DG “ DE DF

Enfin , si l’on substitue 2 p à DG, a à DE, et a à DF, on aura

p a ce

ce qui est l’équation demandée entre p, a et a.

Remarque. La formule que nous venons de trouver, admet une application très-étendue, et noüs montrerons, soit ici, soit dans la Dioptrique, que tous les phénomènes possibles qui ont lieu dans les miroirs et dansles verres sphériques , peuvent être représentés par elle , et que par conséquent 011 doit la regarder comme la base de tous les calculs d’Optique. Il est utile de donner un énoncé simple à une proposition si importante.

Pour cela , il faut observer qu’il est assez ordinaire d’appeler le quotient qu’on obtient en divisant l’unité par une quantité quelconque, la valeur réciproque

de cette quantité. Alors — est la valeur réciproque de p , et ainsi du reste. Une

quantité et sa valeur réciproque ont entre elles un rapport tel que si l’on connaît l’une des deux , on trouve toujours l’autre en divisant l’unité par celle des

deux qui est connue : ainsi, 1 divisé par — donne p. Comme 011 obtient si

facilement l’une de ces valeurs par l’autre, on peut presque indifféremment considérer l’une ou l’autre , comme la quantité connue ou cherchée. Il est donc avantageux de laisser à Péquation ci-dessus sa forme, et de ne point éliminer

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îes diviseurs , parce qu’elle perdrait beaucoup de sa simplicité et de son utilité.

Si l’on nomme DE =: a, et DF = tx , les deux distances de réunion des rayons, la formule, dans sa forme rapportée ci-dessus, exprime le théorème suivant :

La valeur réciproque de la distance focale , est égale à la somme des valeurs réciproques des deux distances de réunion des rayons.

§ 19. i.° C’est une propriété essentielle de toute formule algébrique, qu’elle ne s’applique pas seulement au cas particulier qu’on a pris pour base du calcul , mais qu’elle sert aussi à tous les cas imaginables de meme espèce : on doit cependant remarquer que lorsqu’on l’applique à d’autres cas , il faut quelquefois changer le signe de l’une ou l’autre quantité. Dans le cas qui a servi à établir la formule , nous avons considéré toutes les quantités qui s’y présentent , savoir : p , a , a , comme positives, en les supposant placées les unes par rapport aux autres, comme le représente la fig. 83. Mais si une de ces lignes, dans un autre cas , se trouve avoir une situation opposée , il faut lui donner le signe négatif. Avec cette modification , notre formule s’applique à tous les cas imaginables dans lesquels un rayon incident EA, coupe l’axe quelque part en E. Tant que le point E reste devant le miroir, comme dans la fig. 83 , la quantité a reste positive. Mais si le rayon ne vient pas d’un point de l’axe, et qu’au contraire il se dirige vers un de ces points, commeGA, (fig’ §4 )> se dirige vers E, la distance DE qui était devant le miroir dans la fig. 83, se trouve maintenant derrière lui - de sorte qu’il faut représenter DE par — a ,* et la

formule serait alors, pour un miroir concave, — — — } .Si, déplus,

p a ex,

le miroir dont il s’agit, est un miroir convexe , le rayon et la distance focale (§12) ont une position opposée à celle qu’indiquent 1 es fig. 83 et 84 ; il faut donc représenter la distance focale par — p. Dans ce cas, lorsque le point rayonnant est devant le miroir, comme dans la fig. 83 , a reste positif, et la formule

est = — -J- — . Mais si l’intersection du rayon incident avec l’axe CD,

p a ce

se faisait derrière le miroir comme dans la fig. 84, ß serait aussi négatif, et par

conséquent on aurait — — — -j , etc.

Ce qui vient d’être dit , ne peut cependant s’appliquer qu’aux quantités que l’on considère , dans un cas particulier , comme des quantités données j maison voit facilement que des trois quantités p, a et ex , contenues dans la formule, chacune peut être considérée comme inconnue, lorsque les deux autres sont données. Ainsi , la formule sert généralement à trouver une de ces trois quan* tités par les deux autres , et elle détermine en même temps le signe qu’il faut lui attribuer.

q.° Puisque AD {fig. 83), s’est trouvé tout-à-fait éliminé du calcul, c’csi une preuve que la grandeur de cet arc n’influe pas sensiblement sur la position du point F , où le rayon réfléchi coupe l’axe , pourvu que AD soit en général un très-petit arc, comme le suppose tout le calcul. Il suit donc de là, que non-seulement le rayon EA , mais tous les rayons venant du meme point E, se réuniront après la réflexion, assez exactement au meme point F, et y produiront une image du point E, qui sera visible pour un œil placé de manière à recevoir, à quelque distance, les rayons qui divergent, en venant de F.

3.° Comme notre formule s’applique à toutes les positions du point E dans l’axe, il est démontré par là que de chaque point rayonnant situé sur l’axe, il se produit toujours par la réflexion une nouvelle image de ce point, située dans ce meme axe: cette image est devant le miroir, si le calcul donne une valeur positive de « =: DF ; elle est derrière, si la valeur de et se trouve négative ; elle est à une distance inlinie , si l’on trouve et, infini, ou, ce qui revient au même,

— = o (car o et l’infini sont des valeurs réciproques). Ce dernier cas a lieu

pour un miroir de convergence, lorsque l’on suppose DE = DF, c’est-àdire, a=p car alors on a

— = — + " , c’est-à-dire — — o; p p et et

d’où l’on voit que si les rayons partent, du foyer , ils deviennent parallèles à l’axe parla réflexion , c’est-à-dire, que leur point de réunion est à une distance infinie.

§ 20. Problème. Déterminer les circonstances de la rèjlexion , lorsque le point rayonnant est hors de Vaxe , mais à peu de distance.

Solution. Soit G, {fig. 85), un point rayonnant près de l’axe : qu’on mène par le centre géométrique la ligne droite GCII , et qu’on la prolonge jusqu’au miroir; on voit facilement que cette ligne peut être absolument considérée comme un axe , puisque ADB est sphérique. Si donc un rayon GK tombe sur le miroir et est réfléchi vers GL , en faisant IIG=a, et IIL — nous aurons comme ci-dessus ,

p a ex.

et toutes les conséquences que nous avons tirées de cette formule relativement à l’axe (pag. 3 3 1 , $ 19), doivent être appliquées à la ligne GIL D’où il résulte que chaque point rayonnant situé sur la ligne GII , produit une image quelque part dans cette même ligne , image qui peut, selon les différons cas , se trouver tantôt devant, tantôt derrière le miroir , et tantôt à une distance infinie.

De cette manière, la seconde supposition que nous avions admise, ( pag. 320 , § 10), se trouve complètement démontrée,

§ ai. i.® Comme nous avons supposé partout que la largeur du miroir est peu considérable relativement à la distance focale , et que le point rayonnant G est près de l’axe , il est évident que toutes les lignes qu’on peut mener de G vers le miroir et qui ne passent plus par C , seront toutes presque égales en longueur : la meme chose a lieu pour toutes les ligues qu’on

peut mener de L au miroir. Ainsi, il suit de là que la formule— = — -{- —

s’éloignerait très-peu de la vérité, même dans le cas où l’on n’aurait pas mesuré a et a , c’est-à-dire, la distance des point H, G et L, sur la ligne GII> et en supposant qu’on y substituât leur distance perpendiculaire au miroir. Il suit encore de là, que s’il se trouvait au-dessous de G, plusieurs points rayonnans à des distances égales du miroir , leurs images au-dessus de L , seraient aussi toutes à des distances égales de sa surface : car puisque a est égal pour tous ces points , la formule donnerait aussi des valeurs égales pour a Ainsi la troisième supposition faite à l’art. 10 (pag. 320 ), se trouve suffisamment démontrée.

2.° Si l’on représente l’objet , ainsi que nous avons fait ci-dessus, par une ligne droite perpendiculaire à l’axe, l’image sera aussi une ligne droite perpendiculaire à l’axe. Alors on peut nommer a la distance de V objet entier , et non pas seulement celle d’un point rayonnant, et a sera de même la distance de

toute l’image. Pour cette valeur des lettres a et a , la formule — = h — ■

reste toujours exacte.

§ 22. Remarques. i.° La dernière observation nous fournit, entre autres, un moyen commode pour trouver la distance focale d’un miroir concave. Cn place devant le miroir la flamme d’une bougie à une distance telle , qu’il s’en forme une image distincte sur un carton blanc ou sur une muraille à une certaine distance : alors on mesure la distance de l’objet et de l’image au miroir , et on obtient a et ci; de sorte que l’on peut ensuite trouver p au moyen de la formule.

2.u Tous les calculs d’Optique deviennent très-difficiles et très-compliqués, si on veut leur donner une exactitude absolument rigoureuse : mais, pour la pratique, cette rigueur n’est pas nécessaire , lorsqu’il s’agit d’instrumens d’optique qui doivent donner des images très-précises; car, pour obtenir cette netteté , d faut donner aux miroirs et aux verres une largeur peu considérable, relativement à leur distance focale, ce qui justifie toutes les approximations que nous nous sommes permises. Quant aux instrumens desquels on n’attend pas un$ exacte précision, le manque de rigueur se justifie de soi-même,

I1ÜTT1EME SECTION.