CHAPITRE II

Utesore du degré d'approximation de la répartition des sièges dans une représentation dite proportionnelle.

i" Non-proportionnalité des répartitions. — La représentation proportionnelle, pour être mathématiquement exacte, devrait satisfaire à la série des relations suivantes :

A, B, C, D, . . . désignant les nombres de voix respectifs de chaque liste et ao, bo, Co, d^ . . . représentant leurs quantums vrais ^ c'est-à-dire exacts et complets.

On a vu que cette condition est impossible a rtialiser en pratique, à cause de l'indivisibilité des sièges* En cons^équence, on a dû se contenter d'attribuer à chaque liste un nombre entier comme quantum approché. Dans ce but, le Système du quotient vrai néglige les parties fractionnaires les plus petites et force les restes fractionnaires les plus grands, jusqu'à concurrence du nombre des sièges disponibles. Le SQ a recours à un quotient fictif qui opère automatiquement la majoration des quantums, en commençant, en général, par ceux des listes les plus fortes, et il néglige tous les restes fractionnaires.

Or, la néglection des parties fractionnaires conalitue^ autant que leur majoration, un expédient destructif de toute proportionnalité.

En nous aidant de la Méthode graphique, nous allons rendre visible ce défaut de proportionnalité commun aux deux Systèmes en présence. Servons-nous, dans ce but, des éléments numériques du Tabl. VI qui sont :

Univ. de Lyow. — Monoyer. t

Quantums vrais 5,4; 2,4 î i^S ; 0,7

QuanLums approchés (S Q) 5 ; 2 ; 2 ; i Quantums approchés (S Q') 6; 3 ; i ; o

Portons sur Taxe des abscisses, à partir du point O (fig. i), des longueurs O A, OB, OC, OD, proportionnelle aux forces numériques des listes A, B, G, D ; en ces différents points élevons des ordonnées proportionnelles aux quantums vrais des dites listes. Il suffit, pour obtenir ce dernier résultat, de

SQ

SQ'

prendre Tordonnée A ao égale au quantum vrai 5,4 de la liste A et de joindre le point ao à Torigine des coordonnées : la droite O a„ ainsi tracée représente la ligne de proportionnalité exacte et elle coupe les autres ordonnées en des points bo, Co, do, tels que leurs distances à Taxe des abscisses sont proportionnelles aux quantums vrais des listes correspondantes ; c'est la conséquence de la similitude des triangles semblables formés par ces ordonnées, toutes parallèles entre elles, avec Taxe O A

et l^oblique Oho. Cela fait, marquons sur chaque ordonnée les positions de ses deux quantums approchés, l'un fourni par SQ, Fautre par le SQ' : j'obtiens ainsi les points a, b, c, d pour SQ et a, b\ c', d', pour SQ'. Réunissons enfin par des lignes à traits interrompus les points a, b, c, d, d'une part, et par des lignes pointillées les points a', b', c', d', d'autre part ; nous obtenons ainsi deux séries de lignes brisées ou pointillées qui, par leur écartement de la droite O a^ et par rinégalitë de leurs inclinaisons, accusent nettement le défaut de proportionnalité des répartitions engendrées par les deux Systèmes,

On voit même manifestement que des deux séries de lignes brisées, ou pointillées, c'est la série des pointillées, celle de S Q', qui s'écarte le plus de la proportionnalité.

Il appert de ce qui précède, et je ne saurais trop insister sur ce point, qu'aucun des deux Systèmes S Q et S Q' ne procure une répartition rigoureusement proportionnelle : ils ne donnent l'un et l'autre qu'une répartition plus ou moins approchée.

2** Calcul de l'approximation par les erreurs relatives. — La question se pose alors de savoir lequel des deux Systèmes fournit la solution la plus approchée. Pour répondre, à ce desideratum, il faut de toute nécessité posséder un moyen de mesurer le degré d'approximation de la répartition des sièges. Ici je me trouve en présence d'un problème de physique, spécial, si l'on veut, mai^ qui n'en est pas moins de la compétence d'un physicien.

Le moyen est des plus élémentaires, et je m'étonne quelque peu que personne encore, à ma connaissance, ne l'ait ni indiqué, ni utilisé en matière électorale. Il consiste tout simplement à calculer l'erreur relative commise à Tégard de chacune des listes par la substitution d'un quantum approché au quantum vrai et à faire la somme arithmétique de ces erreurs. Ces opérations ayant été effectuées sur les différentes

repartitions en présence, il n'y a plus qu'à comparer entre elles les sommes obtenues pour pouvoir juger dé la valeur relative des répartitions considérées.

Supposons, par exemple, qu'on ait les deux répartitions suivantes : a^, b^, c^, d^.. (S Q)

a', b', c', d'..(SQ') .avec leurs quantums vrais ao, bo, Co, do..

On calculera l'erreur relative e^ de la liste A dans le système S Q et son erreur e'a dans le S Q', au moyen des formules :

£^ = =1 et £a = =1

On obtiendra de la même manière les erreurs relatives des autres listes dans les deux répartitions. Faisons alors les sommes :

ê =^ «a -f- €b H- «c ■+- «d et ê' = e/ + Cb H- ^c -+- ^d

Celle des deux sommes qui a la plus petite valeur numérique indique évidemment la répartition la plus approchée et partant la meilleure.

Ainsi, la comparaison des erreurs totales suffit à nous renseigner sur la valeur relative de deux ou plusieurs répartitions . de sièges.

On peut même, en pratique, se dispenser de faire figurer ^

dan a le total des erreurs celles qui se rapportent à des listes i

ayant les mêmes quantums approchés : la différence entre les ■

deux sommes reste la même. î

Mais, quand on tient à avoir une expression numérique du \

degré de l'approximation tÂy il faut faire la somme des erreurs de toutes les listes sans exception et se rappeler que la grandeur tA varie en raison inverse de l'erreur totale ê»

On posera donc : tA= -^^ t^i' = -57.

La répartition est alors d'autant meilleure que l'approximation est plus élevée; celle-ci devient égale à Too pour une

erreur nulle (proportionnalité exacte) et égale à zéro pour une erreur infinie.

3® Démonstration du mode de calcul de l'erreur totale. — J'ai dit que, pour calculer Terreur totale, il fallait faire la somme des erreurs relatives, sans avoir égard à leurs signes, et je vais le prouver^ en démontrant qu'une erreur positive commise sur une liste ne saurait être compensée par Terreur négative d'une autre liste.

Qu'on me permette, dans ce but, d'assimiler les quantums des listes

aux piles d'un pont. Un ingénieur ordonne la construction de deux piles de 5 mètres de hauteur chacune, afin d'avoir un tablier horizontal. L'entrepreneur se trompe de i mètre en plus pour la pile A et de i mètre en moins pour la pile B. Les erreurs relatives commises sur ces piles sont égales en valeur absolue, mais de signe contraire ; on a : ea = -h 0,2 et

Eb = — 0,2.

Notre ingénieur va-t-il faire la somme algébrique des deux erreurs et en conclure que, Terreur totale étant égale à zéro, tout est pour le mieux dans le meilleur des mondes? Il s'en gardera bien, s'il tient à sa place ; il fera la somme arithmétique des erreurs, ce qui donnera une erreur totale ê = o, 4, et il montrera que cette valeur représente la lan^ente triçonométrique de Tang^le d'inclinaison qu'aurait le tablier conslruit sur

ces pîfes inégales, en supposant leur intervalle égal à 5 mètres : Tangle en question sérail de 22 degrés. Inutile d'insister davantage.

La ii^ur^ a représente à Téchelle voulue le tablier horizontal bo ao à construire sur des piles Aao, Bb© de hauteur égale et Tinclinaison qu'aurait \c tabltf^r ba, si] était posé sur les piles inégales livrées par l'entrepreneur.