THÉORIE DÉS LOGARITHMES ADDITIONNELS

ET DÉDUCTIFS

Définition des Logarithmes additionnels et déductifs.

J "APPELLE logarithmes additionnels et déductifs certains logarithmes qui, étant ajoutés à l'un des deux logarithmes donnés, dont les valeurs naturelles sont inconnues, donnent le logarithme de la somme de ces deux quantités; ou qui, étant soustraits de l'un de ces deux logarithmes, donnent le logarithme de la différence ou reste de leurs quantités naturelles.

Des Logarithmes additionnels et déductifs.

Les logarithmes, comme l’on sait, ont pour objet unique l'abréviation de travail des calculs, qui, pour être d'une certaine étendue, deviennent, sans leur secours, trop pénibles. Tous ceux qui ont besoin de s'en servir fréquemment sentent très-bien leur utilité

par les propriétés qu'ils ont d'effectuer des produits, des quotiens, des racines, des puissances, etc.; mais ils sentent encore leur insuffisance, parce qu'ils n’ont pas les propriétés d'effectuer aussi des sommes et des restes.

Si dans le cours d'une opération il y a des sommes et des déductions à faire (ce qui arrive très-souvent), les avantages des logarithmes sont contre-compensés par la perte de temps et par le travail qu'il faut s'absumer pour obtenir les logarithmes des sommes et des restes en question. Une seule somme peut occuper, dans un calcul logarithmique, plus de temps de ce qu'on auroit dû épargner par leur moyen. Il faut alors arrêter l'opération, trouver les quantités naturelles (dont on exige la somme ou le reste) de chacun de leurs logarithmes, additionner ces quantités, et chercher nouvellement le logarithme de la somme, pour continuer l'opération, et si l’on opère avec des logarithmes à plus de décimales que ceux des tables, ce travail devient excessif. Assez d'occasions arrivent où l'on s'aperçoit de cette insuffisance, pour convenir d'une telle vérité.

Comme :il est à souhaiter aux logarithmes ces deuxièmes propriétés, et qu'il n'est pas assez de moyens suffisamment courts pour obtenir le logarithme de la somme ou du reste de deux quantités, dont on connoît seulement les logarithmes, je suis d'avis qu'une construction de tables, où l'on pourroit trouver tous les log. additionnels et déductifs correspondans aux log.-rapports des quantités dont les logarithmes sont connus, soit le moyen le plus propre à cet effet, et en mème temps le plus expéditit.

Voyons sur quoi ces tables peuvent étre construites.

Des principes incontestables nous disent, en général, que

b a AFS KRI VAE et que | b=b X(° ; a 0 —= X É os 1) , que, par conséquent, L.(a + 6) = L.a + LitæLb+ Lt et que L.(a— b)= L.b + L.($ 1) .

Ce théorème cest une conséquence de celui que nous avons vu dans la première Partie.

Soit a>b, ou La>L.b,

, a ct repreésentons L.i 5 par

a a a Lo +Lis-L.s “:

nous aurons Dia tb) =L6é LS Ebi=L£:

b b b mais comme

Lb+L.=La+Lo—Lé=La,

ainsi L.a +(L. I 5 — L.? , qui est la différence entre a b plus une unité) — L.(a + b). D'où il suit que, pour

le logarithme du rapport - et celui du même rapport

avoir le logarithme de la somme de deux quantités, dont les seuls logarithmes sont connus, on peut ajouter au plus grand de ces deux logarithmes la différence entre le log.-rapport susdit et le logarithme du même rapport augmenté d'une unité.

De même,

(a—6)=L.b +L. G- 1)=Lo+LS [L. SL. (r- 1) | et comme

Lb+L.S=La,

ainsi L.(a—b)=L.a—[L.$—L.($— 1), qui est

la différence entre le logarithme du rapport : et celui

du même rapport diminué d’une unité]. D'où il suit que, si l’on ôte cette différence du plus grand des deux logarithmes donnés, on aura le logarithme de la différence entre les quantités correspondantes à ces deux logarithmes, ou le logarithme du reste.

S'il arrivoit que la quantité à soustraire fût la plus grande, on feroit toujours la même opération, comme si c'étoit la plus petite, et l’on auroit égard seulement que le logarithme du reste seroit négatif.

Parmi les différentes formes auxquelles on pourroit réduire ces équations, il m'a paru que celles-ci sont les plus commodément applicables à la construction des tables précitées, par des raisons qu’on verra plus bas.

Je vais donner un essai de ces tables pour les logarithmes vulgaires : si l’on en vouloit construire pour les logarithmes hyperboliques, elles n’en seroient pas différentes.

SOoM na LOG.-RAPPORTS.