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DÉDUC.- LOG.-RAPPORTS.

> 1616 7 02185 sai 7 52236 4864

La première colonne de cette table contient les somme-log.-rapports, ou les log.-rapports des quantités qui doivent être additionnées. La deuxième contient les logarithmes des mêmes rapports augmentés d'une unité, diminués, ces logarithmes, du respectif log.rapport qui se trouve dans la première colonne : chacun de ces logarithmes est donc la difference entre le logarithme du rapport et le logarithme du même rapport augmenté d'une unité, et dont il a été question ci-dessus. La troisième colonne renferme les déduction-log.-rapports, ou les logarithmes-rapports des quantités, dont on demande le logarithme de la différence ou du reste : ces logarithmes sont placés respectivement vis-à-vis les som.-log.-rapports, dont la valeur naturelle est une unité moins que la leur propre. Il résulte de cette disposition que les logarithmes de la deuxième colonne sont encore les différences entre les déduc.-log.-rapports et ceux des mêmes rapports diminués d'une unité; ou, si l’on veut, ils sont chacun la différence entre le som.-log.rapport et le déduc.-log.-rapport qui se trouvent dans la même ligne, et dont les valeurs naturelles diffèrent d'une unité, moins dans la première à l'égard de la deuxième, et plus dans celle-ci à l'égard de la première.

S'il s'agit d'additionner deux quantités dont les logarithmes seulement soient donnés, après avoir ôté le moindre d'eux du plus grand, c'est donc dans la première colonne qu'il faut chercher ce reste, et le logarithme dans la même ligne de la deuxième colonne sera la quantité qu'il faudra ajouter au plus grand des deux logarithmes donnés, pour avoir le logarithme de la somme. Et s’il s'agit de trouver le logarithme du

reste, après avoir Ôié, tout de même, le logarithme plus petit du plus grand, c'est dans la troisième colonne qu'il faut chercher ce qui reste de cette soustraction, et le logarithme dans la même ligne de la deuxième colonne sera ce qu'il faudra ôter du plus grand des deux logarithmes donnés.

Des tables ainsi construites nous présentent un autre avantage, et c'est que les différences, qu'on suppose dans la même ligne de toutes les trois colonnes entre les respectives quantités, sont en rapport constant jusqu'à la dixième décimale. Cette régularité existe même dès le commencement des tables, où les différences sont plus variables, et elle s'étend à plus de décimales à mesure que les som.-log.-rapports augmentent. Cela vient de ce que les deuxièmes différences soit de la deuxième, soit de la troisième colonne, ne commencent qu'à l'onzième décimale, et vont toujours en diminuant : elles sont d'ailleurs toujours égales pour les deux colonnes. Concernant les premières différences, elles sont constamment le complément arithmétique les unes des autres.

Avant que ledit rapport soit constant à quatorze décimales, on obtiendra tout de même, à quatorze chiffres, les log. additionnels entremédiaires, en se servant des premières et deuxièmes différences des log. additionnels des tables (cette méthode est assez connue), et des log. déductifs de la manière suivante.

Soit b un déduc.-log.-rapport entremédiaire à deux déduc.-log.-rapports consécutifs des tables, d la différence de ces deux déduc.-log.-rapperts, D la première différence dans la même ligne de la deuxième colonne, et d la deuxième différence commune; a le déduc.log.-rapport moiñdre prochain, À son respectif log.

déductif, et B le log. déductif correspondant à b. Faisons, de plus, |

Nous aurons

A—rD+20X(r'n—n)=8.

Sin >r'n, on substitue n—r'n à la place de r'n — nn. |

En tenant compte de celles d'entre les susdites premières et secondes différences qui sont à une centaine de termes de distance, on se pourroit borner à calculer les tables à chaque som.-log.-rapport 0,001 seulement. La formule (k), ci-après, donne commo-

(k) Nommons a un som.-log.-rapport des tables, et À son respectif log.-additionnel; d la première différence entre le log.additionnel À et celui qui en est consécutif; © la deuxième différence, et D la différence des som.-log.-rapports des tables, et soit D = 0,00001 ; b un som.-log.- rapport entremédiaire pas plus éloigné de a que 100D, et B son respectif logarithme additionnel; soit de plus,

D =r:; F=iSr ; Un:

On aura

B=(A—rd)+dx(rn+n).

Si D = 0,001, b sera alors compris entre a et a + D, et l'on aura __100({(b—a), : ; et en conservant les mêmes valeurs de d et «d, on aura toujours B = etc., comme ci-dessus.

Il est aisé de s’apercevoir de ce que deviendroit la valeur der, lorsque D peut devenir o,o1, ou 0,1, etc., et quelles seroient les prumières et deuxièmes différences des log.-additionnels, qu'on

dément à quatorze chiffres les log. additionnels et déductifs jusque de cent er cent som.-log.-rapports 0,00001. Dans ce cas, il faudroit que les déduc.-log.rapports fussent, comme les som.-log.-rapports, une série constante, et qu'on ajoutât une quatrième colonne pour les log. déductifs, attendu que les logarithmes de la deuxième colonne ne serviroient alors que pour les additionnels; mais tout cela seroit bien compensé par le peu d’étendue des tables : je m'explique. Lorsque les som.-log.-rapports approcheroient à la caractéristique 6, et les déduc.-log.-rapports à 3 (je suppose que la série de ceux-ci diffère de 0,0005 à-peu-près, ce qui me paroît plus à propos), les premières différences, soit des log. additionnels, soit des log. déductifs, n'auroient plus qu’un ou deux chiffres positifs, et dès qu'ils surpasseroient ces valeurs, elles évanouiroient bientôt tout-à-fait : il est donc naturel que, bien avant que les som.-log.-rapports augmentent à ce point-là, on ne doit plus avoir besoin que des premières différences, tant pour calculer la série des tables que pour trouver les log. additionnels entremédiaires aux donnés; et que, si l'on continue à tenir compte des deuxièmes différences, on pourra ensuite calculer les additionnels à chaque som.-log.rapport 0,01, arrivant ceux-ci à une certaine grandeur,

devroit donner dans les tables, à la place de celles qui y scroient propres. La formule indique elle-même la pratique de ce procédé. Cette formule ne dicte, en effet, autre chose que de se servir des diftérences d’une série pour trouver les termes de la même série à un certain nombre de termes de distance, sans tenir compte des termes entreposés, en ajoutant ou cn déduisant tout à la fois la quantité de diflérences qu'on devroit ajouter ou déduire une par une, comme l’on fait dans tout calcul différentiel des séries.

et même à chaque 0,1 en approchant de som.-log.rapport 6; ce qui seroit semblablement applicable aux log. déductifs, auxquels la formule (k) seroit commune. |

Dès que les som.-log.-rapports arriveroient à 7, il n'y resteroit à établir, pour compléter les tables, que quelques dixaines de quantités, une pour chaque unité d'augmentation à leur caractéristique.

On pourroit construire directement des tables sur les équations