concave ou convergent ; il est convexe ou divergent, si la surface extérieure est polie (i).

Phénomènes qui se produisent par le miroir concave.

§ 7. Si l’on dirige Taxe du miroir concave vers le soleil, tous les

sous un angle très-aigu , un miroir noir réfléchit presqu’autant de lumière qu’un miroir blanc. 4*° Les corps opaques ne sont pas les seuls qui puissent constituer des miroirs ; car le corps le plus transparent peut réfléchir presque complètement la lumière , pourvu que son incidence soit assez oblique , comme on peut souvent le remarquer aux carreaux de vitre.

(i) Lorsqu’on ne prétend pas à une exactitude rigoureuse, on peut produire les phénomènes des deux espèces de miroirs, avec des miroirs de glace ; mais alors le rayon lumineux traversant la surface antérieure , s’y réfracte avant de parvenir à la surface postérieure qui le réfléchit. Ainsi , dans ce cas, on ne doit pas juger, comme précédemment, des propriétés du miroir d’après la seule inspection de sa surface antérieure ; ce n’est que lorsque les deux faces sont parallèles, ou plutôt lorsqu’elles sont courbées concentriquement, ce qui est trèsdifficile à obtenir avec exactitude, que le miroir peut être aussi appelé convergent, quand sa surface antérieure est concave , et divergent quand elle est convexe. Mais si, au contraire, les deux faces, comme il arrive ordinairement, sont de formes et de courbures différentes, on appelle miroir convexe , ou miroir de convergence y celui dont les bords sont plus minces que le milieu ; et miroir concave , ou de divergence, celui dont les bords sont plus épais que le milieu j la surface antérieure étant indifféremment ou plane , ou bombée , ou concave , parce qu’elle ne contribue à la réflexion que pour une quantité très-petite comparativement à la surface étamée. Ceux qui connaissent reffet de ces deux espèces de miroirs, savent que le miroir de convergence grossit un objet placé entre C et D ( fig . 76), et que le miroir de divergence le diminue. En ayant égard à cette observation, on peut faire les expériences indiquées aux paragraphes 7, 8, 9 et 12, avec des miroirs de glace.

HUITIEME SECTIOIT.

rayons parallèles qui viennent frapper sa surface, sont rassemblés par Ja réflexion dans une très-petit espace F, qui se trouve justement au milieu entre C et D : non -seulement il se produit en ce point une lumière éblouissante, mais encore il s’y développe une vive chaleur dont l’intensité ne peut être égalée que par celle du feu augmentée par l’oxigène (p»99, § 3). Par cette raison, on nomme cet espace le foyer du miroir, et la distance DF sa distance focale. Pour que cet effet soit aussi fort qu’il est possible, le miroir doit être très-grand et sa distance focale plus courte que la largeur de sa surface , ou au moins ne doit-elle pas l’excéder ; car plus la distance focale est considérable, en comparaison de la surface du miroir, et moins le foyer aura d'action. Un corps qu’on veut exposer à la chaleur du foyer d’un miroir, doit être plus petit que cet espace, afin d’être environné de toutes parts par la chaleur qui y est rassemblée. Un miroir concave disposé pour cet objet, se nomme un miroir ardent .

§ 8. Si l’on place une flamme dans le foyer d’un miroir concave, toute la lumière qui va frapper le miroir, sera réfléchie presque parallèment à l’axe : et comme la lumière parallèle conserve toujours une égale force, excepté lorsqu’elle est affaiblie par l’absorption que lui fait éprouver le milieu dans lequel elle passe, on peut propager ainsi une vive lumière à une distance considérable : on nomme miroir collecteur , un miroir concave préparé pour cet effet.

§ 9. Les images des objets que représente un miroir concave, offrent des phénomènes beaucoup plus variés que ceux qu’on observe dans le miroir plan. En plaçant une bougie allumée devant le miroir, dans une chambre obscure , tous les phénomènes suivans deviennent pafaitement visibles.

i.° Si la flamme est en-deça du foyer , près du miroir, on en voit une image verticale et grossie qui paraît un peu plus loin derrière le miroir, que la flamme elle-même n’est au-devant : à mesure qu’on rapproche la lumière du foyer, l’image grandit et s’éloigne.

2.0 Si la flamme est au foyer, son image ne se trouve nulle part; mais on voit seulement le réfie t lumineux dont nous avons parlé dans 1 article précédent , et qui consiste presque en rayons parallèles.

3.° Si l’on place la lumière au-delà du foyer, on n’aperçoit pas non plus son image dans le miroir; mais lorsqu’elle est à une certaine distance, il s en peint une image grossie et renversée sur un mur

blanc oppose au miroir : si on éloigne la lumière encore davantage, cette image est plus proche et plus petite. Lorsque la distance de la flamme devient double de la distance focale, l image coïncide avec elle, parce quelle est alors au centre de courbure du miroir - si onia recule encore, l'image qui est alors plus petite que la flamme, se rapproche du foyer, et finirait par tomber précisément dans le foyer , si l’on pouvait éloigner indéfiniment la lumière. On voit par là que , dans un miroir ardent, la violente chaleur qu’on observe au foyer est produite par une image du soleil qui vient s’y représenter.

§ io. Ce n’est que par le calcul qu’on peut donner une explication complète de ces phénomènes. Il y a cependant une méthode très-simple et très-ingénieuse de déterminer par des constructions géométriques quel doit être le phénomène dans chaque cas donné; mais elle suppose quelques résultats de recherches mathématiques que nous devons seulement faire connaître ici historiquement. A la fin de ce chapitre, nous rapporterons les démonstrations rigoureuses. Les propositions qu’on doit admettre sont les suivantes :

i.° Chaque rayon dirigé parallèlement à Faxe, est réfléchi au foyer.

2.0 Tous les rayons qui viennent d’un point quelconque qui se trouve dans la direction de 1 axe ou qui ne s’en écarte que très-peu, sont réfléchis de manière que leurs directions se coupent toutes en un point et y produisent par conséquent une image du point rayonnant : mais cette image est quelquefois devant, quelquefois derrière le miroir; elle peut même être à un éloignement infini, et alors les rayons réfléchis sont parallèles.

La conséquence de ces principes est que, lorsqu’on connaît seulement la direction que prennent, en se réfléchissant , deux rayons venus d’un même point, on connaît aussi la direction de tous les autres.

3.° Lorsque plusieurs points sont aune égale distance du miroir, leurs images en sont aussi également éloignées.

C'est par suite de ceci que, quand on place un objet devant un miroir, les rayons réfléchis doivent toujours en produire une image, soit devant, soit derrière le miroir.

$ il. En admettant ces propositions comme exactes , on démontre qu'on peut déterminer, dans chaque cas, toutes les conditions de la formation des images, quand on connaît seulement deux rayons qui viennent des points extrêmes d’un objet. Pour faire cette démons-

3s6 HUITIEME SECTION.

tration, on trace le profil du miroir ABC ( fig. 77, 78, 79), son axe CD; et son foyer F; on repre'sente l’objet rayonnant par une ligne droite RG qui est perpendiculaire à Taxe, et qui ne doit être ni plus petite ni plus grande que la hauteur du miroir, mais qui se prolonge également des deux côtés de l’axe. Gu plus haut point K de £et objet, on mène deux rayons RA et RC sur le miroir ; RA parallèle à Y axe, est, par conséquent, réfléchi au foyer F (pag. 325 , § 10, n.° 1 ) • RC dirigé vers le centre optique C du miroir, sera réfléchi vers le point le plus inférieur de l’objet, d’après la loi de la Catoptrique (pag. 321 , § Zj) : 011 prolonge la direction de ces deux rayons réfléchis jusqu’à ce qu’ils se coupent, et le point h de leur intersection, est l’image du point R de l’objet (p. 325, § 10, n.° 2). Si l’on tire de ce point k une ligne kg qui passe perpendiculairement par l’axe, et qu’on la prolonge également des deux côtés , de sorte que Ich — gh ) cette ligne représentera l’image qu’offre le miroir dans les circonstances données (pag. 325, § 10, n.° 3).

La fig. 77 montre le cas oîi l’objet RG est en deçà de la distance focale CF. Les deux rayons réfléchis AF et CG qui viennent primitivement de R, divergent ici ; et l'on doit par conséquent les prolonger derrière le miroir, pour trouver leur point d’intersection h ou est l’image du point R, aussi bien que L^qui présente l’image de l’objet entier. Ceci est l’explication du phénomène rapporté à l’art. 9, n.° 1, pag. 324.

Dans la fig. 78, l’objet RG est lui-même au foyer F. Ici les deux rayons réfléchis AF et CG deviennent parallèles ; car, puisque, d’après la remarque faite à la fin de l’article 9, le miroir ne doit avoir qu’une très-faible courbure pour produire une image distincte , on peut considérer CARF comme un parallélogramme; mais alors CAFG est aussi un parallélogramme, puisque CA et FGsont égaux et parallèles. Dans ce cas, il ne doit donc se produire aucune image de l’objet ; ou bien l’on peut dire qu’elle se produit à un éloignement infini, derrière ou devant le miroir. Cela explique le deuxième phénomène indiqué à l’art. 9.

La fig. 79 présente l’objet RG plus loin que la distance focale. Les deux rayons réfléchis AF et CG convergent ici visiblement et prolongés suffisamment, ils se coupent au-dessous de l’axe en k, de manière que le miroir produit ici dans l’air une image lg de 1 objet. Le phénomène décrit au n.° 3 de l’article 9, s’explique de cette manière.

On peut traiter de même tous les autres cas qui se pre'sentent. Le lecteur pourra sur-tout examiner les changemens qui arrivent dans le dernier des phénomènes que nous avons considérés, et qui sont rapportc's à la fin de l’article 9 ; c’est-à-dire, les différences qu’on observe selon que l’objet est entre le centre géométrique et le foyer, ou au centre géométrique lui-même.

Phénomènes qui se produisent par Le miroir convexe ,

J 12. Les phénomènes que présente un miroir convexe, lorsqu’un objet y répand sa lumière, sont beaucoup plus simples. Quelque part que soit placé l’objet devant le miroir, on en aperçoit toujours une image plus petite que lui, et située verticalement derrière le miroir. Lorsqu’on dirige l’axe d’un miroir convexe vers le soleil , il ne rassemble pas sa lumière, il la disperse: mais on peut prouver aussi bien par l’expérience que par le calcul, que la petite image du soleil, de laquelle vient cette dispersion de lumière, est placée à égale distance entre le centre optique et le centre géométrique, par conséquent derrière le miroir. A cause de cela, on nomme cette place le foyer négatif du miroir , et sa distance derrière le miroir, la distance focale négative .

J i3. Les propositions théoriques rapportées à l’article 10, p. 325, peuvent s’appliquer aux miroirs convexes comme aux miroirs concaves; seulement l’expression de la première doit être changée ainsi .* un rayon parallèle à l’axe, doit être réfléchi comme s’il venait du foyer négatif. Avec cette modification, la construction décrite à l’article 11, peut servir aussi pour le miroir convexe.

Soient donc ACB, (/2g. 80), le profil d’un semblable miroir, FDson axe, F son foyer négatif, et soit KG l’objet: si l’on mène de K le rayon KA parallèle à l’axe, il sera réfléchi dans la direction AL, comme s’il venait de F : le rayon KG est réfléchi vers G. Les deux rayons réfléchis divergent visiblement, et l’on doit, par conséquent, les prolonger derrière le miroir, pour trouver leur point d’intersection h, et pour marquer l’image entière kg de l’objet KG.

§ 14. Il faut connaître parfaitement la distance focale d’un miroir sphérique, lorsqu’on veut l’employer à des expériences exactes.

Pour un miroir concave, on la détermine de plusieurs manières ; par exemple, on présente le miroir aux rayons du soleil, de manière

que leur direction soit parallèle à son axe, et Ton mesure la distance de l’image au miroir ; ou bien on taille un morceau de papier en rond et de la grandeur du miroir, on y trace un diamètre , et l’on fait sur celui-ci deux petites ouvertures rondes à une égale distance du centre? on attache la feuille sur le miroir, et 011 présente celui-ci ù la lumière du soleil : les rayons réfléchis par les deux ouvertures convergent; on cherche le point ou ils se réunissent , et l’on mesure sa distance au miroir.

Une troisième méthode sera exposée dans les additions mathémaques qu'on trouvera à la fin de ce chapitre , $ 22.

Pour un miroir convexe , on ne peut employer que la deuxième méthode. Lorsqu’on a attaché le papier au miroir, on Toit que les rayons réfléchis divergent , et l’on doit chercher les points o'u ils sont entre eux, à une distance double de celle qu’ils avaient sur le miroir : on mesure la distance de ces points au miroir, et l’on connaît ainsi la distance focale négative (pag. 827 , § 12).

ADDITIONS MATHÉMATIQUES

§ i5. Les propositions rapportées aux articles 10 et i3,ne sont pas exactes à la rigueur , mais conditionnellement. Cette condition consiste en ce qu’elles approchent d’autant plus de la vérité , que l’étenduo du miroir est plus petite en comparaison de sa distance focale 5 ou du rayon de la sphère sur laquelle le miroir est construit. Cependant on peut prouver par un examen plus approfondi , que l’inexactitude dont nous parlons, est à peine appréciable pour 110s sens, meme orsque le segment sphérique qui forme le miroir, est de plusieurs degrés. Pour es miroirs qui doivent donner des images nettes et distinctes, la largeur ne peut , tout au plus, qu’être égale à la moitié de la distance focale, et, dans certain cas. elle doit être beaucoup moindre.

Cette remarque justifie les approximations auxquelles nous allons nous borner clans les démonstrations suivantes.

§ 16. Théorème. Un rayon lumieux EA , (Jlg. 81) , qui tombe parallèlement à l’axe , sur un miroir concave , est réjléchi entre le centre optique D et le centre géométrique C, et d’autant plus près du foyer F, qu’il passe plus près de l’axe.

Démonstration. Si l’on mène de A en C la droite AC , elle sera un rayon de a sphère ADB , et par conséquent perpendiculaire en A à la surface du miroir : si l’on prend de plus l’angle CAF — CÀE ; et que AE soit le rayon incident, AF sera le royon réfléchi (pag. 32 1 , 5 4 - )

IDE Ï.A LtJMIERE.

Si l'on considéré maintenant le triangle AFC, on voit facilement que AF — FC, puisque les angles FAC et FCA sont égaux; car tous deux sont égaux à l’angleEAC, le premier par la construction même, et le second, parce que AE étant parallèle à FC , les angles FCA et CAE sont alterne-interne. Maintenant , si l’on avait AF=DF, on aurait aussi DF = FC; par conséquent F serait parfaitement au milieu de la ligne DC. Cela n’arrive pas exactement ainsi pour tous les rayons; mais la différence entre la ligne la plus courte DF et la plus longue AF, est d’autant plus petite, que AD est plus petit en comparaison de DF ou de DC. Si l’arc AD ou l’angle AFD ne comprennent que peu de degrés, on peut supposer, sans inconvénient, DF — AF ; par conséquent aussi DF = CF, et par là le n.° i de l’art, io, est démontré.

$ 17. Théorème. Dans un miroir convexe ADB, ( fig. 82), le rayon EA parallèle à Taxe , sera réfléchi dans la direction AH, comme s’il venait ■du milieu F du rayon CD. La démonstration est semblable à la précédente. La ligne CAG est perpendiculaire à l’arc ADB en A : si donc on fait GAII ~ GAE , AH est le rayon réfléchi qui, étant prolongé, coupe l’axe en F. Or, dans le triangle CAF, on a CF = AF , puisque CAF = ACF : l’égalité de ces angles vient de ce que CAF — HAG , comme angles opposés au sommet , et ACF r= GAE , comme angles correspondans; enfin IIAG GAE, à cause delà loi fondamentale de la réflexion (pag. 3s 1, § 4)» Mais FA et FD ne sont pas à la vérité rigoureusement égaux, non plus que dans la figure Si ; seulement ils approchent de l’égalité , en admettant les mêmes conditions que dans Far. ticle précédent : c’est pourquoi CF est d’autant plus près cl’être égal à FD, que le rayon incident passe plus près de l’axe. Ceci est la démonstration du principe qui a été supposé dans l’article 12.

§ 18. Problème. Dans V axe TLD du miroir sphérique ADB, (fig. 83), se trouve un point rayonnant E ; un rayon EA qui en émane , frappe le miroir en A , et est réfléchi vers F. Il s’agit de trouver une équation entre la distance focale du miroir égale à \ DC = p , la distance du point lumineux DE ~ a, et la distance DF — ci èi laquelle le rayon réfléchi coupe Taxe.

Solution. Soit C le centre géométrique du miroir ; CA sera perpendiculaire en A à sa surface : par conséquent , d’après la loi de la Catoptrique, CAF = CAE ; mais , d’après une proposition géométrique connue , CAb — AI1 D — ACF , et CAE — ACF — AEC, et par conséquent aussi AFD — ACF = ACF — AEC, ou 2 ACF AFD AEC, ou enfin 2ACD — AFD -j- AED. De plus, on démontre dans la Trigonométrie, que dans un triangle rectangle dont un des angles aigus est fort petit, cet angle est, à fort peu près , proportionnel au côté opposé divisé par le coté adjacent, et d’autant plus exactement que le coté opposé est moindre. Or, si nous voulons produire des images distinctes, nous devons regarder l’arc AD comme très-petit relativement à DF, DC et DE; pouvons donc le considérer comme une ligne droite perpendiculaire sur

nous

l’axe DE, et par conséquent considérer aussi les triangles ADF , ADCet ADEy comme des triangles rectangles en D, qui ont de très-petits sur angles la base en F , C et E. Par conséquent

Pangle ACD est proportionnel à

AFD à

AED à

Si dans l’équation ci-dessus 2ACD — AED -f- AFD , on met, au lieu de ces angles , les valeurs qui leur sont proportionnelles , on aura